金榜名师推荐高中数学北师大必修四同课异构练习第一章三角函数课时提升作业七含答案

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课时提升作业(七)

正弦函数的图像与性质

(25分钟60分)

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.(2015·南昌高一检测)函数y=sinx是( )

A.增函数

B.减函数

C.偶函数

D.周期函数

【解析】选D.由正弦曲线y=sinx的图像,

可得函数y=sinx的增区间是[-+2kπ,+2kπ](k∈Z);

减区间是(k∈Z),函数是奇函数,且是周期为2π的周期函数,故选D.

2.下列区间中,使函数y=sinx为增函数的是( )

A.[0,π]

C. D.[π,2π]

【解析】选C.由函数的图像可知,正弦函数在[-,]上是增加的.

3.方程sinx=在(0,+∞)上的根的个数是( )

A.3

B.4

C.5

D.6

【解题指南】作出y=sinx,y=的图像,利用两个函数交点的个数与方程根的个数相同解题.

【解析】选B.在同一坐标系内分别作出x∈(0,+∞)上y=sinx,y=的图像如图所示,,

两图像有4个交点,故方程sinx=有4个根.

4.下列关系式中正确的是( )

A.sin11°

B.sin168°

C.sin11°

D.sin168°

【解析】选C.因为cos10°=sin80°,sin168°=sin12°,又因为正弦函数在上是增加的,故sin11°

5.(2015·六安高一检测)函数f(x)=sinx+2|sinx|(x∈[0,2π])的图像与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则k的取值范围是( ) A.[-1,1] B.(1,3)

C.(-1,0)∪(0,3)

D.[1,3]

【解析】选B.因为f=分别作出f与y=k的图像如图:

当k∈时两函数有两个交点.

二、填空题(每小题5分,共15分)

6.函数y=sinx,x∈的值域是__________.

【解析】由函数的图像可知,函数y=sinx,x∈[-,]的值域为.

答案:

7.当函数f(x)=3sin x取最小值时,x=__________.

【解析】令x=+2kπ,k∈Z,

解得x=3π+4kπ,k∈Z.

答案:3π+4kπ,k∈Z

8.(2015·抚州高一检测)已知f(n)=sin,n∈Z,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2017)=__________.

【解题指南】先计算前几项的值,利用函数值的周期性求和.

【解析】因为f(1)=,f(2)=1,f(3)=,f(4)=0,f(5)=-,f(6)=-1,

f(7)=-,f(8)=0,f(9)=,…,

则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)+f(8)=0,

因为2017=252×8+1,故f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2017)=f(1)=. 答案:

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.(1)请补充完整下面用“五点法”作y=-sinx(0≤x≤2π)的图像时的列表.

x 0 ③④2π

-sinx ①②0 1 ⑤

①______;②______;③______;④______;⑤______.

(2)请利用“五点法”画出函数y=2sinx在区间[0,2π]上的简图. 【解析】(1)由诱导公式知,

当x=0时,y=-sinx=0;

当x=时,y=-sinx=-1;

当x=π时,y=-sinx=0;

当x=π时,y=-sinx=1;

当x=2π时,y=-sinx=0.

答案:①0②-1③π④⑤0

(2)列表:

x 0 π2π

y=sinx 0 1 0 -1 0

y=2sinx 0 2 0 -2 0

描点并将它们用光滑的曲线连接起来,如图所示.

10.已知函数f(x)=2sinx+1.设集合A={x|≤x≤},B={x||f(x)-m|<2},若A∪B=B,求实数m的取值范围.

【解析】因为A∪B=B,

所以A?B,

因为|f(x)-m|<2,

所以m-2

因为≤x≤,

所以≤sinx≤1,

所以2≤f(x)≤3,

所以所以1

【补偿训练】定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x∈时,f(x)=sinx.

(1)当x∈[-π,0]时,求f(x)的解析式.

(2)画出函数f(x)在[-π,π]上的函数简图.

(3)当f(x)≥时,求x的取值范围.

【解析】(1)若x∈,

则-x∈.

