新高考数学试题(及答案)

新高考数学试题(及答案) 一、选择题

1．设

1i

2i

1i

z

-

=+

+

，则||z =

A．0B．

1

2

C．1D．2

2．已知长方体的长、宽、高分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）

A．25πB．50πC．125πD．都不对

3．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是（）

A．

1

10

B．

3

10

C．

3

5

D．

2

5

4．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )

A．B．

C．D．

5．已知F1，F2分别是椭圆C:

22

22

1

x y

a b

+= (a>b>0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则椭圆C离心率的取值范围是( )

A．

2

,1

3

??

?

???B．

12

,

32

?

?

??

C．

1

,1

3

??

?

???D．

1

0,

3

??

?

??

6．已知平面向量a,b是非零向量,|a|=2,a⊥(a+2b),则向量b在向量a方向上的投影为()

A．1B．-1C．2D．-2

7．已知函数()

25,1,

,1,

x ax x

f x a

x

x

?---≤

?

=?

>

??

是R上的增函数，则a的取值范围是（）

A ．30a -≤<

B ．0a <

C ．2a ≤-

D ．32a --≤≤

8．5

22x x ??+ ??

?的展开式中4x 的系数为 A ．10

B ．20

C ．40

D ．80

9．一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X 是一个随机变量,其分布列为P (X ),则P (X =4)的值为 A ．1220

B ．2755

C ．

2125

D ．

27

220

10．已知,a b 是非零向量且满足(2)a b a -⊥，(2)b a b -⊥，则a 与b 的夹角是（ ） A ．

6

π B ．

3

π C ．23

π D ．

56

π 11．在[0,2]π内，不等式3

sin x <-的解集是（ ） A ．(0)π，

B ．4,33ππ??

??

?

C ．45,33ππ??

???

D ．5,23ππ??

???

12．已知P 为双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>上一点，12F F ，

为双曲线C 的左、右焦点，若112PF F F =，且直线2PF 与以C 的实轴为直径的圆相切，则C 的渐近线方程为（ ） A ．4

3

y x =±

B ．34

y

x C ．35

y x =±

D ．53

y x =±

二、填空题

13．事件,,A B C 为独立事件，若()()()111,,688

P A B P B C P A B C ?=

?=??=，则()P B =_____．

14．在ABC 中，60A =?，1b =，面积为3，则

sin sin sin a b c

A B C

________．

15．幂函数y=x α,当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线(如图).设点A (1,0),B (0,1),连接AB ,线段AB 恰好被其中的两个幂函数y=x α,y=x β的图像三等分,即有BM=MN=NA ,那么,αβ等于_____.

16．已知直线：与圆

交于两点，过分别作的垂线与

轴交于

两点.则

_________.

17．计算：1726

cos()sin 43

ππ-

+=_____． 18．高三某班一学习小组的,,,A B C D 四位同学周五下午参加学校的课外活动，在课外活

动中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在散步，①A 不在散步，也不在打篮球；②B 不在跳舞，也不在散步；③“C 在散步”是“A 在跳舞”的充分条件；④D 不在打篮球，也不在散步；⑤C 不在跳舞，也不在打篮球.以上命题都是真命题，那么D 在_________.

19．已知集合P 中含有0,2,5三个元素,集合Q 中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q 中的元素为a+b ,其中a ∈P ,b ∈Q ,则集合P+Q 中元素的个数是_____. 20．函数()lg 12sin y x =-的定义域是________．

三、解答题

21．已知等差数列{}n a 满足：12a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得60800n S n >+ ？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由. 22．

在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,

,

x t y kt =??

=?（t 为参数），直线l 2的参数方程为

2,,x m m m y k =-+??

?

=??

（为参数）.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设

()3:cos sin 20l ρθθ+=，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.

23．已知数列｛n a ｝的前n 项和Sn ＝n 2－5n (n∈N +）． （1）求数列｛n a ｝的通项公式； （2）求数列｛

1

2n

n a +｝的前n 项和Tn . 24．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，3

BAD π∠=，PAD ?是等边

三角形，F 为AD 的中点，PD BF ⊥.

