高等数学3复习提纲
复习提纲
注意：以下出现的Ex1表示的对应习题中的第一题，其余表示符号类推。
1、掌握三重积分在直接坐标系下、柱面坐标系下、球面坐标系下化三次积分的方法并计算三重积分 直角坐标系下：
把三重积分化为先二后一或先一后二的积分顺序，再把其中的二重积分化为二次积分，由此把三重积分化为三次积分。
先一后二：先把Ω向某个坐标面投影得到平面闭区域D(比如向xOy 面投影得到Dxy)，再以Dxy 的边界曲线为准线作母线平行于z 轴的柱面，把Ω的边界曲面分为上下部分，其方程分别记作()()21,,,z z x y z z x y ==，()()12,,z x y z x y ≤。则Ω表示为：()()()12,,,xy x y D z x y z z x y ∈≤≤，。再把Dxy 上的二重积分化为二重积分即得三重积分对应的三次积分。
先二后一：先把Ω向某个坐标轴投影得到区间I(比如向z 轴投影得到[Z1,Z2])，再从[Z1,Z2]上任取一点z ，过该点作一垂直于z 轴的平面，截Ω得到平面闭区域Dz ，则Ω表示为：()12,z z z z x y D ≤≤∈， 。再把Dz 上的二重积分化为二重积分即得三重积分对应的三次积分。
柱面坐标系下：实为直角坐标系下使用先一后二的做法时，选择Dxy 为极坐标系，把Ω表示为如下形式：()()()12,,,xy D z z z ρθρθρθ∈≤≤，。Dxy 下,ρθ的取值范围可参照二重积分（有两种情形）。当Ω的边界曲面是球面、圆柱面、圆锥面、旋转抛物面等围成或与平面围成时，可考虑使用柱面坐标系。 球面坐标系下：当Ω的是球体或半球体或球面与锥面围成时，可考虑使用球面坐标系，其积分变量,,r θ?的范围的确定请参照课堂例题。
示例：159页 例1，例2，例3；习题10-3，Ex1，Ex4，Ex9，Ex10。
2、了解曲面面积的计算公式、平面薄片的质量、质点公式，会套用公式计算。 示例：167页 例1，例4习题10-4，Ex1，Ex5
3、掌握对弧长的曲线积分的基本计算方法，曲线质量、质心的求法
L 是平面曲线时，其方程是直角坐标方程或参数方程或极坐标方程，化弧长的曲线积分为定积分的关键点：曲线方程代入被积函数进行化简；弧微分ds 套公式化简；由曲线方程确定积分限。
L 是空间曲线时，只考虑其方程是参数方程的情形，做法同上。 示例：习题11-1，Ex3 (1)，(2)，(4)，(6)，(7)，Ex4。
4、掌握对坐标的曲线积分的基本计算方法
计算方法与与对弧长的曲线积分类似，区别是积分变量的积分限要考虑曲线的方向，积分下限对应于起点，积分上限对应于终点。
示例：197页例2，例3，习题11-2，Ex3 (1)，(4)，(7)
5、掌握格林公式的使用方法以及格林公式的应用
格林公式的条件、结论
格林公式使用时，若曲线不封闭，可选择直线、折线段或曲线段补全。
曲线积分计算平面闭区域的面积公式
平面曲线积分与路径无关的条件(单连通区域下)
全微分求积(与全微分方程结合)
示例：习题11-3，Ex2 (1)，Ex4，Ex5，Ex8(可作为全微分方程的练习题)
6、掌握对面积的曲面积分的基本计算方法
化对面积的曲面积分为二重积分的关键点：曲面方程代入被积函数进行化简；曲面面积公式dS借用前述公式化简；积分区域由曲面向坐标面投影确定。
示例：习题11-4，Ex5，Ex6 (1)
7、掌握对坐标的曲面积分的基本计算方法
化坐标的曲面积分为二重积分的关键点：曲面方程代入被积函数进行化简；由题目中出现的坐标来确定曲面向哪一个坐标面投影，积分曲面的侧由其指定侧的法向量的方向余弦的正负确定。226页，例2
也可使用两类曲面积分之间的关系，在dydz、dzdx、dxdy之间进行转化，228页，例3
示例：参照课堂例题
8、掌握高斯公式的使用方法(单连通区域下)
高斯公式的条件、结论
高斯公式使用时，若曲面不封闭，可选择平面补全，注意所选平面的侧与原曲面的侧合并为闭曲面的外侧或内侧。
向量场的散度、旋度的计算
示例：习题11-6，Ex1 (1)，(2)，Ex3，习题11-7，Ex3
9、掌握等比级数的收敛性、和，级数的5个基本性质的使用
示例：习题12-1，Ex4
10、掌握正项级数的收敛性的判定方法：比较法、比值法、根值法，极限法
可合并入比较法
判定收敛性时，先用级数的性质5，再使用比值法、根值法，最后考虑比较法。
掌握交错级数的收敛性的判定：莱布尼兹定理。判定绝对收敛性时，先用比值法或根值法判定∑|Un|：若收敛，则原级数绝对收敛；若发散，则原级数发散。若比值法、根值法失效，可用比较法或级数收敛性的定义或性质判定∑|Un|，但∑Un也需判定。
了解柯西乘积的做法。 示例：参照课题例题
11、 掌握幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域的求法，和函数的求法，函数的幂级数展开式的求法
掌握Abel 定理，由此判断幂级数的收敛域的特点。参照课堂例题
掌握幂级数的各种形式下收敛半径、收敛区间、收敛域的求法，参照课本例题以及课堂例题
