多元统计分析期末考试考点整理
二名词解释
1、 多元统计分析：多元统计分析是运用数理统计的方法来研究多变量（多指标）问题的理 论和方法，是一元统计学的推广
2、 聚类分析：是根据“物以类聚”的道理，对样品或指标进行分类的一种多元统计分析方 法。将个体或对象分类，使得同一类中的对象之间的相似性比与其他类的对象的相似性更强。 使类内对象的同质性最大化和类间对象的异质性最大化
3、 随机变量：是指变量的值无法预先确定仅以一定的可能性 （概率）取值的量。它是由于随
机而获得的非确定值，是概率中的一个基本概念。即每个分量都是随机变量的向量为随机向 量。类
似地，所有元素都是随机变量的矩阵称为随机矩阵。
4、统计量：多元统计研究的是多指标问题 ，为了了解总体的特征,通过对总体抽样得到代表 总体的样本，但因为信息是分散在每个样本上的 ，就需要对样本进行加工，把样本的信息浓缩 到不包含未知量的样本函数中，这个函数称为统计量
二、计算题
^16 -4
2
k 设H =
其中启= （1Q —纣眉=-4 4-1
[― 试判断叼+ 2吟与
「花一? [是否独立？
解:
"10
-6 -15
-6 1 a 2U
-16
20 40
故不独立口
-r o 2丿
按用片的联合分帚再I -6 lti 20
-1G 20 ) -1V16 -4 0 -4 A 2 丿"-1
2.对某地区农村的百名2周宙男翌的身高、胸圉、上半骨圉进行测虽，得相关数据如下』根据汶往资料，该地区城市2周岁男婴的遠三个指标的均值血二（90Q乩16庆现欲在多元正态性的假定下检验该地区农村男娶是否与城市男婴有相同的均值?伽厂43107-14.62108.946^1 ]丼中乂=60.2x^)-1=(115.6924)-1-14.6210
3.172-37 3760
、8.9464-37 376035.S936」= 0.01, (3,2) = 99.2, 03) =293 隔亠4) =16.7)
答:
2、假设检验问题：比、# =险用‘//H地
r-8.o>
经计算可得：X-^A 22
厂
「3107 -14.6210 ST1=(23J3848)-1 -14.6210 3.172
8 9464 -37 3760
E9464 -37.3760 35.5936
构造检验统计量：尸=旳（丟-間）〃丿（巫-角）
= 6x70.0741=420.445
由题目已知热“（3,）= 295由是
^I =^W3,3）^147.5
所以在显著性水平ff=0.01下，拒绝原设尽即认
为农村和城市的2周岁男婴上述三个指标的均
值有显著性差异
（］
4、设盂=（耳兀.昂工/ ~M（（XE）,协方差阵龙=P
P （1）试从匸出发求X的第一总体主成分;
答:
（2）试|可当卩取多大时才链主成分册贡蕭率达阳滋以上.
対二為=
人
=1—
p
得人所对应的单位特征向量为匸1
* 2 2
故得第-主成分―詁+討冷禺+*血
（2）第一个主成分的责献率为
------- --------- =1^>95%
雄+2“入+川4
0.95x4-1
-- --------------- - 禹
3
题型三解答题
1、简述多元统计分析中协差阵检验的步骤
答：
第一，提出待检验的假设和H1;
第二，给出检验的统计量及其服从的分布；
第三，给定检验水平，查统计量的分布表，确定相应的临界值，从而得到否定域；
第四，根据样本观测值计算出统计量的值，看是否落入否定域中，以便对待判假设做出决策（拒绝或接受）。
2、简述一下聚类分析的思想
答：聚类分析的基本思想，是根据一批样品的多个观测指标，具体地找出一些能够度量样品
或指标之间相似程度的统计量，然后利用统计量将样品或指标进行归类。把相似的样品或指标归为一类，把不相似的归为其他类。直到把所有的样品（或指标）聚合完毕
3、多元统计分析的内容和方法
答：1、简化数据结构，将具有错综复杂关系的多个变量综合成数量较少且互不相关的变量，
使研究问题得到简化但损失的信息又不太多。（1）主成分分析（2）因子分析（3）对应分析
等
2、分类与判别，对所考察的变量按相似程度进行分类。（1）聚类分析：根据分析样本的各研究变量，将性质相似的样本归为一类的方法。（2）判别分析：判别样本应属何种类型的统计方法。4、系统聚类法基本原理和步骤答：
1）先计算n个样本两两间的距离
A—1-P
-P A —1
-P-P
-P-P-P
一。
~P
-P
Z-l
=0得特征根*^=l + 3p,
0 933
2）构造n个类，每个类只包含一个样本
3）合并距离最近的两类为一新类
4）计算新类与当前各类的距离
5）类的个数是否等于1，如果不等于回到3在做
6）画出聚类图
7）决定分类个数和类
5、聚类分析的类型有：
答：
（1）对样本分类，称为Q型聚类分析
（2）对变量分类，称为R型聚类分析# Q 型聚类是对样本进行聚类，它使具有相似性特征
的样本聚集在一起，使差异性大的样本分离开来。#R型聚类是对变量进行聚类，它使具有
相似性的变量聚集在一起，差异性大的变量分离开来，可在相似变量中选择少数具有代表性的变量参与其他分析，实现减少变量个数，达到变量降维的目的。
6、简述欧氏距离与马氏距离的区别和联系。
4a简述欧氏距离与马氏距离的区别和联系.
答I设P錐空闾RP中的两点X=（XpX2" Xp）;和Y= YpY r- Yp ;D则欧氏距藹次欧氏距离的局限肓①在多元数据分忻中，其度重不合理-②会受到粥间题中曇冈的毙响°
设是来自均值向壘为（J，协方差为￡的总体G中的p维样本.则马氏K巨离为
■ 1 ■ 1
DaT）= X-Y L X-Y n当迟 =【即单位阵时小輒Y）=x —Y' X—丫=二（& —丫= Yj）W欧氏距离.
因此，在一定程度上，欧氏E巨离是马氏距离的特殊情况.马氏距离是欧氏距离的推广.
