2016中考数学压轴题精选

2016中考数学压轴题精选精析（71-80例）

（黄冈市2016）24．（14分）如图所示，过点F （0，1）的直线y =kx ＋b 与抛物线

2

14

y x =

交于M （x 1，y 1）和N （x 2，y 2）两点（其中x 1＜0，x 2＜0）． ⑴求b 的值． ⑵求x 1?x 2的值

⑶分别过M 、N 作直线l ：y =－1的垂线，垂足分别是M 1、N 1，判断△M 1FN 1的形状，并证明你的结论． ⑷对于过点F 的任意直线MN ，是否存在一条定直线m ，使m 与以MN 为直径的圆相切．如果有，请法度出这条直线m 的解析式；如果没有，请说明理由．

（黄石市2016年）24.（本小题满分9分）已知⊙1O 与⊙2O 相交于A 、B 两点，点

1O 在⊙2O 上，C 为⊙2O 上一点（不与A ，B ，1O 重合），直线CB 与⊙1O 交于另一

点D 。

（1）如图（8），若AC 是⊙2O 的直径，求证：AC CD =； （2）如图(9)，若C 是⊙1O 外一点，求证：1O C AD ⊥；

（3）如图（10），若C 是⊙1O 内一点，判断（2）中的结论是否成立。

F

M

N

N 1

M 1 F 1 O y

x

l

第22题

（黄石市2016年）25.（本小题满分10分）已知二次函数2248y x mx m =-+-

（1）当2x ≤时，函数值y 随x 的增大而减小，求m 的取值范围。

（2）以抛物线2248y x mx m =-+-的顶点A 为一个顶点作该抛物线的内接正三角

形AMN （M ，N 两点在抛物线上），请问：△AMN 的面积是与m 无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。 （3）若抛物线

2248y x mx m =-+-与x 轴交点

的

横坐标均为整数，求整数m 的值。

x

y

0 A

（2016年广东茂名市）如图，⊙P 与y 轴相切于坐标原点O （0，

0），与x

轴相交于点A （5，0），过点A 的直线AB 与y 轴的正半轴交于点B ，与⊙P 交于点C ．

（1）已知AC=3，求点Ｂ的坐标； （４分）

（2）若AC=a , D 是O Ｂ的中点．问：点O 、P 、C 、D 四点

是否在同一圆上？请说明理由．如果这四点在同一圆上，记这个圆的圆心为1O ，函数x

k

y

的图象经过点1O ，求k 的值（用含a 的代数式表示）． （４分）

第24题图

χ

y

（2016年广东茂名市）如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线经过点Ａ(0，

4)，B(1，0)，C （5，0），抛物线对称轴l 与x 轴相交于点M ．

（1）求抛物线的解析式和对称轴； （3分）

（2）设点P 为抛物线（5 x ）上的一点，若以A 、O 、M 、P 为顶点的四边形四条边

的长度为四个连续的正整数，请你直接写出．．．．

点P 的坐标； （2分）

（3）连接AC ．探索：在直线AC 下方的抛物线上是否存在一点N ，使△NAC 的面积最

大？若存在，请你求出点N 的坐标；若不存在，请你说明理由． （3分） 解：

第25题图

（重庆市2016年）26.（12分）如图,在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形,

∠ACB =90,AC =BC ,OA =1，

OC =4，抛物线2y x bx c =++经过A ，B 两点，抛物线的顶点为D ． （1）求b ,c 的值；

（2）点E 是直角三角形ABC 斜边AB 上一动点(点A 、B 除外)，过点E 作x 轴的垂

线

交抛物线于点F ，当线段EF 的长度最大时，求点E 的坐标；

（3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛

物线上

是否存在一点P ，使△EFP 是以EF 为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，说明理由.