用等比级数，使用幂级数的四则运算法则或逐项求导、逐项积分的方法求幂级数的和函数，并求出某些常数项级数的和。 掌握1,sin ,cos ,
1x e x x x
的的麦克老林级数展开式及其收敛范围，熟练应用间接展
开法求有理函数的幂级数展开式。
示例：276页，例6，习题12-3，Ex1，(1)，(6)，(7)，(8)，Ex2，283页，例5，习题12-4，Ex5，Ex6
12、 掌握傅里叶级数的系数的求法、表达式以及Dirichlet 收敛定理。 示例一：311页，例4，例5
示例二：把f(x)=x 或|x|在(-π,π)内展开为傅里叶级数，把f(x)=x 在(0,π)内展开为正弦级数或余弦级数。 除此之外的题目不作要求
13、 微分方程
微分方程的阶、解、通解、特解，一、二阶线性方程的解的特点、通解的结构、叠加原理
一阶微分方程的类型：可分离变量的微分方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程、全微分方程(带星号*内容，除伯努利方程外其余不作要求，积分因子法不作要求)
二阶常系数齐次线性方程的特解的求法：求特征方程的根，分三种情形讨论。 由特解或通解，如何求微分方程？ 示例：参照课堂例题
模拟题
一、选择题：1～9小题，每小题3分，共27分。 1.
()1
0,y
dy f x y dx ?
?＝（ ）
（A ）()1
,x
dx f x y dy ?? （B ）()1
1
,dx f x y dy ?? （C ）()1
1
,x
dx f x y dy ?? （D ）()1
,x
dx f y x dy ??
2. 设曲线L 是平面闭区域D 的正向边界，则D 的面积是（ ） （A ）
1
2
L
xdy ydx -? （B ）L
xdy ydx -? （C ）12
L
ydx xdy +?
（D ）L
xdy ydx +?
3. 设∑是锥面)01z z =
≤
≤，则()2
2
x y
dS ∑
+??＝（ ）
（A ）1
3
d d π
θρρ?? （B ）21
3
0d d πθρρ?
?
（C ）1
3
d d πθρρ? （D 21
3
d d πθρρ?
4. 下面命题中正确的个数是（ ）
①若1
n n u ∞
=∑收敛，则101
n n u ∞
+=∑也收敛；
②若1
n n u ∞
=∑发散，则()1
0.01n n u ∞
=+∑也发散；
③若1
n n u ∞
=∑,1
n n v ∞
=∑都收敛，则()1
n n n u v ∞
=?∑也收敛；
④若lim 0n n u →∞
=，则1
n n u ∞
=∑收敛.
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
5. 若幂级数()1
1n
n n a x ∞
=-∑在x=0处条件收敛，0n a >，则幂级数1
n n n a x ∞
=∑的收敛域是（ ）
（A ）()1,1- （B ）[)1,1- （C ）()0,2 （D ）[)0,2
6. 函数()()10f x x x π=+<<的以2π为周期的正弦级数在x=0处收敛于（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）1/2
7. 对于函数2y x C =+（C 是任意实数）与微分方程2y ''=，以下说法正确的是（ ） （A ）2y x C =+是2y ''=的通解； （B ）2y x C =+是2y ''=的一个特解； （C ）2y x C =+不是2y ''=的解； （D ）2y x C =+是2y ''=的解，但不是通解.
8. 微分方程2
2
y
y xy '=
-的类型是（ ）
（A ）齐次方程 （B ）线性方程 （C ）全微分方程 （D ）伯努利方程
9. 微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=的三个线性无关的特解是123,,y y y ，则其通解
可以表示为（ ）
（A ）112233C y C y C y ++ （B ）12233y C y C y ++ （C ）()()1121231y C y y C y y +-+- （D ）()()112223C y y C y y -+-
二、填空题：10～17小题，每小题4分，共32分。请把答案写在题中横线上。 10. 若Ω由曲面22z x y =+与平面z=1围成，那么三重积分()2
2
f x y
dxdydz Ω
+???在柱面
坐标系下化成的三次积分是__________.
11. 曲线1:2
2=+y x L 上的积分()22
L
x y
ds +? ＝_______.
12. 设曲面∑为平面
12
x y z ++=在第一卦限中的部分，则dS=________dxdy ，
()22x y z dS ∑
++??＝________.
13. 向量()()()k x y j z x i y z A
2332-+-+-=的旋度=A rot ________.
