2016_2017学年高中数学3.3三角函数的积化和差与和差化积学案新人教B版必修4
3.3 三角函数的积化和差与和差化积
1.能根据公式S α±β和C α±β进行恒等变换，推导出积化和差与和差化积公式.(难点)
2.了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的特点，提高推理、运算能力.(重点)
[基础·初探]
教材整理 积化和差与和差化积公式 阅读教材P 149内容，完成下列问题. 1.积化和差公式：
cos αcos β＝1
2[cos(α＋β)＋cos(α－β)]；
sin αsin β＝－1
2[cos(α＋β)－cos(α－β)]；
sin αcos β＝1
2[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；
cos αsin β＝1
2[sin(α＋β)－sin(α－β)].
2.和差化积公式：
设α＋β＝x ，α－β＝y ，则α＝x ＋y
2
，β＝
x －y
2
.这样，上面的四个式子可以写成，
sin x ＋sin y ＝2sin x ＋y
2cos x －y
2； sin x －sin y ＝2cos x ＋y 2sin x －y 2； cos x ＋cos y ＝2cos
x ＋y
2
cos
x －y
2
； cos x －cos y ＝－2sin
x ＋y
2
sin
x －y
2
.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)sin(A ＋B )＋sin(A －B )＝2sin A cosB.( )
(2)sin(A ＋B )－sin(A －B )＝2cos A sinB.( ) (3)cos(A ＋B )＋cos(A －B )＝2cos A cosB.( ) (4)cos(A ＋B )－cos(A －B )＝2cos A cosB.( ) 【答案】 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________
[小组合作型]
积化和差与和差化积公式在
给角求值中的应用
(1)求值：sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°. (2)求值：sin 20°sin 40°sin 60°sin 80°.
【精彩点拨】 在利用积化和差与和差化积公式求值时，尽量出现特殊角，同时注意互余角、互补角的三角函数间的关系.
【自主解答】 (1)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°＝1
2(sin 90°－sin 50°)
－1
2
(cos 60°－cos 40°) ＝14－12sin 50°＋1
2cos 40° ＝14－12sin 50°＋12sin 50°＝14
. (2)原式＝cos 10°cos 30°cos 50°cos 70° ＝
3
2
cos 10°cos 50°cos 70°
＝
32??????1
2cos 60°＋cos 40°·cos 70° ＝38cos 70°＋3
4cos 40°cos 70° ＝38cos 70°＋3
8(cos 110°＋cos 30°) ＝
38cos 70°＋38cos 110°＋316＝316
.
给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数.
[再练一题]
1.求sin 2
20°＋cos 2
50°＋sin 20°·cos 50°的值.
【解】 原式＝1－cos 40°2＋1＋cos 100°2＋12(sin 70°－sin 30°)
＝1＋12(cos 100°－cos 40°)＋12sin 70°－1
4
＝34＋12(－2sin 70°sin 30°)＋1
2sin 70° ＝34－12sin 70°＋12sin 70°＝34
.
积化和差与和差化积公式在
给值求值中的应用
(2016·平原高一检测)已知cos α－cos β＝2，sin α－sin β＝－1
3
，求
sin(α＋β)的值.
【导学号：72010090】
【精彩点拨】 解答本题利用和差化积公式，对所求式子进行变形，利用所给条件求解. 【自主解答】 ∵cos α－cos β＝1
2，
∴－2sin
α＋β
2
sin
α－β2
＝1
2
.① 又∵sin α－sin β＝－1
3，
∴2cos
α＋β
2
sin
α－β
2＝－13
.②
∵
sin
α－β
2
≠0，
∴由①②，得－tan
α＋β
2＝－32，即tan α＋β2＝32.
∴sin(α＋β)＝2sin
α＋β2cos
α＋β
2
sin 2α＋β2＋cos 2α＋β2
＝2tan
α＋β
21＋tan 2α＋β2＝2×
321＋
94
＝12
13.
对于给值求值问题，一般思路是先对条件化简，之后看能否直接求结果；若不满足，再对所求式化简，直到找到两者的联系为止.
[再练一题]
2.(2016·银川高一检测)已知sin α＝－45，π＜α＜32π，求sin α2，cos α2，tan
α
2的值.
【解】 ∵π＜α＜32π，sin α＝－4
5，
∴cos α＝－35，且π2＜α2＜3
4π，
∴sin α
2
＝1－cos α2＝25
5
， cos α
2
＝－
1＋cos α2＝－55，tan α
2＝sin
α
2cos
α
2
＝－2. [探究共研型]
三角函数公式在解决三角形
问题中的应用
探究1 【提示】 注意三角形中的隐含条件的应用，如A ＋B ＋C ＝π，a ＋b >c 等. 探究2 在△ABC 中有哪些重要的三角关系？ 【提示】 在△ABC 中的三角关系：
sin(A ＋B )＝sin C ， cos(A ＋B )＝－cos C ， sin
A ＋B
2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2
， sin(2A ＋2B )＝－sin 2C ， cos(2A ＋2B )＝cos 2C .
在△ABC 中，求证：sin A ＋sin B －sin C ＝4sin A 2sin B 2cos C
2.
【精彩点拨】 利用和差化积进行转化，转化时要注意A ＋B ＋C ＝π. 【自主解答】 左边＝sin(B ＋C )＋2sin B －C
2
·cos
B ＋C
2
＝2sin B ＋C
2
cos
B ＋C
2＋2sin B －C
2
cos
B ＋C
2
＝2cos
B ＋
C 2?