7、试述系统聚类的基本思想。
答：系统聚类的基本思想是：距离相近的样品（或变量）先聚成类，距离相远的后聚成类，过程一直进行下去，每个样品（或变量）总能聚到合适的类中。
8对样品和变量进行聚类分析时所构造的统计量分别是什么？简要说明为什么这样构造？
答：对样品进行聚类分析时，用距离来测定样品之间的相似程度。因为我们把n个样本看作
p维空间的n个点。点之间的距离即可代表样品间的相似度。常用的距离为
（-）明氏距离；= d血—心「严
—1
q取不同值，分次] 护
（1）绝对距离（*-]＞巧〔工）=X 口迄-産/
Jt-1 4
（2） 欧氏距离—%。）=（￡贋祇一兀』严 （3） 切比雪夫距禽￡彳g ） %（Q =出警慣駄- X 金
1 ?
■ 一才
j r 工、 、/ * - （-）马氏距禽
八 p r X*十広“
* K " ■**■
Jfr
fK
（二）兰氏距离 売 QM\ =（卷-X J ）^_1（X 1 -xp
对变壘的拒似性，我们更多地要了解变堡的变化趋势或变化方向，因此用相关性
进行衛璽°
舟变量看作P 维空间的向量，一般用
（-）相关系数
9、在进行系统聚类时，选择距离公式应遵循哪些原则?
答：（1）要考虑所选择的距离公式在实际应用中有明确的意义。 如欧氏距离就有非常明确的
空间距离概念。马氏距离有消除量纲影响的作用。
（2 ）要综合考虑对样本观测数据的预处理和将要采用的聚类分析方法。如在进行聚类分析 之前已经对变量作了标准化处理，则通常就可采用欧氏距离。
（3）要考虑研究对象的特点和计算量的大小。样品间距离公式的选择是一个比较复杂且带 有一定主观性的问题， 我们应根据研究对象的特点不同做出具体分折。 实际中，聚类分析前
不妨试探性地多选择几个距离公式分别进行聚类， 然后对聚类分析的结果进行对比分析， 以
确定最合适的距离测度方法。 10、欧式距离的优点缺点
⑴欧式距离（Euclid 距离）
m
优点：几何意义明确，简单，容易掌握，由于中学数学就已初步接触，数学知识不多的人也 可以把握它的基本含义。
缺点：从统计学的角度看，使用欧式距离要求一个向量的 n 个分量不相关，且具有相当的方 差，或者说各个坐标对欧式距离的贡献同等且变差大小相同， 此时使用欧式距离才合适，且 效果良好，否则就不能如实反映情况且容易导致错误的结论。 因此需要对坐标加权，化为统
计距离
11、 模糊聚类分析的实质和基本原理
GOM
比
P
答：模糊聚类分析的实质就是根据研究对象本身的属性而构造模糊矩阵，在此基础上根据一定的隶属度来确定其分类关系
基本原理：如果水平满足，则按水平分出的每一类必是按水平分出的每一类的子类。(p62页)
12、模糊聚类分析计算步骤：
答：
(1)对原始数据进行变换。变换方法通常有标准化变换、极差变换、对数变换等。
(2)计算模糊相似矩阵
(3)建立模糊等价矩阵
(4)进行聚类
多元统计分析期末复习试题
第一章： 多元统计分析研究的内容（5点） 1、简化数据结构（主成分分析） 2、分类与判别（聚类分析、判别分析） 3、变量间的相互关系（典型相关分析、多元回归分析） 4、多维数据的统计推断 5、多元统计分析的理论基础 第二三章：
二、多维随机变量的数字特征 1、随机向量的数字特征 随机向量X 均值向量： 随机向量X 与Y 的协方差矩阵： 当X=Y 时Cov （X ，Y ）=D （X ）；当Cov （X ，Y ）=0 ，称X ，Y 不相关。 随机向量X 与Y 的相关系数矩阵： 2、均值向量协方差矩阵的性质 (1).设X ，Y 为随机向量，A ，B 为常数矩阵 E （AX ）=AE （X ）； E （AXB ）=AE （X ）B; D(AX)=AD(X)A ’; Cov(AX,BY)=ACov(X,Y)B ’; (2).若X ，Y 独立，则Cov(X,Y)＝０，反之不成立． (3).X 的协方差阵D(X)是对称非负定矩阵。例2.见黑板 三、多元正态分布的参数估计 2、多元正态分布的性质 (1).若 ,则E(X)= ,D(X)= . )' ,...,,(),,,(2121P p EX EX EX EX μμμ='= )' )((),cov(EY Y EX X E Y X --=q p ij r Y X ?=)(),(ρ) ,(~∑μP N X μ ∑ p X X X ,,,21
特别地，当 为对角阵时， 相互独立。 (2).若 ，Ａ为sxp 阶常数矩阵，d 为s 阶向量， ＡＸ＋d ～ . 即正态分布的线性函数仍是正态分布． (3).多元正态分布的边缘分布是正态分布，反之不成立． (4).多元正态分布的不相关与独立等价． 例３．见黑板． 三、多元正态分布的参数估计 (1)“ 为来自p 元总体X 的（简单）样本”的理解---独立同截面． (2)多元分布样本的数字特征---常见多元统计量 样本均值向量 ＝ 样本离差阵Ｓ＝ 样本协方差阵Ｖ＝ S ;样本相关阵Ｒ (3) ,Ｖ分别是 和 的最大似然估计； (4)估计的性质 是 的无偏估计； ,Ｖ分别是 和 的有效和一致估计； ； Ｓ～ ， 与Ｓ相互独立； 第五章 聚类分析： 一、什么是聚类分析 ：聚类分析是根据“物以类聚”的道理，对样品或指标进行分类的一种多元统计分析方法。用于对事物类别不清楚，甚至事物总共可能有几类都不能确定的情况下进行事物分类的场合。聚类方法：系统聚类法（直观易懂）、动态聚类法（快）、有序聚类法（保序）...... Q-型聚类分析（样品）R-型聚类分析（变量） 变量按照测量它们的尺度不同，可以分为三类：间隔尺度、有序尺度、名义尺度。 μ ) ,(~∑μP N X ) ,('A A d A N s ∑+μ) () 1(,,n X X X )' ,,,(21p X X X )' )(() () (1 X X X X i i n i --∑=n 1 X μ∑μ X ) 1 , (~∑n N X P μ) ,1(∑-n W p X X
应用多元统计分析课后答案