14. 若级数1
n n u ∞
=∑收敛于S ，则级数()11
n n n u u ∞
+=+∑收敛于_________.
15. 函数()ln 1x +在x=0处的幂级数展开式是_________________，收敛域是_________.
16. 微分方程2y xy '=满足0
1x y
==-的特解是_______________.
17. 以212x x y C e C e -=+为通解的二阶微分方程是_________________. 三、解答题：18～21小题，18小题11分，19～21小题每题10分，共41分。 18. 计算曲线积分
()()2
2
sin L
x
y dx x y dy --+?，其中L 是圆周2
2x
x y -=
上由点
()0,0到点()1,1的一段弧.
19. 计算曲面积分333
x dydz y dzdx z dxdy ∑
++??，∑
是上半球面z =的上侧.
20. 求幂级数2
1
n
n n x ∞
=∑的收敛域与和函数，并求出常数项级数21
2
n
n n ∞
=∑
的和.
21. 设有一质量为m 的物体，在空中由静止开始下落，如果空气阻力为R kv =，其中k ＞0，
v 为物体运动的速度。求物体下落的距离s 与时间t 的函数关系.
期末高等数学(上)试题及答案
1 第一学期期末高等数学试卷 一、解答下列各题 （本大题共16小题，总计80分） （本小题5分） 3 求极限 lim 一3x - x 2 2x 3 （本小题5分） 求 X 2 2 dx. （1 x ） （本小题5分） （本小题5分） 设函数y y （x ）由方程y 5 in y 2 x 6 所确定，求鱼. dx （本小题5分） 求函数y 2e x e x 的极值 （本小题5分） 2 2 2 2 求极限lim & ° （2x ° （3x ° 辿」 x （10x 1）（11x 1） （本小题5分） cos2x d x. sin xcosx 二、解答下列各题 （本大题共2小题，总计14分） 3 . ---------- 求 x . 1 xdx . 5 sin x , 2—dx. 0 8 sin 2 x （本小题5分） 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 12、 13、 14、 15、 16、 x 2的单调区间 设 x(t) e kt (3cos 4sin t), 求 dx . 12x 16 9x 2 12x .1 arcs in x 求极限 limarctan x x （本小题5分） 求—^dx. 1 x （本小题5分） 求—x .1 t 2 dt . dx 0 （本小题5分） 求 cot 6 x esc 4 xdx. （本小题5分） 求-1 1 , 求 cos dx. x x 5分） ［曲2确定了函数y es int 5分） （本小题 设 x y （本小 y(x),求乎 dx
（本大题6分） 设f （x ） x （x 1）（ x 2）（ x 3）,证明f （x ） 0有且仅有三个实根 一学期期末高数考试（答案） 、解答下列各题 （本大题共16小题，总计77分） 1、（本小题3分） lim 」^ x 2 12x 18 2、（本小题3分） (1 2 1 d(1 x ) 2 (1 x 2)2 1 1 2 1 x 2 3、（本小题3分） 故 limarctan x 4、（本小题3分） dx dx 」 dx dx 1 x x In 1 x c. 5、 (本小题3分) 原式 2x 1 x 4 6、 (本小题4分) .6 4 cot x csc xdx cot 6 x(1 cot 2 x)d(cot x) 1、（本小题7分） 某农场需建一个面积为 512平方米的矩形的晒谷场，一边可用原来的石条围 另三边需砌新石条围沿 2、（本小题7分） 2 求由曲线y -和y 2 三、解答下列各题 ，问晒谷场的长和宽各为多少时,才能使材料最省? 3 —所围成的平面图形绕 ox 轴旋转所得的旋转体的 8 沿， 体积. 解:原式 lim x 2 6x 3x 2~ 2 12 18x 12 c. 因为 arctanx —而 limarcsin 2 x .1 x arcs in x
2018最新大一高等数学期末考试卷(精编试题)及答案详解
大一高等数学期末考试卷（精编试题）及答案详解 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是 等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）2 2x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求
《高等数学》上册期末考试题附答案
2006-2007学年第一学期 高等数学（A1）试题(A 卷) 一、填空(本题共5小题,每小题3分,满分15分) 1.已知=++=??? ?? +)(,31122x f x x x x f 则 ____________. 2.设)(0x f '存在,则()() =--+→h h x f h x f h 000 lim ____________. 3.设)(x f 的原函数为 x x ln ,则()='?dx x f ____________. 4.向量{}4,3,4-=a 在向量{}1,2,2=b 上的投影是____________. 5. )1(1 )(+= x x x f 按的幂展开到n 阶的泰勒公式是_________ . 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分) 1.设()x f 可导且()2 1 0= 'x f ，当0→?x 时，()x f 在0x 处的微分dy 与x ?比较是（ ）无穷小. (A ) 等价 (B ) 同阶 (C ) 低阶 (D ) 高阶 2．已知c bx ax x y +++=3323,在1-=x 处取得极大值,点(0,3)是拐点, 则（ ）. 3,0,1)(3,1,0)(==-==-==c b a B c b a A 均错以上) ( 0,1,3) (D c b a C =-== 3．设)(x f 在[-5，5]上连续，则下列积分正确的是（ ）. [][]0 )()()(0 )()()(5 5 5 5=--=-+ ??--dx x f x f B dx x f x f A [][]0)()() (0)()() (5 50 =--=-+??dx x f x f D dx x f x f C 4. 设直线L 为 1 2241z y x =-+=-,平面0224:=-+-z y x π 则( ). 上；在；平行于ππL L A )B ()(.(D);)(斜交与垂直于ππL L C 5. 若0532<-b a ,则方程043235=++-c bx ax x ( ) (A ) 无实根; (B ) 有五个不同的实根. (C ) 有三个不同的实根; (D ) 有惟一实根;
_《高等数学》(下)复习提纲(本科)
