勾股定理练习题整理及答案解析

勾股定理

一、勾股定理及证明

1. 勾股定理基础

2. 简单的计算

3. 几何图形中的计算

4. 勾股定理的几何证明

二、勾股定理的逆定理

三、勾股定理的应用

勾股定理及证明

1. 勾股定理基础

1. 【易】（初二数学下期末复习）在Rt△ ABC 中， C 90 ，a 、b 、c 分别表示A、

B、C 的对边，则下列各式中，不正确的是（

A．b2c2B．c2 a2 b2C．a c2b2D．a2 b2

答案】D

2. 【易】（2010 实验初二上期中）下列说法正确的是（）

A．若a、b、c是△ABC 的三边，则a2 b2 c2

B．若a、b、c是Rt△ABC 的三边，则a2b2c2

C．若 a 、b 、c是Rt△ ABC的三边，C 90 ，则a2 b2 c2

D．若 a 、b 、c是Rt△ ABC的三边，A 90 ，则a2b2c2 【答案】C

3. 【易】（沈阳）在下列说法中正确的是（）

A．在Rt△ ABC中，AB2 BC 2 AC2

B．在Rt△ ABC中，若a 3，b 4，则c 5

C．在Rt△ABC 中，两直角边长都为15，则斜边长为15 2

D．在直角三角形中，若斜边长为10 ，则可求出两直角边的长【答案】C

4. 【易】（2010 年北京西城外期中）将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角

形是（）

A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰三角形

【答案】B

5. 【易】（深圳中学初二上期中）把直角三角形的两直角边同时扩大到原来4 倍，则其斜边扩大到

原来的（）倍，所得的三角形仍为直角三角形

A．2 B．4 C．8 D．16

【答案】B

6. 【易】直角三角形的两直角边同时扩大为原来的2 倍，其斜边扩大到原来的（）A．2倍

B．3倍C．4倍D．5倍【答案】A

7. 【易】（人大附中2013 年第二学期期中初二年级数学练习）某校办工厂要制作一些等腰三角形

的模具，工人师傅对四个模具的尺寸按照底长、腰长和底边上高的顺序进行了记录，其中记录有错误的是（）

A．10，26，24 B．16，10，6 C．30，17，8 D．24，13，5

【答案】A

8. 【易】（2013 年理工分校第二学期初二数学期中练习）在Rt△ABC中，C 90 ，周长

为60，斜边与一条直角边之比为13:5 ，则这个三角形三边长分别是（）A．5、4、3

B．13、12、5 C．10、8、6 D．26、24、10

【答案】D

9. 【易】（2013 年理工分校第二学期初二数学期中练习）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上

