2019年高三数学下期末模拟试卷(附答案)(2)

2019年高三数学下期末模拟试卷(附答案)(2)

一、选择题

1．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,a b 分别为14,18，则输出的a =（ ）

A ．0

B ．2

C ．4

D ．14

2．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．

成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为

A ．甲、乙、丙

B ．乙、甲、丙

C ．丙、乙、甲

D ．甲、丙、乙

3．

()()3

1i 2i i --+=（ ）

A ．3i +

B ．3i --

C ．3i -+

D ．3i -

4．一动圆的圆心在抛物线2

8y x =上，且动圆恒与直线20x +=相切，则此动圆必过定点（ ） A ．(4,0)

B ．(2,0)

C ．(0,2)

D ．(0,0)

5．已知平面向量a v ,b v 是非零向量,|a v |=2,a v ⊥(a v +2b v ),则向量b v

在向量a v 方向上的投影

为( ) A ．1

B ．-1

C ．2

D ．-2

6．设i 为虚数单位，复数z 满足

21i

i z

=-，则复数z 的共轭复数等于（ ）

A ．1-i

B ．-1-i

C ．1+i

D ．-1+i

7．已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)i z i +=，则z =（ ） A

．

14

B ．

12

C ．

22

D ．2

8．已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（） A ．a b ab += B ．4a b +> C ．()()2

2

112

a b -+-<

D ．228a b +>

9．在ABC ?中，A 为锐角，1lg lg()lgsin lg 2b A c

+==-，则ABC ?为（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形

D ．等腰直角三角形

10．如图所示的组合体，其结构特征是（ ）

A ．由两个圆锥组合成的

B ．由两个圆柱组合成的

C ．由一个棱锥和一个棱柱组合成的

D ．由一个圆锥和一个圆柱组合成的

11．在等比数列{}n a 中，44a =，则26a a ?=（ ） A ．4

B ．16

C ．8

D ．32

12．5

22x x ??+ ??

?的展开式中4x 的系数为 A ．10

B ．20

C ．40

D ．80

二、填空题

13．已知函数()sin ([0,])f x x x π=∈和函数1

()tan 2

g x x =

的图象交于,,A B C 三点，则ABC ?的面积为__________．

14．若x ，y 满足约束条件x y 102x y 10x 0

--≤??-+≥??≥?

，则x

z y 2=-+的最小值为______．

15．在平行四边形ABCD 中，3

A π

∠=

，边AB ，AD 的长分别为2和1，若M ，N 分别是

边BC ，CD 上的点,且满足CN CD

BM BC =u u u u v u u u v u u u v u u u v ，则AM AN ?u u u u v u u u v 的取值范围是_________．

16．若9

()a x x

-的展开式中3x 的系数是84-，则a = ．

17．双曲线22

221x y a b

-=(0a >，0b >)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直

线，点B 为该双曲线的焦点.若正方形OABC 的边长为2，则a=_______________. 18．已知样本数据

，

，

，

的均值

，则样本数据

，

，

，

的均值为 ．

19．已知向量a r 与b r 的夹角为60°，|a r |=2，|b r |=1，则|a r

+2 b r |= ______ .

20．在ABC ?中，若13AB =3BC =，120C ∠=?，则AC =_____．

三、解答题

21．在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为cos sin x t y t α

α=??

=?

（t 为参数，0≤α<π）．以坐

标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为

244cos 2sin ρρθρθ-=-．

(Ⅰ)写出曲线C 的直角坐标方程；

(Ⅱ)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且AB 的长度为5l 的普通方程． 22．某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．

()1设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率； ()2设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期

望．

23．在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为1231x t y ?

=??

??=-??

（t 为参数）.在以

坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中,曲

线C 的极坐标方程是2sin 4πρθ??

=+ ???

.

（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；

（2）设点()0,1P -.若直l 与曲线C 相交于两点,A B ,求PA PB +的值. 24．

在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,

,x t y kt =??=?

（t 为参数），直线l 2的参数方程为

2,,x m m m

y k =-+??

?

=??

（为参数）.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设

()3:cos sin 20l ρθθ+-=，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.

25．（选修4-4：坐标系与参数方程）

在平面直角坐标系xOy ，已知曲线3cos :sin x a

C y a

?=??=??（a 为参数），在以O 原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为2cos()124

π

ρθ+=-． （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；

（2）过点()1,0M -且与直线l 平行的直线1l 交C 于A ，B 两点，求点M 到A ，B 的距离之积．

26．如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A AC C ⊥平面ABC ,90ABC ∠=?，

11

30,,,BAC A A AC AC E F ∠=?==分别是11,AC A B 的中点.

