2019-2020学年河北省石家庄外国语学校八年级(上)期末数学试卷 及答案解析

2019-2020学年河北省石家庄外国语学校八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共16小题，共48.0分）

1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )

A.

B.

C.

D.

2. 对于分式x?b

x+a ，当x =?1时其值为0，当x =1时此分式没有意义，那么( )

A. a =b =?1

B. a =b =1

C. a =1，b =?1

D. a =?1，b =1

3. 如图，小手盖住的点的坐标可能是( )

A. (6,?4)

B. (5,2)

C. (?3,?6)

D. (?3,4)

4. 有下列各数：3.14159，?√83，0.131131113…(相邻两个3之间依次多一个1)，?π，√2，?1

7，

其中无理数有( )

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

5. 代数式√1+3x x?3

有意义，则x 应满足的条件是( )

A. x ≠3

B. x ≤?1

3 C. x ≥?1

3且x ≠3

D. x >?1

3且x ≠3

6. 如图，AC =BC ，M 是AB 的中点，下列结论：①△AMC ≌△BMC ；②∠ACM =∠BCM ；③∠A =∠B ；

④CM ⊥AB.其中结论正确的序号是( )

A. ①③

B. ①②③

C. ①②③④

D. ①②④

7. 下列计算正确的是( )

A. √16=±4

B. ±√16=4

C. √?27

3=?3 D. √(?4)2=?4 8.小明同学在学习了全等三角形的相关知识后，发现只用两把完全相

同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图，一把直尺的一

边压住射线OB，另一把直尺的一边压住射线OA并且与第一把直

尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线”他这样

说的依据是()

A. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上

B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等

C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等

D. 以上均不正确

9.下列等式从左到右变形一定正确的是()

A. a+3

b+3=a

b

B. b?a

a2?b2

=1

a+b

C. b

a =b(c2+1)

a(c2+1)

D. 4a2bc3

0.5a2c3

=8abc

10.下列条件中，不能判定△ABC为直角三角形的是()

A. a2+b2=c2

B. ∠A+∠B=∠C

C. a:b:c=3:4:5

D.

11.化简a

a?1+1

1?a

的结果为()

A. ?1

B. 1

C. a+1

a?1D. a+1

1?a

12.如图，已知△ABC，AB

下列选项正确的是()

A. B.

C. D.

13.已知△ABC中，AB=3，AC=4，BC=6，过点A的直线将△ABC分成两个三角形，使其中一

个三角形是等腰三角形的直线共有()

A. 2条

B. 3条

C. 5条

D. 6条

14.用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是钝角”，其假设正确的是()

A. 一个三角形中有一个角是钝角

B. 一个三角形中没有钝角

C. 一个三角形中有两个角是钝角

D. 一个三角形中有两个角是锐角

15.如图，把矩形ABCD折叠，点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为

AF，则AB：BC的值等于()

A. 1

2

B. √3

2

C. 2√3

3

D. 3+√3

3

16.在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x,y)，我们把点P′(?y+1,x+1)叫做点P的伴随点．已知

点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，A n，若点A1的坐标为(3,1)，则点A2019的坐标为()

A. (0,?2)

B. (0,4)

C. (3,1)

D. (?3,1)

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

17.写出一个满足√2

18.如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，

若正方形B、C、D的面积依次为7、5、14，则正方形A的面积为

______________．

19.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，AC=3cm，动点P

从点B出发，沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．

(1)求边BC的长；

(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值；

(3)当△ABP为等腰三角形时，求t的值．

20.如图，∠O=30°，C为OB上一点，且OC=6，以点C为圆心，半径为

3的圆与OA的位置关系是_____．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

21.计算：

(1)√12?|√3?3|+(√3)2

(2)

3

x+1

+

1

x?1

=

6

x2?1

四、解答题（本大题共5小题，共40.0分）

22.如图，已知点B，F，C，E在直线l上，点A，D在l异侧，测得AB=DE，AC=DF，BF=EC．

(1)求证：△ABC≌△DEF．

(2)请说出图中一对平行线，并说明理由.