（1）求证：AD PB

⊥；

（2）若E在线段BC上，且

1

4

EC BC

=，能否在棱PC上找到一点G，使平面DEG⊥

平面ABCD？若存在，求四面体D CEG

-的体积.

25．某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2018年连续六个月的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示

（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润y（单位：百万元）与月份代码x 之间的关系，求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2019年3月份的利润；

（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有,A B两种型号的新型材料

可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏

的年限不同，现对,A B两种型号的新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试，得到

两种新型材料使用寿命的频数统计如下表：

使用寿命/材料

类型

1个月2个月3个月4个月总计A20353510100 B10304020100如果你是甲公司的负责人，你会选择采购哪款新型材料？

参考数据：

6

1

96 i

i

y =

=

∑6

1

371 i i

i

x y =

=

∑

参考公式：回归直线方程???y

bx a =+，其中()()()

()1

1

2

22

1

1

?=

n n

i

i

i i

i i n

n

i

i

i i x x y y x y nxy

b x x x

nx

====---=--∑∑∑∑

26．已知函数()1f x ax lnx =--，a R ∈．

(Ⅰ)讨论函数()f x 的单调区间；

(Ⅱ)若函数()f x 在1x =处取得极值，对()0,x ?∈+∞，()2f x bx ≥-恒成立，求实数

b 的取值范围．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．C 解析：C 【解析】

分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，然后求解复数的模.

详解：()()()()

1i 1i 1i

2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+ i 2i i =-+=，

则1z =，故选c.

点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.

2．B

解析：B 【解析】 【分析】

根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，求得2

25

2

R =，再由球的表面积公式，即可求解． 【详解】

设球的半径为R ，根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，可得

2R =2

252R =

，所以球的表面积为2

2544502

S R πππ==?

=球. 故选：B 【点睛】

本题主要考查了长方体的外接球的性质，以及球的表面积的计算，其中解答中熟练应用长方体的对角线长等于其外接球的直径，求得球的半径是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．

3．C

解析：C 【解析】 【分析】

设第一张卡片上的数字为x ，第二张卡片的数字为y ，问题求的是()P x y ≤， 首先考虑分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，有多少种可能，再求出x y ≤的可能性有多少种，然后求出()P x y ≤. 【详解】

设第一张卡片上的数字为x ，第二张卡片的数字为y ， 分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，共有5525?=种情况， 当x y ≤时，可能的情况如下表：

()255

P x y ≤=

=，故本题选C .

【点睛】

本题考查用列举法求概率，本问题可以看成有放回取球问题.

4．C

解析：C 【解析】 【分析】

从正视图和侧视图上分析，去掉的长方体的位置应该在的方位，然后判断俯视图的正确图形． 【详解】

由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向，从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的右侧， 由以上各视图的描述可知去掉的长方体在原长方体的右上方，其俯视图符合C 选项． 故选C ．

点评：本题考查几何体的三视图之间的关系，要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义． 考点：三视图．

5．C

解析：C 【解析】 如图所示，

∵线段PF 1的中垂线经过F 2，

∴PF 2＝12F F ＝2c ，即椭圆上存在一点P ，使得PF 2＝2c. ∴a－c≤2c≤a＋c.∴e＝

1

[,1)3

c a ∈.选C. 【点睛】求离心率范围时，常转化为x,y 的范围，焦半径的范围，从而求出离心率的范围。本题就是通过中垂线上点到两端点距离相等，建立焦半径与,,a b c 的关系，从而由焦半径的范围求出离心率的范围。

6．B

解析：B 【解析】 【分析】

先根据向量垂直得到a (a +2b ),=0，化简得到a b =﹣2，再根据投影的定义即可求出． 【详解】

∵平面向量a ,b 是非零向量,|a |=2,a ⊥(a +2b ), ∴a (a +2b ),=0， 即()

2

·20a a b += 即a b =﹣2

∴向量b 在向量a 方向上的投影为·2

2

a b a -==﹣1， 故选B ． 【点睛】

本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．

7．D

解析：D 【解析】 【分析】

根据分段函数的单调性特点，两段函数在各自的定义域内均单调递增，同时要考虑端点处的函数值. 【详解】

要使函数在R 上为增函数，须有()f x 在(,1]-∞上递增，在(1,)+∞上递增，

所以21,20,115,

1a a a a ?-≥??