2.1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。 解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况，12(,,)p X X X X '=L 的联合分布密 度函数是一个p 维的函数，而边际分布讨论是12(,,)p X X X X '=L 的子向量的概率分布，其概率密度 函数的维数小于p 。 2.2设二维随机向量1 2()X X '服从二元正态分布，写出其联合分布。 解：设1 2()X X '的均值向量为()1 2μμ'=μ，协方差矩阵为21 122212σσσσ?? ? ?? ，则其联合分布密度函数为 1/2 12 2 2112112222122121()exp ()()2f σσσσσσσσ--???????? '=---?? ? ??? ?????? x x μx μ。 2.3已知随机向量12()X X '的联合密度函数为 12121222 2[()()()()2()()] (,)()()d c x a b a x c x a x c f x x b a d c --+-----= -- 其中1a x b ≤≤，2c x d ≤≤。求 （1）随机变量1X 和2X 的边缘密度函数、均值和方差； （2）随机变量1X 和2X 的协方差和相关系数； （3）判断 1X 和2X 是否相互独立。 （1）解：随机变量 1X 和2X 的边缘密度函数、均值和方差； 11212122 2[()()()()2()()] ()()()d x c d c x a b a x c x a x c f x dx b a d c --+-----=--? 1221222222 2()()2[()()2()()]()()()() d d c c d c x a x b a x c x a x c dx b a d c b a d c -------=+----? 121 222202()()2[()2()]()()()() d d c c d c x a x b a t x a t dt b a d c b a d c ------= +----? 221212222 2()()[()2()] 1()()()()d c d c d c x a x b a t x a t b a d c b a d c b a ------=+= ----- 所以 由于1X 服从均匀分布，则均值为2b a +，方差为 ()2 12 b a -。
多元统计分析期末试卷
一、（本大题共2小题，每题5分，共10分） 1、设),(~3∑μN X ，其中???? ? ?????=∑-==221231111,)'1,3,2(,)',,(321μX X X X ，试求32123X X X +-的分布。 2、设三个总体321,G G G 和的分布分别为：)1,3()2,0(),5.0,2(222N N N 和。试按马氏距离判别准则判别x =2.5应判归哪一类？ 二、（本题10分）设'1233(,,)~(,)X X X X N μ=∑，其中 )10(11 1 ,)',,(321<
三、（本题10分）已知5个样品的观测值为：1，4，5，7，11.试用按类平均法对5个样品进行分类。 四、（本题10分）设有两个正态总体21G G 和，已知(m=2) ? ? ? ???=∑=∑??????=??????=32121218,2520,151021)1()1(μμ ，先验概率21q q =，而,10)12(=L 75)21(=L 。试问按贝叶斯判别准则样品?? ? ???=??????=2015,2020)2() 1(X X 各应判归哪一类？
五、（本题10分）假定人体尺寸有这样的一般规律：身高（1X ），胸围（2X ）和上半臂围（3X ）的平均尺寸比例是6：4：1。假定),,1()(n X =αα为来自总体)',,(321X X X X =的随机样本，并设),(~3∑μN X 。试利用下表中数据来检验其身高、胸围和上半臂围这三个尺寸是否符合这一规律。（94.6)4,2(,05.005.0==F α）
多元统计分析期末试题及答案.doc
22121212121 ~(,),(,),(,),, 1X N X x x x x x x ρμμμμσρ ?? ∑==∑= ??? +-1、设其中则Cov(,)=____. 10 31 2~(,),1,,10,()()_________i i i i X N i W X X μμμ=' ∑=--∑L 、设则=服从。 ()1 2 34 433,4 92,32 16___________________ X x x x R -?? ?'==-- ? ?-? ? =∑、设随机向量且协方差矩阵则它的相关矩阵 4、 __________， __________， ________________。 215,1,,16(,),(,)15[4()][4()]~___________i p p X i N X A N T X A X μμμμ-=∑∑'=--L 、设是来自多元正态总体和分别为正态总体的样本均值和样本离差矩阵,则。 12332313116421(,,)~(,),(1,0,2),441, 2142X x x x N x x x x x μμ-?? ?'=∑=-∑=-- ? ?-?? -?? + ??? 、设其中试判断与是否独立？ (), 1 2 3设X=x x x 的相关系数矩阵通过因子分析分解为 211X h = 的共性方差111X σ= 的方差21X g = 1公因子f 对的贡献1213 30.93400.1280.9340.4170.8351100.4170.8940.02700.8940.44730.8350.4470.10320 13 R ? ? - ????? ? -?? ? ? ?=-=-+ ? ? ? ??? ? ? ????? ? ???