?
?
??
sin
B ＋
C 2
＋sin
B －
C 2
＝4sin A
2sin B
2cos C
2＝右边，
∴原等式成立.
证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更论证等方法，使等式两端的“异”化为“同”，分式不好证时，可变形为整式来证.
[再练一题]
3.在△ABC 中，求证：sin A ＋sin B ＋sin C ＝4cos A 2·cos B 2cos C
2.
【证明】 由A ＋B ＋C ＝180°， 得C ＝180°－(A ＋B )，
即C 2＝90°－A ＋B
2， ∴cos C 2＝sin A ＋B 2
.
∴sin A ＋sin B ＋sin C ＝2sin A ＋B
2·cos A －B
2＋sin(A ＋B ) ＝2sin
A ＋
B 2
·cos
A －
B 2
＋2sin
A ＋B
2
·cos
A ＋B
2
＝2sin
A ＋
B 2?
?
?
??
cos
A －B
2
＋cos
A ＋
B 2
＝2cos C 2·2cos A
2·cos ? ????
－B 2
＝4cos A
2cos B 2cos C
2
，∴原等式成立. [构建·体系]
1.计算sin 105°cos75°的值是( ) A.1
2 B.14 C.－14
D.－12
【解析】 sin 105°cos 75°＝12(sin 180°＋sin 30°)＝1
4.
【答案】 B
2.sin 75°－sin 15°的值为( ) A.1
2 B.22
C.32
D.－12
【解析】 sin 75°－sin 15
＝2cos 75°＋15°2sin 75°－15°2＝2×22×12＝22.
故选B. 【答案】 B
3.函数y ＝sin ?
????x －π6cos x 的最大值为( )
【导学号：72010091】
A.12
B.14
C.1
D.22
【解析】 ∵y ＝sin ?
????x －π6cos x
＝12??????sin ? ????x －π6＋x －sin ? ????x ＋π6－x
＝12??????sin ?
?
???2x －π6－12
＝12sin ? ?
???2x －π6－14.
∴取最大值1
4.
【答案】 B
4.已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝1
5，则sin αcos β＝________.
【解析】 sin αcos β＝12sin(α＋β)＋12sin(α－β)＝12×23＋12×15＝13
30.
【答案】
13
30
5.化简下列各式：
(1)cos A ＋cos 120°＋B ＋cos 120°－B sin B ＋sin 120°＋A －sin 120°－A ； (2)sin A ＋2sin 3A ＋sin 5A sin 3A ＋2sin 5A ＋sin 7A
. 【解】 (1)原式＝cos A ＋2cos 120°cos B
sin B ＋2cos 120°sin A
＝cos A －cos B
sin B －sin A ＝2sin A ＋B 2sin
B －A 22cos A ＋B 2sin
B －A
2
＝tan
A ＋B
2
.
(2)原式＝sin A ＋sin 5A ＋2sin 3A
sin 3A ＋sin 7A ＋2sin 5A
＝2sin 3A cos 2A ＋2sin 3A
2sin 5A cos 2A ＋2sin 5A
＝
2sin 3A cos 2A ＋1
2sin 5A
cos 2A ＋1
＝
sin 3A
sin 5A
.
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________________ (2)_________________________________________________________ 我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________________ (2)_________________________________________________________
学业分层测评(二十九) (建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.sin 37.5°cos 7.5°＝( ) A.2
2 B.24 C.
2＋1
4
D.2＋2
4
【解析】 原式＝1
2[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)]
＝12(sin 45°＋sin 30°)＝12×? ????22＋12＝2＋14. 【答案】 C
2.(2016·吉林高一检测)sin 10°＋sin 50°sin 35°·sin 55°＝( )
A.14
B.12
C.2
D.4
【解析】 原式＝2sin 30°cos 20°sin 35°cos 35°＝cos 20°12sin 70°＝2cos 20°
cos 20°
＝2.
【答案】 C
3.若cos(α＋β)cos(α－β)＝13
，则cos 2α－sin 2
β等于( )
A.－23
B.－13
C.13
D.23
【解析】 ∵cos(α＋β)cos(α－β) ＝1
2
(cos 2α＋cos 2β) ＝12[(2cos 2α－1)＋(1－2sin 2
β)] ＝cos 2
α－sin 2
β， ∴cos 2α－sin 2
β＝13.
【答案】 C
4.(2016·沈阳高一检测)在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 2
C
2，则△ABC 是( )
A.等边三角形
B.等腰三角形
C.不等边三角形
D.直角三角形
【解析】 由sin A sin B ＝cos 2C 2，得12cos(A －B )－12cos(A ＋B )＝1＋cos C 2， ∴12cos(A －B )＋12cos C ＝12＋1
2cos C ， 即cos (A －B )＝1， ∴A －B ＝0，即A ＝B . ∴△ABC 是等腰三角形. 【答案】 B
5.求值：sin 20°＋sin 40°＋sin 60°－sin 80 °＝( ) A.12 B.22
C.32
D.1
【解析】 sin 20°＋s in 40°＋sin 60°－sin 80° ＝2sin 30°cos 10°＋sin 60°－sin 80° ＝2×12×sin 80°＋32－sin 80°＝32.
