高中数学函数压轴题
高考数学函数压轴题：
1. 已知函数 f (x) 1x 3 ax b(a,b
3
(1) 求 f (x) 的单调递增区间；
2. 某造船公司年最高造船量是 20艘. 已知造船 x 艘的产值函数 R (x)=3700x + 45x 2– 10x 3(单位：万元), 成本函数为 C (x) = 460x + 5000 ( 单位：万元 ). 又在经济学中，函数 f(x) 的边际函数 Mf (x) 定义为 : Mf (x) = f (x+1) – f (x). 求 : (提示：利 润 = 产值 –成本)
(1) 利润函数 P(x) 及边际利润函数 MP(x);
(2) 年造船量安排多少艘时 , 可使公司造船的年利润最大
(3) 边际利润函数 MP(x) 的单调递减区间 , 并说明单调递减在本题中的实际意义是什么
2
1
3. 已知函数 (x) 5x 2 5x 1(x R)，函数 y f (x)的图象与 ( x)的图象关于点 (0, )中心对称。 2
( 1)求函数 y f(x) 的解析式；
(2)如果 g 1(x) f(x)，g n (x) f[g n 1(x)](n N,n 2) ，试求出使 g 2(x) 0成 立的 x 取值范围；
( 3)是否存在区间 E ，使 E x f(x) 0 对于区间内的任意实数 x ，只要 n N ，且 n 2 时，都有
(2)若 x [ 4,3] 时，有 f (x) 10 恒成立，求实数 3 m 的取值范围
R) 在 x 2 处取得的极小值是
g n(x) 0 恒成立
x 1 a
4．已知函数：f (x) (a R且x a) ax
Ⅰ)证明：f(x)+2+f(2a －x)=0 对定义域内的所有x 都成立.
1
Ⅱ)当f(x) 的定义域为［a+ ,a+1］时，求证：f(x) 的值域为［－3，－2］；
2
Ⅲ)设函数g(x)=x 2+|(x－a)f(x)| , 求g(x) 的最小值.
5. 设f (x)是定义在［0,1］上的函数，若存在x* (0,1) ，使得f (x)在［0, x*］上单调递增，在［ x* ,1］上单调递减，则称f(x)为［ 0,1］上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为含峰区间. 对任意的［ 0,1］上的单峰函数f(x) ，下面研究缩短其含峰
区间长度的方法.
(1) 证明：对任意的x1,x2 (0,1) ，x1 x2，若f(x1) f(x2)，则(0, x2)为含峰区间；若f(x1) f(x2)，则( x1,1) 为含峰区间；
(2)对给定的r(0 r 0.5) ，证明：存在x1,x2 (0,1) ，满足x2 x1 2r ，使得由( 1)所确定的含峰区间的长度不大于0.5 r ；
6. 设关于x的方程2x2 ax 2 0的两根分别为、，函数f(x) 4x2a
x1
(1)证明f (x) 在区间, 上是增函数；
( 2)当a 为何值时，f (x) 在区间, 上的最大值与最小值之差最小
7. 甲乙两公司生产同一种新产品，经测算，对于函数f x x 8，g x x 12 ，及任意的x 0，当甲公司投入x 万元作宣传时，乙公司投入的宣传费若小于f x 万元，则乙公司有失败的危险，否则无失败的危险；当乙公司投入x 万元作宣传时，甲公司投入的宣传费若小于g x 万元，则甲公司有失败的危险，否则无失败的危险. 设甲公司投入宣传费x 万元，乙公司投入宣传费y 万元，建立如图直角坐标系，试回答以下问题：
(1)请解释f 0 ,g 0 ；甲、乙两公司在均无失败危险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问此时各应投入多少宣传费(3)若甲、乙分别在上述策略下，为确保无失败的危险，根据对方所投入的宣传费，按最少投入费用原则，投入自己的宣传费：若甲先投入a1 12万元，乙在上述策略下，投入最少费用b1；而甲根据乙的情况，调整宣传费为a2 ；同样，乙再根据甲的情况，调整宣传费为b2 , , 如此得当甲调整宣传费为a n 时，乙调整宣传费为b n ；试问是否存在
l
im a n，lim b n的值，若存在写出此极限值(不必证明) ，若不存在，说明理由.
n
n n
8. 设 f （x）是定义域在[ 1, 1] 上的奇函数，且其图象上任意两点连线的斜率均小于零.
