高考数学等差数列习题及答案百度文库

一、等差数列选择题

1．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且71124a a -=，则5S =（） A ．15

B ．20

C ．25

D ．30

2．定义

12n

p p p ++

+为n 个正数12,,

,n p p p 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前

n 项的“均倒数”为

12n ，又2n n a b =，则1223

910

111

b b b b b b +++

=（） A ．

17 B ．

1021

C ．

1123 D ．

919

3．设数列{}n a 的前n 项和2

1n S n =+. 则8a 的值为（）．

A ．65

B ．16

C ．15

D ．14

4．数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =，则通项公式是（） A ．32n -

B ．

n - C ．

3122

n - D ．

n + 5．已知数列{}n a 的前n 项和2

21n S n n =+-，则13525a a a a +++

+=（）

A ．350

B ．351

C ．674

D ．675

6．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，315S =，则8a =（） A ．11

B ．12

C ．23

D ．24

7．已知等差数列{}n a 中，前n 项和2

15n S n n =-，则使n S 有最小值的n 是（）

A ．7

B ．8

C ．7或8

D ．9

8．已知数列{}n a 中，132a =

，且满足()*

1112,22

n n n a a n n N -=+≥∈，若对于任意*n N ∈，都有

n a n

≥成立，则实数λ的最小值是（） A ．2

B ．4

C ．8

D ．16

9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若S 2=8，38522a a a +=+，则a 1等于（） A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11

a =

，2n ≥且*n ∈N ，满足120n n n a S S -+=，数列1n S ??

????

的前n 项和为n T ，则下列说法中错误的是（）

A ．21

a =-

B ．

648

211S S S =+

C ．数列{}12n n n S S S +++-的最大项为

712

D ．1121

n n n n n

T T T n n +-=

++ 11．在函数()y f x =的图像上有点列{},n n x y ，若数列{}n x 是等比数列，数列{}n y 是等差数列，则函数()y f x =的解析式可能是（） A ．3(4)f x x =+

B ．2()4f x x =

C ．3()4x

f x ??= ???

D ．4()log f x x =

12．已知数列{}n a 的前项和2

21n S n =+，n *∈N ，则5a =（）

A ．20

B ．17

C ．18

D ．19

13．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知58a =，36S =，则107S S -的值是（） A ．48

B ．60

C ．72

D ．24

14．已知等差数列{}n a 中，161,11a a ==，则数列{}n a 的公差为（） A ．

B ．2

C ．8

D ．13

15．冬春季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列

{}n a ，已知11a =，2

=，且满足()211+-=+-n

n n a a （n *∈N ），则该医院30天入

院治疗流感的共有（）人

A ．225

B ．255

C ．365

D ．465

16．在等差数列{}n a 的中，若131,5a a ==，则5a 等于（） A ．25

B ．11

C ．10

D ．9

17．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若718a a a -<<-，则必定有（） A ．70S >，且80S < B ．70S <，且80S > C ．70S >，且80S >

D ．70S <，且80S <

18．已知数列{}n a 的前n 项和()2

n S n n N =∈，则{}n

a 的通项公式为（）

A ．2n a n =

B ．21n a n =-

C ．32n a n =-

D ．1,1

2,2n n a n n =?=?

≥?

19．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7916+=a a ，则15S =（） A ．60

B ．120

C ．160

D ．240

20．设n S 是等差数列{}n a （*n N ∈）的前n 项和，且141,16a S ==，则7a =（） A ．7

B ．10

C ．13

D ．16

二、多选题

21．已知数列{}n a 满足：12a =，当2n ≥时，)

12n a =

-，则关于数列

{}n a 的说法正确的是（）

A ．27a =

B ．数列{}n a 为递增数列

C ．2

21n a n n =+-

D ．数列{}n a 为周期数列22．题目文件丢

失！

23．题目文件丢失！

24．(多选题)已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且2

3n n n S a +=，则1

n n a a -的值不可能为

（） A ．2

B ．5

C ．3

D ．4

25．已知数列{}n a ：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（） A ．68S a = B ．733S =

C ．135********a a a a a +++

+= D ．222

2123202020202021a a a a a a ++++=

26．已知数列0,2,0,2,0,2,

，则前六项适合的通项公式为（）

A ．1(1)n

n a =+-

B ．2cos

n n a π= C ．(1)2sin

n n a π

+= D ．1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--

27．已知等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和为n S ，且12a 、8S 、9S 成等差数列，则下列四个选项中正确的有（） A ．59823a a S +=