【答案】 C 二、填空题
6.函数y ＝cos ? ????π3＋2x cos ? ????π3－2x 的最大值是________. 【解析】 y ＝cos ? ????π3＋2x cos ? ??
??π3－2x
＝12???
cos ????
??? ????π3＋2x ＋? ????π3－2x ＋
?
??cos ??????? ????π3＋2x －? ????π3－2x ＝12? ????cos 2π3＋cos 4x ＝1
2cos 4x －14.
∴取最大值1
4.
【答案】 1
4
7.直角三角形中两锐角为A 和B ，则sin A sin B 的最大值为________. 【解析】 ∵A ＋B ＝π
2
，
sin A sin B ＝1
2[cos(A －B )－cos(A ＋B )]
＝1
2
cos(A －B )， 又－π2＜A －B ＜π
2，∴0＜cos(A －B )≤1，
∴sin A sin B 有最大值12.
【答案】 1
2
8.(2016·日照高一检测)化简：sin 42°－cos 12°＋sin 54°＝________.
【导学号：72010092】
【解析】 sin 42°－cos 12°＋sin 54° ＝sin 42°－sin 78°＋sin 54°
＝－2cos 60°sin18°＋sin 54°＝sin 54°－sin 18° ＝2cos 36°sin 18°＝2cos 36°sin 18°cos 18°
cos 18°
＝cos 36°sin 36°cos 18°＝2cos 36°sin 36°
2cos 18°
＝
sin 72°2cos 18°＝1
2
.
【答案】 1
2
三、解答题
9.(2016·济宁高一检测)已知A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，y ＝tan A
2＋
2cos
A 2
sin A
2＋cos
B －C
2
，若任意交换两个角的位置，y 的值是否变化？并证明你的结论.
【解】 ∵A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，
∴A ＋B ＋C ＝π，A 2＝π2－B ＋C 2
.
∴y ＝tan A
2＋2sin
B ＋C
2
cos B ＋C 2＋cos
B －
C 2
＝tan A 2＋2?
????sin B 2cos C 2＋cos B 2sin C
22cos B 2cos
C
2
＝tan A 2＋tan B 2＋tan C
2
.
因此，任意交换两个角的位置，y 的值不变.
10.求函数f (x )＝sin x ??????sin x －sin ?
????x ＋π3的最小正周期与最值.
【解】 f (x )＝sin x ??????sin x －sin ?
????x ＋π3 ＝sin x ·2cos ? ????x ＋π6sin ? ????－π6
＝－sin x cos ?
????x ＋π6 ＝－12??????sin ? ????2x ＋π6＋sin ? ????－π6 ＝－12sin ? ?
???2x ＋π6＋14.
∴最小正周期为T ＝2π
2＝π.
∵sin ?
????2x ＋π6∈[－1,1]，
∴取最大值34，取最小值－1
4
.
[能力提升]
1.若sin α＋sin β＝3
3
(cos β－cos α)且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则α－β等于( )
A.－2π
3
B.－π3
C.π3
D.2π3
【解析】 ∵α，β∈(0，π)，∴sin α＋sin β＞0， ∴cos β－cos α＞0，
∴cos β＞cos α，又在(0，π)上，y ＝cos x 是减函数， ∴β＜α，0＜α－β＜π，由原式可知： 2sin
α＋β
2
cos
α－β
2
＝
33? ????－2sin α＋β2sin β－α2， ∴tan
α－β
2
＝3，∴
α－β2
＝π
3，∴α－β＝2π
3
. 【答案】 D
2.在△ABC 中，若B ＝30°，则cos A sin C 的取值范围是( ) A.[－1,1]
B.??????－12，12
C.????
??－14，34 D.????
??－34，14 【解析】 cos A sin C ＝12[sin(A ＋C )－sin(A －C )]＝14－1
2sin(A －C )，∵－1≤sin(A
－C )≤1，
∴cos A sin C ∈????
??－14，34.
【答案】 C
3.sin 2
20°＋cos 2
80°＋3sin 20°cos 80°＝________. 【解析】 原式＝1－cos 40°2＋1＋cos 160°
2＋
32sin 100°－3
2
sin 60°
＝14－12cos 40°－12cos 20°＋3
2sin 100° ＝14－12×2cos 30°cos 10°＋3
2cos 10° ＝14－32cos 10°＋32cos 10°＝14. 【答案】 14
4.已知3tan ? ????α－π12＝tan ? ????α＋π12，求证：sin 2α＝1. 【证明】 ∵3tan ? ????α－π12＝tan ? ????α＋π12，
∴3sin ? ????α－π12cos ? ????α－π12＝sin ?
????α＋π12cos ? ????α＋π12，
∴3sin ? ????α－π12cos ? ????α＋π12 ＝sin ?
????α＋π12cos ? ????α－π12， ∴32?
?
???sin 2α－sin π6＝12? ????sin 2α＋sin π6，
∴3sin 2α－32＝sin 2α＋1
2，
∴sin 2α＝1.