A

O

C

B

D

x

y

26题备用图

A

O

C

B

D

x

y

26题图

（江苏省宿迁市2016年）26．（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，O 为

坐标原点，P 是反比例函数y ＝x

6

（x ＞0）图象上的任意一点，以P 为圆心，PO 为半径

的圆与x 、y 轴分别交于点A 、B ．

（1）判断P 是否在线段AB 上，并说明理由； （2）求△AOB 的面积； （3）Q 是反比例函数y ＝x

6

（x ＞0）图象上异于点P 的另一点，请以Q 为圆心，QO

半径画圆与x 、y 轴分别交于点M 、N ，连接AN 、MB ．求证：AN ∥MB ．

y

x

Q

P

A B

O

（第26题）

（江苏省宿迁市2016年）27．（本题满分12分）如图，在边长为2的正方形ABCD

中，P 为AB 的中点，Q 为边CD 上一动点，设DQ ＝t （0≤t ≤2），线段PQ 的垂直平分线分别交边AD 、BC 于点M 、N ，过Q 作QE ⊥AB 于点E ，过M 作MF ⊥BC 于点F ． （1）当t ≠1时，求证：△PEQ ≌△NFM ；

（2）顺次连接P 、M 、Q 、N ，设四边形PMQN 的面积为S ，求出S 与自变量t 之间

的函数关系式，并求S 的最小值．

（江苏省宿迁市2016年）28．（本题满分12分）如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，

AB ＝1，BC ＝2

1

，以点C 为圆心，CB 为半径的弧交CA 于点D ；以点A 为圆心，

AD 为半径的弧交AB 于点E ． （1）求AE 的长度；

（2）分别以点A 、E 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点F （F 与C 在AB 两侧），连接AF 、EF ，设EF 交弧DE 所在的圆于点G ，连接AG ，试猜想∠EAG 的大小，并说明理由．

G F

E D C

B

A

（2016年广东省）10．如图(1)，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形

AFBDCE ，它的面积为1；取△ABC 和△DEF 各边中点，连接成正六角星形A 1F 1B 1D 1C 1E 1，如图(2)中阴影部分；取△A 1B 1C 1和△D 1E 1F 1各边中点，连接成正六角星形A 2F 2B 2D 2C 2E 2，如图(3)中阴影部分；如此下去…，则正六角星形A 4F 4B 4D 4C 4E 4的面积为_________________．

（2011年广东省）21．如图（1），△ABC 与△EFD 为等腰直角三角形，AC 与DE 重

合，AB =AC =EF =9，∠BAC =∠DEF =90o，固定△ABC ，将△DEF 绕点A 顺时针旋转，当DF 边与AB 边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE ，DF (或它们的延长线)分别交BC (或它的延长线) 于G ，H 点，如图(2) 题10图（1） A 1

B

C

D

A

F

E

B

C

D A F

E

B

C

D A F

E

B 1

C 1

F 1 D 1 E 1 A 1

B 1

C 1

F 1 D 1 E 1 A 2

B 2

C 2

F 2 D 2

E 2 题10图（2）

题10图（3）

H

F

A （D ）

C

F

A （D ）

（1）问：始终与△AGC 相似的三角形有 及 ；

（2）设CG =x ，BH =y ，求y 关于x 的函数关系式（只要求根据图(2)的情形说明理由） （3）问：当x 为何值时，△AGH 是等腰三角形.

（2016年凉山州）如图，抛物线与x 轴交于A （1x ，0）、B （2x ，0）两点，且12x x <，

与y 轴交于点()0,4C -，其中12x x ，是方程24120x x --=的两个根。 （1）求抛物线的解析式；

（2）点M 是线段AB 上的一个动点，过点M 作MN ∥BC ，交AC 于点N ，连接CM ，当CMN △的面积最大时，求点M 的坐标；

（3）点()4,D k 在（1）中抛物线上，点E 为抛物线上一动点，在x 轴上是否存在点F ，使以A D E F 、、、为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，求出所有满足条件的点F 的坐标，若不存在，请说明理由。

y

x

O B M

N

C A

28题图

（盐城市2016年）27．（本题满分12分）

情境观察

将矩形ABCD 纸片沿对角线AC 剪开，得到△ABC 和△A′C ′D ，如图1所示.将△A′C ′D 的顶点A′与点A 重合，并绕点A 按逆时针方向旋转，使点D 、A (A′)、B 在同一条直线上，如图2所示．

观察图2可知：与BC 相等的线段是 ▲ ，∠CAC ′= ▲ °． 问题探究

如图3，△ABC 中，AG ⊥BC 于点G ，以A 为直角顶点，分别以AB 、AC 为直角边，向△ABC 外作等腰Rt △ABE 和等腰Rt △ACF ，过点E 、F 作射线GA 的垂线，垂足分别为P 、Q . 试探究EP 与FQ 之间的数量关系，并证明你的结论.