23.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，每个小正方形边长为1个单位长度．

(1)写出点A、B、C的坐标；

(2)将△ABC向右平移6个单位，再向下平移3个单位得到△A1B1C1，画出图形，并写出各顶点

坐标；

(3)求△ABC的面积．

24.如图，在△ABC中，D是BC的垂直平分线DH上一点，DF⊥AB

于F，DE⊥AC交AC的延长线于E，且BF=CE．

(1)求证：AD平分∠BAC；

(2)若∠BAC=80°，求∠DCB的度数．

25.手机专卖店经营的某种手机去年销售总额为10万元，今年每部售价比去年降低500元，若今年

卖出的数量与去年卖出的数量相同，且销售总额比去年减少10%，求今年每部手机的售价是多少元．

26.如图1，点A是线段BC上一点，△ABD，△AEC都是等边三角形，BE交AD于点M，CD交AE

于N．

(1)求证：BE=DC；

(2)求证：△AMN是等边三角形；

(3)将△AEC绕点A按顺时针方向旋转90°，其它条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断(1)(2)两小题结论是否仍然成立，并加以证明．

-------- 答案与解析 --------

1.答案：C

解析：解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

故选：C．

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

2.答案：A

，当x=?1时其值为0，当x=1时此分式没有意义，

解析：解：∵分式x?b

x+a

∴?1?b=0，1+a=0，

∴a=?1，b=?1，

故选：A．

根据题意，可得?1?b=0，1+a=0，即可得解．

本题考查了分式的值为零的条件，分式有意义的条件，属于基础题．

3.答案：A

解析：

解决本题的关键是记住各象限内点的坐标的符号，进而对号入座，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(?,+)；第三象限(?,?)；第四象限(+,?).根据题意，小手盖住的点在第四象限，结合第四象限的点坐标特点，分析选项可得答案．

解：根据图示，小手盖住的点在第四象限，

第四象限的点坐标特点是：横正纵负；

分析选项可得只有A符合．

故选A．

4.答案：C

解析：

此题主要考查了无理数的定义．初中范围内学习的无理数有三类：①π类，如2π等；②开方开不尽的数，如√2等；③虽有规律但是无限不循环的数，如0.1010010001…，等．根据无理数就是无限不循环小数即可判定．

解：3.14159是有理数，?√8

3=?2是有理数，0.3131131113…(相邻两个3之间1的个数逐次加1)是

无理数，?π是无理数，√2是无理数，?1

7

是有理数，

故选C．

5.答案：C

解析：

此题主要考查了分式、二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．直接利用分式值有意义的条件和二次根式的定义分析得出答案．

解：∵代数式√1+3x

x?3

有意义，

∴1+3x≥0，x?3≠0，

解得x≥?1

3

且x≠3．

故选C．

6.答案：C

解析：

本题考查了全等三角形的判定与性质，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．全等三角形的对应边相等，对应角相等，由M是AB的中点，可得AM=BM，根据△AMC≌△△BMC，根据全等三角形的性质推出∠ACM=∠BCM，∠A=∠B，∠AMC=∠BMC即可．

解：∵M是AB的中点，

∴AM=BM，

在△AMC和△BMC中，

{AC=BC AM=BM CM=CM

,

∴△AMC≌△△BMC(SSS)，

∴∠ACM=∠BCM，∠A=∠B，∠AMC=∠BMC，

∵∠AMC+∠BMC=180°，

∴∠AMC=90°，

∴CM⊥AB．

∴①②③④都正确；

故选C．

7.答案：C

解析：

本题考查了对平方根、算术平方根，立方根的定义的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．根据平方根、算术平方根，立方根的定义求出结果，再判断即可．

解：A．√16=4，故本选项错误；

B.±√16=±4，故本选项错误；

3=?3，故本选项正确；

C.√?27

D.√(?4)2=4，故本选项错误；

故选C．

8.答案：A

解析：

此题主要考查了基本作图，关键是掌握角平分线的作法，以及全等三角形的判定和性质，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，过两把直尺的交点C作CE⊥AO，CF⊥BO，根据题意可得CE=CF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB．

解：如图所示：过两把直尺的交点C作CE⊥AO，CF⊥BO，

∵两把完全相同的长方形直尺，

∴CE=CF，

∴OP平分∠AOB(角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上)，故选A．

9.答案：C

解析：解：A、a+3

b+3≠a

b

，错误；

B、b?a

a?b =?1

a+b

，错误；

C、b

a =b(c2+1)

a(c2+1)

，正确；

D、4a2bc3

0.5a2c3

=8b，错误；

故选：C．

根据分式的基本性质即可判断．

本题考查分式的基本性质，属于基础题型，分式的分子和分母同时乘以(或除以)同一个不为0的整式，分式的值不变．

10.答案：D

解析：

此题主要考查了直角三角形的判定，关键是掌握直角三角形的判定方法．

根据直角三角形的判定方法逐一判定即可．

解：A、a2+b2=c2，能判定△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；

B、∠A+∠B=∠C，由三角形内角和定理，∠C=90°，能判定△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；

C、32+42=52，因此a：b：c=3：4：5能判定△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；

D、∠A：∠B：∠C=3：4：5，最大的角∠C=180°×5

12

=75°，不是直角三角形，故此选项符合题意；

故选：D．

11.答案：B

解析：

此题考查了分式的加减，根据在分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减即可．

先把分式进行通分，把异分母分式化为同分母分式，再把分子相加，即可求出答案．

解：a

a?1+1

1?a

=

a

a?1

?