高中数学苏教版必修四学案：1.2.2 同角三角函数关系
第2课时三角函数线 学习目标 1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域. 2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切. 3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题．
知识点一有向线段 思考1比如你从学校走到家和你从家走到学校，效果一样吗？ 思考2如果你觉得效果不同，怎样直观的表示更好？ 梳理有向线段 (1)有向线段：规定了________(即规定了起点和终点)的线段称为有向线段． (2)有向直线：规定了正方向的直线称为有向直线． (3)有向线段的数量：根据有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反，分别把它的长度添上______或______，这样所得的数，叫做有向线段的数量，记为AB. (4)单位圆：圆心在________，半径等于____________的圆． 知识点二三角函数线 思考1在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM⊥x轴，过点A(1,0)作单位圆的切线，交α的终边或其反向延长线于点T，如图所示，结合三角函数的定义，你能得到sin α，cos α，tan α与MP，OM，AT的关系吗？
思考2三角函数线的方向是如何规定的？ 思考3三角函数线的长度和方向各表示什么？梳理
知识点三正弦、余弦、正切函数的定义域 思考对于任意角α，sin α，cos α，tan α都有意义吗？梳理三角函数的定义域
类型一 三角函数线 例1 作出－5π 8的正弦线、余弦线和正切线． 反思与感悟 (1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x 轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线． (2)作正切线时，应从点A (1,0)引单位圆的切线交角的终边或终边的反向延长线于一点T ，即可得到正切线AT . 跟踪训练1 在单位圆中画出满足sin α＝1 2的角α的终边，并求角α的取值集合．
高中数学三角函数知识点(复习)
三角函数知识点复习 §1.1.1、任意角 1、正角、负角、零角、象限角的概念. 2、 与角终边相同的角的集合： . §1.1.2、弧度制 1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 2、 . 3、弧长公式：. 4、扇形面积公式：. §1.2.1、任意角的三角函数 1、设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，那么： 2、 设点为角终边上任意一点，那么：（设），，， 3、 ，，在四个象限的符号和三角函数线的画法. 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT 5、特殊角0°，30°，45°，60°， 1、平方关系：. 2、商数关系：. 3、倒数关系： §1.3、三角函数的诱导公式 （概括为“奇变偶不变，符号看象限”） 1、 诱导公式一： （其中：）
2、 诱导公式二： 3、诱导公式三： 4、诱导公式四： 5、诱导公式五： 6、诱导公式六： §1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象： 2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大 最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 3、会用五点法作图. 在上的五个关键点为：
§1.4.3、正切函数的图象与性质 图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质
图象
定 义 域 值 域 [-1,1][-1,1] 最 值 周 期 性 奇 偶 性 奇偶 单调性在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 在上单调递减 对称性对称轴方程： 对称中心 对称轴方程： 对称中心
1、记住正切函数的图象： 2、记住余切函数的图象：
三角函数诱导公式、万能公式、和差化积公式、倍角公式等公式总结及其推导
三角函数诱导公式： 诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。 “奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。（反之亦然成立）“符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看n?(π/2)±α是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。 符号判断口诀： “一全正；二正弦；三两切；四余弦”。这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”；第二象限内只有正弦是“+”，其余全部是“－”；第三象限内只有正切和余切是“+”，其余全部是“－”；第四象限内只有余弦是“+”，其余全部是“－”。 “ASCT”反Z。意即为“all(全部)”、“sin”、“cos”、“tan”按照将字母Z反过来写所占的象限对应的三角函数为正值。 三角函数诱导公式- 其他三角函数知识 同角三角函数的基本关系式 倒数关系 tanα?cotα=1 sinα?cscα=1 cosα?secα=1 商的关系 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 平方关系 sin^2(α)+cos^2(α)=1
1+tan^2(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α) 同角三角函数关系六角形记忆法 构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型。 倒数关系 对角线上两个函数互为倒数； 商数关系 六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积，下面4个也存在这种关系。）。由此，可得商数关系式。 平方关系 在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。 两角和差公式 sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ sin（α－β）=sinαcosβ-cosαsinβ cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ tan（α+β）=(tanα+tanβ )/(1－tanα ?tanβ) tan（α－β）=(tanα－tanβ)/(1+tanα ?tanβ) 二倍角的正弦、余弦和正切公式 sin2α=2sinαcosα
高中数学三角函数知识点归纳总结
