北京市朝阳区2021届高三数学上学期期中试题
北京市朝阳区2021届高三数学上学期期中试题
(考试时间120分钟满分150分)
本试卷分为选择题(共40分)和非选择题(共110分)两部分
考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分(选择题共40分)
一?选择题共10小题,每小题4分,共40分?在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项?
(1)已知集合2{|20},
{1,0,1,2,3}A x x x B =--≤=-,则A∩B= (A){-1,0,1}
(B){-1,0,1,2} (C){0,1,2} (D){0,1,2,3} (2)已知3(0,),sin(),22
5x x ππ∈-=则sin2x= 12()25A
24()25B 12()25C - 24()25D - (3)已知1
32,a -=2
1211log ,log ,33b c ==则 (A)a>b>c (B)a>c>b
(C)c>a>b (D)c>b>a (4)如图,在△ABC 中,D 是BC 的中点.若,,AB AD ==a b 则AC =
(A)3a -2b (B)a -2b
(C)-a +2b 11()22D +a b (5)“lna>lnb”是“33a b >”的
(A)充分而不必要条件
(B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件
(D)既不充分也不必要条件 (6)已知函数31()cos (0)2
f x x x ωωω=->的图象与直线y=1的相邻两个交点间的距离等于π,则f(x)的图象的一条对称轴是
()12A x π
=- ()12B x π
= ()3C x π
=- ()3D x π
=
(7)在△ABC 中,AB=4,AC=3,且||||,AB AC AB AC +=-则BC CA ?=
(A)-12 (B)-9 (C)9 (D)12
(8)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且当x∈(-∞,0]时,
1
()2,
3
x
f x=+则
2
3
(log)
2
f=
1
()
2
A(B)1
7
()
7
C
11
()
11
D
(9)已知函数
2
2
|1|,7,
()
ln,.
x x e
f x
x e x e
-
-
?+-≤<
=?
≤≤
?
若存在实数m,使得2
()24
f m a a
=-成立,则实数a的取值范围是
(A)[-1,+∞)(B)(-∞,-1]∪[3,+∞)(C)[-1,3] (D)(-∞,3]
(10)已知奇函数f(x)的定义域为(,),
22
ππ
-且()
f x
'是f(x)的导函数.若对任意(,0),
2
x
π
∈-都有()cos()sin0,
f x x f x x
'+<则满足()2cos()
3
f f
π
θθ
()(,)
23
A
ππ
-()(,)(,)
2332
B
ππππ
--?
()(,)
33
C
ππ
-()(,)
32
D
ππ
第二部分(非选择题共110分)
二?填空题共5小题,每小题5分,共25分?
(11)已知向量a=(3,1),b=(t,2),若a//b,则实数t=________.
(12)已知x>0,y>0,xy=1,则x+4y的最小值为________,此时x的值为________.
(13)在一个房间使用某种消毒剂后,该消毒剂中的某种药物含量y(mg/m3)随时间t(h)变化的规律可表示为
1
,0
2
11
,
0)
2
(
at t
y a
at
t
?
<<
??
=?
?≥
>
??
，如图所示,则a=_____;
实验表明,当房间中该药物含量不超过3
0.75mgm时对人体无害,为了不使人体受到该药物的伤害,则使用该消毒剂对这个房间进行消毒后至少经过________小时方可进入.
(14)设{}n a是公差为d的等差数列,n S为其前n项和.能说明“若d>0,则数列{}n S为递增数列”是假命题
的一组1a 和d 的值为________.
(15)公元前2世纪的古希腊天文学家和数学家希帕科斯是三角学的创立者之一,他因天文观测的需要编制了有关三角比率的表格.后人推测希帕科斯在编制表格的过程中本质上使用了公式21cos sin .22αα-=如图是希帕科斯推导此公式时使用的几何图形,已知点B 在以线段AC 为直径的圆O 上,D 为弧BC 的中点,点E 在线段AC 上且AE=AB,点F 为EC 的中点.设OA=,.r DOC α∠=给出下列四个结论:
2sin 2CD r α
=①②AB=2rsin α;③CF=r(1-cos α);222(1cos ).CD r α=-④
其中,正确结论的序号是________.
注:本题给出的结论中,有多个符合题目要求?全部选对得5分,不选或有错选得0分,其他得3分. 三?解答题共6小题,共85分?解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程?
(16)(本小题13分)
已知函数()sin 3cos .f x x x =-
(I)求()3f π及f(x)的最小正周期;
(II)若3[
,],22
x ππ∈求f(x)的值域.
(17)(本小题13分)
已知{}n a 是等差数列,{}n b 是各项都为正数的等比数列,121,a b ==再从条件①?条件②?条件③这三个条件中选择两个作为已知.
(I)求数列{}n a 的通项公式;
(II)求数列{}n b 的前n 项和.
条件①:2410a a +=条件②:244b b =条件③:45.b a =
(18)(本小题14分)
在△ABC 中,AB=2,AC=3.
(I)若B=60°,
(i)求BC;
(ii)设D 是边BC 上一点,且∠ADC=120°,求sinC; (II)若AE 是△ABC 的内角平分线,求AE 的取值范围.
(19)(本小题15分)
已知函数f(x)=x+alnx(a ∈R ).
(I)当a=-1时,求函数f(x)的极值;
(II)若不等式21
()2f x x ax ≤+对任意x>0恒成立,求a 的取值范围.
(20)(本小题15分) 已知函数cos ()(,a x
f x b a x =+b ∈R ).
(I)当a=1,b=0时,判断函数f(x)在区间(0,)2π
内的单调性;
(II)已知曲线cos ()a x f x b x =+在点(,())22f ππ处的切线方程为6
2.
y x π=-+
(i)求f(x)的解析式;
(ii)判断方程3
()2f x π=-1在区间(0,2π]上解的个数,并说明理由.
(21)(本小题15分)
已知数列{}n a 是无穷数列,其前n 项和为.n S 若对任意的正整数m≥2,存在正整数k ,l (1≤k≤l )使得,m k l S a a =+则称数列{}n a 是“S 数列".
(I)若2(1,2,),n a n n ==判断数列{}n a 是否是“S 数列”,并说明理由;
(II)设无穷数列{}n a 的前n 项和(1,2,
),n n S q n ==且q>2,证明数列{}n a 不是“S 数列"; (III)证明:对任意的无穷等差数列{},n a 存在两个“S 数列"{}n b 和{},n c 使得(1,2)n n n a b c n =-=成立.