B ．27S S =

C ．5S 最小

D ．50a =

28．已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 2

5,n S n n =-则下列说法正确的是（）

A ．{}n a 为等差数列

B ．0n a >

C ．n S 最小值为214

D ．{}n a 为单调递增数列

29．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S (

n N ∈，公差0d ≠，6

90S

=，7a 是3a 与9

a 的等比中项，则下列选项正确的是（） A ．2d =-

B ．1

20a =-

C ．当且仅当10n =时，n S 取最大值

D ．当0n

S <时，n 的最小值为22

30．已知数列{}n a 满足：13a =，当2n ≥

时，)

11n a =

-，则关于数列

{}n a 说法正确的是（）

A ．28a =

B ．数列{}n a 为递增数列

C ．数列{}n a 为周期数列

D ．2

2n a n n =+

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、等差数列选择题 1．B 【分析】

设出数列{}n a 的公差，利用等差数列的通项公式及已知条件，得到124a d +=，然后代入求和公式即可求解【详解】

设等差数列{}n a 的公差为d ，则由已知可得()()111261024a d a d a d +-+=+=，所以()51154

55254202

S a d a d ?=+=+=?= 故选：B 2．D 【分析】

由题意结合新定义的概念求得数列的前n 项和，然后利用前n 项和求解通项公式，最后裂项求和即可求得最终结果. 【详解】

设数列{}n a 的前n 项和为n S ，由题意可得：12n n S n

=，则：2

2n S n =，当1n =时，112a S ==，

当2n ≥时，142n n n a S S n -=-=-，且14122a =?-=，据此可得 42n a n =-，故212n

n a b n =

=-，()()1

11111212122121n n b b n n n n +??==- ?-+-+??，据此有：

1223910

1111111111233517191.21891919b b b b b b +++

????????=

-+-++- ? ? ???????

????

=?= 故选：D 3．C 【分析】

利用()12n n n a S S n -=-≥得出数列{}n a 的通项公差，然后求解8a . 【详解】

由2

1n S n =+得，12a =，()2

111n S n -=-+，

所以()2

21121n n n a S S n n n -=-=--=-，所以2,1

21,2n n a n n =?=?-≥?

，故828115a =?-=.

故选：C. 【点睛】

本题考查数列的通项公式求解，较简单，利用()12n n n a S S n -=-≥求解即可. 4．C 【分析】

根据题中条件，求出等差数列的公差，进而可得其通项公式. 【详解】

因为数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =，则公差为313

a a d -=

=，因此通项公式为()331

11222

n a n n =+-=-. 故选：C. 5．A 【分析】

先利用公式11,1

,2n n

n S n a S S n -=?=?-≥?求出数列{}n a 的通项公式，再利用通项公式求出

13525a a a a +++

+的值.

【详解】

当1n =时，2

1112112a S ==+?-=；

当2n ≥时，()

()()2

121121121n n n a S S n n n n n -??=-=+---+--=+??

12a =不适合上式，

2,121,2

n n a n n =?∴=?+≥?.

因此，()()

3251352512127512235022

a a a a a a ?+?+++++=+

=+=；

故选：A. 【点睛】

易错点睛：利用前n 项和n S 求通项n a ，一般利用公式11,1

,2n n

n S n a S S n -=?=?-≥?，但需要验证

1a 是否满足()2n a n ≥.

6．C 【分析】

由题设求得等差数列{}n a 的公差d ，即可求得结果. 【详解】

32153S a ==，25a ∴=， 12a =，∴公差213d a a =-=， 81727323a a d ∴=+=+?=，

故选：C. 7．C 【分析】

215n S n n =-看作关于n 的二次函数，结合二次函数的图象与性质可以求解．

【详解】

152251524n S n n n ??=-=--

?，

∴数列{}n S 的图象是分布在抛物线2

1522524y x ??=--

?上的横坐标为正整数的离散的

点．

又抛物线开口向上，以15

2x =为对称轴，且1515|

7822

-=-|，所以当7,8n =时，n S 有最小值．故选：C 8．A 【分析】将11122

n n n a a -=

+变形为11221n n n n a a --=+，由等差数列的定义得出2

2n n n a +=，从而得

出()