《三角函数》 【知识网络】 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 {}()360k k Z ααβ? =+∈g x 轴上角：{}()180k k Z αα=∈o g y 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈o o g 3、第一象限角：{}()036090360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 第二象限角：{}()90 360180360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 第三象限角：{}()180360270360k k k Z αα? ?+<<+∈o o g g 第四象限角： {}()270 360360360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 4、区分第一象限角、锐角以及小于90o 的角 第一象限角：{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 锐角： {}090αα< ,2 4 , 0π απ ≤ ≤=k ,2 345, 1παπ≤≤=k 所以 2 α 在第一、三象限 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad . 7、角度与弧度的转化：01745.0180 1≈=?π 815730.571801'?=?≈? = π 9、弧长与面积计算公式 弧长：l R α=?；面积：211 22 S l R R α=?=?，注意：这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan y x α= 其中(),x y 为角α终边上任意点坐标，r = 2、三角函数值对应表： 3、三角函数在各象限中的符号 5.2.1 三角函数的概念 1.借助单位圆理解任意角三角函数的定义； 2.根据定义认识函数值的符号。理解诱导公式一； 3.能初步运用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题。 1.教学重点：任意角的三角函数（正弦函数、余弦函数、正切函数）的定义； 2.教学难点：任意角的三角函数概念的建构过程，解决与三角函数值有关的一些简单问题。 一、设角， 是一个任意角，R ∈αα它的终边与单位圆交于点),(P y x 。 那么（1） 的正弦函数。叫做α记作 ，;sin α=y 即 （2） 的余弦函数。叫做α记作 ，;cos α=x 即 （3） 的正切。叫做α记作 ;tan α=x y 即 )0(tan ≠=x x y α是 以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为 （tangent function)。 二、三角函数的定义域。 三角函数 定义域 αsin =y αcos =y αtan =y 三、诱导公式 =+)2sin(παk ；=+)2(cos παk ； =+)2(tan παk 。Z k ∈ 一、探索新知 探究一.角α的始边在x 轴非负半轴，终边与单位圆交于点P 。当πα=时，点P 的坐标是什么？当 322ππα或= 时，点P 的坐标又是什么？它们唯一确定吗？ 探究二 ：一般地，任意给定一个角α，它的终边OP 与单位圆交点P 的坐标能唯一确定吗？ 1.任意角的三角函数定义 设角， 是一个任意角，R ∈αα它的终边与单位圆交于点),(P y x 。 那么（1） 的正弦函数。叫做α记作 ，;sin α=y 即 （2） 的余弦函数。 叫做α记作 ，;cos α=x 即 （3） 的正切。叫做α记作 ;tan α=x y 即 )0(tan ≠=x x y α是 以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为 （tangent function)。 正弦函数，余弦函数，正切函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将他们称为三角函数. 通常将它们记为：正弦函数 R x x y ∈=,sin 余弦函数 R x x y ∈=,cos 正切函数 )(2,tan Z k k x x y ∈+≠=ππ 探究三：在初中我们学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量。以比值为函数值的函数，设)2 ,0(π ∈x ，把按锐角三角函数定义求得的锐角x 的正弦记为1z ，并把按本节三角函数定义求得的 x 的正弦记为1y 。1z 与1y 相等吗？对于余弦、正切也有相同的结论吗？ 高中数学三角函数知识点总结 1.特殊角的三角函数值： 2．角度制与弧度制的互化：,23600π= ,1800π= 1rad ＝π 180°≈°=57°18ˊ． 1°＝ 180 π≈（rad ） 3.弧长及扇形面积公式 弧长公式：r l .α= 扇形面积公式:S=r l .2 1 α----是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径 4.任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号： x y + O — — + # x y O — + + — + y O ) | — + + — sin α cos α tan α 5.同角三角函数的基本关系： （1）平方关系：s in 2α+ cos 2α=1。（2）商数关系：αα cos sin =tan α （z k k ∈+≠ ,2 ππ α） 6.诱导公式：记忆口诀：2 k παα±把的三角函数化为的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号 看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ' ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． 口诀：函数名称不变，符号看象限． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2π αα??+= ???，cos sin 2παα?? +=- ??? ． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． 7正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质 高中数学三角函数公式大全 三角函数看似很多，很复杂，而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是三角函数公式大全：操作方法 01 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 02 倍角公式 tan2A = 2tanA/(1-tan^2 A) Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos^2 A--Sin^2 A =2Cos^2 A—1 =1—2sin^2 A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)^3; cos3A = 4(cosA)^3 -3cosA -a) tan3a = tan a ? tan(π/3+a)? tan(π/3 半角公式 --cosA)/2} sin(A/2) = √{(1 cos(A/2) = √{(1+cosA)/2} --cosA)/(1+cosA)} tan(A/2) = √{(1 cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1 -cosA)} tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA) §1.6三角函数模型的简单应用 【学习目标 细解考纲】 1、会用三角函数解决一些简单的问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 2通过对三角函数的应用，发展数学应用意识，求对现实世界中蕴涵的一些数学模型进行思考和作出判断. 【知识梳理 双基再现】 1、三角函数可以作为描述现实世界中_________现象的一种数学模型. 2、|sin |y x =是以____________为周期的波浪型曲线. 3、如图所示，有一广告气球，直径为6m ，放在公司大楼上空，当行人仰望气球中心的仰角030BAC ∠=时，测得气球的视角01β=，若θ很小时，可取sin θθ≈，试估算该气球离地高度BC 的值约为（ ）. A ．72cm B ．86cm C ．102cm 【小试身手 轻松过关】 1、设()y f t =是某港口水的深度关于时间t (时)的函数，其中024t ≤≤,下表是该港口某一天从0至24时记录的时间与水深的关系. 经长期观察，函数()y f t =的图象可以近似地看成函数sin()y k A t ω?=++的图象. 根据上述数据，函数()y f t =的解析式为（ ） A ．123sin ,[0,24]6t y t π=+∈ B ．123sin(),[0,24]6 t y t ππ=++∈ C ．123sin ,[0,24]12t y t π=+∈ D ．