（1）证明：EF BC ⊥；

（2）求直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．B 解析：B 【解析】

【详解】

由a=14，b=18，a＜b，

则b变为18﹣14=4，

由a＞b，则a变为14﹣4=10，

由a＞b，则a变为10﹣4=6，

由a＞b，则a变为6﹣4=2，

由a＜b，则b变为4﹣2=2，

由a=b=2，

则输出的a=2．

故选B．

2．A

解析：A

【解析】

【分析】

利用逐一验证的方法进行求解.

【详解】

若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A．

【点睛】

本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查．

3．B

解析：B

【解析】

【分析】

先分别对分子和分母用乘法公式化简，再分子分母同时乘以分母的共轭复数，化简即得最后结果.

【详解】

由题意得，复数()()()

3

1i2i13i i

13i

3i

i i i i

--+-+?

-+

===--

--?

．故应选B

【点睛】

本小题主要考查复数的乘法和除法的运算，乘法的运算和实数的运算类似，只需要记住

2i1

=-.除法的运算记住的是分子分母同时乘以分母的共轭复数，这一个步骤称为分母实数化，分母实数化的主要目的是将分母变为实数，然后将复数的实部和虚部求出来.属于基础题.

4．B

【解析】 【分析】

设圆和x 轴相交于M 点，根据圆的定义得到CA ＝CM ＝R ，因为x=-2,是抛物线的准线，结合抛物线的定义得到M 点为焦点. 【详解】

圆心C 在抛物线上，设与直线20x +=相切的切点为A ，与x 轴交点为M ，由抛物线的定义可知，CA ＝CM ＝R ，直线20x +=为抛物线的准线，故根据抛物线的定义得到该圆必过抛物线的焦点()2,0．

故选B 【点睛】

这个题目考查了抛物线的定义的应用以及圆的定义的应用，一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用．尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化．

5．B

解析：B 【解析】 【分析】

先根据向量垂直得到a r g (a r +2b r ),=0，化简得到a r g b r =﹣2，再根据投影的定义即可求出．

【详解】

∵平面向量a r ,b r 是非零向量,|a r |=2,a r ⊥(a r +2b r

), ∴a r g (a r +2b r

),=0，

即()

2·20a a b +=v

v v 即a r g b r

=﹣2

∴向量b r 在向量a r 方向上的投影为·2

2

a b a -=

v

v v =﹣1， 故选B ．

本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．

6．B

解析：B 【解析】 【分析】

利用复数的运算法则解得1i z =-+，结合共轭复数的概念即可得结果. 【详解】 ∵复数z 满足

21i

i z

=-，∴()()()2121111i i i z i i i i +=

==---+， ∴复数z 的共轭复数等于1i --，故选B. 【点睛】

本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

7．C

解析：C 【解析】

由题得(1)111122222

i i i i z i z i -+=

===+∴==

+. 故选C. 8．C

解析：C 【解析】 【分析】

根据236a b ==即可得出21l 3og a =+，31l 2og b =+，根据23log log 132?=，

33log log 222+>，即可判断出结果．

【详解】 ∵236a b ==；

∴226log 1og 3l a ==+，336log 1og 2l b ==+；

∴2332log 2log 4a b +=++>，2332log og 42l ab =++>，故,A B 正确；

()()

()()23222

2

3211log log 2log 323log 22a b =>?-+-+=，故C 错误；

∵()()()2

2

232223log log 2log 2323log 2a b =+++++

232l 23og log 82>+=?，故D 正确

故C ． 【点睛】

本题主要考查指数式和对数式的互化，对数的运算，以及基本不等式：a b +≥和不

等式222a b ab +≥的应用，属于中档题

9．D

解析：D 【解析】 【分析】 【详解】

试题分析：由1lg lg()lgsin b A c

+==-lg

lg 22

b b

c c =?=且

sin A =

A 为锐角，所以45A =o ，由2b c =，根据正弦定理，得

sin )cos sin B C B B B =

=-=+o ，解得cos 090B B =?=o ，所以三角形为等腰直角三角形，故选D. 考点：三角形形状的判定.

10．D

解析：D 【解析】 【分析】

根据圆柱与圆锥的结构特征，即可判定，得到答案. 【详解】

根据空间几何体的结构特征，可得该组合体上面是圆锥，下接一个同底的圆柱，故选D. 【点睛】

本题主要考查了空间几何体的结构特征，其中解答熟记圆柱与圆锥的结构特征是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

11．B

解析：B 【解析】

等比数列的性质可知2

26416a a a ?==,故选B .