因为f(x)是偶函数,

所以f(x)=f(-x)=sin(-x)=-sinx.

若x∈,

则π+x∈,

因为f(x)是最小正周期为π的周期函数,

所以f(x)=f(π+x)=sin(π+x)=-sinx,

所以x∈[-π,0]时,f(x)=-sinx.

(2)函数f(x)在[-π,π]上的函数简图如图所示:

(3)x∈[0,π],sinx≥,可得≤x≤,函数周期为π,因此x的取值范围是k π+≤x≤kπ+,k∈Z.

(20分钟40分)

一、选择题(每小题5分,共10分)

1.与正弦曲线y=sinx关于直线x=对称的曲线是( )

A.y=sinx

B.y=cosx

C.y=-sinx

D.y=-cosx

【解析】选D.在正弦曲线y=sinx对称图像上任取一点,则该点关于x=的对称点为,由题意y=sin=-cosx.

2.(2015·南阳高一检测)已知f(x)是以π为周期的偶函数,且x∈

时,f(x)=1-sinx,则当x∈[π,3π]时,f(x)等于( )

A.1+sinx

B.1-sinx

C.-1-sinx

D.-1+sinx

【解题指南】由题意,可先由函数是偶函数求出x∈时,函数解析式为f(x)=1+sinx,再利用函数是以π为周期的函数得到x∈

时,f(x)的解析式即可选出正确选项.

【解析】选B.由题意,任取x∈,

则-x∈,

又x∈时,

f(x)=1-sinx,故f(-x)=1+sinx,

又f(x)是偶函数,可得f(-x)=f(x),

所以x∈时,函数解析式为f(x)=1+sinx,

由于f(x)是以π为周期的函数,

任取x∈,

则x-3π∈,

所以f(x)=f(x-3π)=1+sin(x-3π)

=1-sinx.

二、填空题(每小题5分,共10分)

3.(2015·大连高一检测)在“五点作图法”中,函数y=sinx-1的第四点是________.

【解析】当x=时,y=sin-1=-1-1=-2,

所以第四点为.

答案:

4.(2015·南通高一检测)函数在f(x)=sinx-a,x∈上有两个零点,则实数a的取值范围是______________.

【解析】令f(x)=sinx-a=0,则sinx=a,分别作出函数y=sinx,x∈,y=a的图像如图所示:

则当≤a<1时,两图像有两个交点,则函数有两个零点.

答案:

三、解答题(每小题10分,共20分)

5.作出函数y=-sinx,x∈[-π,π]的简图,并回答下列问题:

(1)观察函数图像,写出满足下列条件的x的区间:

①-sinx>0;②-sinx<0.

(2)直线y=与y=-sinx的图像有几个交点?

【解析】列表如下:

x -π-0 π

y 0 1 0 -1 0

描点,连线得图像如图所示:

(1)根据图像可知,图像在x轴上方的部分-sinx>0,

在x轴下方的部分-sinx<0,

所以当x∈(-π,0)时,-sinx>0;

当x∈(0,π)时,-sinx<0.

(2)画出直线y=与y=-sinx的图像,得知有两个交点.

6.(2015·宿迁高一检测)已知函数f(x)=x2+2xsinα-1,x∈,α∈[0,

2π],

(1)当α=时,求f(x)的最大值和最小值,并求使函数取得最值的x的值.

(2)求α的取值范围,使得f(x)在区间上是单调函数.

【解析】(1)当α=时,

f(x)=x2+2xsin-1

=x2+x-1

=-,

因为x∈,

所以当x=-时,f(x)取到最小值-;

当x=时,f(x)取到最大值-.

(2)函数f(x)=x2+2xsinα-1图像的对称轴为直线x=-sinα,

当-sinα≤-,

即sinα≥,

即≤α≤时,函数f(x)在区间上是增函数;

当-<-sinα<,

即-

即0≤α<或<α<或<α≤2π时,f(x)在区间3

,sin α[-

-]上为减函数,在1-sin ,2

α[]上为增函数; 当-sin α≥,即sin α≤-, 即≤α≤

时,

函数f(x)在区间

是减函数.