《高等数学》（下册）复习提纲 复 习 题 1．求与平面230x +y +z +=1π:及2310x +y z +=-2π:都平行且过点(1,0,1)P -的直线方程。 2．求与直线240,:2320. x +y z +=l x +y +z =-?? -?垂直，且过点P(-1,0,1)的平面方程。 3．函数) 1ln(4)2arcsin(2 2 2 y x y x x z ---+ =的定义域为 。 4．求极限：xy xy y x 42lim +- →→。 5．证明极限 2 (,)(0,) lim x y x y x →- 0不存在。 6．计算偏导数：（1）x y z arcsin =，求 2 2 z x ??； （2）设 ),(2 x y x f y z =，求 z z x y ????，。 7．求x y e z =在点（1，2）的全微分。 8．设y z z x ln =，求 , z z x y ????。 9．求曲面3=+-xy z e z 在点)0,1,2(处的切平面及法线方程。 10．求曲线22230, 23540.x y z x x y z ?++-=?-+-=? 在点)1,1,1(处的切线和法平面方程。 11．求函数222u x y z =++在曲线32 , ,t z t y t x ===点)1,1,1(处沿曲线在该点的切线正向的 方向导数。 12．求(,,)sin()f x y z xyz xyz =的梯度。 13．求椭圆2225160x xy y y ++-=到直线80x y +-=的最短距离。 14．交换积分次序：? ?-2 2 1 0 ),(y y dx y x f dy 。 15．计算积分：(1)sin D x dxdy x ?? ，其中D 是由直线y x =及抛物线2 y x =所围成的区域； (2)dxdy y x D ?? +2 2，D ：}2|),{(2 2 y y x y x ≤+； (3)???Ω +dv z x )(， Ω：球面2224x y z ++=与抛物面22 3x y z +=所围成的区域。 16．设)(x f 连续，2)(10 =?dx x f ，求??10 1 )()(x dy y f x f dx 。 17 ．求曲面2z =-2 2 y x z +=所围的立体体积。 18．计算积分：(1)?+L ds y x )(2 2 ，L 为下半圆周21x y --=； (2)dy y x dx y xy L )()(2 2++-?，L 为抛物线2 x y =从（0，0）到（1，1）的一段有向弧； (3)dy x y e dx y x y e x L x )cos ()sin (-+--?，其中L 是在圆周2 2x x y -= 上由点 (2,0)到(0,0)的一段弧。
同济大学大一 高等数学期末试题 (精确答案)
学年第二学期期末考试试卷 课程名称：《高等数学》 试卷类别：A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟 适用层次： 适用专业； 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不 得分则在小题 大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。 课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷） 一、单选题 （共15分，每小题3分） 1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( ) A ．(,)f x y 在P 连续 B ．(,)f x y 在P 可微 C ． 0 0lim (,)x x f x y →及 0 0lim (,)y y f x y →都存在 D ． 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在 2．若x y z ln =，则dz 等于（ ）． ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x y y C y ydx dy x + ln ln ln ln . x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面2 2 2x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则 (),,(=??? Ω dxdydz z y x f ）． 21 2 cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π θθθθ? ? ? 21 2 cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π θθθθ? ? ? 212 2 cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π θπθθθ-?? ? 21 cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz πθθθ?? ? 4． 4．若1 (1)n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）． A ． 条件收敛 B ． 绝对收敛 C ． 发散 D ． 敛散性不能确定 5．曲线2 2 2x y z z x y -+=?? =+?在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1） 二、填空题（共15分，每小题3分） 系(院)：——————专业：——————年级及班级：—————姓名：——————学号：————— ------------------------------------密-----------------------------------封----------------------------------线--------------------------------
2019最新高等数学(上册)期末考试试题(含答案)RH
2019最新高等数学期末考试试题（含答案） 一、解答题 1．在半径为r的球中内接一正圆柱体，使其体积为最大，求此圆柱体的高. 解：设圆柱体的高为h, ， 2 23 π ππ 4 V h r h h =?=- 令0 V'=, 得. h= 时，其体积为最大. 2．若2 lim n n n U →∞ 存在，证明：级数 1 n n U ∞ = ∑收敛． 证：∵2 lim n n n U →∞ 存在，∴?M>0，使|n2U n|≤M， 即n2|U n|≤M，|U n|≤ 2 M n 而 2 1 n M n ∞ = ∑收敛，故 1 n n U ∞ = ∑绝对收敛． 3．判定下列级数的敛散性： (1) 1 n ∞ = ∑； (2) ()() 1111 1661111165451 n n +++++???-+ ； (3) () 23 1 3 3 2222 1 3333 n n n - -+-++ -； (4) 1 5 5 n ++ +++； 解： (1) (1 1 n S n =++++ = 从而lim n n S →∞ =+∞，故级数发散．
