2018年高考江苏数学卷解析

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2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数学I

注意事项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求

1. 本试卷共4页，包含非选择题（第1题 ~ 第20题，共20题）.本卷满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5.如需改动，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗

一、填空题：本大题共14小题，每题5小分，共计70分。请把答案填写在答题卡相应位置上。

1.已知集合==-{0,1,2,8},{1,1,6,8}A B ,那么A B ?=__________.

2.若复数z 满足12i z i ?=+,其中i 是虚数单位,则z z 的实部为__________.

3.已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出的分数的平均数为__________.

4.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的S 的值为__________.

5.函数()2log 1f x =-__________.

6.某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率是__________.

7.已知函数sin(2)()2

2

y x π

π

?

?=+-<<

的图像关于直线3

x π

=

对称,则?的值是

__________.

8.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的右焦点(,0)F c 到一条渐

近线的距离为

3

2

c ,则其离心率的值是__________. 9.函数()f x 满足(4)()()f x f x x R +=∈,且在区间(2,2)-上

cos ,022

()1||,202

x x f x x x π?<≤??=??+-<≤??,则((15))f f 的值为__________.

10.如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为__________.

11.若函数3

2

()21()f x x ax a R =-+∈在(0,)+∞内有且只有一个零点,则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为__________.

12.在平面直角坐标系xOy 中, A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点, ()5,0B 以AB

为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ,若0AB CD ?=u u u r u u u r

,则点A 的横坐标为__________.

13.在ABC ?中,角,,A B C 所对应的边分别为,,,120,a b c ABC ABC ∠=∠o

的平分线交

AC 于点D ,且1BD =,则4a c +的最小值为__________.

14.已知集合{}{}

**|21,,|2,n A x x n n N B x x n N ==-∈==∈,将A B ?的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ,记n S 为数列的前n 项和,则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为__________. 二、解答题

15.在平行四边形1111ABCD A B C D -中, 1111,AA AB AB B C =⊥

1.求证: //AB 平面11A B C

2.平面11ABB A ⊥平面1A BC 16.已知,αβ为锐角, ()45tan ,cos 3ααβ=+=- 1.求cos2α的值。 2.求()tan αβ-的值。

17.某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆O 的一段圆弧(MPN P 为此圆弧的中点)和线段MN 构成,已知圆O 的半径为40米,点P 到MN 的距离为50米,先规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD .大棚Ⅱ内的地块形状为CDP ?,要求

AB 均在线段MN 上, ,C D 均在圆弧上,设OC 与MN 所成的角为θ

1.用θ分别表示矩形ABCD 和CDP ?的面积,并确定sin θ的取值范围

2.若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜, 大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:

3.求当θ为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.

18如图,在平面直角坐标系 中,椭圆过点,焦点

,圆的直径为

1.求椭圆及圆的方程;

2. 设直线与圆相切于第一象限内的点.

①若直线与椭圆有且只有一个公共点,求点的坐标;

②直线与椭圆交于两点.若的面积为,求直线的方程.

19记分别为函数的导函数.若存在,满足

且,则称为函数与的一个”点”.

1.证明:函数与不存在”点”.

2.若函数与存在”点”,求实数的值.

3.已知函数,对任意,判断是否存在,使函数与在区间内存在”点”,并说明理由.

20设是首项为,公差为的等差数列,是首项,公比为的等比数列

1.设,若对均成立,求的取值范围

2.若证明:存在,使得对

均成立,并求的取值范围(用表示)。

参考答案

一、填空题

1.答案：{}1,8

解析：观察两个集合即可求解。 2.答案：2 解析：(

)

?+=+=-=+212i a bi ai bi ai b i ,故==-=-2,1,2a b z i

3.答案：90 解析：

8989909191

905

++++=

4.答案：8 解析：代入程序前1

1

I S =??

=?符合6I <, 第一次代入后3

2I S =??

=?

,符合6I <,继续代入； 第二次代入后5

4

I S =??