12．C

解析：C 【解析】

分析：写出103152r r r

r T C x -+=n n ，然后可得结果

详解：由题可得()

52

10315

522r

r

r

r r r

r T C x C x x --+??== ?

??

n n 令103r 4-=,则r 2=

所以22

552240r r C C n =?=

故选C.

点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题。

二、填空题

13．【解析】【分析】画出两个函数图像求出三个交点的坐标由此计算出三角形的面积【详解】画出两个函数图像如下图所示由图可知对于点由解得所以【点睛】本小题主要考查正弦函数和正切函数的图像考查三角函数图像交点坐

解析：

3π

【解析】

【分析】

画出两个函数图像，求出三个交点的坐标，由此计算出三角形的面积.

【详解】

画出两个函数图像如下图所示，由图可知()()

0,0,π,0

A C，对于B点，由

sin

1

tan

2

y x

y x

=

?

?

?

=

??

，解得

π3

,

3

B

??

?

?

??

，所以

133π

π

224

ABC

S

?

=??=.

【点睛】

本小题主要考查正弦函数和正切函数的图像，考查三角函数图像交点坐标的求法，考查三角函数面积公式，属于中档题.

14．-

1【解析】【分析】画出约束条件表示的平面区域由图形求出最优解再计算目标函数的最小值【详解】画出约束条件表示的平面区域如图所示由图形知当目标函数过点A时取得最小值由解得代入计算所以的最小值为故答案为

解析：-1

【解析】 【分析】

画出约束条件表示的平面区域，由图形求出最优解，再计算目标函数1

z x y 2

=-+的最小值． 【详解】

画出约束条件102100x y x y x --≤??

-+≥??≥?

表示的平面区域如图所示，

由图形知，当目标函数1

z x y 2

=-+过点A 时取得最小值，由{

x 0

x y 10=--=，解得

()A 0,1-，代入计算()z 011=+-=-，所以1

z x y 2

=-+的最小值为1-．

故答案为1-． 【点睛】

本题考查了线性规划的应用问题，也考查了数形结合的解题方法，是基础题．

15．【解析】【分析】画出图形建立直角坐标系利用比例关系求出的坐标然后

通过二次函数求出数量积的范围【详解】解：建立如图所示的直角坐标系则设则所以因为二次函数的对称轴为：所以时故答案为：【点睛】本题考查向量

解析：

[2]5, 【解析】 【分析】

画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出M ，N 的坐标，然后通过二次函数求出数量积的范围． 【详解】

解：建立如图所示的直角坐标系，则(2,0)B ，(0,0)A ，

132D ? ??

，设||||||||BM CN BC CD λ==u u u u r u u u r

u u u r u u u r ，[]

0,1λ∈，则(22M λ+3)，5

(22N λ-3，

所以(22AM AN λ=+u u u u r u u u r g ，35)(22λλ-g ，22353)542544

λλλλλλ=-+-+=--+，

因为[]0,1λ∈，二次函数的对称轴为：1λ=-，所以[]

0,1λ∈时，[]2

252,5λλ--+∈．

故答案为：

[2]5,

【点睛】

本题考查向量的综合应用，平面向量的坐标表示以及数量积的应用，二次函数的最值问题，考查计算能力，属于中档题．

16．1【解析】【分析】先求出二项式的展开式的通项公式令的指数等于求出的值即可求得展开式中的项的系数再根据的系数是列方程求解即可【详解】展开式的的通项为令的展开式中的系数为故答案为1【点睛】本题主要考查二

解析：1 【解析】 【分析】

先求出二项式9

()a

x x

-的展开式的通项公式，令x 的指数等于4，求出r 的值，即可求得

展开式中3x 的项的系数，再根据3x 的系数是84-列方程求解即可. 【详解】

9()a x x -展开式的的通项为()992199r

r r r r r

r a T C x C x a x --+??=-=- ???

， 令9233r r -=?=，

9()a x x

-的展开式中3x 的系数为()339841C a a -=-?=，

故答案为1. 【点睛】

本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考

查二项展开式的通项公式1C r n r r

r n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）

（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.

17．2【解析】试题分析：因为四边形是正方形所以所以直线的方程为此为双曲线的渐近线因此又由题意知所以故答案为2【考点】双曲线的性质【名师点睛】在双曲线的几何性质中渐近线是其独特的一种性质也是考查的重点内容

解析：2 【解析】

试题分析：因为四边形OABC 是正方形，所以45AOB ∠=?，所以直线OA 的方程为

y x =，此为双曲线的渐近线，因此a b =，又由题意知22OB =，所以

22222(22)a b a a +=+=，2a =．故答案为2．

【考点】双曲线的性质

【名师点睛】在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.