的绳子垂到地面还多1m，当它把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）

A．8m B．10m C．12m D．14m

【答案】C

【解析】解：由题意得，AB为旗杆的高，AC AB 1，BC 5米．

已知AB BC ，根据勾股定理得AB AC2BC2AB 1 225 解得AB 12 米

10. 【易】美丽的人造平面珊瑚礁图案．图中的三角形都是直角三角形，图中的四边形都是正方

形．如果图中所有的正方形的面积之和是980cm2．问：最大的正方形的边长是

【答案】14cm 图中

所有正方形的面积之和

等于 5 倍的最大的正

方形的面积，

980÷5=196cm2

11. 【易】（2013 年第二学期五十七中初二年级数学学科期中试卷）

已知x 2 y 3 0，如果以x ，y的长为直角边作一个直角三角形，那么这个直角三角形的斜边长为（）

A．5 B．5 C．7 D．15

答案】C

12. 【易】（2013 年理工分校第二学期初二数学期中练习）如图，在四边形ABCD 中，AB BC

2，CD 3，AD 1，且ABC 90 ，试求A的度数．

【答案】连结AC ，

在Rt△ABC 中， B 90 ，AB BC 2，

∴ BAC 45 ，AC2 AB2 BC2 8 ，

2 2 2

∴ AC2 AD2 CD 2，∴ CAD 90 ，

BAD BAC CAD 135

13. 【易】（2013 年第二学期八年级数学学科期中统练试卷）如图所示的一块地，已知AD 4m，

CD 3m，AD⊥DC，AB 13m，BC 12m ，求这块地的面积．

【答案】24

【解析】连接AC

在△ ACD 中，D 90 ，AD 4m ，CD 3m ，

∴ AC 5，AB2 AC2 BC2，

∴ ACB 90 ，

∴ S S△ ABC S△ ACD 12 34 24

14. 【易】看下列两组勾股数

⑴a b c⑵a b c

345 4 35

512136810

7242581517

94041102426

1

6061123537

1

从以上的勾股数的表中，你发现了什么规律？

1 2 1 2 【答案】所给的勾股数（a，b ，c ），当a为奇数时，b c 1，b （a2 1），c （a2 1）；

22

1 2 1 2 当a为偶数时，b c 2 ，b （a2 4），c （a2

4）

44

15. 【中】（江苏省竞赛题）对如下的3个命题: 命题1：边长为连续整数的直角三角形是存在

的．

命题2：边长为连续整数的锐角三角形是存在的．命题3：边长为连续整数的钝角三角形是存在的．正确命题的个数为（）．

A．0 B．1 C．2 D．3

答案】D

3，4，5；4，5，6；2，3，4 的三角形显然存在，且分别为直角、锐角、钝角三角

形．

16. 【中】（3,4,5）是一组最简单的勾股数，由此提出下列问题

⑴ 三边长为连续整数的直角三角形有多少个？

⑵ 三边长为连续整数的钝角三角形存在吗？如果存在，有多少个？

⑶ 三边长为连续整数的锐角三角形存在吗？如果存在，有多少个？

【答案】三边长为连续整数的直角三角形是存在的，并且只有一个；三边长为连续整数的钝角三角形也只有一个，它的三边长为2,3,4 ；三边长为连续整数的锐角三角形有无数个.

18. 【中】（绵阳市中考题）若a 、b 、c是直角三角形的三条边长，斜边 c 上的高的长是h，

2 2 2

给出下列结论：①以a2，b2，c2的长为边的三条线段能组成一个三角形；②以

a，b，c的长为边的三条线段能组成一个三角形；③以a b，c h，h 的长为边的

111 三条线段能组成直角三角形；④以1，1，1的长为边的三条线段能组成直角三角形. 其

abh

中所有正确结论的序号为 _______ .

【答案】②③④ （ a b）2 a b 2 ab c，即a b c

2. 简单的计算

19. 【易】一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为________________

【答案】6，8，10

20. 【易】（2012 昆山一模）一个直角三角形的两边长分别为 4 与5，则第三边长为（）

A．3 【答案】C B

．

41C

．

41或3D．不确定

21. 【易】在Rt△ ABC

中， C 90 ，若a11，c61 ，则b （）

A．63B

．60C

．

48D．58

17. 中】在锐角三角形中，已知某两边1，b 3，那么第三边的变化范围是（）．

A．2 c 4 B．2< c≤3 C．2< c< 10 D．8

x

答案】 D 设第三边长为x,则1x

x，12

12

x

2

3

2

3

2

x

2

.

答案】B

6 5

5

【易】 若直角三角形中，有两边长是 12和 5 ，则第三边长的平方为（ ） A ．168 B ． 169或119 C ．13或 15 D ． 15 【答案】 B

易】（ 2013 年黔西南州） 一直角三角形的两边长分别为

答案】 D

【易】（2010年北京月坛期中） 在△ABC 中， C 90 ，若AC 3，BC 5，则AB （） A ． 34 B ． 4

C ． 20

D ．都不对

【答案】 A

易】 已知，三角形的三边长为 6，8，10 ，则这个三角形最长边上的高是（

）

A ． 10 【答案】 D

B ． 8

C ． 2.4

D ． 4.8

【易】（2010 年北京文汇期中） 在△ABC 中，AB 15 ，AC 20 ，BC 边上的高 AD 12

，

则 BC 的长为（ ）

A ． 25

B ． 7

C ． 25或7

D ．不能确定

【答案】 C

【易】在 △

ABC

中，AB 12cm ，BC 16cm ， AC 20cm

，

则 △ ABC 的面积是 （ ）

2

A ． 96cm

B ． 2

120cm

C ． 2

160cm

2

D ． 200cm 2

【答案】 A

【易】（ 2013 年乐亭县一模） 已知直角三角形的两直角边的长恰好是方程 x 2 5x 6 0

的两根，则此直角三角形的斜边长为（ ） A ． 3 B ． 3

C ． 13

D ． 5

【答案】 C

【易】（安徽省中考题）如图，在△ ABC 中， AB AC 5，BC 6，点M 为BC 的中 点， MN ⊥ AC 于点 N ，则 MN 等于（ ）．

答案】 C 【易】（北京市西城区 2013 学年度第二学期期末试卷八年级数学） 如图， 每个小正方形 的边长为 1， △ ABC 的三个顶点 A ， B ， C 在格点上，那么三边 a ，b ，c 的大小关系

是（ ）

22.