综上所述:当≤α≤或≤α≤时,

函数f(x)在区间

上是单调函数.

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高中数学_三角函数公式大全全部覆盖

三角公式汇总一、任意角的三角函数在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=，正弦：r y =αsin 余弦：r x =αcos 正切：x y = αtan 注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向．．线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。二、同角三角函数的基本关系式商数关系：α α αcos sin tan = ，平方关系：1cos sin 22=+αα，三、诱导公式 ⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名不变，符号看象限） ⑵ απ +2、απ-2 、απ+23、απ -23的三角函数值，等于α的异名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名改变，符号看象限）四、和角公式和差角公式 βαβαβαsin cos cos sin )sin(?+?=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(?-?=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(?-?=+

βαβαβαsin sin cos cos )cos(?+?=- βαβ αβαtan tan 1tan tan )tan(?-+=+ β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan(?+-= - 五、二倍角公式 αααcos sin 22sin = ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(* α α α2tan 1tan 22tan -= 二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角） αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=- 2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=- 六、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式） ααα2tan 1tan 22sin +=，ααα22tan 1tan 12cos +-=，α α α2 tan 1tan 22tan -=。万能公式告诉我们，单角的三角函数都可以用半角的正切．．来表示。七、辅助角公式 )sin(cos sin 22?++=+x b a x b x a （）其中：角?的终边所在的象限与点),(b a 所在的象限相同， 2 2sin b a b += ?，2 2cos b a a += ?，a b = ?tan 。八、正弦定理

高一数学同角三角函数的基本关系式及诱导公式

同角三角函数的基本关系式及诱导公式一、基本知识：（1）同角三角函数的基本关系式：平方关系：sin 2α+cos 2α=1， 1tan sec 22=-αα， 1cot csc 22=-αα，商式关系： sin α cos α =tan α， αα αcot sin cos =，倒数关系：tan αcot α=1， ααcos 1sec = ααsin 1csc = （2）诱导公式：函数名称不变，符号看象限。二、例题分析：例1 化简 sin(2π-α)tan(π+α)cot(-α-π) cos(π-α)tan(3π-α) ．解原式= （-sin α）tan α［-cot(α+π) ］ (-cos α)tan(π-α) = (-sin α)tan α(-cot α) (-cos α)(-tan α) = sin α·cos α sin α cos α =1 ．例2 若sin θcos θ= 18 ，θ∈(π4 ，π2 )，求cos θ－sin θ的值．解 (cos θ－sin θ)2=cos 2θ+sin 2θ－2sin θcos θ=1－ 14 = 34 ． ∵θ∈(π4 ，π2 )，∴ cos θ＜sin θ． ∴cos θ－sin θ= － 3 2 ．变式1 条件同例，求cos θ+sin θ的值．

变式2 已知cos θ－sin θ= － 3 2 ，求sin θcos θ，sin θ+cos θ的值．例3 已知tan θ=3．求（1） α αααsin 3cos 5cos 2sin 4+-；（2）cos 2θ+sin θcos θ的值．例4、证明：1+2sin αcos α cos 2α－sin 2α =1+ tan α 1－tan α

高中数学公式三角函数公式大全

高中数学公式：三角函数公式大全三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是三角函数公式大全：锐角三角函数公式 sin α=∠α的对边 / 斜边 cos α=∠α的邻边 / 斜边 tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边 cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A））三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a

=sin(2a+a) 页 1 第 =sin2acosa+cos2asina 辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 降幂公式 cos(2α))/2=versin(2α)/2sin^2(α)=(1- cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 -cos(2α))/(1+cos(2α))tan^2(α)=(1 推导公式 tanα+cotα=2/sin2α 2cot2α-cotα=-tanα s2α=2cos^2α1+co 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα /2)^2=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina =3sina-4sin3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina 页 2 第 =(2cos2a-1)cosa-2(1-sin2a)cosa =4cos3a-3cosa