，解得32a --≤≤.

故选D. 【点睛】

本题考查利用分段函数的单调性求参数的取值范围，考查数形结合思想、函数与方程思想的灵活运用，求解时不漏掉端点处函数值的考虑.

8．C

解析：C 【解析】

分析：写出10315

2r

r

r r T C x -+=，然后可得结果

详解：由题可得()

52

10315

522r

r

r r r r

r T C x C x x --+??== ?

??

令103r 4-=,则r 2= 所以225

52240r

r C C =?=

故选C.

点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题。

9．D

解析：D 【解析】 【分析】

旧球个数x=4即取出一个新球，两个旧球，代入公式即可求解． 【详解】

因为从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数为x=4，即旧球增加一

个，所以取出的三个球中必有一个新球，两个旧球，所以12933

1227

(4)220

C C P X C ===，故选

D ． 【点睛】

本题考查离散型随机变量的分布列，需认真分析P(X=4)的意义，属基础题．

10．B

解析：B 【解析】 【分析】

利用向量垂直求得2

2

2a b a b ==?，代入夹角公式即可.

【详解】

设,a b 的夹角为θ；

因为(2)a b a -⊥，(2)b a b -⊥， 所以2

2

2a b

a b ==?，

则22

|2,|2a a b b a b =??=，

则2

2

12cos ,.23a

a b a b a

πθθ?===∴=

故选：B 【点睛】

向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式cos a b a b θ?=；二是向量的平方等于向量模的平方2

2

a a =.

11．C

解析：C 【解析】 【分析】

根据正弦函数的图象和性质，即可得到结论． 【详解】

解：在[0，2π]内，

若sin x 3

2

-

＜，则43π＜x 53π＜， 即不等式的解集为（43π，53

π）， 故选：C ． 【点睛】

本题主要考查利用三角函数的图象与性质解不等式，考查数形结合的思想，属于基础题．

12．A

解析：A 【解析】 【分析】

依据题意作出图象，由双曲线定义可得1122PF F F c ==，又直线PF 2与以C 的实轴为直径的圆相切，可得2MF b =，对2OF M ∠在两个三角形中分别用余弦定理及余弦定义列方程，即可求得2b a c =+，联立222c a b =+，即可求得4

3

b a =，问题得解． 【详解】

依据题意作出图象，如下：

则1122PF F F c ==，OM a =， 又直线PF 2与以C 的实轴为直径的圆相切， 所以2OM PF ⊥,

所以2MF b =

=

由双曲线定义可得：212PF PF a -=，所以222PF

c a =+， 所以()()()()

222

22222cos 2222c a c c b OF M c c a c ++-∠==??+

整理得：2b a c =+，即：2b a c -= 将2c b a =-代入222c a b =+，整理得：4

3

b a =， 所以C 的渐近线方程为43

b y x x a =±=± 故选A 【点睛】

本题主要考查了双曲线的定义及圆的曲线性质，还考查了三角函数定义及余弦定理，考查计算能力及方程思想，属于难题．

二、填空题

13．【解析】【分析】【详解】分析：根据独立事件的关系列出方程解出详解：设因为所以所以所以点睛：本题主要考查相互独立事件的概率的乘法公式及对立事件的概率关系属于中档题

解析：1

2

【解析】 【分析】 【详解】

分析：根据独立事件的关系列出方程，解出()P B . 详解：设()()()P A a,P B b,P C c ===, 因为()()()111,,688

P A B P B C P A B C ?=

?=??=， 所以()()16118118ab b c ab c ?

=??

?

-=??

?

-=??

所以

111 a,b,

324

c

===

所以()1

P B

2

=

点睛：本题主要考查相互独立事件的概率的乘法公式及对立事件的概率关系，属于中档题．

14．【解析】【分析】由已知利用三角形面积公式可求c进而利用余弦定理可求a的值根据正弦定理即可计算求解【详解】面积为解得由余弦定理可得：所以故答案为：【点睛】本题主要考查了三角形面积公式余弦定理正弦定理在

【解析】

【分析】

由已知利用三角形面积公式可求c，进而利用余弦定理可求a的值，根据正弦定理即可计算求解.