22n

n n λ+≥，求出()max

22n n n +??????的最值，即可得出答案. 【详解】因为2n ≥时，111

n n n a a -=

+，所以11221n n n n a a --=+，而1123a = 所以数列{

}

n a 是首项为3公差为1的等差数列，故22n

n a n =+，从而2

n n n a +=

又因为

n a n λ

≥恒成立，即()22n

n n λ+≥恒成立，所以()max

22n n n λ+??≥????. 由()()()

()()()()

*121322,221122n n n

n n n n n n n n n n n +-?+++≥??∈≥?

+-+?≥??N 得2n = 所以()()2

max

2222222n n n +?+??

==????，所以2λ≥，即实数λ的最小值是2 故选：A 9．C 【分析】

利用等差数列的下标和性质以及基本量运算，可求出1a ．【详解】

设等差数列{}n a 的公差为d ，

则3856522a a a a a +=+=+，解得652d a a =-=，

212112228S a a a d a =+=+=+=，解得13a =

故选：C 10．D 【分析】

当2n ≥且*

n ∈N 时，由1n n n a S S -=-代入120n

n n a S S -+=可推导出数列1n S ??

????

为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列1n S ??

???

的通项公式，由221a S S =-可判断A 选项的正误；利用n S 的表达式可判断BC 选项的正误；求出n T ，可判断D 选项的正误. 【详解】

当2n ≥且*n ∈N 时，由1n n n a S S -=-，由120n n n a S S -+=可得11111

2020n n n n n n

S S S S S S ----+=?

-+=，整理得

112n n S S --=（2n ≥且n +∈N ）. 则1n S ???

???

为以2为首项，以2为公差的等差数列()12122n n n S ?=+-?=，12n S n ∴=. A 中，当2n =时，221111

424

a S S =-=

-=-，A 选项正确；

B 中，1n S ??

???

为等差数列，显然有648

211S S S =+，B 选项正确； C 中，记()()

1212211221n n n n b S S n n n S ++=+-=

+-++， ()()()

1123111

212223n n n n b S S S n n n ++++=+-=+-+++，

()()()

1111602223223n n n b b n n n n n n ++∴-=

--=-<++++，故{}n b 为递减数列， ()1123max 1117

24612

n b b S S S ∴==+-=

+-=，C 选项正确； D 中，

12n n S =，()()2212

n n n T n n +∴==+，()()112n T n n +∴=++. ()()()()()()111121121

11n n n n T T n n n n n n n n n n n n n n +-=?++?++=+--+++++222122212n n n n n n T =-++=+-≠，D 选项错误.

故选：D ．【点睛】

关键点点睛：利用n S 与n a 的关系求通项，一般利用11,1

n n n S n a S S n -=?=?

-≥?来求解，在变形

过程中要注意1a 是否适用，当利用作差法求解不方便时，应利用1n n n a S S -=-将递推关系转化为有关n S 的递推数列来求解. 11．D 【分析】

把点列代入函数解析式，根据{x n }是等比数列，可知1

n n

x x +为常数进而可求得1n n y y +-的结

果为一个与n 无关的常数，可判断出{y n }是等差数列．【详解】

对于A ，函数3(4)f x x =+上的点列{x n ，y n }，有y n ＝43n x +，由于{x n }是等比数列，所以

n n

x x +为常数，因此1n n y y +-＝()()()()114343441n n n n n x x x x x q +++-+=-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；

对于B ，函数2()4f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝24n x ，由于{x n }是等比数列，所以1

n n

x x +为常数，

因此1n n y y +-＝()

2222

14441n n n x x x q +-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；

对于C ，函数3()4x

f x ??= ???上的点列{x n ，y n }，有y n ＝3()4n x ，由于{x n }是等比数列，所以1

n n

x x +为常数，因此1n n y y +-＝133()()44n n x x

+-＝3

()()144n q

-????