=?,符合6I <,继续代入;

第三次代入后7

8

I S =??

=?,不符合6I <,输出结果8S =,

故最后输出S 的值为8.

5.答案：[)2,+∞ 解析：2log 10

0x x -≥??

>?

,解之得2x ≥,即[)2,+∞.

6.答案：

310

解析：假设3名女生为,,a b c ,男生为,d e ,恰好选中2名女生的情况有:选a 和b ,a 和c ,b 和c 三种。

总情况有a 和b ,a 和c ,a 和d ,a 和e ,b 和c ,b 和d ,b 和e ,c 和d ,c 和e ,d 和e 这10种,两者相比即为答案310

7.答案：6

π-

解析：函数的对称轴为+k 2

π

π

()+k 2

k Z π

π∈,

故把3

x π

=代入得

2,326

k k πππ

?π?π+=+=-+ 因为2

2

π

π

?-

<<

,所以0,6

k π

?==-

.

8.答案：2

解析：由题意画图可知，渐近线b

y x a

=与坐标轴的夹角为60o 。 故22223,4b c a b a a ==+=,故2c

e a

==. 9.答案：

2

2

解析：因为()()4f x f x +=,函数的周期为4, 所以()()()11151,1122

f f f =--=-+

= ∴()()1215cos 24

2

f

f f π??=== ???

. 10.答案：

43

解析：平面ABCD 将多面体分成了两个以2为底面边长,高为1的正四棱锥, 所以其体积为14221233

????=

.

11.答案：-3

解析：322

1()212f x x ax a x x =-+?=+ 令()()32

23122,'20231g x x g x x x x x

=+

=->?-+ 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增

∵有唯一零点∴()()3

2

1213231a g f x x x ==+=?=-+

求导可知在[]1,1-上, ()()()()min max 14,01f x f f x f =-=-== ∴()()min max 3f x f x +=- 12.答案：3

解析：∵AB 为直径∴AD BD ⊥ ∴BD 即B 到直线l 的距离。

BD =

=

∵CD AC BC r ===，又 CD AB ⊥

∴2AB BC ==设(),2A a a

1AB a =

=?=或3（舍去）.

13.答案：9

解析：由面积得：

111

sin120sin 60sin 60222

ac a c ?=?+? 化简得()011

a

a c ac c a a +=?=<<-

()()

14414151159a a c a a a a +=+

+=-++--≥=

当且仅当()1411a a -=-，即3

,32

a c ==时取等号。 14.答案：27

解析：{}2,4,8,16,32,64,128B =???与A 相比，元素间隔大。所以从n S 中加了几个B 中元素考虑。

1个: 23112,3,1224n S a =+=== 2个: 45224,10,1260n S a =+===

3个: 78437,30,12108n S a =+=== 4个: 12138412,94,12204n S a =+===

5个: 212216521,318,12396n S a =+=== 6个: 383932638,1150,12780n S a =+===

发现2138n ≤≤时n+112n S a =发生变号，以下用二分法查找：

3031687,12612S a ==,所以所求n 应在2229~之间. 2526462,12492S a ==,所以所求n 应在2529~之间. 2728546,12540S a ==,所以所求n 应在2527~之间. 2627503,12516.a a ==

∵272812S a >，而262712a a <，所以答案为27.

二、解答题

15.答案：1.∵平行六面体1111ABCD A B C D - ∴面//ABCD 面1111A B C D ∵AB ?面ABCD ∴//AB 面1111A B C D

又面11ABA B ?面111111A B C D A B = 且AB ?面11ABA B ∴11//AB A B

又11A B ?面11,A B C AB ?面11A B C ∴//AB 面11A B C 2.由1可知: 11//BC B C ∵111AB B C ⊥ ∴1AB BC ⊥

∵平行六面体1111ABCD A B C D - ∴11AB A B = 又由1得11//AB A B

∴四边形11ABB A 为平行四边形 ∵11AA AB =

∴平行四边形11ABB A 为菱形 ∴11AB A B ⊥ 又1A B BC C ?= ∴1AB ⊥面1A BC ∵1AB ?面11ABB A ∴面11ABB A ⊥面1A BC 解析：

16.答案：1.方法一: ∵4tan 3α=

∴sin 4cos 3

αα= 又22sin cos 1αα+= ∴22169

sin ,cos 2525

αα=

=

∴227

cos 2cos sin 25

ααα=-=- 方法二:

222222222

2cos 2cos sin cos sin 1tan cos sin 1tan 4173

25413αααααα

ααα=+--==

++??- ?