(2) 111111111566111116 5451111551n S n n n ??=-+-+-++- ?-+? ? ??=- ?+?? 从而1lim 5n n S →∞=，故原级数收敛，其和为15 ． (3)此级数为23q =- 的等比级数，且|q |<1，故级数收敛． (4)∵n U =lim 10n n U →∞=≠，故级数发散． 4．求正弦交流电0i I sin t ω=经过半波整流后得到电流 0πsin ,0π2π0,I t t i t ωωωω?≤≤??=??≤≤?? 的平均值和有效值。 解：ππ2π00π0 0021sin d 0d cos ππππI I i I t t t t ωωωωωω ωωωω??=+ ==-?????? 有效值 I =2ππ2π2222π000π2220001()d ()d ()d ()d 2π2πsin d 2π4 T i t t i t t i t t i t t T I I t t ωωωωωωωωω ??==+????==????? 故有效值为 02 I I =. 5．设有一半径为R ，中心角为φ的圆弧形细棒，其线密度为常数ρ，在圆心处有一质量为m 的质点，试求细棒对该质点的引力。 解：如图22，建立坐标系，圆弧形细棒上一小段d s 对质点N 的引力的近似值即为引力元素 （图22）
高等数学复习资料大全
《高等数学复习》教程 第一讲函数、连续与极限 一、理论要求 1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期） 几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数） 2.极限极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理 会用等价无穷小和罗必达法则求极限 3.连续函数连续（左、右连续）与间断 理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值） 二、题型与解法 A.极限的求法（1）用定义求 （2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子） （3）变量替换法 （4）两个重要极限法 （5）用夹逼定理和单调有界定理求 （6）等价无穷小量替换法 （7）洛必达法则与Taylor级数法 （8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）
1.61 2arctan lim )21ln(arctan lim 3030-=-=+->->-x x x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2030) (6lim 0)(6sin lim x x f x x xf x x x +=+>->-，求 解：2 0303' )(6cos 6lim )(6sin lim x xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72 )0(''06)0(''32166 ' ''''36cos 216lim 6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x 362 72 2''lim 2'lim )(6lim 0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达） 3.1 21)1 2( lim ->-+x x x x x （重要极限） 4.已知a 、b 为正常数，x x x x b a 3 0)2 ( lim +>-求 解：令]2ln )[ln(3 ln ,)2(3 -+=+=x x x x x b a x t b a t 2/300)() ln(23)ln ln (3lim ln lim ab t ab b b a a b a t x x x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.) 1ln(1 2 )(cos lim x x x +>- 解：令)ln(cos ) 1ln(1 ln ,) (cos 2 ) 1ln(1 2 x x t x t x +==+ 2/100 2 1 2tan lim ln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换） 6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim 2 2 =? ? >-x x x dt t f x dt t f （洛必达与微积分性质） 7.已知???=≠=-0 ,0 ,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a
最新考研数学一高等数学考试大纲附录
2012年考研数学一高等数学考试大纲附录
2012年考研数学一高等数学考试大纲 一、函数、极限、连续 考试内容 函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限: 函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质 考试要求 1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系. 2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性． 3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念． 4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念. 5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系． 6．掌握极限的性质及四则运算法则. 7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．
8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限． 9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型． 10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质． 二、一元函数微分学 考试内容 导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L’Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值和最小值弧微分曲率的概念曲率圆与曲率半径 考试要求 1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系． 2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分． 3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．