1

a?1

=

a?1

a?1

=1；

故选B．

12.答案：B

解析：解：作AC的中垂线，交BC于点P，则PA=PC，

∵BC=PB+PC，

∴PA+PB=BC，

故选：B．

因为BC=PB+PC，根据已知PA+PB=BC，所以PA=PC，根据线段中垂线的性质可知：P在AC的中垂线上，可以作判断．

本题是作图?复杂作图，考查了线段中垂线的作法，明确线段垂直平分线的性质是关键．

13.答案：C

解析：解：如图所示：

当BC1=AC1，AC=CC2，AB=BC3，AC4=CC4，AB=AC5，都能得到符合题意的等腰三角形，这样的直线共有5条．

故选C．

根据等腰三角形的性质分别利用AB，AC为底以及为腰得出符合题意的图形即可．

此题主要考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，正确利用图形分类讨论得出是解题关键．

14.答案：C

解析：

本题考查的是反证法的应用.在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：(1)假设结论不成立；(2)从假设出发推出矛盾；(3)假设不成立，则结论成立．熟记反证法的步骤，然后进行判断．

解：用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是钝角”，应先假设一个三角形中有两个角是钝角．故选C．

15.答案：C

解析：

本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质和翻折变换的性质解题的关键．

根据折叠的性质得到AE=AB，在Rt△ADE中，AE=2DE，根据勾股定理得到AD和DE的关系，进而解答即可．

解：∵四边形ABCD为矩形，

∴AD=BC，AB=CD，

∵矩形ABCD折叠，点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，

∴AE=AB，

∵E为DC的中点，

∴AE=DC=2DE，

在Rt△ADE中，AE=2DE，

∴AD=√3DE，

∴AB

BC =CD

AD

=

√3DE

=2√3

3

；

故选：C．

16.答案：D

解析：解：∵A1的坐标为(3,1)，

∴A2(0,4)，A3(?3,1)，A4(0,?2)，A5(3,1)，

…，

依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，

∵2019÷4=504…3，

∴点A2019的坐标与A3的坐标相同，为(?3,1)．

故选：D．

根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用2019除以4，根据商和余数的情况确定点A2019的坐标即可．

此题考查点的坐标规律，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义并求出每4个点为一个循环组依次循环是解题的关键．

17.答案：2或3

解析：解：∵1<√2<2，3<√10<4，

∴满足√2

故答案为：2或3．

先估算√2和√10的范围，再得出整数即可．

本题考查了估算无理数的大小，能估算出√2和√10的范围是解此题的关键．

18.答案：2

解析：

本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.根据勾股定理的几何意义：S正方形A+S正方形B=S正方形E，S正方形D?S正方形C=S正方形E解得即可．解：如图所示，

由题意：S正方形A+S正方形B=S正方形E，S正方形D?S正方形C=S正方形E，

∴S

正方形A +S

正方形B

=S

正方形D

?S

正方形C

∵正方形B，C，D的面积依次为7，5，14，

∴S

正方形A

+7=14?5，

∴S

正方形A

=2．

故答案为2．

19.答案：解：(1)在Rt△ABC中，BC2=AB2?AC2=52?32=16，∴BC=4(cm)；

(2)由题意知BP=tcm，

①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP=BC=4cm，即t=4；

②当∠BAP为直角时，BP=tcm，CP=(t?4)cm，AC=3cm，

在Rt△ACP中，

AP2=32+(t?4)2，

在Rt△BAP中，AB2+AP2=BP2，

即：52+[32+(t?4)2]=t2，

，

解得：t=25

4

；

故当△ABP为直角三角形时，t=4或t=25

4

(3)①当AB=BP时，t=5；

②当AB=AP时，BP=2BC=8cm，t=8；

③当BP=AP时，AP=BP=tcm，CP=|t?4|cm，AC=3cm，

在Rt△ACP中，AP2=AC2+CP2，

所以t2=32+(t?4)2，

解得：t=25

，

8

．

综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t=5或t=8或t=25

8

解析：本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及分类讨论的数学思想．

(1)直接根据勾股定理求出BC的长度；

(2)当△ABP为直角三角形时，分两种情况：①当∠APB为直角时，②当∠BAP为直角时，分别求出此时的t值即可；

(3)当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB=BP时；②当AB=AP时；③当BP=AP时，分别求出BP的长度，继而可求得t值．