求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为

的形式，当

，

，

时为椭圆，当

时为双曲线.

18．11【解析】因为样本数据x1x2???xn 的均值x=5所以样本数据

2x1+12x2+1???2xn+1的均值为2x+1=2×5+1=11所以答案应填：11考点：均值的性质 解析：

【解析】 因为样本数据

，

，

，

的均值

，所以样本数据，

，

，

的均值为

，所以答案应填：

．

考点：均值的性质．

19．【解析】【分析】【详解】∵平面向量与的夹角为∴∴故答案为点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式(2)常用来求向量的模 解析：3【解析】 【分析】 【详解】

∵平面向量a r 与b r 的夹角为0

60，21a b ==r r ，

∴021cos601a b ?=??=r r .

∴2222(2)4(2)44423a b a b a a b b +=+=+?+=++=r r r

r r r r r 故答案为3

点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式． (2) a a a =?r r r

常用来求向量的模．

20．1【解析】【分析】由题意利用余弦定理得到关于AC 的方程解方程即可确定AC 的值【详解】由余弦定理得解得或（舍去）【点睛】本题主要考查余弦定

理解三角形的方法方程的数学思想等知识意在考查学生的转化能力和计

解析：1 【解析】 【分析】

由题意利用余弦定理得到关于AC 的方程，解方程即可确定AC 的值. 【详解】

由余弦定理得21393AC AC =++，解得1AC =或4AC =-（舍去）. 【点睛】

本题主要考查余弦定理解三角形的方法，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

三、解答题

21．(Ⅰ) ()()2

2

219x y -++=；（Ⅱ）3

4

y x =和x=0. 【解析】 【分析】 （I ）将x cos y sin ρθ

ρθ

=??

=?代入曲线C 极坐标方程，化简后可求得对应的直角坐标方程.（II ）

将直线的参数方程代入曲线方程，利用弦长公式列方程，解方程求得直线的倾斜角或斜率，由此求得直线l 的普通方程. 【详解】

解：（Ⅰ）将x cos y sin ρθ

ρθ=??=?

代入曲线C 极坐标方程得：

曲线C 的直角坐标方程为：2

2

442x y x y +-=- 即()()2

2

219x y -++=

（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线方程：

()()

22

cos 2sin 19t t αα-++=

整理得24cos 2sin 40t t t αα-+-= 设点A ，B 对应的参数为1t ，2t ， 解得124cos 2sin t t αα+=-，124t t ?=-

则12AB t t =-=

=

=23cos 4sin cos 0ααα-=，因为0απ≤<

得3tan 2

4π

αα=

=

或，直线l 的普通方程为3

4

y x =和x=0 【点睛】

本小题主要考查极坐标方程和直角坐标方程互化，考查利用直线的参数方程来求弦长有关

的问题，属于中档题. 22．（1）1

3

； （2）()1E X =. 【解析】 【分析】

（1）可根据题意分别计算出“从10人中选出2人”以及“2人参加义工活动的次数之和为4”的所有可能情况数目，然后通过概率计算公式即可得出结果；

（2）由题意知随机变量X 的所有可能取值，然后计算出每一个可能取值所对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值． 【详解】

（1）由已知有1123432

101

()3

C C C P A C ?+==， 所以事件A 的发生的概率为

13

； （2）随机变量X 的所有可能的取值为0，1，2；

2223342104(0)15C C C P X C ++===；1

1

1

1

33342107

(1)15

C C C C P X C ?+?===； 11

342

104

(2)15

C C P X C ?===； 所以随机变量X 的分布列为：

数学期望为(

)

0121151515

E X =???. 【点睛】

本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，能否正确计算出每一个随机变量所对应的的概率是解决本题的关键，考查推理能力，是中档题． 23．（110y --=，2

2

(1)(1)2x y -+-=；（2）1. 【解析】 【分析】

（1）利用代入法消去参数方程中的参数可求直线l 的普通方程，极坐标方程展开后，两边同乘以ρ，利用2

2

2

,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+== ，即可得曲线C 的直角坐标方程；

（2）直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，利用韦达定理、直线参数方程的几何意义即可得结果. 【详解】

（1）将直线l 的参数方程消去参数t 并化简，得

直线l

10y --=.

将曲线C

的极坐标方程化为2

ρθθ?=????

.

即2

2sin 2cos ρρθρθ=+.∴x 2+y 2=2y+2x.