大一上学期(第一学期)高数期末考试题(有答案)
大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()() x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 0=+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞-+++= 2 2 2 21n n n n n n ππ π π . 8. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求
2019最新高等数学(上册)期末考试试题(含答案)SP
2019最新高等数学期末考试试题（含答案） 一、解答题 1．一飞机沿抛物线路径2 10000 x y =( y 轴铅直向上，单位为m )做俯冲飞行，在坐标原点O 处飞机速度v =200 m ·s -1，飞行员体重G =70kg ，求飞机俯冲至最低点即原点O 处时，座椅对飞行员的反力. 解：0010,5000x x y y =='''== ， 23/2 (1)5000y R y '+=='' 飞行员在飞机俯冲时受到的向心力 2 2 702005605000mv F R ?=== (牛顿) 故座椅对飞行员的反力 560709.81246F =+?= (牛顿). 2．将()21 32f x x x =++展开成(x +4)的幂级数． 解：2111 3212x x x x =-++++ 而 () ()() 0101 1 13411 4 313 144 13334713n n n n n x x x x x x x ∞=∞ +==+-++=-? +-+? +???=-< ? ????? +=--<<∑∑ 又
() ()()010******** 212 14412224622n n n n n x x x x x x x ∞=∞+==+-++=-+-+?+???=-< ? ????? +=--<<-∑∑ 所以()()()()() 21100 1101 32 44321146223n n n n n n n n n n f x x x x x x x ∞∞++==∞++==++++=-+??=-+-<<- ???∑∑∑ 3．证明，若21n n U ∞=∑收敛，则1n n U n ∞ =∑绝对收敛． 证：∵ 2222 11111222n n n n U U n U U n n n +=?≤=+? 而由 21n n U ∞=∑收敛，211n n ∞=∑收敛，知 22111122n n U n ∞=??+? ???∑收敛，故1n n U n ∞=∑收敛， 因而1n n U n ∞ =∑绝对收敛． 4．写出下列级数的一般项： (1)1111357++++； (2)2 2242462468 x x ++++??????； (3)3579 3579 a a a a -+-+； 解：(1)121n U n =-；
大一经典高数复习资料经典最新经典全面复习
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高等数学(本科少学时类型) 第一章 函数与极限 第一节 函数 ○函数基础（高中函数部分相关知识）(★★★) ○邻域（去心邻域)(★) (){} ,|U a x x a δδ=-< (){},|0U a x x a δδ=<-< 第二节 数列的极限 ○数列极限的证明（★) 【题型示例】已知数列{}n x ，证明{}lim n x x a →∞ = 【证明示例】N -ε语言 1．由n x a ε-<化简得()εg n >, ∴()N g ε=???? 2.即对0>?ε,()N g ε?=????,当N n >时,始终有不等式n x a ε-<成立， ∴{}a x n x =∞ →lim 第三节 函数的极限 ○0x x →时函数极限的证明（★） 【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x x =→0 lim 【证明示例】δε-语言 １．由()f x A ε-<化简得()00x x g ε<-<， ∴()εδg = 2．即对0>?ε,()εδg =?,当00x x δ<-<时,始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x x =→0 lim ○∞→x 时函数极限的证明（★) 【题型示例】已知函数()x f ,证明()A x f x =∞ →lim 【证明示例】X -ε语言 1.由()f x A ε-<化简得()x g ε>, ∴()εg X = ２.即对0>?ε，()εg X =?，当X x >时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x =∞ →lim 第四节 无穷小与无穷大 ○无穷小与无穷大的本质(★） 函数()x f 无穷小?()0lim =x f 函数()x f 无穷大?()∞=x f lim ○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★) (定理三）假设()x f 为有界函数,()x g 为无穷小, 则()()lim 0f x g x ?=???? （定理四)在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大,则()1f x -为无穷小;反之，若()x f 为无穷小,且()0f x ≠，则()x f 1 -为无穷大 【题型示例】计算：()()0 lim x x f x g x →?????（或∞→x ） １.∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U 内是有界的； (∵()f x ≤M ,∴函数()f x 在D x ∈上有界；） ２．()0lim 0 =→x g x x 即函数()x g 是0x x →时的无穷小; （()0lim =∞→x g x 即函数()x g 是∞→x 时的无穷小；) 3．由定理可知()()0 lim 0x x f x g x →?=???? （()()lim 0x f x g x →∞ ?=????） 第五节 极限运算法则 ○极限的四则运算法则（★★） (定理一）加减法则 (定理二）乘除法则 关于多项式()p x 、()x q 商式的极限运算 设:()()?????+?++=+?++=--n n n m m m b x b x b x q a x a x a x p 1 101 10 则有()()???????∞=∞→0 lim 0 b a x q x p x m n m n m n >=< ()()() ()000lim 0 0x x f x g x f x g x →?? ??=∞????? ()()()()()0000000,00g x g x f x g x f x ≠=≠== (特别地，当()()00 lim 0 x x f x g x →=（不定型）时，通常分子 分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解) 【题型示例】求值2 3 3 lim 9 x x x →--