高中数学必修三角函数常考题型同角三角函数的基本关系

高中数学必修三角函数常考题型同角三角函数的基本关系集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-

同角三角函数的基本关系【知识梳理】同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.即sin 2 α＋cos 2 α＝1. (2)商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即 sin α cos α＝tan_α ? ?? ??其中α≠k π＋π2?k ∈Z ?. 【常考题型】题型一、已知一个三角函数值求另两个三角函数值【例1】 (1)已知sin α＝12 13 ，并且α是第二象限角，求cos α和tan α. (2)已知cos α＝－4 5 ，求sin α和tan α. [解] (1)cos 2 α＝1－sin 2 α＝1－? ????12132＝? ?? ??5132 ，又α是第二象限角，所以cos α<0，cos α＝－ 513，tan α＝sin αcos α＝－125 . (2)sin 2 α＝1－cos 2 α＝1－? ????－452＝? ?? ??352 ，因为cos α＝－4 5 <0，所以α是第二或第三象限角，当α是第二象限角时，sin α＝35，tan α＝sin αcos α＝－3 4；当α是第三象限角时，sin α＝－35，tan α＝sin αcos α＝3 4 .

【类题通法】已知三角函数值求其他三角函数值的方法 (1)若已知sin α＝m，可以先应用公式cos α＝±1－sin2α，求得 cos α的值，再由公式tan α＝sin α cos α 求得tan α的值． (2)若已知cos α＝m，可以先应用公式sin α＝±1－cos2α，求得 sin α的值，再由公式tan α＝sin α cos α 求得tan α的值． (3)若已知tan α＝m，可以应用公式tan α＝sin α cos α ＝m?sin α＝ m cos α及sin2α＋cos2α＝1，求得cos α＝± 1 1＋m2 ，sin α＝ ± m 1＋m2 的值．【对点训练】已知tan α＝ 4 3 ，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．解：由tan α＝ sin α cos α ＝ 4 3 ，得sin α＝ 4 3 cos α，① 又sin2α＋cos2α＝1，② 由①②得 16 9 cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝ 9 25 . 又α是第三象限角，故cos α＝－ 3 5 ，sin α＝ 4 3 cos α＝－ 4 5 . 题型二、化切求值【例2】已知tan α＝3，求下列各式的值．

高中数学-同角三角函数的基本关系式练习题

高中数学-同角三角函数的基本关系式练习题 5分钟训练(预习类训练，可用于课前) 1.已知sinα= 5 3 ,α∈（0,π），则tanα的值等于（） A.34 B.43 C.±43 D.±3 4 解析：由sin 2 α+cos 2 α=1，α∈（0,π）， ∴cosα=±α2sin 1-=±5 4 . ∴tanα=ααcos sin =±4 3 . 答案：C 2.已知cosθ= 5 4 ，且23π＜θ＜2π，那么θtan 1的值为（） A.43 B.43- C.35 D.3 4 - 解析：由sin 2 θ+cos 2 θ=1，得sinθ=±θ2cos 1-. 因为 23π＜θ＜2π，故sinθ＜0,所以sinθ=2)54(1--=53-,tanθ=θθcos sin =3 4 -. 答案：D 3.若tanα=t（t≠0），且sinα=2 1t t +- ，则α是（） A.第一、二象限角 B.第二、三象限角 C.第三、四象限角 D.第一、四象限角解析：由tanα= ααcos sin 得cosα=αα tan sin ，所以cosα=211t +-＜0，故α是第二、三象限角. 答案：B 4.若tanα=2，则（1）cos 2α=________________；（2）sin 2α-cos 2 α=________________. 解析：（1）由题意和基本三角恒等式，列出方程组 ? ?? ??==+,2cos sin ,1cos sin 22α α αα 由②得sinα=2cosα,代入①，整理得5cos 2 α=1，cos 2 α=5 1. （2）由（1）得sin 2 α=1-51=5 4,

高中数学三角函数公式大全全解

三角函数公式 1.正弦定理： A a sin = B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= 3.S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试注：奇变偶不变，符号看象限。注：三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限注：三角函数值等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即：