应用多元统计分析试题及答案
一、填空题： 1、多元统计分析是运用数理统计方法来研究解决多指标问题的理论和方法. 2、回归参数显著性检验是检验解释变量对被解释变量的影响是否著. 3、聚类分析就是分析如何对样品（或变量）进行量化分类的问题。通常聚类分析分为 Q型聚类和 R型聚类。 4、相应分析的主要目的是寻求列联表行因素A 和列因素B 的基本分析特征和它们的最优联立表示。 5、因子分析把每个原始变量分解为两部分因素：一部分为公共因子，另一部分为特殊因子。 6、若 () (,), P x N αμα ∑=1,2,3….n且相互独立，则样本均值向量x服从的分布 为_x~N(μ，Σ/n)_。 二、简答 1、简述典型变量与典型相关系数的概念，并说明典型相关分析的基本思想。 在每组变量中找出变量的线性组合，使得两组的线性组合之间具有最大的相关系数。选取和最初挑选的这对线性组合不相关的线性组合，使其配对，并选取相关系数最大的一对，如此下去直到两组之间的相关性被提取完毕为止。被选出的线性组合配对称为典型变量，它们的相关系数称为典型相关系数。 2、简述相应分析的基本思想。 相应分析，是指对两个定性变量的多种水平进行分析。设有两组因素A和B，其中因素A包含r个水平，因素B包含c个水平。对这两组因素作随机抽样调查，得到一个rc的二维列联表，记为。要寻求列联表列因素A和行因素B的基本分析特征和最优列联表示。相应分析即是通过列联表的转换，使得因素A
和因素B 具有对等性，从而用相同的因子轴同时描述两个因素各个水平的情况。把两个因素的各个水平的状况同时反映到具有相同坐标轴的因子平面上，从而得到因素A 、B 的联系。 3、简述费希尔判别法的基本思想。 从k 个总体中抽取具有p 个指标的样品观测数据，借助方差分析的思想构造一个线性判别函数 系数： 确定的原则是使得总体之间区别最大，而使每个总体内部的离差最小。将新样品的p 个指标值代入线性判别函数式中求出 值，然后根据判别一定的规则，就可以判别新的样品属于哪个总体。 5、简述多元统计分析中协差阵检验的步骤 第一，提出待检验的假设 和H1； 第二，给出检验的统计量及其服从的分布； 第三，给定检验水平，查统计量的分布表，确定相应的临界值，从而得到否定域； 第四，根据样本观测值计算出统计量的值，看是否落入否定域中，以便对待判假设做出决策（拒绝或接受）。 协差阵的检验 检验0=ΣΣ 0p H =ΣI ： /2 /21exp 2np n e tr n λ???? =-?? ? ???? S S 00p H =≠ΣΣI ： /2 /2**1exp 2np n e tr n λ???? =-?? ? ???? S S
多元统计分析期末考试考点整理
二名词解释 1、多元统计分析：多元统计分析是运用数理统计的方法来研究多变量（多指标）问题的理论和方法，是一元统计学的推广 2、聚类分析:是根据“物以类聚”的道理，对样品或指标进行分类的一种多元统计分析方法。将个体或对象分类，使得同一类中的对象之间的相似性比与其他类的对象的相似性更强。使类内对象的同质性最大化和类间对象的异质性最大化 3、随机变量：是指变量的值无法预先确定仅以一定的可能性(概率)取值的量。它是由于随机而获得的非确定值，是概率中的一个基本概念。即每个分量都是随机变量的向量为随机向量。类似地，所有元素都是随机变量的矩阵称为随机矩阵。 4、统计量：多元统计研究的是多指标问题,为了了解总体的特征,通过对总体抽样得到代表总体的样本,但因为信息是分散在每个样本上的,就需要对样本进行加工,把样本的信息浓缩到不包含未知量的样本函数中,这个函数称为统计量 三、计算题 解：
答： 答：
题型三解答题 1、简述多元统计分析中协差阵检验的步骤 答： 第一，提出待检验的假设和H1； 第二，给出检验的统计量及其服从的分布； 第三，给定检验水平，查统计量的分布表，确定相应的临界值，从而得到否定域； 第四，根据样本观测值计算出统计量的值，看是否落入否定域中，以便对待判假设做出决策（拒绝或接受）。 2、简述一下聚类分析的思想 答：聚类分析的基本思想，是根据一批样品的多个观测指标，具体地找出一些能够度量样品或指标之间相似程度的统计量，然后利用统计量将样品或指标进行归类。把相似的样品或指标归为一类，把不相似的归为其他类。直到把所有的样品（或指标）聚合完毕. 3、多元统计分析的内容和方法 答：1、简化数据结构,将具有错综复杂关系的多个变量综合成数量较少且互不相关的变量，使研究问题得到简化但损失的信息又不太多。（1）主成分分析（2）因子分析（3）对应分析等
多元统计分析期末复习试题
第一章： 多元统计分析研究的容（5点） 1、简化数据结构（主成分分析） 2、分类与判别（聚类分析、判别分析） 3、变量间的相互关系（典型相关分析、多元回归分析） 4、多维数据的统计推断 5、多元统计分析的理论基础 第二三章： 二、多维随机变量的数字特征 1、随机向量的数字特征 随机向量X均值向量： 随机向量X与Y的协方差矩阵： 当X=Y时Cov（X，Y）=D（X）；当Cov（X，Y）=0 ，称X，Y不相关。 随机向量X与Y的相关系数矩阵： 2、均值向量协方差矩阵的性质 (1).设X，Y为随机向量，A，B 为常数矩阵 E（AX）=AE（X）； E（AXB）=AE（X）B; D(AX)=AD(X)A’; )' ,..., , ( ) , , , ( 2 1 2 1P p EX EX EX EXμ μ μ = ' = )' )( ( ) , cov(EY Y EX X E Y X- - = q p ij r Y X ? =) ( ) , (ρ
Cov(AX,BY)=ACov(X,Y)B ’; (2).若X ，Y 独立，则Cov(X,Y)＝０，反之不成立． (3).X 的协方差阵D(X)是对称非负定矩阵。例2.见黑板 三、多元正态分布的参数估计 2、多元正态分布的性质 (1).若 ,则E(X)= ,D(X)= . 特别地，当 为对角阵时， 相互独立。 (2).若 ，Ａ为sxp 阶常数矩阵，d 为s 阶向量， ＡＸ＋d ～ . 即正态分布的线性函数仍是正态分布． (3).多元正态分布的边缘分布是正态分布，反之不成立． (4).多元正态分布的不相关与独立等价． 例３．见黑板． 三、多元正态分布的参数估计 (1)“ 为来自p 元总体X 的（简单）样本”的理解---独立同截面． (2)多元分布样本的数字特征---常见多元统计量 样本均值向量 ＝ 样本离差阵Ｓ＝ 样本协方差阵Ｖ＝ S ;样本相关阵Ｒ (3) ,Ｖ分别是 和 的最大似然估计； (4)估计的性质 是 的无偏估计； ,Ｖ分别是 和 的有效和一致估计； ； Ｓ～ ， 与Ｓ相互独立； 第五章 聚类分析： 一、什么是聚类分析 ：聚类分析是根据“物以类聚”的道理，对样品或指标进行分类的一种多元统计分析方法。用于对事物类别不清楚，甚至事物总共可能有几类都不能确定的情况下进行事物分类的场合。