??==-

??

+ ???

2.方法一:

7cos 2,25αα=-

为锐角24

sin 20sin 24225

ππααα?<?=

∵(

)cos ,αβαβ+=均为锐角, 2

π

αβπ<+< ∴(

)sin αβ+=

∴()()()

()(

)cos cos 2cos 2cos sin 2sin 25αβααβααβααβ-=-+=+++=

∴()()()

()(

)sin sin 2sin 2cos cos 2sin 25

αβααβααβααβ-=-+=+-+=-

∴()()()sin 2

tan cos 11

ααβαβαβ--==--

方法二:

∵α为锐角7

cos 225

α=-

∴2(0,)απ∈

∴24

sin 225

α==

∴24

tan 27

α=-

∵,αβ为锐角∴()0,αβπ+∈又∵(

)cos αβ+= ∴(

)sin αβ+=

∴()tan 2αβ+=-

∴()()()

()

()

tan 2tan tan tan 21tan 2tan ααβαβααβααβ-+-=-+=

++

()()7

22257111225-

--==-??

+-- ?

??

解析：

17.答案：1. 过N 作MN 垂直于交圆弧MPN 于,设PO 交CD 于H

40sin 10,240cos 80cos ,4040sin BC AB PH θθθθ=+=?==-

()11

80cos 4040sin 1600cos 1600sin cos 22

CDP S AB PH θθθθθ?=??=??-=-

当C 点落在劣弧MN 上时, AB MN >,与题意矛盾。 所以点C 只能落在劣弧上.

所以40sin 2MN OP θ≤<,即1sin 14

θ≤<

2.设甲种蔬菜年产值为()40k k >,则乙种蔬菜年产值为3k ,设总年产值为y 则

设()()222sin cos cos ,'cos sin sin 2sin sin 1f

f θθθθθθθθθθ=+=--=--+

令()'0f θ=,解得sin 1θ=-或

12,根据1舍去1-,记001sin ,0,42πθθ??

=∈ ???

θ

0,6πθ??

???

6π

,62ππ?? ???

()f θ'

+

-

()f θ 单调递增 极大值 单调递减

y

单调递增 极大值 单调递减

答:当6

θ=时,年总产值最大.

解析：

答案： 1.

2.①

②

解析： 1.由题意

解得

即椭圆标准方程为

2.设,则

显然斜率存在,设, 则,

将代入,得

∴与椭圆方程联立

得

①与椭圆相切,则,即

将代入,解得(舍去)或由于在第一象限,则

即

②设与轴交点为

在中令,得,即假设的纵坐标大于的纵坐标

而

即

将代入

化简得

解此方程,得,(由已知条件,舍)或由于在第一象限,则

回代入,得

答案：1.

若存在,则有

根据得到代入不符合,因此不存在

2.

根据题意有且有

根据得到代入得到

3.

根据题意有

根据有

转化为

∵

∴

转化为存在零点

又

∴恒存在零点大于小于

∴对任意均存在,使得存在"点".

答案：1.由题意得对任意均成立

故当时

可得即

所以

2.因为对均能成立

把代入可得

化简后可得

因为,所以

而

所以存在,使得对均成立当时,

当时,设,则

设,因为,所以单调递增,又因为

所以

设,且设,那么

因为

所以在上恒成立,即单调递增。所以的最大值为,所以

∴对均满足,所以单调递减

∴