函数名改变，符号看象限 5.和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β αβ αβαtg tg tg tg tg ?±= ± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=± 6.二倍角公式：(含万能公式) ①θ θ θθθ2 12cos sin 22sin tg tg += = ②θ θ θθθθθ2 22 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2 θθ+= 7.半角公式：（符号的选择由 2 θ 所在的象限确定） ①2cos 12 sin θθ -± = ②2 cos 12sin 2θ θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12 cos 2 θθ += ⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2 cos 2cos 12θθ=+ ⑦2 sin 2 cos )2 sin 2 (cos sin 12θ θθθθ±=±=± ⑧θ θ θθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -=+=+-± =tg 8.积化和差公式： [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[] )sin()sin(21 sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2 1 sin sin 9.和差化积公式：

北师版新课标高中数学必修二教案《同角三角函数的基本关系》

《同角三角函数的基本关系》教学设计与三角函数的定义域、符号的确定一样，同角三角函数的基本关系式的推导，紧扣了定义，是按照一切从定义出发的原则进行的，通过对基本关系的推导，应注意学生重视对基本概念学习的良好习惯的形成，学会通过对基本概念的学习，善于钻研，从中不断发掘更深层次的内涵．同角三角函数的基本关系式将“同角”的四种不同的三角函数直接或间接地联系起来，在使用时一要注意“同角”，至于角的表达形式是至关重要的，如sin 24π+cos 24π=1等，二要注意这些关系式都是对于使它们有意义的那些角而言的，如tanα中的α是使得tanα有意义的值，即α≠kπ+2 ，k ∈Z ．已知任意角的正弦、余弦、正切中的一个值便可以运用基本关系式求出另外的两个，这是同角三角函数关系式的一个最基本功能，在求值时，根据已知的三角函数值，确定角的终边的位置是关键和必要的，有时由于角的终边的位置不确定，因此解的情况不止一种，解题时产生遗漏的主要原因一是没有确定好或不去确定终边的位置；二是利用平方关系开方时，漏掉了负的平方根． 1．通过三角函数的定义导出同角三角函数基本关系式，并能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的化简与证明． 2．同角三角函数的基本关系式主要有三个方面的应用：（1）求值（知一求二）；（2）化简三角函数式；（3）证明三角恒等式．通过本节的学习，学生应明了如何进行三角函数式的化简与三角恒等式的证明． 3．通过同角三角函数关系的应用使学生养成探究、分析的习惯，提高三角恒等变形的能力，树立转化与化归的思想方法．教学重点：课本的三个公式的推导及应用．教学难点：课本的三个公式的推导及应用．

高中常用三角函数公式大全

高中常用三角函数公式两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 半角公式 sin(2A )=2 cos 1A - cos(2A )=2 cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin( 2 π-a) = cosa cos(2 π-a) = sina sin(2π+a) = cosa

cos( 2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 sina=2 )2 (tan 12tan 2a a + cosa=2 2 )2 (tan 1)2(tan 1a a +- tana=2 )2 (tan 12tan 2a a - 其它公式 a?sina+b?cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc= a b ] a?sin(a)-b?cos(a) = )b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=b a ] 1+sin(a) =(sin 2a +cos 2 a )2 1-sin(a) = (sin 2a -cos 2 a )2 公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2kπ＋α）= sinα cos （2kπ＋α）= cosα tan （2kπ＋α）= tanα cot （2kπ＋α）= cotα 公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）= -sinα cos （π＋α）= -cosα tan （π＋α）= tanα cot （π＋α）= cotα 公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：

