全国备战中考数学锐角三角函数的综合备战中考真题分类汇总含详细答案

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°．

（1）求∠BPQ的度数；

（2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）．备用数据：，

【答案】（1）∠BPQ=30°；

（2）该电线杆PQ的高度约为9m．

【解析】

试题分析：（1）延长PQ交直线AB于点E，根据直角三角形两锐角互余求得即可；

（2）设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．

试题解析：延长PQ交直线AB于点E，

（1）∠BPQ=90°-60°=30°；

（2）设PE=x米．

在直角△APE中，∠A=45°，

则AE=PE=x米；

∵∠PBE=60°

∴∠BPE=30°

在直角△BPE中，BE=

3

3

PE=

3

3

x米，

∵AB=AE-BE=6米，

则3

，

解得：3

则BE=（33+3）米．

在直角△BEQ中，

QE=

3

3

BE=

3

3

（33+3）=（3+3）米．

∴PQ=PE-QE=9+33-（3+3）=6+23≈9（米）．

答：电线杆PQ的高度约9米．

考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

2．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点M是斜边AB的中点，MD∥BC，且MD=CM，DE⊥AB于点E，连结AD、CD．

（1）求证：△MED∽△BCA；

（2）求证：△AMD≌△CMD；

（3）设△MDE的面积为S1，四边形BCMD的面积为S 2，当S2=17

5

S1时，求cos∠ABC的

值．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）cos∠ABC=5 7 .

【解析】

【分析】

（1）易证∠DME=∠CBA，∠ACB=∠MED=90°，从而可证明△MED∽△BCA；（2）由∠ACB=90°，点M是斜边AB的中点，可知MB=MC=AM，从而可证明∠AMD=∠CMD，从而可利用全等三角形的判定证明△AMD≌△CMD；

（3）易证MD=2AB，由（1）可知：△MED∽△BCA，所以

2

1

1

4

ACB

S MD

S AB

??

==

?

??

，所以

S△MCB=1

2

S△ACB=2S1，从而可求出S△EBD=S2﹣S△MCB﹣S1=

2

5

S1，由于1

EBD

S ME

S EB

=，从而可

知

5

2

ME

EB

=，设ME=5x，EB=2x，从而可求出AB=14x，BC=

7

2

，最后根据锐角三角函数的

定义即可求出答案．【详解】

（1）∵MD∥BC，∴∠DME=∠CBA，

∵∠ACB=∠MED=90°， ∴△MED ∽△BCA ；

（2）∵∠ACB=90°，点M 是斜边AB 的中点， ∴MB=MC=AM ， ∴∠MCB=∠MBC ， ∵∠DMB=∠MBC ， ∴∠MCB=∠DMB=∠MBC ， ∵∠AMD=180°﹣∠DMB ，

∠CMD=180°﹣∠MCB ﹣∠MBC+∠DMB=180°﹣∠MBC ， ∴∠AMD=∠CMD ， 在△AMD 与△CMD 中，

MD MD AMD CMD AM CM =??

∠=∠??=?

， ∴△AMD ≌△CMD （SAS ）； （3）∵MD=CM ， ∴AM=MC=MD=MB ， ∴MD=2AB ，

由（1）可知：△MED ∽△BCA ， ∴

2

114

ACB S MD S

AB ??== ???， ∴S △ACB =4S 1， ∵CM 是△ACB 的中线， ∴S △MCB =

1

2

S △ACB =2S 1， ∴S △EBD =S 2﹣S △MCB ﹣S 1=2

5

S 1， ∵

1EBD

S ME

S

EB

=

， ∴1125

S ME

EB S =

，

∴

5

2

ME EB =， 设ME=5x ，EB=2x ， ∴MB=7x ， ∴AB=2MB=14x ， ∵

1

2

MD ME AB BC ==，

∴BC=10x ， ∴cos ∠ABC=105

147

BC x AB x ==. 【点睛】

本题考查相似三角形的综合问题，涉及直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，三角形面积的面积比，锐角三角函数的定义等知识，综合程度较高，熟练掌握和灵活运用相关的性质及定理进行解题是关键.

3．如图，在⊙O 的内接三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2BC ，过C 作AB 的垂线l 交⊙O 于另一点D ，垂足为E.设P 是上异于A ，C 的一个动点，射线AP 交l 于点F ，连接PC 与

PD ，PD 交AB 于点G. (1)求证：△PAC ∽△PDF ； (2)若AB ＝5，

，求PD 的长；

(3)在点P 运动过程中，设＝x ，tan ∠AFD ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式．(不要求写出

x 的取值范围)

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）

.