，这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等

差数列；

对于D ，函数4()log f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝4log n x

，由于{x n }是等比数列，所以

n n

x x +为常数，因此1n n y y +-＝1

14444log log log

log n n n n

x x x x q ++-==为常数，故{y n }是等差数列；

故选：D ．【点睛】方法点睛：

判断数列是不是等差数列的方法：定义法，等差中项法. 12．C 【分析】

根据题中条件，由554a S S =-，即可得出结果．【详解】

因为数列{}n a 的前项和2*21,n S n n N =+∈，所以22554(251)(241)18a S S =-=?+-?+=．故选：C ． 13．A 【分析】

根据条件列方程组，求首项和公差，再根据107891093S S a a a a -=++=，代入求值. 【详解】

由条件可知1148

32362a d a d +=??

??+=??

，解得：102a d =??

=?， ()10789109133848S S a a a a a d -=++==+=.

故选：A 14．B 【分析】

设公差为d ，则615a a d =+，即可求出公差d 的值. 【详解】

设公差为d ，则615a a d =+，即1115d =+，解得：2d =，所以数列{}n a 的公差为2，故选：B 15．B 【分析】

直接利用分类讨论思想的应用求出数列的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和【详解】

解：当n 为奇数时，2n n a a +=，当n 为偶数时，22n n a a +-=，所以13291a a a ==???==，

2430,,,a a a ???是以2为首项，2为公差的等差数列，

所以30132924301514

()()1515222552

S a a a a a a ?=++???++++???+=+?+?=，故选：B 16．D 【分析】

利用等差数列的性质直接求解．【详解】因为131,5a a ==，315529a a a a =+∴=，

故选：D ． 17．A 【分析】

根据已知条件，结合等差数列前n 项和公式，即可容易判断. 【详解】

依题意，有170a a +>，180a a +< 则()177702a a S +?=

()()1881884

a a S a a +?=

=+<

故选：A . 18．B 【分析】

利用1n n n a S S -=-求出2n ≥时n a 的表达式，然后验证1a 的值是否适合，最后写出n a 的式子即可. 【详解】

2n S n =，∴当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，

当1n =时，111a S ==，上式也成立，

()

*21n a n n N ∴=-∈，

故选：B. 【点睛】

易错点睛：本题考查数列通项公式的求解，涉及到的知识点有数列的项与和的关系，即

11,1,2n n

n S n a S S n -=?=?-≥?，算出之后一定要判断1n =时对应的式子是否成立，最后求得结

果，考查学生的分类思想与运算求解能力，属于基础题. 19．B 【分析】

利用等差数列的性质，由7916+=a a ，得到88a =，然后由15815S a =求解. 【详解】

因为7916+=a a ，

所以由等差数列的性质得978216a a a +==，解得88a =，所以()

11515815151581202

a a S a +===?=．故选：B 20．C 【分析】

由题建立关系求出公差，即可求解. 【详解】

设等差数列{}n a 的公差为d ，

141,16a S ==，

41464616S a d d ∴=+=+=，2d ∴=， 71613a a d ∴=+=.

故选：C

二、多选题

21．ABC 【分析】

由)

12n a =

1=，再利用等差数列的定义求

得n a ，然后逐项判断. 【详解】

当2n ≥

时，由)

12n a =-，

得)

21n a +=

，

1=，又12a =，

所以

是以2为首项，以1为公差的等差数列，

2(1)11n n =+-?=+，

即2

21n a n n =+-，故C 正确；

所以27a =，故A 正确；

()2

12n a n =+-，所以{}n a 为递增数列，故正确；

数列{}n a 不具有周期性，故D 错误；故选：ABC

22．无 23．无

24．BD 【分析】

利用递推关系可得12

n n a a n -=+-，再利用数列的单调性即可得出答案．【详解】解：∵2

n n n S a +=

， ∴2n ≥时，1121

n n n n n n n a S S a a --++=-=

-，化为：112

111

n n a n a n n -+==+--，由于数列21n ????-??

单调递减，

可得：2n =时，

n -取得最大值2． ∴1

n n a a -的最大值为3．故选：BD ．【点睛】

本题考查了数列递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

25．BCD 【分析】

根据题意写出8a ，6S ，7S ，从而判断A ，B 的正误；写出递推关系，对递推关系进行适当的变形，利用累加法即可判断C ，D 的正误．【详解】

对A ，821a =，620S =，故A 不正确；对B ，761333S S =+=，故B 正确；

对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，…，202120222020a a a =-，可得

135********a a a a a +++???+=，故C 正确；

对D ，该数列总有21n n n a a a ++=+，2

121a a a =，则()222312321a a a a a a a a =-=-， ()233423423a a a a a a a a =-=-，…，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-， 22019a =2019202020192018a a a a -，220202020202120202019a a a a a =-，故2222