高一数学必修一三角函数的概念及公式

三角函数的概念及公式教学目标 1、掌握同终边角的求法，熟悉象限角、轴线角，掌握角度与弧度的互化，会求弧长与扇形面积； 2、掌握三角函数的概念，会求角的三角函数值； 3、同角三角函数的基本关系； 4、掌握诱导公式及应用。重瞬占分析重点:''1、角度、弧度的转化； 2、同角三角函数基本关系； 3、诱导公式。难点：1、角度的表示； 2、同角三角函数值的求解； 3、诱导公式的变换。知识点梳理 1、角度槪念：角可以看成是平而内一条射线绕着端点从一个位宜旋转到另一个位置所成的图形。 2、角度分类：按逆时针方向旋转的角叫做正角；按顺时针方向旋转的角叫做负角：若一条射线没有任何旋转，我们称它形成了一个零角。 3、彖限角：角的顶点与原点重合，角的始边与兀轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限。 4、终边相同的角：所有与角&的终边相同的角，连同Q在内，可构成一个集合S=___________________ , 即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。 5、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。 6、弧度制与角度制的换算关系式：兀弧度=180°. 7、在弧度制下，弧长公式为l = a?R、扇形而积公式为S = -l?R.(α为圆心角，R为半径) 2 8、一般的，设角Q终边上任意一点的坐标为(x, y),它与原点的距离为厂，那么 (1)上叫做α的正弦，记作Sina； r (2)艺叫做a的余弦，记作COSa ；

(3)上叫做α的正切，记作tana。 X 9、同角三角函数关系的基本关系式 (I)平方关系：sin2 x + cos2 x = l (2)商数关系：UmX =竺上 COSX 10、同角三角函数基本关系式的常用变形 (1) sin2a = ______________ ； cos2a ≡_____________ ； (2)(Sina+ cosa)2=_________________ ；(Sina_cos&)'=_________________ (3)Sina COSa= =_________________ 。注意：用同角三角函数的基本关系式求值时应注意 (1)注意“同角”，至于角的形式无关重要，如siι√4a+cos2 4a = 1等： (3)对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用(正用、反用、变形用)，如: CoSa = ±√l-sin2a,开方时要注意正负。 11、诱导公式：奇变偶不变、符号看彖限。

(完整版)高中三角函数公式大全整理版

高中三角函数公式大全 sin30°=1/2 sin45°=√2/2 sin60°=√3/2 cos30°=√3/2 cos45°=√2/2 cos60°=1/2 tan30°=√3/3 tan45°=1 tan60°=√3 cot30°=√3 cot45°=1 cot60°=√3/3 sin15°=（√6-√2）/4 sin75°=（√6+√2）/4 cos15°=（√6+√2）/4 cos75°=（√6-√2）/4（这四个可根据sin （45°±30°）=sin45°cos30°±cos45°sin30°得出） sin18°=(√5-1)/4 (这个值在高中竞赛和自招中会比较有用，即黄金分割的一半) 正弦定理：在△ABC 中，a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R (其中，R 为△ABC 的外接圆的半径。) 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2Sin A?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA Tan3A=)3tan()3tan(tan )(tan 1)(tan 3tan 32 3A A A A A A +-=--ππ 半角公式

必修4三角函数公式大全(经典)

三角函数公式大全姓名： 1、两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) = tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 2、倍角公式 tan2A = A tan 12tanA 2 - Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 3、三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan( 3π+a)·tan(3 π-a) 4、半角公式 sin( 2A )=2cos 1A - cos( 2A )=2 cos 1A + tan( 2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 5、和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cos b = 2cos 2b a +cos 2 b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos ) sin(+ 6、积化和差 sinasinb = -21 [cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21 [cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 2 1 [sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1 [sin(a+b)-sin(a-b)]

(word完整版)高一数学同角三角函数的基本关系式同步练习

1.2.3 同角三角函数的基本关系式同步练习 1．若sin α＝45，且α是第二象限角，则tan α的值等于( ) A ．－43 B.34 C ．±34 D ．±43 解析：选A.∵α为第二象限角， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－(45)2＝－35 ， ∴tan α＝sin αcos α＝4 5－35 ＝－43. 2．化简1－sin 2160°的结果是( ) A ．cos160° B ．－cos160° C ．±cos160° D ．±|cos160°| 解析：选B. 1－sin 2160°＝cos 2160°＝－cos160°. 3．若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α 的值为( ) A ．0 B.34 C ．1 D.54 解析：选B.2sin α－cos αsin α＋2cos α＝2tan α－1tan α＋2＝34 . 4．若cos α＝－817 ，则sin α＝________，tan α＝________. 解析：∵cos α＝－817 <0， ∴α是第二或第三象限角．若α是第二象限角，则sin α>0，tan α<0. ∴sin α＝1－cos 2α＝1517，tan α＝sin αcos α＝－158 . 若α是第三象限角，则sin α<0，tan α>0. ∴sin α＝－1－cos 2α＝－1517，tan α＝sin αcos α＝158 . 答案：1517或－1517 －158或158 一、选择题 1．若α是第四象限的角，tan α＝－512 ，则sin α等于( ) A.15 B ．－15 C.315 D ．－513