拓展延伸

如图4，△ABC 中，AG ⊥BC 于点G ，分别以AB 、AC 为一边向△ABC 外作矩形ABME 和矩形ACNF ，射线GA 交EF 于点H . 若AB =k AE ，AC =k AF ，试探究HE 与

HF 之间的数量关系，并说明理由.

E

H

图3

A

B C

E

F

G

P

Q 图1

图2

C'A'B A D

C

A

B

C

D

B

C

D A (A')C'

（盐城市2016年）28．（本题满分12分）如图，已知一次函数y =-x +7与正比例

函数y =4

3x 的图象交于点A ，且与x 轴交于点B .

（1）求点A 和点B 的坐标；

（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l ∥y 轴．动点P 从点O 出发，以每

秒1个单位长的速度，沿O —C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒.

①当t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8？

②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．

A

B

O

y

x

y =-x +7

y =43

x （备用图）

A

B

O

y

x

y =-x +7

y =43

x

M

A

y

N

B

D

P x

第23题

O C

（2016·济宁）如图，第一象限内半径为2的⊙C 与y 轴相切于点A ，作直径AD ，过点D 作⊙C 的切线l 交x 轴于点B ，P 为直线l 上一动点，已知直线PA 的解析式为：y=kx+3。 (1) 设点P 的纵坐标为p ，写出p 随变化的函数关系式。

(2)设⊙C 与PA 交于点M ，与AB 交于点N ，则不论动点P 处于直线l 上（除点B 以外）的什么位置时，都有△AMN ∽△ABP 。请你对于点P 处于图中位置时的两三角形相似给予证明；

(3)是否存在使△AMN 的面积等于

25

32

的k 值？若存在，请求出符合的k 值；若不存在，请说明理由。

（株洲市2016年）24．（本题满分10分）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在

和同学们一起研究某条抛物线2(0)y ax a =<的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O ，两直角边与该抛物线交于A 、B 两点，请解答以下问题：

（1）若测得22OA OB ==（如图1），求a 的值；

（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O 旋转到如图2所示位置时，过B 作

BF x ⊥轴于点F ，测得1OF =，写出此时点B 的坐标，并求点A 的横坐标．．．； （3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O 旋转任意角度时惊奇地发现，交点A 、B 的

连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．

（南京市2016年）26．（8分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6㎝，BC =8

㎝，P 为BC 的中点．动点Q 从点P 出发，沿射线PC 方向以2㎝/s 的速度运动，以P

为圆心，PQ 长为半径作圆．设点Q 运动的时间为t s ．

⑴当t =1.2时，判断直线AB 与⊙P 的位置关系，并说明理由； ⑵已知⊙O 为△ABC 的外接圆，若⊙P 与⊙O 相切，求t 的值．

y x

B

A

O

图1

F E

y x

B

A

O

图

27．（9分）如图①，P 为△ABC 内一点，连接PA 、PB 、PC ，在△PAB 、△PBC 和△PAC

中，如果存在一个三角形与△ABC 相似，那么就称P 为△ABC 的自相似点．

⑴如图②，已知Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ACB ＞∠A ，CD 是AB 上的中线，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，试说明E 是△ABC 的自相似点．

⑵在△ABC 中，∠A ＜∠B ＜∠C ．

①如图③，利用尺规作出△ABC 的自相似点P （写出作法并保留作图痕迹）； ②若△ABC 的内心P 是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．

28．（11分）

问题情境

已知矩形的面积为a （a 为常数，a ＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？

A

B C P Q O

(第26题)

B

B

B

C

C C A A

A

D

P

E

①

② ③

(第27题)

数学模型

设该矩形的长为x ，周长为y ，则y 与x 的函数关系式为2()(0)a y x x x

=+＞．

探索研究

⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数1

(0)y x x x

=+

＞的图象性质． ① 填写下表，画出函数的图象： ②

x ……

14

13 12

1 2 3 4 ……

y ……

……

②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；

③在求二次函数y =ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请你通过配方求函数1

y x x

=+

(x ＞0)的最小值． 解决问题

⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．

1 x

y

O 1

3 4 5 2

2

3

5

4

（第28题）

－1

－1

(2011衢州卷)