【解析】

试题分析：（1）应用圆周角定理证明∠APD ＝∠FPC ，得到∠APC ＝∠FPD ，又由∠PAC ＝∠PDC ，即可证明结论. （2）由AC=2BC ，设

，应用勾股定理即可求得BC ，AC 的长，则由AC=2BC 得

，由△ACE ∽△ABC 可求得AE ，CE 的长，由

可知△APB 是等腰直角三角

形，从而可求得PA 的长，由△AEF 是等腰直角三角形求得EF=AE=4，从而求得DF 的长，由（1）△PAC ∽△PDF 得

，即可求得PD 的长.

（3）连接BP ，BD ，AD ，根据圆的对称性，可得

，由角的转换可得，由△AGP ∽△DGB 可得

，由△AGD ∽△PGB 可得

，两

式相乘可得结果.

试题解析：（1）由APCB 内接于圆O ，得∠FPC ＝∠B ，

又∵∠B ＝∠ACE ＝90°－∠BCE ，∠ACE ＝∠APD ，∴∠APD ＝∠FPC.

∴∠APD＋∠DPC＝∠FPC＋∠DPC，即∠APC＝∠FPD.

又∵∠PAC＝∠PDC，∴△PAC∽△PDF.

（2）连接BP，设，∵∠ACB=90°，AB=5，

∴.∴.

∵△ACE∽△ABC，∴，即. ∴.∵AB⊥CD，∴.

如图，连接BP，

∵，∴△APB是等腰直角三角形. ∴∠PAB＝45°，.∴△AEF是等腰直角三角形. ∴EF=AE=4. ∴DF=6.

由（1）△PAC∽△PDF得，即.

∴PD的长为.

（3）如图，连接BP，BD，AD，

∵AC=2BC，∴根据圆的对称性，得AD=2DB，即.

∵AB⊥CD，BP⊥AE，∴∠ABP＝∠AFD.

∵，∴.

∵△AGP∽△DGB，∴.

∵△AGD∽△PGB，∴.

∴，即.

∵，∴.

∴与之间的函数关系式为.

考点：1.单动点问题；2.圆周角定理；3.相似三角形的判定和性质；4.勾股定理；5.等腰直角三角形的判定和性质；6.垂径定理；7.锐角三角函数定义；8.由实际问题列函数关系式.

4．如图，已知正方形在直角坐标系中，点分别在轴、轴的正半轴上，点在坐标原点.等腰直角三角板的直角顶点在原点，分别在上，且

将三角板绕点逆时针旋转至的位置，连结

（1）求证：

（2）若三角板绕点逆时针旋转一周，是否存在某一位置，使得若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析（2）存在，或

【解析】

（1）证明：∵四边形为正方形，∴

∵三角板是等腰直角三角形，∴

又三角板绕点逆时针旋转至的位置时，∴···························· 3分

（2）存在.································· 4分

∵

∴过点与平行的直线有且只有一条，并与垂直，

又当三角板绕点逆时针旋转一周时，则点在以为圆心，以为半径的圆上，························ 5分

∴过点与垂直的直线必是圆的切线，又点是圆外一点，过点与圆相切的直线有且只有2条，不妨设为和

此时，点分别在点和点，满足

·························· 7分

当切点在第二象限时，点在第一象限，

在直角三角形中，

∴∴

∴点的横坐标为：

点的纵坐标为：

∴点的坐标为··························· 9分

当切点在第一象限时，点在第四象限，

同理可求：点的坐标为

综上所述，三角板绕点逆时针旋转一周，存在两个位置，使得此时点的坐标为或································ 11分

（1）根据旋转的性质找到相等的线段，根据SAS定理证明；

（2）由于△OEF是等腰Rt△，若OE∥CF，那么CF必与OF垂直；在旋转过程中，E、F的轨迹是以O为圆心，OE（或OF）长为半径的圆，若CF⊥OF，那么CF必为⊙O的切线，且切点为F；可过C作⊙O的切线，那么这两个切点都符合F点的要求，因此对应的E点也有两个；在Rt△OFC中，OF=2，OC=OA=4，可证得∠FCO=30°，即∠EOC=30°，已知了OE 的长，通过解直角三角形，不难得到E点的坐标，由此得解．