【详解】

60

A=?，1

b=

11

sin1

22

bc A c

==??,

解得4

c=，

由余弦定理可得：

a===，

所以

13239

sin sin sin sin3

3

2

a

b c a

A B C A,

【点睛】

本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.

15．【解析】【分析】由条件得MN则结合对数的运算法则可得αβ=1【详解】由条件得MN可得即α=loβ=lo所以αβ=lo·lo=1【点睛】本题主要考查幂函数的性质对数的运算法则及其应用等知识意在考查学生

解析：【解析】

【分析】

由条件,得M

12

,

33

??

?

??

,N

21

,

33

??

?

??

,则

1221

,

3333

αβ

????

==

? ?

????

,结合对数的运算法则可得αβ=1.

【详解】

由条件,得M

12

,

33

??

?

??

,N

21

,

33

??

?

??

,

可得1221

,

3333

αβ????==

? ?

????

,

即α=lo2

31 3

g,β=lo

1

32 3

g.

所以αβ=lo2

31 3

g·lo

1

3

12 233

·

21 3

33

lg lg

g

lg lg

==1.

【点睛】

本题主要考查幂函数的性质，对数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

16．4【解析】试题分析：由x-3y+6=0得x=3y-6代入圆的方程整理得y2-

33y+6=0解得y1=23y2=3所以x1=0x2=-3所以|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=23又直线l的解析：4

【解析】

试题分析：由，得，代入圆的方程，整理得

，解得，所以，所以

．又直线的倾斜角为，由平面几何知识知在梯形中，．

【考点】直线与圆的位置关系

【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系的非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．

17．【解析】【分析】利用诱导公式化简题目所给表达式根据特殊角的三角函数值求得运算的结果【详解】依题意原式【点睛】本小题主要考查利用诱导公式化简求值考查特殊角的三角函数值考查化归与转化的数学思想方法属于基32

+

【解析】

【分析】

利用诱导公式化简题目所给表达式，根据特殊角的三角函数值求得运算的结果.

【详解】 依题意，原式

17π26ππ2πcos

sin cos 4πsin 8π4343????=+=+++ ? ?????π2π32cos sin 432+=+=. 【点睛】 本小题主要考查利用诱导公式化简求值，考查特殊角的三角函数值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.利用诱导公式化简，首先将题目所给的角，利用诱导公式变为正角，然后转化为较小的角的形式，再利用诱导公式进行化简，化简过程中一定要注意角的三角函数值的符号.

18．画画【解析】以上命题都是真命题∴对应的情况是：则由表格知A 在跳舞B 在打篮球∵③C 在散步是A 在跳舞的充分条件∴C 在散步则D 在画画故答案为画画

解析：画画 【解析】

以上命题都是真命题， ∴对应的情况是：

则由表格知A 在跳舞，B 在打篮球，

∵③“C 在散步”是“A 在跳舞”的充分条件，

∴C 在散步， 则D 在画画， 故答案为画画

19．8【解析】【详解】由题意知a∈Pb∈Q 则a+b 的取值分别为123467811故集合P+Q 中的元素有8个点睛：求元素(个数)的方法根据题目一一列举可能取值(应用列举法和分类讨论思想)然后根据集合元素的

解析：8 【解析】 【详解】

由题意知a ∈P ,b ∈Q ,则a+b 的取值分别为1,2,3,4,6,7,8,11.故集合P+Q 中的元素有8个. 点睛：求元素(个数)的方法，根据题目一一列举可能取值(应用列举法和分类讨论思想)，然后根据集合元素的互异性进行检验，相同元素重复出现只算作一个元素，判断出该集合的所有元素，即得该集合元素的个数．

20．【解析】由题意可得函数满足即解得即函数的定义域为

解析：513|22,66x k x k k Z ππππ??+<<+∈????

【解析】

由题意可得，函数lg(12sin )y x =-满足12sin 0x ->，即1

sin 2

x ， 解得

51322,66

k x k k Z ππππ+<<+∈， 即函数lg(12sin )y x =-的定义域为513{|

22,}66

x k x k k Z ππ

ππ+<<+∈. 三、解答题

21．(1) 通项公式为2n a = 或42n a n =-;(2) 当2n a = 时，不存在满足题意的正整数

n ；当42n a n =- 时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41.