大一上学期高等数学复习大纲
1 《高等数学A （一）普本》期末复习 函数与极限 1.会求函数定义域；会将复合函数进行拆分;了解基本初等函数的性质。 2.了解极限概念；会利用极限的四则运算法则和复合运算法则求极限：会讨论(1)a a ∞>型极限或arctan ∞型极限 3.掌握两个重要极限. 4.会比较无穷小;掌握常见的等价无穷小，并利用等价无穷小求极限; 会利用无穷小乘有界仍是无穷小来求极限 5.会求分段函数(或可转化为分段函数的函数，如含绝对值的函数)在分段点处的左右极限，会判断函数在分段点处极限是否存在. 6. 能根据极限确定极限表达式中的参数 7.了解连续定义，会判是否间断点及第一类断间断点的类型和是否无穷间断点. 会补充或改变可去间断点的函数值的定义，使()f x 在该点连续. 8.会求函数的水平渐近线和垂直渐近线及斜渐近线 9.了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最值存在性、介值定理（零点原理））； 会用零点原理证明方程根的存在性 导数与微分 1.理解导数定义；了解左右导数概念；在已知一点导数的情况下，会利用导数定义求特殊类型的极限. 2.了解导数的几何意义，会利用几何意义求曲线在一点的切线和法线方程. 3.了解可导与连续的关系. 4.掌握求导法则和常用的求导公式（基本初等函数的求导公式必须熟练），会求初等函数的导数. 5.了解微分定义，掌握可微与可导之间的关系，会求微分. 6.会求具体函数或简单的抽象函数的二阶导数 7.会求隐函数确定的函数的导数（含二阶导数），会用对数求导法将幂指函数或由多个函数乘积或商或开、平方运算得到函数的导数。 8. 会求参数方程确定函数的导数（含二阶导数）
高等数学中三重积分曲面积分的计算问题
讨论高等数学 三重积分、第一类曲面积分的问题 一、 前言 在学习第一类曲线积分与三重积分之后，会发现它们的计算有些不同但又相似，实际上最根本的原因还是对概念的不理解，只要理解概念加以思考，这些问题就应然而解。 二、 问题 （1） 三重积分与第一类曲面积分的概念； （2） 第一类曲面积分的曲面的微元 dxdy Z Z dS xy D y x ??++=221 （3） 三重积分与第一类曲面积分的物理意义，三重积分在计算的过程中不能把积分趋 于带入到被积函数中，而三重积分的积分曲面可以带入到被积函数中去； 三、 解决方法 （1） 概念 三重积分 设()z y x f ,,是空间有界闭区域Ω上的有界函数，将Ω任意分割成为n 个小闭区域， n v v v v ????，，，321，其中v ?，表示第i 个小闭区域，也带表第i 个小闭区域的体积，在 每一个v ?中任取一点()i i i ζηξ,,，做乘积()i i i i v f ?ζηξ,,，* ?Z i ，并做和()i n i i i i v f ?∑=1 ,,ζηξ， 如果当各个小闭区域直径中的最大λ趋于零时，这时和的极限总是存在的，则此极限为函数()z y x f ,,在闭区域Ω中的三重积分，记作 ()???Ω dv z y x f ,,，即 ()???Ω dv z y x f ，，=()∑=→?n i i i i i v f 1 ,,lim ζηξλ ，其中dv 为体积的微元。 曲面积分
设曲面∑是光滑的，函数()z y x f ,,在曲面∑上的有界函数，把曲面∑认为分成n 个小块S ?,其中S ?，表示第i 个小闭区域，也带表第i 个小闭区域的面积，设()i i i ζηξ,,是S ?上的任意一点，做乘积()i i i i S f ?ζηξ,,,如果当各个小闭区域直径中的最大λ趋于零时, 这时和的极限总是存在的, 则此极限为函数()z y x f ,,在闭区域中∑的曲面积分，成为第 一类曲面积分，记作为 ??∑ dS z y x f ),,(，即 ??∑ dS z y x f ),,(= ()∑=→?n i i i i i S f 1 ,,lim ζηξλ。 （2） 第一类曲面积分的曲面的微元 如图所示，设曲面方程为()y x f z ,=，在曲面上任选一点()i i i ζηξ,,，那么在这一点必定存在一个切平面∑，切平面∑与xoy 平面的夹角为γ，在曲面上任选一个0→λ的趋于dS ,它在xoy 平面上的投影为σd 。由于σd 很小，那么它对应的在曲面()y x f z ,=中的部分曲面可以近似的认为是一个平面，则求得γ σ c o s d dS = ○1；()()1 ,,1 cos 22 ++= y x F y x F z x γ，证明：()()z y x f z y x F -=,,,，现在求得曲面中任意一点 的法向量()()()1,,,,,,y x f y x f z F y F x F n y x =??? ? ????????=→ ，取xoy 平面中的法向量()1,0,0=→a ，∴ ()()()()1 ,,1 1 ,,11 cos 2222++= ++-= y x F y x F y x F y x F z x z x γ()y x f z ,= ∴()y x F x ,() y x F y ,相当于z 对y x ,分别求偏倒，所有得公式()()1 ,,1 cos 22++= y x F y x F z x γ带入○1中得： ()()σd y x f y x f dS z x 1,,22++= ，∴()()?? ++=xy D z x d y x f y x f S σ1,,2 2 （3） 物理意义
大一第一学期期末高等数学(上)试题及答案
1、(本小题5分) 求极限 lim x x x x x x →-+-+-233 21216 29124 2、(本小题5分) .d )1(2 2x x x ? +求 3、(本小题5分) 求极限limarctan arcsin x x x →∞ ?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) ． 求dt t dx d x ? +2 21 6、(本小题5分) ??. d csc cot 46x x x 求
（第七题删掉了） 8、(本小题5分) 设确定了函数求．x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),2 2 9、(本小题5分) ． 求dx x x ?+3 1 10、(本小题5分) 求函数 的单调区间 y x x =+-422 11、(本小题5分) ． 求? π +20 2sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) ．，求设 dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求 ．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226