5．如图，在△ABC中，∠A=90°，∠ABC=30°，AC=3，动点D从点A出发，在AB边上以每

秒1个单位的速度向点B运动，连结CD，作点A关于直线CD的对称点E，设点D运动时间为t（s）．

（1）若△BDE是以BE为底的等腰三角形，求t的值；

（2）若△BDE为直角三角形，求t的值；

（3）当S△BCE≤9

2

时，所有满足条件的t的取值范围（所有数据请保留准确值，参考

数据：tan15°=23

【答案】（133

；（23秒或3秒；（3）6﹣3

【解析】

【分析】

（1）如图1，先由勾股定理求得AB的长，根据点A、E关于直线CD的对称，得CD垂直平分AE，根据线段垂直平分线的性质得：AD=DE，所以AD=DE=BD，由3，可得t 的值；

（2）分两种情况：

①当∠DEB=90°时，如图2，连接AE，根据3t的值；

②当∠EDB=90°时，如图3，根据△AGC≌△EGD，得AC=DE，由AC∥ED，得四边形CAED 是平行四边形，所以AD=CE=3，即t=3；

（3）△BCE中，由对称得：AC=CE=3，所以点D在运动过程中，CE的长不变，所以△BCE 面积的变化取决于以CE作底边时，对应高的大小变化，

①当△BCE在BC的下方时，

②当△BCE在BC的上方时，

分别计算当高为3时对应的t的值即可得结论．

【详解】

解：（1）如图1，连接AE，

由题意得：AD=t，

∵∠CAB=90°，∠CBA=30°，

∴BC=2AC=6，

∴22

63

3

∵点A、E关于直线CD的对称，

∴CD垂直平分AE，

∴AD=DE，

∵△BDE是以BE为底的等腰三角形，

∴DE=BD，

∴AD=BD，

∴t=AD=33；

（2）△BDE为直角三角形时，分两种情况：

①当∠DEB=90°时，如图2，连接AE，

∵CD垂直平分AE，

∴AD=DE=t，

∵∠B=30°，

∴BD=2DE=2t，

∴AB=3t=33，

∴t=3；

②当∠EDB=90°时，如图3，

连接CE，

∵CD垂直平分AE，

∴CE=CA=3，

∵∠CAD=∠EDB=90°，

∴AC∥ED，

∴∠CAG=∠GED，

∵AG=EG，∠CGA=∠EGD，

∴△AGC≌△EGD，

∴AC=DE，

∵AC∥ED，

∴四边形CAED是平行四边形，

∴AD=CE=3，即t=3；

综上所述，△BDE为直角三角形时，t的值为3秒或3秒；

（3）△BCE中，由对称得：AC=CE=3，所以点D在运动过程中，CE的长不变，所以△BCE 面积的变化取决于以CE作底边时，对应高的大小变化，

①当△BCE在BC的下方时，过B作BH⊥CE，交CE的延长线于H，如图4，当AC=BH=3时，

此时S△BCE=1

2

AE?BH=

1

2

×3×3=

9

2

，

易得△ACG≌△HBG，

∴CG=BG，

∴∠ABC=∠BCG=30°，

∴∠ACE=60°﹣30°=30°，

∵AC=CE，AD=DE，DC=DC，∴△ACD≌△ECD，

∴∠ACD=∠DCE=15°，

tan∠ACD=tan15°=t

3

=2﹣3，

∴t=6﹣33，

由图形可知：0＜t＜6﹣33时，△BCE的BH越来越小，则面积越来越小，②当△BCE在BC的上方时，如图3，CE=ED=3，且CE⊥ED，

此时S△BCE=1

2

CE?DE=

1

2

×3×3=

9

2

，此时t=3，

综上所述，当S△BCE≤9

2

时，t的取值范围是6﹣33≤t≤3．

【点睛】

本题考查三角形综合题、平行四边形的判定和性质、直角三角形的性质、三角形的面积问题、轴对称等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会用分类讨论的思想思考问题，学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题．

6．如图，在⊙O的内接三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，过C作AB的垂线l交⊙O 于另一点D，垂足为E．设P是AC上异于A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G．

