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第2课时函数的单调性与最值

【A级】基础训练

1.（原创题）已知函数尸沧）满足/（?2）＞A?i）/（?i）＜/（0）,则下列结论正确的是（）?

A.函数y=/（兀）在区间[-2,-1] h单调递减，在区间卜1,0]上单调递增

B.函数y=/U）在区间1-2,-1]±单调递增，在区间卜1,0]上单调递减

C.函数尹=心）在区间卜2,0]上最小值是/（-I）

D.以上的三个结论都不正确

2.（2014?吉林模拟）已知函数心）=（。＞0,

且aHl）是R上的减函数，则a的取值范围是

（）.

A. (0,1)

3.（2014 ?江西模拟）函数J（x）=\x\和g（x）=x（2-x）的递增区间依次是（）.

A.（?8,0],（?oo,l]

B.（?8,0],[l,+8）

c. [0,+g）,（gl]

D. [0,+g）,[l,+g）

4.（2014 -河南模拟）已知定义在R上的函数./（x）是增函数,则满足Xx）＜/（2x-3）的x的取值范围

是_______ .

5.（2014?浙江模拟）已知.心）是定义在R上是奇函数,且当兀＞0时金）*+a,若./?在R上是单调函数,则实数d的最小值是 _______ .

6.（2013 ?河南模拟）定义在R上的偶函数/（X）在[0,+oo）上是增函数，则方程.心）=/（2「3）的所有

实数根的和为________ .

/（JT）=丄—丄（d＞0,JT＞0）?

7.己知函数「 a X

（1）求证金）在（0, +oo）上是单调递增函数;

⑵若/（X）在上的值域是，求Q的值.

& (2014 ?太原模拟)函数/(x)对任意的加,都有/(〃?+〃)=/(〃)并且x>0时，恒有加>1.

(1)求证7U)在R上是增函数；

(2)若夬3)=4,解不等式加2+/5)V2.

【B级】能力提升

1.(2014 ?山东模拟)已知函数&)=,?2处+5在(?oo,2]上是减函数,且对任意的X]A2e[l^+l], 总有|心)介2)04,则实数G的取值范围为().

A.[l,4]

B. [2,3]

C.[2,5]

D. [3,+oo)

2.(2014 ?丹东模拟)若/(x)=-x2+2av与g(x)二在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是( )?

A. (-1,0)U(0,1)

B. (-l,0)U((),l]

C. (0,1)

D. (0,1]

3.(2014?陕西模拟)函数y=r-T x是().

A.奇两数，在区间(0,+oc)上单调递增

B.奇函数，在区间(0,+oo)上单调递减

C.偶函数，在区间(4,0)上单调递增

D.偶函数，在区间(a,0)上单调递减

4.(2014?山东模拟)已知一系列函数有如下性质：

函数jr+在(0,1)上是减函数，在[l,+oo)上是增函数；

函数y=x+在(0,)上是减函数，在[,+oo)上是增函数；

函数y=x+在((),)上是减函数，在[,+oo)上是增函数；

利用上面所提供的信息解决问题：

若函数尸x+(x>0)的值域是[6,+oo),则实数m的值是_________ .

5.(2014?北京模拟)函数.心)的定义域为力，若x}^A 11.彼)=心2)吋总有则称./W为

单函数例如:函数./（X）=2X+1（X GR）是单函数

術数A X）=X2（X丘R）是单函数；

參旨数函数,Ax）=2v（xeR）是单函数；

./（X）为单函数丸1卫丘力且X|工也,则代X1）工/（疋）；

④住定义域上具有单调性的函数一定是单函数.

其中的真命题是_______ ?（写出所有真命题的编号）

6.（2014?上海模拟）设函数./U戶在区间（?2,+g）上是增函数，那么a的取值范围是_ .

7.（创新题）已知./（兀）是定义在［-1,1］上的奇函数，且如）=1,若必丘卜l,l］,a+bH0时，有

弘工严）＞0

d+b 成立.

（1）判断加：）在［?1,1］上的单调性，并证明它;

⑶若./U）w加2.2阿+1对所冇的GW卜1,1］恒成立，求实数加的取值范围.

参考答案与解析

【A 级】

1. D

2. B

3.C

4. (3,+s)

5. -1

6. 4

7. (1)设孔 >乂1 >0,则孔—力1 >0,乂［孔>0 9 因为/a )ra )=(+—+) — (?—+)

务,2］上单调递增, 所以，（ + ）=*/⑵=2. 所以易得a = -l-

?

8.

(1 )设 Q <乂2 空

所以乂2 —〉0?

当工>0时,/(x)>b

所以/(X2 一才1 )>1?

/(^2)=/［(.r 2—^1)+心］=/(工2—工1)+于(心)—1， 所以 f (X2)—

/(工1 ) = / (心—)— 1 >0*/(冲)< / (力2)? 所以于(工)在R 上为增函数.

(2)因为m 皿W R 9不妨设〃2 = " = 19

所以 /(1 + 1) = /(1) + /(1)-1^>/(2) = 2/( 1)-1,

/(3) = 4^>/(2 + 1)=4^>/(2)+/(1)-1 = 4^>3/(1)-2 = 4. 所以 /(1) = 2,/(2) = 2X2-1 = 3.

所以 /(u 2+u-5)<2 = /(l)?

因为于(小在R 上为增函数，

所以 a 2 ~\~a — 5< 1亠一3

【B 级】

1 1 工

2 _

XI X2 XI

所以 /（JT2）＞/（J1）.

所以*刃在（O.+x ）上是单调递增的. },2］上的值域是［ （2）因为心在

—>0, b 2

又心）在

l.B 2.D 3. A 4.2 S ②③④ 6. ［l,+oo）

7.

（1 ）任取JC\ 9 =2 & ［— 1 ? 1 ］■且Xl <工2，则一vTz G C — 1 9 叮. 因为*乂）为奇函数，

7CrL\t Z（?（口―工所以/（XI ）= /（O-1）+/（ - J2）=

2），

.ri 十（一X2）

由已他，得- >0"1 —口<0 ,

乂1 十（—JC2）

所以f(X\ )—/(工2)<0.即 / ( 乂1 )

(2)因为心在［—1,1］上单调递增，

所以

1冬乂+ 9冬1,

V

1勺一0

所以一—1.

(3)因为久1)=1金)在卜1,1］上单调递增.

所以在卜1,1］上金)W1.

问题转化为加2.2伽+1 $ 1,即加2.2加?$0,对aG ［-1,1］成立.

卜?而來求m的取值范围.

设g(a)=?2〃？?

(D^i加=(),贝|J g(Q)=()20,对0丘卜1,1］恒成立.

②若加H0贝J g⑷为a的一次函数，若g(d)$o,对67^1-1,1］恒成立，必须g(?l)20,H. g(l)20,

所以mW?2,或m22.

所以tn的取值范围是m=0或加22或W?2.