【解析】 【详解】

（1）依题意，2,2,24d d ++成等比数列， 故有()()2

2224d d +=+， ∴240d d -=，解得4d =或0d =. ∴()21442n a n n =+-?=-或2n a =.

（2）当2n a = 时，不存在满足题意的正整数n ； 当42n a n =-，∴()224222

n n n S n ??+-??

=

=.

令2260800n n >+，即2304000n n -->， 解得40n >或10n <-（舍去）， ∴最小正整数41n =.

22．（1）()22

40x y y -=≠（2

【解析】

（1）消去参数t 得1l 的普通方程()1:2l y k x =-；消去参数m 得l 2的普通方程

()21

:2l y x k

=

+. 设(),P x y ,由题设得()()21

2y k x y x k ?=-??=+??

，消去k 得()22

40x y y -=≠. 所以C 的普通方程为()2

2

40x y y -=≠.

（2）C 的极坐标方程为()()2

2

2

cos sin 402π,πρ

θθθθ-=<<≠.

联立()

(

)222

cos sin 4,cos sin 0

ρθθρθθ?-=??+=??得()cos sin 2cos sin θθθθ-=+.

故1

tan 3

θ=-

， 从而2

291cos ,sin 1010

θθ==. 代入()2

2

2

cos sin 4ρ

θθ-=得2

5ρ

=，

所以交点M

【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程. 23．（1）26()n a n n N +=-∈；（2）1

12n n

n T -=-- 【解析】 【分析】

（1）运用数列的递推式：11,1

,1n n

n S n a S S n -=?=?->?，计算可得数列｛n a ｝的通项公式；

（2）结合（1）求得1322n n n

a n +-=，运用错位相减法,结合等比数列的求和公式，即可得到数列｛

1

2n

n a +｝的前n 项和n T . 【详解】

（1）因为11,1,1

n n n S n a S S n -=?=?->?，()2

5n S n n n N +=-∈

所以114a S ==-, 1n >时,()()2

2

515126n a n n n n n =---+-=- 1n =也适合，所以()+26N n a n n =-∈

（2）因为13

22

n n n

a n +-=， 所以

12121432222

n n n n n T -----=

++???++ 23112143

22222

n n n n n T +----=++???++ 两式作差得：121

1

211322222n n n n T +--=++???+- 化简得1

1

11222n n n T +-=--， 所以1

12n n

n T -=--. 【点睛】

本题考查数列的通项公式的求法，等比数列的求和公式，考查数列的错位相减法，属于中档题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -. 24．（1）证明见解析；（2）112

. 【解析】 【分析】

（1）连接PF ，BD 由三线合一可得AD ⊥BF ，AD ⊥PF ，故而AD ⊥平面PBF ，于是AD ⊥PB ； （2）先证明PF ⊥平面ABCD ，再作PF 的平行线，根据相似找到G ，再利用等积转化求体积． 【详解】 连接PF ，BD,

∵PAD ?是等边三角形，F 为AD 的中点，

∴PF ⊥AD ，

∵底面ABCD 是菱形，3

BAD π

∠=

，

∴△ABD 是等边三角形，∵F 为AD 的中点， ∴BF ⊥AD ，

又PF ，BF ?平面PBF ，PF ∩BF ＝F ， ∴AD ⊥平面PBF ，∵PB ?平面PBF ， ∴AD ⊥PB ．

（2）由（1）得BF ⊥AD ，又∵PD ⊥BF ，AD ，PD ?平面PAD ， ∴BF ⊥平面PAD ，又BF ?平面ABCD ， ∴平面PAD ⊥平面ABCD ，