23.

24.

25. 26. 27.

28.

29.

30. 3 和 4．则第三边的长为 （

A ．5

B ． 7

C ． 5

D ． 5 或 7

A ．

B ．

C ．

12

D ．

16

5

A．a c b B．a b c C．c b a D．c a b 【答案】D

31. 【易】（2013山东滨州中考）在△ABC 中，∠C 90 ，AB 7，BC 5，则边AC 的长为．

【答案】 2 6

32. 【易】（2010年北京四中期中）如果直角三角形的三边长为10、6、x ，则最短边上的

高为____________ ．

【答案】8或10

33. 【易】（北京西城外国语学校2011 初二数学期中）三角形三条边长分别为8，15 ，17，那么最

短边上的高是_______________________ ．

【答案】15

34. 【易】（初二数学下期末复习）若正方形的面积为18cm2，则正方形对角线长为

_____ cm 。

【答案】6

35. 【易】（2011 深圳中学初二上期末）直角三角形的两直角边的长分别是5和12，则斜边

上的高为__________ ．

【答案】60

13

36. 【易】如图，已知CD是Rt△ ABC 的斜边上的高，其中AD 9cm，BD 4cm ，那么CD 等于

cm ．

【答案】6

37. 【易】在Rt△ ABC中，C 90°，a 5，b 12，则c ____________ ．

【答案】13

38. 【易】（初二上期中模拟）在Rt△ ABC 中，C 90 ，其中a 6，b 8，则c ____________ ．

【答案】10

39. 【易】（2010 年北京七中期中）已知直角三角形的两直角边长分别为3cm 和5cm ，则第

三边长为______

40. 【易】求图中直角三角形中未知的长度：b _________ ．

【答案】12

41. 【易】（巴中市二○一三年高中阶段教育学校招生考试数学试卷）若直角三角形两直角边长分别

答案】34cm

为a、b ，且满足a26a 9 b 4 0 ，则该直角三角形的斜边长为

答案】5

42. 【中】（初二数学下期末复习）一直角三角形的一直角边长为6，斜边长比另一直角边长大2 ，则斜边的长为（）

A．4 B．8 C．10 D．12【答案】C

2 43. 【中】（初二期末综合练习（三））已知一直角三角形的木三边的平方和为1800cm ，

则斜边长为（）

A．80cm B．30cm C．90 cm D．120cm

【答案】B

44. 【中】（初二上期中模拟）已知直角三角形ABC 中，C90 ，AC 6，BC 8 ，现

将△ ABC 绕点B 旋转90，得△

DBE ，其中A 的对应点为 E ，则AE 的长为（）

A．20B．10 2C．20 2D．10

答案】B

45. 【中】一直角三角形的两边长是3和5 ，则第三边边长的平方是_________ ．

【答案】34 或16

46. 【中】（2010 年北京文汇期中）三角形的两边长分别为3和5 ，要使这个三角形是直角

三角形，则第三条边长是_______ ．

【答案】34 或4

47. 【中】（北京市第三十五中学2011 学年度第二学期期中初二）若直角三角形的两边长分别为

6cm和8cm ，则第三边长为 _________________ ．

【答案】10 或 2 7

48. 【中】（2010 年北京五中期中）有一个直角三角形的两边为 4 、5 ，要使三角形为直角

三角形，则第三边等于_______ ．

49. 【中】（2010年北京鲁迅期中）若一个直角三角形的两边长分别为12和5 ，则此三角形

的第三边长为______ ．

【答案】13 或119

50. 【中】（初二下期末综合复习）已知直角三角形的两边长x 、y 满足

x2 4 y2 5y 6 0 ，则第三边长为_____________

答案】3或41