（1）求证：△PAC∽△PDF；

（2）若AB＝5，AP BP

，求PD的长．

【答案】(1)证明见解析；（2310

【解析】 【分析】

（1）根据AB ⊥CD ，AB 是⊙O 的直径，得到AD AC =，∠ACD ＝∠B ，由∠FPC ＝∠B ，得到∠ACD ＝∠FPC ，可得结论；

（2）连接OP ，由AP BP =，得到OP ⊥AB ，∠OPG ＝∠PDC ，根据AB 是⊙O 的直径，得到∠ACB ＝90°，由于AC ＝2BC ，于是得到tan ∠CAB ＝tan ∠DCB ＝

BC

AC

，得到12CE BE AE CE ==，求得AE ＝4BE ，通过△OPG ∽△EDG ，得到OG OP

GE ED =，然后根据勾股定理即可得到结果． 【详解】

（1）证明：连接AD ，

∵AB ⊥CD ，AB 是⊙O 的直径，

∴AD AC =， ∴∠ACD ＝∠B ＝∠ADC ， ∵∠FPC ＝∠B ， ∴∠ACD ＝∠FPC ， ∴∠APC ＝∠ACF ， ∵∠FAC ＝∠CAF ， ∴△PAC ∽△CAF ；

（2）连接OP ，则OA ＝OB ＝OP ＝1522

AB =， ∵AP BP =，

∴OP ⊥AB ，∠OPG ＝∠PDC ， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∵AC ＝2BC ，

∴tan ∠CAB ＝tan ∠DCB ＝

BC AC

，

∴

1

2 CE BE

AE CE

==，

∴AE＝4BE，

∵AE+BE＝AB＝5，

∴AE＝4，BE＝1，CE＝2，

∴OE＝OB﹣BE＝2.5﹣1＝1.5，

∵∠OPG＝∠PDC，∠OGP＝∠DGE，

∴△OPG∽△EDG，∴OG OP GE ED

=，

∴

2.5

2 OE GE OP

GE CE

-

==，

∴GE＝2

3，OG＝

5

6

，

∴PG＝225

OP OG

6

+=，

GD＝222 3

DE GE

+=，

∴PD＝PG+GD＝310

2

．

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理，证得

△OPG∽△EDG是解题的关键．

7．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点，点F在边BC的延长线上，且

CF AE

=，连接DE，DF，EF. FH平分EFB

∠交BD于点H.

（1）求证：DE DF

⊥；

（2）求证：DH DF

=：

（3）过点H作HM EF

⊥于点M，用等式表示线段AB，HM与EF之间的数量关系，并证明.

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）22EF AB HM =-，证明详见解析. 【解析】 【分析】

（1）根据正方形性质， CF AE =得到DE DF ⊥.

（2）由AED CFD △△≌，得DE DF =.由90ABC ∠=?，BD 平分ABC ∠， 得45DBF ∠=?.因为FH 平分EFB ∠，所以EFH BFH ∠=∠.由于

45DHF DBF BFH BFH ∠=∠+∠=?+∠,45DFH DFE EFH EFH ∠=∠+∠=?+∠, 所以DH DF =.

（3）过点H 作HN BC ⊥于点N ，由正方形ABCD 性质，得

222BD AB AD AB =

+=.由FH 平分,EFB HM EF HN BC ∠⊥⊥，，得

HM HN =.因为4590HBN HNB ∠=?∠=?，

，所以22sin 45HN

BH HN HM ===?

.

由22cos 45DF

EF DF DH =

==?

，得22EF AB HM =-.

【详解】

（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD CD =，90EAD BCD ADC ∠=∠=∠=?. ∴90EAD FCD ∠=∠=?. ∵CF AE =。 ∴AED CFD △△≌. ∴ADE CDF ∠=∠.

∴90EDF EDC CDF EDC ADE ADC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=?. ∴DE DF ⊥.

（2）证明：∵AED CFD △△≌，

∴DE DF =. ∵90EDF ∠=?， ∴45DEF DFE ∠=∠=?.

∵90ABC ∠=?，BD 平分ABC ∠， ∴45DBF ∠=?. ∵FH 平分EFB ∠， ∴EFH BFH ∠=∠.

∵45DHF DBF BFH BFH ∠=∠+∠=?+∠,

45DFH DFE EFH EFH ∠=∠+∠=?+∠, ∴DHF DFH ∠=∠. ∴DH DF =.

（3）22EF AB HM =-.

证明：过点H 作HN BC ⊥于点N ，如图，

∵正方形ABCD 中，AB AD =，90BAD ∠=?， ∴222BD AB AD AB =

+=.

∵FH 平分,EFB HM EF HN BC ∠⊥⊥，，

∴HM HN =.