123202*********a a a a a a +++???+=，故D 正确．

故选：BCD 【点睛】

关键点睛：解答本题的关键是对CD 的判断，即要善于利用21n n n a a a ++=+对所给式子进行变形. 26．AC 【分析】

对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案．【详解】

对于选项A ，1(1)n

n a =+-取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件；

对于选项B ，2cos 2

n n a π

=取前六项得：0,2,0,2,0,2--，不满足条件；对于选项C ，(1)2sin

n n a π

+=取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件；对于选项D ，1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--取前六项得：0,2,2,8,12,22，不满足条件；故选：AC 27．BD 【分析】

设等差数列{}n a 的公差为d ，根据条件12a 、8S 、9S 成等差数列可求得1a 与d 的等量关系，可得出n a 、n S 的表达式，进而可判断各选项的正误. 【详解】

设等差数列{}n a 的公差为d ，则81187

88282

S a d a d ?=+

=+，91198

99362

S a d a d ?=+

=+，因为12a 、8S 、9S 成等差数列，则81922S a S =+，即11116562936a d a a d +=++，

解得14a d =-，()()115n a a n d n d ∴=+-=-，()()21

9122

n n n d n n d S na --=+=. 对于A 选项，59233412a a d d +=?=，()2

88942

d S d -?=

=-，A 选项错误；对于B 选项，()2

29272

d S

d -?=

=-，()2

79772

d S

d -?=

=-，B 选项正确；

对于C 选项，()2

298192224n d d S n n n ??

??=-=--?? ???????

若0d >，则4S 或5S 最小；若0d <，则4S 或5S 最大.C 选项错误；对于D 选项，50a =，D 选项正确. 故选：BD. 【点睛】

在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a 1和d 等基本量，通过建立方程（组）获得解，另外在求解等差数列前n 项和n S 的最值时，一般利用二次函数的基本性质或者数列的单调性来求解. 28．AD 【分析】

利用11,1

,2n n

n S n a S S n -=?=?-≥?求出数列的通项公式，可对A ，B ，D 进行判断，对

25,n S n n =-进行配方可对C 进行判断

【详解】

解：当1n =时，11154a S ==-=-，

当2n ≥时，22

15[(1)5(1)]26n n n a S S n n n n n -=-=-----=-，

当1n =时，14a =-满足上式，所以26n a n =-，

由于()122n n a a n --=≥，所以数列{}n a 为首项为4-，公差为2的等差数列，因为公差大于零，所以{}n a 为单调递增数列，所以A ，D 正确，B 错误，由于2

525

5()2

n S n n n =-=--

，而n ∈+N ，所以当2n =或3n =时，n S 取最小值，

且最小值为6-，所以C 错误，故选：AD 【点睛】

此题考查,n n a S 的关系，考查由递推式求通项并判断等差数列，考查等差数列的单调性和前n 项和的最值问题，属于基础题 29．AD 【分析】

运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由二次函数的配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由0n S <解不等式可判断D ．

【详解】

等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，由690S =，可得161590a d +=，即

12530a d +=，①

由7a 是3a 与9a 的等比中项，得2

739a a a =，即()()()2

111628a d a d a d +=++，化为

1100a d +=，②

由①②解得120a =，2d =-，则202(1)222n a n n =--=-，

(20222)212

n S n n n n =+-=-，

由2

2144124n S n ??=--+ ??

?，可得10n =或11时，n S 取得最大值110；由2

102n S n n -<=，解得21n >，则n 的最小值为22.

故选：AD 【点睛】

本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及等比中项的性质，二次函数的最值求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题. 30．ABD 【分析】

由已知递推式可得数列2=，公差为1的等差数列，结合选项

可得结果. 【详解】

)

11n a =

-得)

11n a +=

，

1=，

即数列

2=，公差为1的等差数列，

2(1)11n n =+-?=+，

∴2

2n a n n =+，得28a =，由二次函数的性质得数列{}n a 为递增数列，

所以易知ABD 正确，故选：ABD. 【点睛】

本题主要考查了通过递推式得出数列的通项公式，通过通项公式研究数列的函数性质，属于中档题.