123sin(),[0,24]122 t y t ππ=++∈ 2、如图，是一弹簧振子作简谐运动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式是____________. 3、如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过 12 周期后，乙点的位置将移至（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 一、教学目的： 1. 了解三角函数的积化和差与和差化积公式的推导过程，了解此组公式与两角和差的正弦、余弦公式的联系，从而培养逻辑推理能力。 2. 掌握三角函数的积化和差与和差化积公式，能正确运用此公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明。 二、重点、难点： 掌握三角函数的积化和差与和差化积公式，能正确运用此公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明。 三、新课讲解： （一）三角函数的积化和差与和差化积公式 1、公式的推导 ())(sin cos cos sin sin βαβαβαβα++=+S ， ()sin sin cos cos sin ()αβαβαβαβ-=--，S ()cos cos cos sin sin ()αβαβαβαβ+=-+，C ()cos cos cos sin sin ()αβαβαβαβ-=+-，C ()()()()S S S S αβαβαβαβ+-+-+-， ()()()()C C C C αβαβαβαβ +-+-+-，，得 ()()()()()()()()sin sin sin cos sin sin cos sin cos cos cos cos cos cos sin sin αβαβαβ αβαβαβ αβαβαβ αβαβαβ++-=+--=++-=+--=-2222 即()()[]sin cos sin sin αβαβαβ= ++-<>12 1 ()()[]cos sin sin sin αβαβαβ=+--<>12 2 ()()[]cos cos cos cos αβαβαβ=++-<>12 3 ()()[]sin sin cos cos αβαβαβ=-+--<>12 4 公式<1><2><3><4>叫做积化和差公式。 其特点为：同名函数之积化为两角和与差余弦的和（差）的一半，异名函数之积化为两角和与差正弦的和（差）的一半，等式左边为单角α、β，等式右边为它们的和差角。 在积化和差的公式中，如果“从右往左”看，实质上就是和差化积。为了用 高中数学必修4知识点总结 第一章 三角函数（初等函数二） ?? ?? ?正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<， 则sin y r α= ，cos x r α= ，()tan 0y x x α= ≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：sin α=M P ，cos α=O M ，tan α=AT ． 12、同角三角函数的基本关系：()2 2 1sin cos 1αα+= 高中数学学案：三角函数的最值问题 1. 会通过三角恒等变形、利用三角函数的有界性、结合三角函数的图象,求三角函数的最值和值域． 2. 掌握求三角函数最值的常见方法,能运用三角函数最值解决一些实际问题. 1. 阅读：必修4第24～33页、第103～116页、第119～122页． 2. 解悟：①正弦、余弦、正切函数的图象和性质是什么？②三角函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(A>0,ω>0)的最值及对应条件；③两角和与差的正弦、余弦、正切公式是什么？辅助角公式是否熟练？④二倍角公式是什么？由倍角公式得到的降幂扩角公式是什么？必修4第123页练习第4题怎么解？ 3. 践习：在教材空白处,完成必修4第131页复习题第9、10、16题. 基础诊断 1. 函数f(x)＝sin x,x ∈? ????π6，2π3的值域为? ?? ??12，1__． 2. 函数f(x)＝sin x －cos ? ?? ??x ＋π6的值域为3]__． 解析：因为f(x)＝sin x －cos (x ＋π6)＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝32sin x －32cos x ＝3sin (x －π6), 所以函数f(x)＝sin x －cos (x ＋π6)的值域为[－3,3]． 3. 若函数f(x)＝(1＋3tan x)cos x,0≤x<π2,则f(x)的最大值为__2__． 解析：f(x)＝(1＋3tan x)cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2sin ? ????x ＋π6.因为0≤x<π2,所以π6≤x ＋π6<2π3,所以sin ? ????x ＋π6∈???? ??12，1, 所以当sin ? ?? ??x ＋π6＝1时,f(x)有最大值2. 4. 函数y ＝2sin 2x －3sin 2x 范例导航 考向? 形如y ＝a sin 2x ＋b cos x ＋c 的三角函数的最值 高中数学三角函数知识点总结 1.特殊角的三角函数值： 2．角度制与弧度制的互化： ,23600π= ,1800 π= 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ 1°＝ 180 π≈0.01745（rad ） 3.弧长及扇形面积公式 (1)弧长公式：r l .α= α----是圆心角且为弧度制 (2)扇形面积公式:S=r l .2 1 r-----是扇形半径 4.任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号： 记忆口诀：一全正，二正弦，三两切，四余弦 sin α cos α tan α 5.同角三角函数的基本关系： （1）平方关系：s in 2α+ cos 2α=1 （2）商数关系：ααcos sin =tan α（z k k ∈+≠,2 ππ α） 6.诱导公式： 记忆口诀：把2 k π α±的三角函数化为α的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． 口诀：函数名称不变，符号看象限． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2π αα??+= ???，cos sin 2παα?? +=- ??? ． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． x y O — + + — + y O — + + — 1.2.1 任意角的三角函数(一) 学习目标 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数.2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同的角的同一三角函数值相等. 知识点一 任意角的三角函数 使锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P ，作PM ⊥x 轴于M ，设P (x ，y )，|OP |＝r . 思考1 角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？ 答案 sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x . 思考2 对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P 点在终边上的位置的改变而改变？ 答案 不会.因为三角函数值是比值，其大小与点P (x ，y )在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关. 思考3 在思考1中，当取|OP |＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？ 