聚类方法：系统聚类法（直观易懂）、动态聚类法（快）、有序聚类法（保序）...... Q-型聚类分析（样品）R-型聚类分析（变量） 变量按照测量它们的尺度不同，可以分为三类：间隔尺度、有序尺度、名义尺度。 二、常用数据的变换方法:中心化变换、标准化变换、极差正规化变换、对数变换（优缺点） 1、中心化变换（平移变换）：中心化变换是一种坐标轴平移处理方法，它是先求出每个变量的样本平均值，再从原始数据中减去该变量的均值，就得到中心化变换后的数据。不改变样本间的相互位置，也不改变变量间的相关性。 2、标准化变换：首先对每个变量进行中心化变换，然后用该变量的标准差进行标准化。 经过标准化变换处理后，每个变量即数据矩阵中每列数据的平均值为0，方差为1，且也不再具有量纲，同样也便于不同变量之间的比较。 3、极差正规化变换（规格化变换）：规格化变换是从数据矩阵的每一个变量中找出其最大值和最小值，这两者之差称为极差，然后从每个变量的每个原始数据中减去该变量中的最小值，再除以极差。经过规格化变换后，数据矩阵中每列即每个变量的最大数值为1，最小数值为0，其余数据取值均在0－1之间；且变换后的数据都不再具有量纲，便于不同的变量之间的比较。 4、对数变换：对数变换是将各个原始数据取对数，将原始数据的对数值作为变换后的新值。它将具有指数特征的数据结构变换为线性数据结构。 三、样品间相近性的度量 研究样品或变量的亲疏程度的数量指标有两种：距离，它是将每一个样品看作p 维空),(~∑μP N X μ∑μp X X X ,,,21 ),(~∑μP N X ),('A A d A N s ∑+μ)()1(,,n X X X )',,,(21p X X X )')(()()(1X X X X i i n i --∑=n 1X μ ∑μX )1,(~∑n N X P μ),1(∑-n W p X X
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多元统计分析 题型一定义、名词解释 题型二计算（协方差阵、模糊矩阵） 题型三解答题 一、定义 二名词解释 1、多元统计分析：多元统计分析是运用数理统计的方法来研究多变量（多指标）问题的理论和方法，是一元统计学的推广 2、聚类分析:是根据“物以类聚”的道理，对样品或指标进行分类的一种多元统计分析方法。将个体或对象分类，使得同一类中的对象之间的相似性比与其他类的对象的相似性更强。使类内对象的同质性最大化和类间对象的异质性最大化 3、随机变量：是指变量的值无法预先确定仅以一定的可能性(概率)取值的量。它是由于随机而获得的非确定值，是概率中的一个基本概念。即每个分量都是随机变量的向量为随机向量。类似地，所有元素都是随机变量的矩阵称为随机矩阵。 4、统计量：多元统计研究的是多指标问题,为了了解总体的特征,通过对总体抽样得到代表总体的样本,但因为信息是分散在每个样本上的,就需要对样本进行加工,把样本的信息浓缩到不包含未知量的样本函数中,这个函数称为统计量 三、计算题 解： 答：
答： 题型三解答题 1、简述多元统计分析中协差阵检验的步骤 答： 第一，提出待检验的假设和H1； 第二，给出检验的统计量及其服从的分布； 第三，给定检验水平，查统计量的分布表，确定相应的临界值，从而得到否定域； 第四，根据样本观测值计算出统计量的值，看是否落入否定域中，以便对待判假设做出决策（拒绝或接受）。 2、简述一下聚类分析的思想 答：聚类分析的基本思想，是根据一批样品的多个观测指标，具体地找出一些能够度量样品或指标之间相似程度的统计量，然后利用统计量将样品或指标进行归类。把相似的样品或指标归为一类，把不相似的归为其他类。直到把所有的样品（或指标）聚合完毕. 3、多元统计分析的内容和方法 答：1、简化数据结构,将具有错综复杂关系的多个变量综合成数量较少且互不相关的变量，使研究问题得到简化但损失的信息又不太多。（1）主成分分析（2）因子分析（3）对应分析等 2、分类与判别,对所考察的变量按相似程度进行分类。（1）聚类分析：根据分析样本的各研究变量，将性质相似的样本归为一类的方法。（2）判别分析：判别样本应属何种类型的统计方法。
多元统计分析期末试题
一、填空题（20分） 1、若),2,1(),,(~)(n N X p =∑αμα 且相互独立，则样本均值向量X 2、变量的类型按尺度划分有_间隔尺度_、_有序尺度_、名义尺度_。 3、判别分析是判别样品 所属类型 的一种统计方法，常用的判别方法有__距离判别法_、Fisher 判别法、Bayes 判别法、逐步判别法。 4、Q 型聚类是指对_样品_进行聚类，R 型聚类是指对_指标(变量)_进行聚类。 5、设样品),2,1(,),,('21n i X X X X ip i i i ==，总体),(~∑μp N X ，对样品进行分类常用的距离有：明氏距 离，马氏距离2 ()ij d M =)()(1j i j i x x x x -∑'--，兰氏距离()ij d L 6、因子分析中因子载荷系数ij a 的统计意义是_第i 个变量与第j 个公因子的相关系数。 7、一元回归的数学模型是：εββ++=x y 10，多元回归的数学模型是： εββββ++++=p p x x x y 22110。 8、对应分析是将 R 型因子分析和Q 型因子分析结合起来进行的统计分析方法。 9、典型相关分析是研究两组变量之间相关关系的一种多元统计方法。 二、计算题（60分） 1、设三维随机向量),(~3∑μN X ，其中??? ? ? ??=∑200031014，问1X 与2X 是否独立？),(21'X X 和3X 是否 独立？为什么？ 解： 因为1),cov(21=X X ，所以1X 与2X 不独立。 把协差矩阵写成分块矩阵??? ? ??∑∑ ∑∑=∑22211211 ，),(21'X X 的协差矩阵为11∑因为12321),),cov((∑='X X X ，而012=∑，所以),(21'X X 和3X 是不相关的，而正态分布不相关与相互独 立是等价的，所以),(21'X X 和3X 是独立的。
应用多元统计分析习题解答_朱建平_第九章
Abbo无私奉献，只收1个金币，BS收5个金币的… 何老师考简单点啊……
