数学寒假作业(一)
数学寒假作业（一）
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．已知sin α＝－22，π2<α<3π2
，则角α等于( ) A.π3 B.2π3C.4π3D.5π4
2．已知向量a ＝(－2,2)，b ＝(5，k )．若|a ＋b |不超过5，则k 的取值范围是( )
A ．[－4,6]
B ．[－6,4]
C ．[－6,2]
D ．[－2,6]
3．函数f (x )＝|sin x ＋cos x |的最小正周期是( ) A.π4B.π2
C ．π
D ．2π 4．|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为( )
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
5．函数y ＝tan ?
???2x －π4的单调增区间是( ) A.????k π2－π8，k π2＋3π8，k ∈Z
B.????k π2＋π8，k π2＋5π8，k ∈Z
C.?
???k π－π8，k π＋3π8，k ∈Z D.?
???k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z 6．点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量v ＝(4，－3)(即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v |个单位)．设开始时点P 的坐标为(－10,10)，则5秒后点P 的坐标为
( )
A ．(－2,4)
B ．(－30,25)
C ．(10，－5)
D ．(5，－10)
7．函数y ＝sin ????2x ＋π6＋cos ?
???2x ＋π3的最小正周期和最大值分别为( ) A ．π，1
B ．π， 2
C ．2π，1
D ．2π， 2
8．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，表示向量4a 、4b －2c 、2(a －c )、d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为( )
A ．(2,6)
B ．(－2,6)
C ．(2，－6)
D ．(－2，－6)
9．若sin α＋cos α＝tan α?
???0<α<π2，则角α所在区间是( ) A.????0，π6B.???
?π6，π4 C.????π4，π3D.????π3，π2
10．若向量i ，j 为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋mj ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数m 的取值范围是( )
A.???
?12，＋∞ B ．(－∞，－2)∪?
???－2，12 C.????－2，23∪???
?23，＋∞ D.?
???－∞，12 11．已知函数F (x )＝sin x ＋f (x )在???
?－π4，3π4上单调递增，则f (x )可以是( ) A ．1B ．cos x
C ．sin x
D ．－cos x
12．在△ABC 中，已知2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( )
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．正三角形
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)
13．函数y ＝cos2x ＋sin x cos x 的最小正周期T ＝________.
14．已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________.
15．△ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，OH →＝m (OA →＋OB →＋OC →)，
则实数m ＝________.
16．函数f (x )＝3sin ?
???2x －π3的图象为C ，如下结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．
①图象C 关于直线x ＝11π12
对称； ②图象C 关于点????2π3，0对称；
③函数f (x )在区间???
?－π12，5π12内是增函数； ④由y ＝3sin2x 的图象向右平移π3
个单位长度可以得到图象C . 三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(m ，cos2x )，b ＝(1＋sin2x,1)，x
∈R ，且函数y ＝f (x )的图象经过点????π4，2.
(1)求实数m 的值；
(2)求函数f (x )的最小值及此时x 值的集合．
18．(本题满分12分)已知函数f (x )＝1－2sin ????2x －π4cos x
. (1)求f (x )的定义域；
(2)设α是第四象限的角，且tan α＝－43
，求f (α)的值． 19．(本题满分12分)已知函数f (x )＝2sin x 4cos x 4＋3cos x 2
. (1)求函数f (x )的最小正周期及最值；
(2)令g (x )＝f ???
?x ＋π3，判断函数g (x )的奇偶性，并说明理由． 20．(本题满分12分)已知sin(45°＋α)sin(45°－α)＝－14
，0°<α<90°. (1)求α的值；
(2)求sin(α＋10°)[1－3tan(α－10°)]的值．
21．(本题满分12分)已知函数f (x )＝(1＋1tan x )sin 2x －2sin(x ＋π4)sin(x －π4
)． (1)若tan α＝2，求f (α)；
(2)若x ∈[π12，π2
]，求f (x )的取值范围．
22．(本题满分14分)设平面上向量a＝(cosα，sinα)(0°≤α＜360°)，b＝(－1
2，
3
2)．
(1)试证：向量a＋b与a－b垂直；
(2)当两个向量3a＋b与a－3b的模相等时，求角α.
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