24、(本题12分)

已知两直线1l ，2l 分别经过点A(1，0)，点B )03(，-，

并且当两直线同时相交于y 正半轴的点C 时，恰好有

21l l ⊥，经过点A 、B 、C 的抛物线的对称轴与直线

2l 交于点K ，如图所示。

(1)求点C 的坐标，并求出抛物线的函数解析式； (2)抛物线的对称轴被直线1l ，抛物线，直线2l 和x 轴

依次截得三条线段，问这三条线段有何数量关系？请说明理由。

(3)当直线2l 绕点C 旋转时，与抛物线的另一个交点为M ，请找出使△MCK 为等腰三角形的点M ，简述理由，并写出点M 的坐标。

(第24题)

A

B

ht tp

D

K E F O 2l

1l

y

x

（2016年凉山州）如图，抛物线与x 轴交于A （1x ，0）、B （2x ，0）两点，

且12x x <，与y 轴交于点()0,4C -，其中12x x ，是方程24120x x --=的两个根。 （1）求抛物线的解析式；

（2）点M 是线段AB 上的一个动点，过点M 作MN ∥BC ，交AC 于点N ，连接CM ，当CMN △的面积最大时，求点M 的坐标；

（3）点()4,D k 在（1）中抛物线上，点E 为抛物线上一动点，在x 轴上是否存在点F ，使以A D E F 、、、为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，求出所有满足条件的点F 的坐标，若不存在，请说明理由。

（安徽2016）本小题满分14分)

平面直角坐标系中，平行四边形ABOC 如图放置，点A 、C 的坐标分别为(0，3)、(1-，0)，将此平行四边形绕点0顺时针旋转90°，得到平行四边形'''A B OC 。

y

x

O B M N

C A

28题图

(1)若抛物线过点C，A，A'，求此抛物线的解析式；

(2)求平行四边形ABOC和平行四边形'''

OC D的周长；

A B OC重叠部分△'

(3)点M是第一象限内抛物线上的一动点，间：点M在何处时△AMA'的面

积最大?最大面积是多少?并求出此时点M的坐标。

（2016年广东省）22．如图（1），（2）所示，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，

点F在DC上，DF=2。动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点

A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点

同时停止运动。连接FM、FN，当F、N、M不在同一直线时，可得△FMN，过△FMN

三边的中点作△PQW。设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为x

秒。试解答下列问题：

（1）说明△FMN∽△QWP；

（2）设0≤x≤4（即M从D到A运动的时间段）。试问x为何值时，△PQW为直角三

角形？

当x在何范围时，△PQW不为直角三角形？

（3）问当x为何值时，线段MN最短？求此时MN的值。

D F

C

（2016年桂林市）26．（本题满分12分）已知二次函数

2134

2y x x =-+的图象如图. （1）求它的对称轴与x 轴交点D 的坐标；

（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x 轴，y 轴的交点分别为A 、B 、C 三点，若∠ACB =90°，求此时抛物线的解析式；

（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M ，以AB 为直径，D 为圆心作⊙D ，试判断

直线CM 与⊙D 的位置关系，并说明理由.

（达州市2016年）23、(10分)如图，已知抛物线与x 轴交于A(1，0)，B （3-，0）

两点，与y 轴交于点C(0，3)，抛物线的顶点为P ，连结AC ． (1)求此抛物线的解析式；

第22题图（1） A

B

M C

F D

N

W P Q

(2)在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，且直线DC与x轴交于点Q，求点D的坐标；

(3)抛物线对称轴上是否存在一点M，使得S△MAP=2S△ACP，若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．

（2016常州市）27. （本题满分10分）如图1，把一个边长为22的正方形ABCD 放在平面直角坐标系中，点A在坐标原点，点C在y轴的正半轴上，经过B、C、D三点的抛物线c1交x轴于点M、N(M在N的左边).

(1)求抛物线c1的解析式及点M、N的坐标；