第九章 典型相关分析 9.1 什么是典型相关分析？简述其基本思想。 答： 典型相关分析是研究两组变量之间相关关系的一种多元统计方法。用于揭示两组变量之间的内在联系。典型相关分析的目的是识别并量化两组变量之间的联系。将两组变量相关关系的分析转化为一组变量的线性组合与另一组变量线性组合之间的相关关系。 基本思想： （1）在每组变量中找出变量的线性组合，使得两组的线性组合之间具有最大的相关系数。即： 若设(1) (1)(1) (1)12(,,,)p X X X =X 、(2) (2)(2)(2) 12(,,,)q X X X =X 是两组相互关联的随机变量， 分别在两组变量中选取若干有代表性的综合变量Ui 、Vi ，使是原变量的线性组合。 在(1)(1)(1)(2)()()1D D ''==a X b X 的条件下，使得(1)(1)(1)(2)(,)ρ''a X b X 达到最大。（2）选取和最初挑选的这对线性组合不相关的线性组合，使其配对，并选取相关系数最大的一对。 （3）如此继续下去，直到两组变量之间的相关性被提取完毕为此。 9.2 什么是典型变量？它具有哪些性质？ 答：在典型相关分析中，在一定条件下选取系列线性组合以反映两组变量之间的线性关系，这被选出的线性组合配对被称为典型变量。具体来说， ()(1) ()(1)()(1)()(1) 11 22i i i i i P P U a X a X a X ' =+++a X ()(2) ()(2)()(2) ()(2) 11 22i i i i i q q V b X b X b X ' =+++b X 在(1)(1)(1)(2)()()1D D ''==a X b X 的条件下，使得(1)(1)(1)(2)(,)ρ''a X b X 达到最大，则称 (1)(1)'a X 、(1)(2) 'b X 是(1)X 、(2)X 的第一对典型相关变量。 典型变量性质： 典型相关量化了两组变量之间的联系，反映了两组变量的相关程度。 1. ()1,()1 (1,2,,)k k D U D V k r === (,)0, (,)0 ()i j i j C ov U U C ov V V i j ==≠ 2. 0 (,1,2,,)(,)0()0()i i j i j i r C ov U V i j j r λ≠==?? =≠??>? 9.3 试分析一组变量的典型变量与其主成分的联系与区别。 答：一组变量的典型变量和其主成分都是经过线性变换计算矩阵特征值与特征向量得出的。主成分分析只涉及一组变量的相互依赖关系而典型相关则扩展到两组变量之间的相互依赖关系之中，度量了这两组变量之间联系的强度。 ()(1)()(1)()(1)()(1) 1122i i i i i P P U a X a X a X '=+++a X ()(2)()(2)()(2)()(2) 1122i i i i i q q V b X b X b X '=+++b X (1)(1)(1)(1)1 2 (,,,)p X X X = X 、(2)(2)(2)(2)1 2 (,,,)q X X X = X
应用多元统计分析课后答案
应用多元统计分析课后答案 第五章 聚类分析 判别分析和聚类分析有何区别 答：即根据一定的判别准则，判定一个样本归属于哪一类。具体而言，设有n 个样本，对每个样本测得p 项指标（变量）的数据，已知每个样本属于k 个类别（或总体）中的某一类，通过找出一个最优的划分，使得不同类别的样本尽可能地区别开，并判别该样本属于哪个总体。聚类分析是分析如何对样品（或变量）进行量化分类的问题。在聚类之前，我们并不知道总体，而是通过一次次的聚类，使相近的样品（或变量）聚合形成总体。通俗来讲，判别分析是在已知有多少类及是什么类的情况下进行分类，而聚类分析是在不知道类的情况下进行分类。 试述系统聚类的基本思想。 答：系统聚类的基本思想是：距离相近的样品（或变量）先聚成类，距离相远的后聚成类，过程一直进行下去，每个样品（或变量）总能聚到合适的类中。 对样品和变量进行聚类分析时， 所构造的统计量分别是什么简要说明为什么这样构造 答：对样品进行聚类分析时，用距离来测定样品之间的相似程度。因为我们把n 个样本看作p 维空间的n 个点。点之间的距离即可代表样品间的相似度。常用的距离为 （一）闵可夫斯基距离：1/1 ()() p q q ij ik jk k d q X X ==-∑ q 取不同值，分为 （1）绝对距离（1q =） 1 (1)p ij ik jk k d X X ==-∑ （2）欧氏距离（2q =） 21/2 1 (2)() p ij ik jk k d X X ==-∑ （3）切比雪夫距离（q =∞）
1()max ij ik jk k p d X X ≤≤∞=- （二）马氏距离 （三）兰氏距离 对变量的相似性，我们更多地要了解变量的变化趋势或变化方向，因此用相关性进行衡量。 将变量看作p 维空间的向量，一般用 （一）夹角余弦 （二）相关系数 在进行系统聚类时，不同类间距离计算方法有何区别选择距离公式应遵循哪些原则 答： 设d ij 表示样品X i 与X j 之间距离，用D ij 表示类G i 与G j 之间的距离。 （1）. 最短距离法 ,min i k j r kr ij X G X G D d ∈∈= min{,}kp kq D D = （2）最长距离法 ,max i p j q pq ij X G X G D d ∈∈= 21 ()()()ij i j i j d M -'=--X X ΣX X 11()p ik jk ij k ik jk X X d L p X X =-=+∑ cos p ik jk ij X X θ= ∑ ()() p ik i jk j ij X X X X r --= ∑ ij G X G X ij d D j j i i ∈∈= ,min
多元统计分析期末试题
1 、填空题(20分) 1、 若X Q ~ N p (g ,(a =1,2,…n)且相互独立，则样本均值向量X 服从的分布为X ~ N p (g^|。 2、 变量的类型按尺度划分有 _间隔尺度_、_有序尺度_、名义尺度_。 3、 判别分析是判别样品 所属类型 的一种统计方法，常用的判别方法有 —距离判别法_、Fisher 判别法、 Bayes 判别法、逐步判别法。 4、 Q 型聚类是指对_样品-进行聚类，R 型聚类是指对_指标(变量)_进行聚类。 5、 设样品X i =(X i1,X i2^ X ip )',(i =1,2，…n)，总体X~N p (」「)，对样品进行分类常用的距离有： 明氏距离d j (q)=(壬|Xy q i j i j 6、 因子分析中因子载荷系数a j 的统计意义是—第i 个变量与第j 个公因子的相关系数。 7、 一元回归的数学模型是：y 曆x 童，多元回归的数学模型是 8、 对应分析是将 R 型因子分析和Q 型因子分析结合起来进行的统计分析方法。 9、 典型相关分析是研究两组变量之间 相关关系的一种多元统计方法。 、计算题(60分) '4 1 1、设三维随机向量X~N 3(?2)，其中送=1 3 e 0 独立？为什么? 解：因为cov(X 1,X 2^1，所以X 1与X 2不独立。 把协差矩阵写成分块矩阵瓦=f 11 ；12丨，(X 1,X 2/的协差矩阵为瓦 11 因为 —21 - 22 cov((X 1,X 2),X 3)=為12，而' 12 =0，所以(X 1, X 2)和X 3是不相关的，而正态分布不相关与相互独 立是等价的，所以(X 1,X 2)和X 3是独立的。 0，问X 1与X 2是否独立? 2> (X 1,X 2)和X 3是否
多元统计分析期末考试考点
多元统计分析期末考试考 点 The following text is amended on 12 November 2020.