故曲线C 的直角坐标方程为()()22

112x y -+-=. （2）将直线l 的参数方程代入()()2

2

112x y -+-=中，得

2

2

11222t ???-+-=? ??????

.

化简，得(2

130t t -++=.

∵Δ>0，∴此方程的两根为直线l 与曲线C 的交点A ，B 对应的参数t 1，t 2.

由根与系数的关系，得121t t +=，123t t =，即t 1，t 2同正. 由直线方程参数的几何意义知,

12121PA PB t t t t +=+=+=.

【点睛】

本题主要考查参数方程和普通方程的转化、极坐标方程和直角坐标方程的转化以及直线参数方程的应用，属于中档题. 消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法；极坐标方程化为直角坐标方程，只要将cos ρθ和sin ρθ换成x 和y 即可.

24．（1）()22

40x y y -=≠（2

【解析】

（1）消去参数t 得1l 的普通方程()1:2l y k x =-；消去参数m 得l 2的普通方程

()21

:2l y x k

=

+. 设(),P x y ,由题设得()()21

2y k x y x k ?=-??=+??

，消去k 得()22

40x y y -=≠. 所以C 的普通方程为()2

2

40x y y -=≠.

（2）C 的极坐标方程为()()2

2

2

cos sin 402π,πρ

θθθθ-=<<≠.

联立()

(

)222

cos sin 4,cos sin 0

ρθθρθθ?-=??+=??得()cos sin 2cos sin θθθθ-=+.

故1

tan 3

θ=-

，

从而2

291cos ,sin 1010

θθ==. 代入()2

2

2

cos sin 4ρ

θθ-=得2

5ρ

=，

所以交点M

【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.

25．（1）曲线C ：2

213

x y +=，直线l 的直角坐标方程20x y -+=；（2）1.

【解析】

试题分析：（1）先根据三角函数平方关系消参数得曲线C 化为普通方程，再根据

cos ,sin x y ρθρθ== 将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）根据题意设直线

1l 参数方程，代入C 方程，利用参数几何意义以及韦达定理得点M 到A ，B 的距离之积

试题解析：（1）曲线C 化为普通方程为：2

213

x y +=，

由

cos 124πρθ?

?+=- ??

?，得cos sin 2ρθρθ-=-， 所以直线l 的直角坐标方程为20x y -+=．

（2）直线1l

的参数方程为12

x t y ?=-+????=??（t 为参数），

代入2

213

x y +=

化简得：2220t -=，

设,A B 两点所对应的参数分别为12,t t ，则121t t =-，

121MA MB t t ∴?==．

26．（1）证明见解析；（2）35

. 【解析】 【分析】

(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义即可证得线线垂直；

(2)建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后结合线面角的正弦值和同角三角函数基本关系可得线面角的余弦值. 【详解】

(1)如图所示，连结11,A E B E ，

等边1

AAC △中，AE EC =，则1A E AC ⊥， 平面ABC ⊥平面11A ACC ，且平面ABC ∩平面11A ACC AC =， 由面面垂直的性质定理可得：1A E ⊥平面ABC ，故1A E BC ⊥，

由三棱柱的性质可知11A B AB ∥，而AB BC ⊥，故11A B BC ⊥，且1111A B A E A =I ， 由线面垂直的判定定理可得：BC ⊥平面11A B E ， 结合EF ?平面11A B E ，故EF BC ⊥.

(2)在底面ABC 内作EH ⊥AC ，以点E 为坐标原点，EH ,EC ,1EA 方向分别为x ,y ,z 轴正方向建立空间直角坐标系E xyz -.

设1EH =，则3AE EC ==

1123AA CA ==3,3BC AB ==，

据此可得：()()()

1330,3,0,,,0,0,3,3,022A B A C ??

- ? ???

，

由11

AB A B =u u u r u u u u r 可得点1B 的坐标为1333,322B ??

???

， 利用中点坐标公式可得：333,344F ??

???

，由于()0,0,0E ，

故直线EF

的方向向量为：34EF ??

= ???

u u u r 设平面1A BC 的法向量为(),,m x y z =u r

，则：

(

)(

)133,,3302233,,022m A B x y z x y z m BC x y z x y u u u v v u u u v v ????=?-=+-=? ? ????

?

????=?-=-= ?? ????

， 据此可得平面1A BC

的一个法向量为()

m =u r

，34EF ??

= ???

u u u r

此时4cos ,5EF m EF m EF m

?===?u u u r u r

u u u r u r u u u r u r ， 设直线EF 与平面1A BC 所成角为θ，则43

sin cos ,,cos 55

EF m θθ===u u u r u r .

【点睛】

本题考查了立体几何中的线线垂直的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.