高一三角函数公式大全

三角函数公式两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin(2A )=2cos 1A - cos(2A )=2 cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差 sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1[sin(a+b)-sin(a-b)]

三角函数公式大全

三角函数 1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）： {} Z k k ∈+?=,360 |αββο ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180|οββ ③终边在y 轴上的角的集合：{ } Z k k ∈+?=,90180|ο οββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{} Z k k ∈?=,90|οββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,45180|οοββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-?=,45180|οοββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k ο360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+=οο180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k ο180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系：οο90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°= 1=°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π 180°≈°=57°18ˊ． 1°＝180 π≈（rad ） 3、弧长公式：r l ?=||α. 扇形面积公式：211||22 s lr r α==?扇形 4、三角函数：设α是一个任意角，在α 原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则 =αsin r x =αcos ； x y =αtan ； y x =αcot ； x r =αsec ；. αcsc 5、三角函数在各象限的符号：正切、余切余弦、正割正弦、余割 6、三角函数线正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. SIN \COS 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域

高一数学三角函数公式大全

高一数学三角函数公式大全 sinα=∠α的对边/斜边 cosα=∠α的邻边/斜边 tanα=∠α的对边/∠α的邻边 cotα=∠α的邻边/∠α的对边倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA2-SinA2=1-2SinA2=2CosA2-1 tan2A=(2tanA)/(1-tanA2) (注：SinA2是sinA的平方sin2(A)) 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a=tana·tan(π/3+a)·tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina 三角函数辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A2+B2)’(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A2+B2)’(1/2) cost=A/(A2+B2)’(1/2) tant=B/A

Asinα+Bcosα=(A2+B2)’(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 降幂公式 sin2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 三角函数推导公式 tanα+cotα=2/sin2α tanα-cotα=-2cot2α 1+cos2α=2cos2α 1-cos2α=2sin2α 1+sinα=(sinα/2+cosα/2)2=2sina(1-sin2a)+(1- 2sin2a)sina=3sina-4sin3a cos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos2a-1)cosa-2(1-sin2a)cosa=4cos3a-3cosa sin3a=3sina-4sin3a=4sina(3/4-sin2a)=4sina[(√3/2)2- sin2a]=4sina(sin260°-sin2a)=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°- a)/2]cos[(60°-a)/2]=4s inasin(60°+a)sin(60°-a) cos3a=4cos3a-3cosa=4cosa(cos2a-3/4)=4cosa[cos2a- (√3/2)2]=4cosa(cos2a-cos230°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{- 2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=- 4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 上述两式相比可得 tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)

高一数学同角三角函数关系式

1.3三角函数的诱导公式考点一：求任意角的三角函数值 [例1] 求下列各三角函数值： (1)sin 1 320°； (2)cos(－31π 6)； (3)tan(－945°)．

1．求下列各三角函数式的值． (1)sin(－660°); (2)cos 27π 4； (3)2cos 660°＋sin 630°； (4)tan 37π6·sin(－5π 3)． 2．求sin(2n π＋2π3)cos(n π＋4π 3)的值(n ∈Z )．考点二：给值(或式)求值 [例2] (1)已知cos(π＋α)＝－1 2，求sin(2π－α)的值； (2)已知sin(π3－α)＝12，求cos(π 6＋α)的值． 3．已知sin(75°＋α)＝1 3，则cos(15°－α)的值为( ) A ．－1 3 B.13 C ．－223 D.22 3