二名词解释 1、多元统计分析：多元统计分析是运用数理统计的方法来研究多变量（多指标）问题的理论和方法，是一元统计学的推广 2、聚类分析:是根据“物以类聚”的道理，对样品或指标进行分类的一种多元统计分析方法。将个体或对象分类，使得同一类中的对象之间的相似性比与其他类的对象的相似性更强。使类内对象的同质性最大化和类间对象的异质性最大化 3、随机变量：是指的值无法预先确定仅以一定的可能性(概率)取值的量。它是由于随机而获得的非确定值，是概率中的一个基本概念。即每个分量都是随机变量的向量为随机向量。类似地，所有元素都是随机变量的矩阵称为随机矩阵。 4、统计量：多元统计研究的是多指标问题,为了了解总体的特征,通过对总体抽样得到代表总体的样本,但因为信息是分散在每个样本上的,就需要对样本进行加工,把样本的信息浓缩到不包含未知量的样本函数中,这个函数称为统计量 三、计算题 解： 答： 答： 题型三解答题
1、简述多元统计分析中协差阵检验的步骤 答： 第一，提出待检验的假设和H1； 第二，给出检验的统计量及其服从的分布； 第三，给定检验水平，查统计量的分布表，确定相应的临界值，从而得到否定域；第四，根据样本观测值计算出统计量的值，看是否落入否定域中，以便对待判假设做出决策（拒绝或接受）。 2、简述一下聚类分析的思想 答：聚类分析的基本思想，是根据一批样品的多个观测指标，具体地找出一些能够度量样品或指标之间相似程度的统计量，然后利用统计量将样品或指标进行归类。把相似的样品或指标归为一类，把不相似的归为其他类。直到把所有的样品（或指标）聚合完毕. 3、多元统计分析的内容和方法 答：1、简化数据结构,将具有错综复杂关系的多个变量综合成数量较少且互不相关的变量，使研究问题得到简化但损失的信息又不太多。（1）主成分分析（2）因子分析（3）对应分析等
多元统计分析期末试题及答案
1、设X ~ N 2(, ),其中X =(x 1,x 2),=( 1,2), = 2 , 2 I 2 1 2 1 则Cov(x +x ,x -x )= ________ . 10 2、设X i ~ N 3(,),i =1,L ,10,则W = ( X i -)(X i - ) i =1 服从 ______________ 。 4 - 4 3 3、设随机向量X = (x 1 x 2 x 3 ) ,且协方差矩阵 = -4 9 -2, 3 - 2 16 则它的相关矩阵R = ____________________ 4、 设X=(x 1 x 2 x 3 ), 的相关系数矩阵通过因子分析分解为 X 1 的共性方差h 1 2 = _______________ X _1 ， 的 方 差 11 = 公 因子f 1对X 的贡献g 12 = 5、设X i ,i =1,L,16 是来自多元正态总体 N p ( , ),X 和A 分别为正态总体N p (,) 的样本均值和样本离差矩阵,则T 2=15[4(X -)] A - 1[4(X - )] ~ ____________________ 。 16 - 4 2 1、设 X =(x 1 ,x 2 ,x 3 )~ N 3(, ),其中= (1,0, -2), = -4 4 -1 2 - 1 4 试判断x 1 + 2x 3 与 x 2 - x 3 是否独立？ I 、设随机向量X 的均值向量、协方差矩阵分别为 、 , R = 1 2 3 0.934 0.128 -0.417 0.835 0= -0.417 0.894 0.027 0.894 0.447 0.835 0.447 0.103 1 1 3 0
北京理工大学数学专业应用多元统计分析期末试题(MTH17094)
课程编号：MTH17094 北京理工大学2012-2013学年第一学期 2010级数学学院 应用多元统计分析（A ） 一、已知()123,,X X X X '=的特征函数为 ()(){} 222 12311231223,,exp 0.522222t t t it t t t t t t t Φ=-++++ （1）求()123,,X X X X '=的分布； （2）令2Y X =，求当Y y =给定时，1Z X =的条件分布； （3）求222123122322222U X X X X X X X =++++的分布 （4）令222123132V X X X X X =+++，判断（3）中的U 与V 是否相互独立？给出理由。 二、设有两个总体：1G 和2G ，由训练样本计算得 () ()()()121232222,3,3,2,,2223X X A A ????''====???????? ，其中1211n n ==。 （1）试求Fisher 线性判别函数； （2）试用Fisher 线性判别函数建立马氏距离判别准则。 三、下面是四个样品两两间的欧氏距离矩阵：() 010*******D ???? ? ?=?????? 请用最长距离法作系统聚类，并画出谱系聚类图。 四、设()123,,X X X X '=的均值向量()0,0,0μ'=，协方差阵为10.50.50.510.50.50.51????∑=?????? （1）求三个主成分的贡献率； （2）求总体X 的第一主成分。 五、设(),1,,i X i n = 为来自正态总体()2,N μ∑的简单随机样本，11a a O a a +?? ∑=>??+??，其中a>-0.5未知，求： （1）,a μ的最大似然估计； （2）,0.5a μ+的最大似然估计的分布。
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1、设X~N 2( , ),其中 X ( x 1 , x 2 ), ( 1 , 2 1 2 ), , 1 则 Cov( x 1 x 2 , x 1 x 2 )=____. 10 2、设 X i ~ N 3 ( , ), i 1, ,10, 则 W = ( X i )( X i ) i 1 服从 _________ 。 4 4 3 3、设随机向量 X x 1 x 2 x 3 , 且协方差矩阵 4 9 2 , 3 2 16 则它的相关矩阵 R ___________________ 4、 设 X= x 1 x 2 x 3 , 的相关系数矩阵通过因子分析分解为 1 1 2 3 3 0.934 0 0.128 0.417 1 R 1 0 0.417 0.934 0.835 3 0.894 0.894 0.027 0.835 0 0.447 2 0 1 0.447 0.103 3 2 __________， __________ ， X 1的共性方差 h 1 X 1的方差 11 公因子 f 1对 X 的贡献 g 12 ________________。 5、设 X i , i 1, ,16 是来自多元正态总体 N p ( , ), X 和 A 分别为正态总体 N p ( , ) 的样本均值和样本离差矩阵 , 则 T 2 15[4( X )] A 1[4( X)] ~ ___________ 。 16 4 2 、设 ( x 1 , x 2 , x 3) ~ N 3 ( , ), 其中 (1,0, 2) ,4 4 1 , 1X 2 1 4 试判断 x 1 2 x 3与 x 2 x 3 是否独立？ x 1