20.答案：相切

解析：

本题考查了直线与圆的位置关系，直角三角形中30°角所对的边是斜边的一半是解答本题的关键．

利用直角三角形中30°角所对的边是斜边的一半，求出CD的长；根据CD的长与圆的半径的大小关系，可判断圆与OA的位置关系．

解：过点C作CD⊥AO于点D．

∵∠O=30°，OC=6，

∴DC=3，

∴以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是相切．

故答案为相切．

21.答案：解：(1)√12?|√3?3|+(√3)2

=2√3?(3?√3)+3

=2√3—3+√3+3

=3√3

(2)3

x+1+1

x?1

=6

x2?1

，

方程两边同乘以(x+1)(x?1)，

3(x?1)+(x+1)=6

3x?3+x+1=6

4x?2=6

4x=8

x=2，

检验当x=2时，(x+1)(x?1)≠0，方程左边=方程右边

∴x=2是方程的解.

解析：本题主要考查的是分式的混合运算及解分式方程．

(1)先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可；

(2)解分式方程，方程两边同时乘以公分母，再去括号，合并同类项，系数化为1即可，最后一定要检验．

22.答案：(1)证明：∵BF=CE，

∴BF+FC=FC+CE，即BC=EF，在△ABC和△DEF中，

{AB=DE AC=DF BC=EF

，

∴△ABC≌△DEF(SSS)．

(2)结论：AB//DE，

理由：∵△ABC≌△DEF，

∴∠ABC=∠DEF，

∴AB//DE．

解析：本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的条件，记住平行线的判定方法，属于基础题，中考常考题型．

(1)先证明BC=EF，再根据SSS即可证明；

(2)结论AB//DE，AC//DF，根据全等三角形的性质即可证明．

23.答案：解：(1)A(?5,1)、B(?2,5)、C(?1,?1)；

(2)如图所示，A1(1,?2)、B1(4,2)、C1(5,?4)；

(3)S△ABC=6×4?1

2×6×1?1

2

×4×2?1

2

×3×4=11．

解析：(1)根据A、B、C在坐标系中的位置写出各点坐标即可；

(2)根据平移的规律得到A1，B1，C1点，再顺次连接即可；

(3)根据图形的面积的和差求出△ABC的面积即可．

本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．

24.答案：(1)证明：如图，连接BD，

∵DH垂直平分BC，

∴BD=CD，

在Rt△BDF和Rt△CDE中，

{BD=CD

BF=CE，

∴Rt△BDF≌Rt△CDE(HL)，

∴DE=DF，

∵DF⊥AB于F，DE⊥AC，

∴AD平分∠BAC；

(2)解：∵Rt△BDF≌Rt△CDE，

∴∠CDE=∠BDF，

∴∠BDC=∠EDF，

∵∠BAC=80°，

∴∠EDF=360°?90°×2?80°=100°，

∴∠BDC=100°，

∵BD=CD，

∴∠DCB=1

2

(180°?100°)=40°．

解析：(1)连接BD，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BD=CD，再利用“HL”证明Rt△BDF和Rt△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=DF，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明；

(2)根据全等三角形对应角相等可得∠CDE=∠BDF，求出∠BDC=∠EDF，再根据四边形的内角和定理求出∠EDF，然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．

本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等腰三角形的性质，熟记各性质是解题的关键，难点在于(2)求出∠BDC=∠EDF．

25.答案：解：设今年每部手机的售价是x元，则去年每部手机的售价是(x+500)元，

由题意得，100000

x+500=100000(1?10％)

x

解得：x=4500，

经检验，x=4500是原分式方程的解，且符合题意．答：今年每部手机的售价是4500元．

解析：设今年每部手机的售价是x元，则去年每部手机的售价是(x+500)元，根据今年的销售总额比去年减少10%，列方程求解．

本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．

26.答案：(1)证明：∵△ACE，△ABD是等边三角形，

∴AC=AE，AB=AD，∠CAE=60°，∠BAD=60°，

∴∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE，

即：∠BAE=∠DAC，

∴△ACD≌△AEB(SAS)，

∴BE=DC；

(2)证明：∵△ACD≌△AEB，

∴∠ADC=∠ABM．

∵∠DAN=180°?∠BAD?∠EAC=180°?60°?60°=60°，

∴∠BAM=∠DAN，

又∵AB=AD，

∴△BAM≌△DAN(ASA)，

∴AM=AN，

∴△AMN为等腰三角形．

又∵∠MAN=60°，

∴△AMN为等边三角形．

(3)解：补图如下：

BE=DC仍成立；△AMN为等边三角形不成立；

证明：

△ACE，△ABD是等边三角形，