∵4590HBN HNB ∠=?∠=?，

， ∴22sin 45HN

BH HN HM =

==?

.

∴22DH BD BH AB HM =-=.

∵22cos 45DF

EF DF DH =

==?

，

∴22EF AB HM =-. 【点睛】

本题考查正方形的性质、勾股定理、角平分线的性质、三角函数，题目难度较大，解题的关键是熟练掌握正方形的性质、勾股定理、角平分线的性质、三角函数.

8． 兰州银滩黄河大桥北起安宁营门滩，南至七里河马滩，是黄河上游的第一座大型现代

化斜拉式大桥如图，小明站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是31°，拉索AB的长为152米，主塔处桥面距地面7.9米（CD的长），试求出主塔BD的高．（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）

【答案】主塔BD的高约为86.9米．

【解析】

【分析】

根据直角三角形中由三角函数得出BC相应长度，再由BD=BC+CD可得出.

【详解】

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，

sin BC

A

AB

=．

∴sin152sin311520.5279.04

BC AB A?

=?=?=?=．

79.047.986.9486.9

BD BC CD

=+=+=≈（米）

答：主塔BD的高约为86.9米．

【点睛】

本题考察了直角三角形与三角函数的结合，熟悉掌握是解决本题的关键.

9．已知：如图，直线y＝－x＋12分别交x轴、y轴于A、B点，将△AOB折叠，使A点恰好落在OB的中点C处，折痕为DE．

(1)求AE的长及sin∠BEC的值；

(2)求△CDE的面积．

【答案】（1）2，sin∠BEC=3

5

；（2）

75

4

【解析】

【分析】

（1）如图，作CF⊥BE于F点，由函数解析式可得点B，点A坐标，继而可得

∠A=∠B=45°，再根据中点的定义以及等腰直角三角形的性质可得OC=BC=6，

CF=BF=32，

设AE=CE=x，则EF=AB-BF-AE=122-32-x=92-x，在Rt△CEF中，利用勾股定理求出x 的值即可求得答案；

（2）如图，过点E作EM⊥OA于点M，根据三角形面积公式则可得

S△CDE=S△AED=

2

4

AD×AE，设AD=y，则CD=y，OD=12-y，在Rt△OCD中，利用勾股定理求

出y，继而可求得答案.

【详解】

（1）如图，作CF⊥BE于F点，

由函数解析式可得点B（0，12），点A（12，0），∠A=∠B=45°，

又∵点C是OB中点，

∴OC=BC=6，CF=BF=32，

设AE=CE=x，则EF=AB-BF-AE=122-32-x=92-x，

在Rt△CEF中，CE2=CF2+EF2，即x2=（92-x）2+（32）2，

解得：x=52，

故可得sin∠BEC=

3

5

CF

CE

，AE=52；

（2）如图，过点E作EM⊥OA于点M，

则S△CDE=S△AED=1

2

AD?EM=

1

2

AD×AEsin∠EAM=

1

2

2

AD×AE，

设AD=y，则CD=y，OD=12-y，

在Rt△OCD中，OC2+OD2=CD2，即62+（12-y）2=y2，

解得：y=15

2

，即AD=

15

2

，

故S△CDE=S△AED=

2

4

AD×AE=

75

4

．

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用，涉及了勾股定理、折叠的性质、三角形面积、一次函数的性质等知识，综合性较强，正确添加辅助线、熟练应用相关知识是解题的关键.

10．如图，湿地景区岸边有三个观景台、、.已知米，米，

点位于点的南偏西方向，点位于点的南偏东方向.

(1)求的面积；

(2)景区规划在线段的中点处修建一个湖心亭，并修建观景栈道.试求、间的距离.(结果精确到米)

(参考数据：，，，，，，

)

【答案】（1）560000（2）565.6

【解析】

试题分析：（1）过点作交的延长线于点，，然后根据直角三角形的内角和求出∠CAE，再根据正弦的性质求出CE的长，从而得到△ABC的面积；

（2）连接，过点作，垂足为点，则.然后根据中点的性质和余弦值求出BE、AE的长，再根据勾股定理求解即可.

试题解析：(1)过点作交的延长线于点，

在中，，

所以米.

所以(平方米).

(2)连接，过点作，垂足为点，则.

因为是中点，

所以米，且为中点，

米，

所以米.

所以米，由勾股定理得，

米.

答：、间的距离为米.

考点：解直角三角形