答案 sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x . 梳理 (1)单位圆 在直角坐标系中，我们称以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆. (2)定义 在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： ①y 叫做α的正弦，记作sin α， 即sin α＝y ； ②x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； ③y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y x (x ≠0). 对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数. 三角函数常见题 1、A，B，C为三角形内角，已知1+cos2A-cos2B-cos2C=2sinBsinC，求角A 解：1+cos2A-cos2B-cos2C=2sinBsinC 2cos2A-1-2cos2B+1+2sin2C=2sinBsinC cos2A-cos2B+sin2(A+B)=sinBsinC cos2A-cos2B+sin2Acos2B+2sinAcosAsinBcosB+cos2Asin2B=sinBsinC cos2A-cos2Acos2B+2sinAcosAsinBcosB+cos2Asin2B=sinBsinC 2cos2AsinB+2sinAcosAcosB=sin(180-A-B) 2cosA(cosAsinB+sinAcosB)-sin(A+B)=0 Sin(A+B)(2cosA-1)=0 cosA=1/2 A=60 2、证明：(1+sinα+cosα+2sinαcosα)/(1+sinα+cosα)=sinα+cosα <===>1+sina+cosa+2sinacosa=sina+cosa+(sina+cosa)2 <===>1+sina+cosa+2sinacosa=sina+cosa+1+2sinacosa <===>0=0恒成立 以上各步可逆，原命题成立 证毕 3、在△ABC中,sinB*sinC=cos2(A/2),则△ABC的形状是? sinBsin(180-A-B)=(1+cosA)/2 2sinBsin(A+B)=1+cosA 2sinB(sinAcosB+cosAsinB)=1+cosA sin2BsinA+2cosAsin2B-cosA-1=0 sin2BsinA+cosA(2sin2B-1)=1 sin2BsinA-cosAcos2B=1 cos2BcosA-sin2BsinA=-1 cos(2B+A)=-1 因为A，B是三角形内角 2B+A=180 因为A+B+C=180 所以B=C 三角形ABC是等腰三角形 4、求函数y=2-cos(x/3)的最大值和最小值并分别写出使这个函数取得最大值和最小值的x的集合 -1≤cos(x/3)≤1 -1≤-cos(x/3)≤1 1≤2-cos(x/3)≤3 值域[1,3] 当cos(x/3)=1时即x/3=2kπ即x=6kπ时，y有最小值1此时{x｜x=6kπ,k∈Z} 当cos(x/3)=-1时即x/3=2kπ+π即x=6kπ+3π时，y有最小值1此时{x｜x=6k π+3π,k∈Z} 5、已知△ABC，若(2c-b)tanB=btanA，求角A [(2c-b)/b]sinB/cosB=sinA/cosA 正弦定理c/sinC=b/sinB=2R代入 高中数学第一章三角函数1.1.1任意角学案（含解析）新人教A 版必修4 考试标准 课标要点学考要求高考要求 任意角的概念 a a 终边相同的角的表示 b b 象限角的概念 b b 注：“a”表示“了解”，“b”表示“理解”，“c”表示“掌握”． 知识导图 学法指导 1.结合实例明确任意角的概念． 2．本节的重点是理解并掌握正角、负角、零角的概念，掌握用集合的形式表示终边相同的角，并会判断角的终边所在的象限. 1.角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 2．角的表示 顶点：用O表示； 始边：用OA表示，用语言可表示为起始位置； 终边：用OB表示，用语言可表示为终止位置． 状元随笔(1)在画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向． (2)为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以简记成“α”． 3．角的分类 类型定义图示 正角按逆时针方向旋转形成的角 负角按顺时针方向旋转形成的角 零角一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角 在直角坐标系中研究角时，当角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合时，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 5．终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．状元随笔(1)α为任意角，“k∈Z”这一条件不能漏． (2)k·360 °与α中间用“＋”连接，k·360 °－α可理解成k·360 °＋(－α)． (3)当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等．终边相同的角有无数个，它们相差360 °的整数倍．终边不同则表示的角一定不同． [小试身手] 1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)角的始边、终边是确定的，角的大小是确定的．( ) (2)第一象限的角一定是锐角．( ) (3)终边相同的角是相等的角．( ) 答案：(1)×(2)×(3)× 2．下列各角：－60°，126°，－63°，0°，99°，其中正角的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：结合正角、负角和零角的概念可知，126°，99°是正角，－60°，－63°是负角，0°是零角，故选B. 答案：B 高中数学必修三角函数知 识点与题型总结 Last updated on the afternoon of January 3, 2021 三角函数典型考题归类 1．根据解析式研究函数性质 例1（天津理）已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84?? ????，上的最小值和最大值． 【相关高考1】（湖南文）已知函数2πππ()12sin 2sin cos 888f x x x x ????? ?=-++++ ? ? ?????? ?． 求：（I ）函数()f x 的最小正周期；（II ）函数()f x 的单调增区间． 【相关高考2】（湖南理）已知函数2π()cos 12f x x ? ?=+ ?? ?，1()1sin 22g x x =+． （I ）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值．（II ）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间． 2．根据函数性质确定函数解析式 例2（江西）如图，函数π 2cos()(00)2 y x x >ωθωθ=+∈R ，，≤≤的图象与y 轴相交于点(0，且 该函数的最小正周期为π． （1）求θ和ω的值； （2）已知点π02A ?? ??? ，，点P 是该函数图象上一点，点00()Q x y ，是PA 的中点，当0y = 0ππ2x ?? ∈???? ，时，求0x 的值． 【相关高考1】（辽宁）已知函数2 ππ()sin sin 2cos 662x f x x x x ωωω??? ?=++--∈ ? ???? ?R ，（其中0ω>），（I ）求函数()f x 的值域；（II ）（文）若函数()y f x =的图象与直线1y =-的两个相邻交 点间的距离为 π 2 ，求函数()y f x =的单调增区间． 高中数学第四章-三角函数知识点汇总 1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：{}Z k k ∈+?