4．已知cos(π＋α)＝－12，求cos(π2＋α)的值． 5．已知cos(π 6－θ)＝a (|a |≤1)．考点三：利用诱导公式化简或证明 [例3] (12分)已知 f (α)＝cos (π2＋α)·cos (2π－α)·sin (－α＋3π 2 ) sin (－π－α)·sin (3π 2＋α) .(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且cos(α －3π2)＝1 5 ，求f (α)的值． 6．化简1＋2sin 280°·cos 440° sin 260°＋cos 800° 的结果是________． 7．求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)sin (α＋3π2)cos (α＋3π 2 ) ＝－tan α.

高中三角函数公式大全

高中三角函数公式大全 2009年07月12日星期日 19:27 三角函数公式两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin(2 A )=2cos 1A - cos(2 A )=2cos 1A + tan(2 A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2 b a -

sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2 b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差 sinasinb = -2 1[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 2 1[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2 π-a) = cosa cos(2 π-a) = sina sin(2 π+a) = cosa cos(2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 sina=2 )2 (tan 12tan 2a a + cosa=2 2 )2(tan 1)2(tan 1a a +-

高中数学第1章三角函数1.2.2同角三角函数关系讲义苏教版必修4

高中数学第1章三角函数1.2.2同角三角函数关系讲义苏教版必修4 1.2.2 同角三角函数关系学习目标核心素养(教师独具) 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝ 1，tan α＝ sin α cos α .(重点) 2.能正确运用上述关系式进行化简、求值和证明．(重点、难点) 通过学习本节内容提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养. 同角三角函数的基本关系 1．平方关系：sin2α＋cos2_α＝1. 2．商数关系：tan α＝ sin α cos α? ???? α≠kπ＋ π 2 ，k∈Z. 思考：sin2α＋cos2β＝1恒成立吗？ [提示]不一定． 1．思考辨析 (1)对任意角α，sin23α＋cos23α＝1都成立．( ) (2)对任意角α， sin α 2 cos α 2 ＝tan α 2 都成立．( ) (3)若sin α＝ 1 2 ，则cos α＝ 3 2 .( ) [解析](1)√.符合同角三角函数的关系． (2)×.等式 sin α 2 cos α 2 ＝tan α 2 的条件是 ?? ? ??cos α2≠0， α 2 ≠ π 2 ＋kπ，k∈Z，即α≠π＋2kπ，k∈Z.

(3)×.因为α的范围不明确，故cos α＝±1－sin 2 α＝±32 . [答案] (1)√ (2)× (3)× 2．已知α是第二象限角，且cos α＝－1 3，则tan α＝________. －22 [∵α是第二象限角，∴sin α＞0. 又sin 2 α＋cos 2 α＝1，∴sin α＝1－cos 2 α＝1－? ?? ??－132＝ 223， ∴tan α＝sin α cos α ＝－2 2.] 3．已知tan α＝2，则cos α－5sin α 3cos α＋sin α＝________. －9 5 [由tan α＝2知cos α≠0，所以cos α－5sin α3cos α＋sin α＝1－5tan α3＋tan α＝－95 .] 利用同角基本关系式求值【例1】 (1)已知sin α＝－3 5，求cos α，tan α的值； (2)已知sin α＋2cos α＝0，求2sin αcos α－cos 2 α的值．思路点拨：(1) sin α＝－ 3 5 ―――――――→ sin 2 α＋cos 2α＝1求cos 2 α ――――――→ 讨论α所在的象限求cos α，tan α (2)先由已知条件求出tan α，再将式子化成关于tan α的形式，代入求解，也可直接代入，利用平方关系化简． [解] (1)因为sin α＜0，sin α≠－1，所以α是第三或第四象限角．由sin 2α＋cos 2α＝1得cos 2α＝1－sin 2 α＝1－? ????－352＝1625 . 如果α是第三象限角，那么cos α＜0. 于是cos α＝－ 1625＝－45 ，

金榜名师推荐高中数学北师大必修四同课异构练习 第一章 三角函数 课时提升作业七 含答案