（l）求证f（x）在[ 1, 1]上是减函数；
（ll ）如果f （x c），f （x c2）的定义域的交集为空集，求实数c的取值范围；
2
（lll ）证明若1 c 2，则f（x c），f（x c2）存在公共的定义域，并求这个公共的空义域
9. 已知函数f（x）＝ax2＋bx＋c，其中a∈N*，b∈N，c∈Z。
（1）若b>2a，且f（sinx）（x∈R）的最大值为2，最小值为－4，试求函数f（x）的最小值；
（2）若对任意实数x，不等式4x≤f（x）≤2（x 2＋1）恒成立，且存在x0，使得f（x0）<2（x02＋1）成立，求c的值。
432
10. 已知函数f (x) x4 4x3 ax2 1在区间[0 ，1]上单调递增，在区间[1，2]上单调递减；
(1)求 a 的值；
( 2)求证：x=1 是该函数的一条对称轴；
2
( 3)是否存在实数b，使函数g(x) bx2 1的图象与函数f(x)的图象恰好有两个交点若存在，求出 b 的值；若不存在，请说明理由.
11. 定义在区间( 0， )上的函f(x)满足：(1) f(x)不恒为零； (2)对任何实数x、q,都有f (x q) qf(x).
( 1)求证：方程f(x)=0 有且只有一个实根；
(2)若a>b>c>1,且a、b、c成等差数列，求证：f(a)?f(c) f 2(b)；
(3)(本小题只理科做)若f(x) 单调递增，且m>n>0时，有f(m) f(n) 2f(m n) ，求证：3 m 2 2 2
32
12. 已知三次函数f(x) x3 ax2 bx c在y轴上的截距是2，且在( , 1),(2, )上单调递增，在(－1，2)上单调递减.
(Ⅰ)求函数 f (x)的解析式；
f (x)
(m 1) ln( x m)，求h(x) 的单调区间
(Ⅱ) 若函数h(x)
3(x 2)
13. 已知函数f(x) 3x 3(a 1)( a 0且 a 1)．ax
(1) 试就实数 a 的不同取值，写出该函数的单调递增区间；
(2) 已知当x 0 时，函数在(0, 6) 上单调递减，在( 6, )上单调递增，求a 的值并写出函数的解析式；
(3) (理)记(2)中的函数的图像为曲线C ，试问是否存在经过原点的直线l，使得l为曲线C 的对称轴若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由．
(文) 记(2)中的函数的图像为曲线C ，试问曲线C是否为中心对称图形若是，请求出对称中心的坐标并加以证明；若不是，请说明理由．
14. 已知函数f (x) log a x和g(x) 2log a(2x t 2),(a 0,a 1,t R) 的图象在x 2处的切线互相平行
(Ⅰ) 求t的值；
Ⅱ)设F(x) g(x) f(x)，当x 1,4 时，F(x) 2恒成立，求a的取值范围
15. 设函数f (x) 定义在R 上，对任意的m,n R ，恒有f(m n) f (m) f (n) ，且当x 1时，f (x) 0 。试解决以下问题：
(1)求f (1)的值，并判断f(x) 的单调性；
(2)设集合A (x,y)|f(x y) f(x y) 0 ,B (x,y)|f(ax y 2) 0,a R ，若AI B ，求实数a的取值范围；
(3)若0 a b，满足|f(a)| |f(b)| 2|f(a b) |，求证：3 b 2 2
2
2
16. (理科)二次函数f(x)= x2 ax b(a、b R)
( I)若方程f(x)=0 无实数根，求证：b>0；12
(II)若方程f(x)=0 有两实数根，且两实根是相邻的两个整数，求证：f(－a)= (a2 1) ；
4
1
( III )若方程f(x)=0 有两个非整数实根，且这两实数根在相邻两整数之间，试证明存在整数k，使得f (k) .
4 2* (文科)已知函数f(x)= ax2 bx c，其中a N* ,b N,c Z.
(I)若b>2a,且f(sinx)(x ∈R)的最大值为2，最小值为－4，试求函数f(x) 的最小值；
(II)若对任意实数x，不等式4x f (x) 2(x2 1)恒成立,且存在x0使得f(x0) 2(x20 1)成立，求c的值。