由（1）得PF ⊥AD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ， ∴PF ⊥平面ABCD ，

连接FC 交DE 于H,则△HEC 与△HDF 相似，又1142EC BC FD ==，∴CH=1

3

CF ， ∴在△PFC 中,过H 作GH //PF 交PC 于G ，则GH⊥平面ABCD ，又GH ?面GED ，则面GED⊥

平面ABCD ， 此时CG=

1

3

CP, ∴四面体D CEG -的体积

1

11311

223

38312

D CEG G CED CED

V V S

GH PF --==?=???=． 所以存在G 满足CG=13CP, 使平面DEG ⊥平面ABCD ，且112

D CEG V -=. 【点睛】

本题考查了线面垂直的判定与性质定理，面面垂直的判定及性质的应用，考查了棱锥的体积计算，属于中档题．

25．(1) ?29y

x =+ , 31百万元；(2) B 型新材料. 【解析】 【分析】

(1)根据所给的数据，做出变量,x y 的平均数，求出最小二乘法所需要的数据，可得线性回归方程的系数b ,再根据样本中心点一定在线性回归方程上，求出a 的值，写出线性回归方程；将11x =代入所求线性回归方程，求出对应的y 的值即可得结果； (2)求出A 型新材

料对应产品的使用寿命的平均数与B 型新材料对应产品的使用寿命的平均数，比较其大小即可得结果. 【详解】

（1）由折线图可知统计数据(),x y 共有6组，

即(1,11)，(2,13)，(3,16)，(4,15)，(5,20)，(6,21)， 计算可得123456

3.56

x +++++=

=，

6111

91666

i

i y ==?=∑ 所以()

12

21?n

i i i n i

i x y nxy

b

x n x ==-==-∑

∑

37163.516

217.5

-??=，

1??62 3.59?a

y bx =-=-?=， 所以月度利润y 与月份代码x 之间的线性回归方程为?29y x =+. 当11x =时，211931?y

=?+=. 故预计甲公司2019年3月份的利润为31百万元.

（2）A 型新材料对应产品的使用寿命的平均数为1 2.35x =，B 型新材料对应的产品的使用寿命的平均数为2 2.7x =，12x x < ∴，

应该采购B 型新材料. 【点睛】

本题主要考查线性回归方程的求解与应用，属于中档题.求回归直线方程的步骤：①依据样

本数据确定两个变量具有线性相关关系；②计算,x y 的值；③计算回归系数??,a

b ；④写出回归直线方程为???y

bx a =+； 回归直线过样本点中心(),x y 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.

26．(1) 当0a ≤时，()f x 的单调递减区间是(0,)+∞，无单调递增区间；当0a >时，()f x 的单调递减区间是10,

a ?

? ???，单调递增区间是1,a ??

+∞ ?

??

(2) 211b e -≤ 【解析】 【分析】 【详解】

分析：（1）求导()f x '，解不等式()0f x '>，得到增区间，解不等式()0f x '<，得到减区间；

（2）函数f （x ）在x=1处取得极值，可求得a=1，于是有f （x ）≥bx ﹣2?1+

1

x

﹣lnx x ≥b ，构造函数g （x ）=1+1x

﹣lnx

x ，g （x ）min 即为所求的b 的值 详解：

（1）在区间()0,∞+上， ()11ax f x a x x

-'=-

=， 当0a ≤时， ()0f x '<恒成立， ()f x 在区间()0,∞+上单调递减； 当0a >时，令()0f x '=得1x a

=

， 在区间10,a ??

???

上，()0f x '<，函数()f x 单调递减，

在区间1,a ??

+∞

???

上，()0f x '>，函数()f x 单调递增. 综上所述：当0a ≤时， ()f x 的单调递减区间是()0,∞+，无单调递增区间； 当0a >时，()f x 的单调递减区间是10,

a ?

? ???，单调递增区间是1,a ??

+∞ ???

（2）因为函数()f x 在1x =处取得极值， 所以()10f '=，解得1a =，经检验可知满足题意 由已知()2f x bx ≥-，即1ln 2x x bx --≥-， 即1ln 1+

x

b x x

-≥对()0,x ?∈+∞恒成立， 令()1ln 1x g x x x

=+-， 则()222

11ln ln 2x x g x x x x -='--

-=， 易得()g x 在(2

0,e ??上单调递减，在)

2,e ?+∞?上单调递增，

所以()()

2

2min 11g x g e

e ==-

，即

2

1

1b e -≤. 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：

（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；

（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为

min ()0f x >，若()0f x <恒成立，转化为max ()0f x <;

（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为min max ()()f x g x >