多元统计分析期末试题及标准答案
多元统计分析期末试题及答案
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
22121212121 ~(,),(,),(,),, 1X N X x x x x x x ρμμμμσρ ?? ∑==∑= ??? +-1、设其中则Cov(,)=____. 10 31 2~(,),1,,10,()()_________i i i i X N i W X X μμμ=' ∑=--∑L 、设则=服从。 ()1 2 34 433,4 92, 3216___________________ X x x x R -?? ?'==-- ? ?-? ? =∑、设随机向量且协方差矩阵则它的相关矩阵 4、 __________， __________， ________________。 215,1,,16(,),(,)15[4()][4()]~___________i p p X i N X A N T X A X μμμμ-=∑∑'=--L 、设是来自多元正态总体和分别为正态总体的样本均值和样本离差矩阵,则。 12332313116421(,,)~(,),(1,0,2),441, 2142X x x x N x x x x x μμ-?? ?'=∑=-∑=-- ? ?-?? -?? + ??? 、设其中试判断与是否独立？ (), 1 2 3设X=x x x 的相关系数矩阵通过因子分析分解为 211X h = 的共性方差111X σ= 的方差21X g = 1公因子f 对的贡献121330.93400.1280.9340.4170.8351100.4170.8940.02700.8940.44730.8350.4470.1032013 R ? ? - ????? ? -?? ? ? ?=-=-+ ? ? ? ??? ? ? ????? ? ???
应用多元统计分析考试要点
1 简述欧氏距离与马氏距离的区别和联系。 答： 设p 维空间中的两点X =和Y =。则欧氏距离为。欧氏距离的局限有①在多元数据分析中，其度量不合理。②会受到实际问题中量纲的影响。 设X,Y 是来自均值向量为，协方差为的总体G 中的p 维样本。则马氏距离为D(X,Y)=。当即单位阵时，D(X,Y)==即欧氏距离。 因此，在一定程度上，欧氏距离是马氏距离的特殊情况，马氏距离是欧氏距离的推广。 2 试述判别分析的实质。 答：判别分析就是希望利用已经测得的变量数据，找出一种判别函数，使得这一函数具有某种最优性质，能把属于不同类别的样本点尽可能地区别开来。设R1，R2，…，Rk 是p 维空间R p 的k 个子集，如果它们互不相交，且它们的和集为，则称为的一个划分。判别分析问题实质上就是在某种意义上，以最优的性质对p 维空间构造一个“划分”，这个“划分”就构成了一个判别规则。 3 简述距离判别法的基本思想和方法。 答：距离判别问题分为①两个总体的距离判别问题和②多个总体的判别问题。其基本思想都是分别计算样本与各个总体的距离（马氏距离），将距离近的判别为一类。 ①两个总体的距离判别问题 设有协方差矩阵∑相等的两个总体G 1和G 2，其均值分别是μ1和μ2，对于一个新的样品X ， 要判断它来自哪个总体。计算新样品X 到两个总体的马氏距离D 2（X ，G 1）和D 2 （X ，G 2），则 X ，D 2（X ，G 1）D 2 （X ，G 2） X ，D 2（X ，G 1）>D 2 （X ，G 2， 具体分析， 2212(,)(,) D G D G -X X 111122111111 111222********* ()()()() 2(2)2()-----------''=-----''''''=-+--+'''=-+-X μΣX μX μΣX μX ΣX X ΣμμΣμX ΣX X ΣμμΣμX ΣμμμΣμμΣμ11211212112122()()() 2() 22()2() ---''=-++-' +? ?=--- ?? ?''=--=--X ΣμμμμΣμμμμX ΣμμX μααX μ 记()()W '=-X αX μ则判别规则为 X ，W(X) X ，W(X)<0 ②多个总体的判别问题。 设有k 个总体k G G G ,,,21 ，其均值和协方差矩阵分别是k μμμ,,,21 和k ΣΣΣ,,,21 ，且ΣΣΣΣ====k 21。计算样本到每个总体的马氏距离，到哪个总体的距离最小就属于哪个总体。 具体分析，2 1 (,)()()D G ααα-'=--X X μΣX μ
多元统计分析期末试题及答案
多元统计分析期末试题 及答案 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
4、 __________， __________， ________________。 (1) 试从Σ出发求X 的第一总体主成分； (2) 试问当 取多大时才能使第一主成分的贡献率达95％以上。 1、0 2、W 3（10，∑） 3、 2113 4211361114 6 R ? ?- ? ? ?=- - ? ? ?- ??? 4、 1 5、T 2（15，p ）或（15p/(16-p)）F （p ，n-p ）一、填空题： 1、多元统计分析是运用 数理统计 方法来研究解决 多指标 问题的理论和方法. 2、回归参数显着性检验是检验 解释变量 对 被解释变量 的影响是否着. 3、聚类分析就是分析如何对样品（或变量）进行量化分类的问题。通常聚类分析分为 Q 型 聚类和 R 型 聚类。 4、相应分析的主要目的是寻求列联表 行因素A 和 列因素B 的基本分析特征和它们的最优联立表示。 5、因子分析把每个原始变量分解为两部分因素：一部分为 公共因子 ，另一部分为 特殊因子 。 6、若() (,),P x N αμα∑=1,2,3….n 且相互独立，则样本均值向量x 服从的分布 为_x ~N(μ，Σ/n)_。 二、简答 1、简述典型变量与典型相关系数的概念，并说明典型相关分析的基本思想。 在每组变量中找出变量的线性组合，使得两组的线性组合之间具有最大的相关系数。选取和最初挑选的这对线性组合不相关的线性组合，使其配对，并选取 ρ (), 1 2 3设X=x x x 的相关系数矩阵通过因子分析分解为 211X h = 的共性方差111X σ= 的方差