=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-?=,45180| ββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝ 180 π≈0.01745（rad ） 3、弧长公式：r l ?=||α. 扇形面积公式：2 11||2 2 s lr r α= = ?扇形 4、三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则 r y =α sin ； r x = αcos ； x y = α tan ； y x = α cot ； x r = α sec ；. y r = α csc . 5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦） 正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 6、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. 7. 三角函数的定义域： SIN \C O S 三角函数值大小关系图 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域 (3) 若 o 三角函数的概念 〖考纲要求〗理解三角函数的概念，正确进行弧度和角度的换算；掌握任意角三角函数定义、符号. 〖复习要求〗掌握任意角三角函数的概念，正确进行弧度和角度的换算；熟练掌握任意角三角函数定义、符号，会用任意角三角函数定义 和符号处理问题；了解三角函数线. 〖复习建议〗掌握任意角三角函数的概念，正确进行弧度和角度的换算；熟练掌握任意角三角函数定义、符号，会用任意角三角函数定义 和符号处理问题；熟记特殊的三角函数值. 〖双基回顾〗⑴角的定义： . ⑵叫正角；叫负角；叫零角. ⑶终边相同角的表示：或者 . ⑷1弧度的定义是 .弧度与角度换算关系是 .⑸任意角三角函数定义为： sin= cos= tan= · P(x,y) x y O 任意角三角函数的符号规则：在扇形中： .S扇 = 。 形 l r ⑹两个特殊的公式： 如果∈，那么sin＜＜推论：＞0则sin＜ 如果∈，那么1＜sin+cos≤ 一、知识点训练： 1、终边在y轴上的角的集合是 . 2、终边在Ⅱ的角的集合是 . 3、适合条件|sin|=－sin的角是第象限角. 4、在－720o到720o之间与－1050o终边相同的角是 . 5、sin2·cos3·tan4的符号是………………………………………………………………………（） (A)小于0 (B)大于0 (C)等于0 (D)不确定 6、已知角的终边过点P(－4m,3m)，则 2sin+cos=…………………………………………（） (A)1或者－1 (B)或者－ (C)1或者－ (D)－1或者 二、典型例题分析： 1、确定的符号 2、角终边上一点P的坐标为(－,y)并且，求cos与tan的值. 3、如果角的终边在直线y=3x上，求cos与tan的值. 4、扇形的周长为20cm，问其半径为多少时其面积最大？ 三、课堂练习： 1、角终边上有一点（a，a） 则sin=…………………………………………………………（） (A) (B) －或 (C) － (D)1 2、如果是第二象限角，那么－是第……………………………………………（）象限角 (A)Ⅱ或Ⅲ (B) Ⅰ或Ⅱ (C) Ⅰ或Ⅲ (D) Ⅱ或Ⅳ 3、“=2k+（k是整 数）”是“tan=tan”的…………………………………………………（） (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分条件也不必要条件 4、如果角与的终边关于y轴对称，则cos+cos= . 5、在（－4，4）上与角终边相同的所有角为 . 四、课堂小结： 1、要熟悉任意角的概念，掌握角度与弧度的转化方法，熟练掌握任意角三角函数的定义方法. 2、已知角的一个三角函数值求其它三角函数值时，必须对讨论角的范围 3、知道所在的象限能熟练求出所在象限. 五、能力测试：姓名得分 1、下列结果为正值的是……………………………………………………………………………（） (A)cos2－sin2 (B)tan3·sin2 (C)cos2·sin2 (D) sin2·tan2 *2、已知锐角终边上有一点（2sin3，－2cos3），那么=………………………………………（） 高一三角函数知识 §1.1任意角和弧度制 ?? ? ??零角负角：顺时针防线旋转正角：逆时针方向旋转 任意角..1 2.象限角：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3.. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合：{} Z k k ∈+?=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{} Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{ } Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-?=,45180| ββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：Z k k ∈-=，βα 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与角β的关系：Z k k ∈-+=，βα 180360 ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则α与角β的关系：Z k k ∈+=，βα 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则α与角β的关系：Z k k ∈++=， 90180βα 4. 弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角所对 的弧长为l ，则其弧度数的绝对值|r l = α,其中r 是圆的半径。 5. 弧度与角度互换公式： 1rad ＝（π 180）°≈57.30° 1°＝180 π 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 6.. 第一象限的角：? ?? ? ??∈+< 高考三角函数 1.特殊角的三角函数值： 2．角度制与弧度制的互化：,23600π= ,1800π= 3.弧长及扇形面积公式 弧长公式：r l .α= 扇形面积公式:S=r l .2 1 α----是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径 4.任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号： sin α cos α tan α x y + O — — + x y O — + + — + y O — + + — 5.同角三角函数的基本关系： （1）平方关系：s in 2α+ cos 2α=1。（2）商数关系：α α cos sin =tan α （z k k ∈+≠ ,2 ππ α） 6.诱导公式：记忆口诀：2 k παα±把的三角函数化为的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号 看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． 口诀：函数名称不变，符号看象限． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2παα??+= ???，cos sin 2παα??+=- ??? ． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． 7正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质【2019A新教材高中数学必修第一册】5.2.1 三角函数的概念 导学案
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