14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分) . d cos sin 12cos x x x x ? +求 二、解答下列各题 (本大题共2小题，总计14分) 1、(本小题7分) ,,512沿一边可用原来的石条围平方米的矩形的晒谷场某农场需建一个面积为.,,才能使材料最省多少时问晒谷场的长和宽各为另三边需砌新石条围沿 2、(本小题7分) . 823 2体积轴旋转所得的旋转体的所围成的平面图形绕和求由曲线ox x y x y == 三、解答下列各题 ( 本 大 题6分 ) 设证明有且仅有三个实根f x x x x x f x ()()()(),().=---'=1230 (答案)
关于高等数学B上复习资料归纳
华南理工大学网络教育学院 《高等数学（上）》辅导 一、 求函数值 例题： 1、若2()f x x =，()x x e ?=，则(())f x ?= ． 解：() 2 2(())()x x x f x f e e e ?=== 2、若(1)21f x x -=+，则()f x = ． 解：令1x t -=，则1x t =+ 所以()2(1)123f t t t =++=+ 即 ()23f x x =+ 二、 常见的等价无穷小及等价无穷小替换原理 常见的等价无穷小： 无穷小替换原理：在求极限过程中，无穷小的因子可以用相应的等价无 穷小替换 例题： 1、320sin 3lim x x x →=？ 解：当0sin3~3x x x →， ， 原式=3 200(3)lim lim270x x x x x →→== 2、0sin3lim x x x →=？ 解：原式=03lim 3x x x →=
3、201-cos lim x x x →=？ 解：当2 10cos ~2x x x →，1- 原式=220112lim 2 x x x →= 4、0ln(13) lim x x x →+=？ 解：当03)~3x x x →，ln(1+ 原式=.03lim 3x x x →=. 5、201 lim x x e x →-=？ 解：当201~2x x e x →-， 原式=.02lim 2x x x →=. 三、 多项式之比的极限 2lim 03x x x x →∞=+，22 11lim 33x x x x →∞-=+，23lim x x x x →∞+=∞ 四、 导数的几何意义（填空题） 0()f x '：表示曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处的切线斜率 曲线..()y f x =..在点00(,())M x f x 处的切线方程为： 曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处的法线方程为： 例题： 1、曲线44x y x += -在点(2,3)M 的切线的斜率．
2018高等数学E高等数学复习大纲
期末复习大纲 上课认真听，作业认真写，复习资料认真做，考试就是一个小测试而已。养成不应付的好习惯，认真和自律的人从来不担心脚下是否有路。 预祝大学考得好成绩！ 第一章 函数与极限 函数的定义：设有两个变量,x y ，且x D ∈（非空集合），若对每个x D ∈，通过法则f ，有唯一的y R ∈和它对应，称f 为定义在D 上的函数。 常用的函数：[]y x =（取整函数），sgn y x =（符号函数），||y x =（绝对值函数） 函数的特性：单调性：若对任意12x x <，有12()()f x f x <，称函数单调递增。 若对任意12x x <，有12()()f x f x >，称函数单调递减。 周期性：若对任意x ，恒有()()f x f x T =+，称T 为函数周期。 奇偶性：若()()f x f x -=-，为奇函数，图像关于原点对称。 若()()f x f x -=，为偶函数，图像关于y 轴对称。 有界性：存在0M >，使得|()|f x M <。 掌握反函数，复合函数定义。 反三角函数定义域及值域：
初等函数定义：由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数, 称为初等函数。例如 21x y -=, y =sin 2x , 2 cot x y =等都是初等函数。 例 求下列函数的定义域 1(1) a r c c o s 3x y -=； 1 (2)sin 1 y x =- 例 判断下列函数的奇偶性 sin (1)2cos x x y x = + (2)ln(y x = 例 判断下列函数的性有界性 2(1)sin cos sin cos y x x x x =++? 数列的极限： 描述性定义 当n 无限增大时，对应的x n 无限接近于某个确定的常数a ，那么常数a 就称为数列x n 的极限, 或者称数列{x n }收敛于a , 记为 a x n n =∞ →lim 或x n →a (n →∞). 如果数列没有极限, 就说数列是发散的. 严格定义 例 求下列数列的极限 31 (1)lim 4n n n →∞+ 1(1)(2)lim n n n n -→∞+- 函数的极限定义： 描述性定义 当|x|无限增大时，对应的分f(x) 无限接近于某个确定的常数A ，那么常数A 就称为函数f(x) 的极限, 或者称函数f(x) 收敛于A , 记为 f(x)→A (x →∞). 如果数列没有极限, 就说数列是发散的.
大一(第一学期)高数期末考试题及答案
( 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是 等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. … 4. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 5. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 6. , 7. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 8. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 9. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 10. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 11. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .