中考数学必考考点专题9一元二次方程及其应用含解析
专题09 一元二次方程及其应用
1．定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。 2.一元二次方程的一般形式：ax 2
+bx +c =0(a ≠0)。其中ax 2
是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。
3. 一元二次方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。
4.一元二次方程的解法
有直接开方法、配方法、公式法、因式分解法。 （1）直接开方法。
适用形式：x 2
=p 、(x +n )2
=p 或(mx +n )2
=p 。
（2）配方法。套用公式a 2
+2ab +b 2
=(a +b )2
；a 2
-2ab +b 2
=(a -b )2
，配方法解一元二次方程的一般步骤是： ①化简——把方程化为一般形式，并把二次项系数化为1； ②移项——把常数项移项到等号的右边；
③配方——两边同时加上b 2
，把左边配成x 2
+2bx +b 2
的形式，并写成完全平方的形式； ④开方，即降次； ⑤解一次方程。 （3）公式法。
当b 2
-4ac ≥0时，方程ax 2
+bx +c =0的实数根可写为：a
ac b b x 242-±-=的形式，这个式子叫做一元二次
方程ax 2
+bx +c =0的求根公式。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。 ①b 2
-4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根。
a ac
b b x 2421-+-=
，a
ac
b b x 2422---= ②b 2
-4ac =0时，方程有两个相等的实数根。
a
b x x 221-
== 专题知识回顾
③b 2
-4ac ＜0时，方程无实数根。
定义：b 2
-4ac 叫做一元二次方程ax 2
+bx +c =0的根的判别式，通常用字母Δ表示，即Δ=b 2
-4ac 。 （4）因式分解法。因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。主要用提公因式法、平方差公式。 5.一元二次方程根与系数的关系
如果方程)0(02
≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -
=+21，a
c
x x =21。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 6.解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤
第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。 第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。 第3步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程。 第4步：解方程。根据方程的类型采用相应的解法。 第5步：检验。检验所求得的根是否满足题意。 第6步：答。
【例题1】 (2019安徽)解方程：（x ﹣1）2
＝4． 【答案】x 1＝3，x 2＝﹣1．
【解析】此题主要考查了直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x 2
＝a （a ≥0）的形式，利用数的开方直接求解．（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x 2
＝a （a ≥0）；ax 2
＝b （a ，b 同号且a ≠0）；（x +a ）2
＝b （b ≥0）；a （x +b ）2
＝c （a ，c 同号且a ≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”． （2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点． 利用直接开平方法，方程两边直接开平方即可． 两边直接开平方得：x ﹣1＝±2， ∴x ﹣1＝2或x ﹣1＝﹣2， 解得：x 1＝3，x 2＝﹣1．
专题典型题考法及解析
【例题2】(2019山西）一元二次方程0142
=--x x 配方后可化为（ ） A.3)2(2=+x B.5)2(2=+x C.3)2(2=-x D.5)2(2
=-x 【答案】D
【解析】222
410,(44)410,(2)5x x x x x --=-+--=-=，故选D 。
【例题3】（2019年山东省威海市）一元二次方程3x 2
＝4﹣2x 的解是 ．
【答案】x 1＝，x 2＝．
【解析】直接利用公式法解方程得出答案． 3x 2
＝4﹣2x 3x 2+2x ﹣4＝0，
则b 2﹣4ac ＝4﹣4×3×（﹣4）＝52＞0， 故x ＝， 解得：x 1＝
，x 2＝
．
【例题4】（2019年江苏省扬州市）一元二次方程x （x ﹣2）＝x ﹣2的根是 ． 【答案】1或2．
【解析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
x （x ﹣2）＝x ﹣2， x （x ﹣2）﹣（x ﹣2）＝0，
（x ﹣2）（x ﹣1）＝0，
x ﹣2＝0，x ﹣1＝0， x 1＝2，x 2＝1
【例题5】（2019北京市） 关于x 的方程22210x x m -+-=有实数根，且m 为正整数，求m 的值及此时方程的根．
【答案】m=1，此方程的根为121x x ==
【解析】先由原一元二次方程有实数根得判别式240b ac -≥进而求出m 的范围；结合m 的值为正整数，求出m 的值，进而得到一元二次方程求解即可. ∵关于x 的方程22210x x m -+-=有实数根，
∴()()2
2424121484880b ac m m m ?=-=--??-=-+=-≥ ∴1m ≤
又∵m 为正整数，∴m=1，
此时方程为2210x x -+=解得根为121x x ==， ∴m=1，此方程的根为121x x ==
【例题6】（2019四川泸州）已知x 1，x 2是一元二次方程x 2
﹣x ﹣4＝0的两实根，则（x 1+4）（x 2+4）的值是 ． 【答案】16
【解析】考查一元二次方程根与系数的关系 ∵x 1，x 2是一元二次方程x 2
﹣x ﹣4＝0的两实根， ∴x 1+x 2＝1，x 1x 2＝﹣4， ∴（x 1+4）（x 2+4） ＝x 1x 2+4x 1+4x 2+16 ＝x 1x 2+4（x 1+x 2）+16 ＝﹣4+4×1+16 ＝﹣4+4+16 ＝16
【例题7】 (2019安徽)据国家统计局数据，2018年全年国内生产总值为90.3万亿，比2017年增长6.6%．假设国内生产总值的年增长率保持不变，则国内生产总值首次突破100万亿的年份是（ ） A ．2019年 B ．2020年 C ．2021年 D ．2022年
【答案】B ．
【解析】根据题意分别求出2019年全年国内生产总值、2020年全年国内生产总值，得到答案．2019年全年国内生产总值为：90.3×（1+6.6%）＝96.2598（万亿），
2020年全年国内生产总值为：96.2598×（1+6.6%）≈102.6（万亿）， ∴国内生产总值首次突破100万亿的年份是2020年。
一、选择题
1.( 2019甘肃省兰州市) x ＝1是关于的一元二次方程x 2
+ax +2b ＝0的解，则2a +4b ＝（ ）
专题典型训练题
A. －2
B. －3
C. 4
D. －6
【答案】A．
【解析】将x＝1代入方程x2+ax+2b＝0，得a+2b＝－1，
2a+4b＝2（a+2b）＝2×（－1）＝－2.
2.（2019?湖南怀化）一元二次方程x2+2x+1＝0的解是（）
A．x1＝1，x2＝﹣1 B．x1＝x2＝1 C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝﹣1，x2＝2
【答案】C．
【解析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
利用完全平方公式变形，从而得出方程的解．
∵x2+2x+1＝0，
∴（x+1）2＝0，
则x+1＝0，
解得x1＝x2＝﹣1，
3.（2019?浙江金华）用配方法解方程x2-6x-8=0时，配方结果正确的是（）
A. (x-3)2=17
B. (x-3)2=14
C. （x-6)2=44
D. (x-3）2=1
【答案】A
【解析】配方法解一元二次方程
∵x2-6x-8=0，
∴x2-6x+9=8+9，
∴（x-3）2=17.
4. （2019湖北咸宁）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜1 B．m≤1C．m＞1 D．m≥1
【答案】
【解析】∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，
∴△＝（﹣2）2﹣4m≥0，
解得：m≤1．
5.(2019内蒙古包头市)已知等腰三角形的三边长分别为a，b，4，且a，b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0
的两根，则m的值是（）
A. 34
B.30
C.30或34
D.30或36
【答案】A.
【解析】分两种情况讨论：
①若4为等腰三角形底边长，则a，b是两腰，
∴方程x2-12x+m+2=0有两个相等实根，
∴△=(-12)2-4×1×(m+2)=136-4m=0,
∴m=34.
此时方程为x2-12x+36=0，解得x1=x2=6.
∴三边为6，6，4，满足三边关系，符合题意.
②若4为等腰三角形腰长，则a，b中有一条边也为4，
∴方程x2-12x+m+2=0有一根为4.
∴42-12×4+m+2=0，
解得，m=30.
此时方程为x2-12x+32=0，解得x1=4，x2=8.
∴三边为4，4，8，不满足三边关系，故舍去.
综上，m的值为34.
6.（2019?山东省聊城市）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，则k的取值范围为（）A．k≥0 B． k≥0且k≠2 C．k≥D．k≥且k≠2
【答案】D．
【解析】考点是一元二次方程的定义以及根的判别式。根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．
（k﹣2）x2﹣2kx+k﹣6＝0，
∵关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，
∴，
解得：k≥且k≠2．
7. （2019湖北仙桃）若方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为（）
A．12 B．10 C．4 D．﹣4
【答案】A
【解析】∵方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，
∴α+β＝2，αβ＝﹣4，
∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝4+8＝12
8. （2019?江苏泰州）方程2x2+6x﹣1＝0的两根为x1 、x2 则x1+x2等于（）
A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．3
【答案】C．
【解析】根据根与系数的关系即可求出答案．
由于△＞0，
∴x1+x2＝﹣3，
9.（2019山东淄博）若x1+x2＝3，x12+x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是（）
A．x2﹣3x+2＝0 B．x2+3x﹣2＝0 C．x2+3x+2＝0 D．x2﹣3x﹣2＝0
【答案】A．
【解析】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．利用完全平方公式计算出x1x2＝2，然后根据根与系数的关系写出以x1，x2为根的一元二次方程．
∵x12+x22＝5，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝5，
而x1+x2＝3，
∴9﹣2x1x2＝5，
∴x1x2＝2，
∴以x1，x2为根的一元二次方程为x2﹣3x+2＝0．
10. （2019?广东）已知x1.x2是一元二次方程了x2﹣2x=0的两个实数根，下列结论错误的是（）
A．x1≠x2 B．x12﹣2x1=0 C．x1+x2=2 D．x1·x2=2
【答案】D
【解析】因式分解x（x-2）=0，解得两个根分别为0和2，代入选项排除法.
11.（2019?广西贵港）若α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，且+＝﹣，
则m等于（）
A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3
【答案】B．
【解析】利用一元二次方程根与系数的关系得到α+β＝2，αβ＝m，再化简+＝，代入可求解；
α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，
∴α+β＝2，αβ＝m，
∵+＝＝＝﹣，
∴m＝﹣3
12．（2019?浙江宁波）能说明命题“关于x的方程x2﹣4x+m＝0一定有实数根”是假命题的反例为（）A．m＝﹣1 B．m＝0 C．m＝4 D．m＝5
【答案】D．
【解析】利用m＝5使方程x2﹣4x+m＝0没有实数解，从而可把m＝5作为说明命题“关于x的方程x2﹣4x+m ＝0一定有实数根”是假命题的反例．
当m＝5时，方程变形为x2﹣4x+m＝5＝0，
因为△＝（﹣4）2﹣4×5＜0，
所以方程没有实数解，
所以m＝5可作为说明命题“关于x的方程x2﹣4x+m＝0一定有实数根”是假命题的反例．
13.（2019?黑龙江哈尔滨）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（）
A．20% B．40% C．18% D．36%
【答案】A．
【解析】本题考查了一元二次方程实际应用问题关于增长率的类型问题，按照公式
a（1﹣x）2＝b对照参数位置代入值即可，公式的记忆与运用是本题的解题关键．
设降价的百分率为x
根据题意可列方程为25（1﹣x）2＝16
解方程得，（舍）
∴每次降价得百分率为20%
14. （2019?湖南衡阳）国家实施”精准扶贫“政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年
底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得（）
A．9（1﹣2x）＝1 B．9（1﹣x）2＝1 C．9（1+2x）＝1 D．9（1+x）2＝1
【答案】B．
【解析】等量关系为：2016年贫困人口×（1﹣下降率）2＝2018年贫困人口，把相关数值代入计算即可．设这两年全省贫困人口的年平均下降率为x，根据题意得：
二、填空题
15. （2019湖北十堰）对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）◎（m﹣3）＝24，则m＝．
【答案】﹣3或4
【解析】根据题意得[（m+2）+（m﹣3）]2﹣[（m+2）﹣（m﹣3）]2＝24，
（2m﹣1）2﹣49＝0，
（2m﹣1+7）（2m﹣1﹣7）＝0，
2m﹣1+7＝0或2m﹣1﹣7＝0，
所以m1＝﹣3，m2＝4．
16. （2019吉林长春）一元二次方程x2-3x+1=0根的判别式的值为 .
【答案】5．
【解析】∵a=1，b=-3，c=1，
∴△=b2-4ac=(-3)2-4×1×1=5
17.（2019吉林省）若关于x的一元二次方程（x+3)2=c有实数根，则c的值可以为（写出一个即可）【答案】答案不唯一，例如5，（c≥0时方程都有实数根）
【解析】c≥0时方程都有实数根
18.（2019年湖北省荆门市）已知x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，则k的值为．
【答案】1
【解析】根据根与系数的关系结合（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，根据方程的系数结合根的判别式△＞0，可得出关于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范围，进而即可确定k值，此题得解．
∵x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣（3k+1），x1x2＝2k2+1．
∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，即x1x2﹣（x1+x2）+1＝8k2，
∴2k2+1+3k+1+1＝8k2，
整理，得：2k2﹣k﹣1＝0，
解得：k1＝﹣，k2＝1．
∵关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，
∴△＝（3k+1）2﹣4×1×（2k2+1）＞0，
解得：k＜﹣3﹣2或k＞﹣3+2，
∴k＝1．
19. （2019广西桂林）一元二次方程(3)(2)0
x x
--=的根是．
【答案】
13
x=，
22
x=
【解析】解一元二次方程-因式分解法
30
x-=或20
x-=，所以
13
x=，
22
x=．
故答案为
13
x=，
22
x=．
20.（2019年四川省遂宁市）若关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为．【答案】k＜1．
【解析】本题考查了根的判别式，要知道一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△＝0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．
利用根的判别式进行计算，令△＞0即可得到关于k的不等式，解答即可．
∵关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，
即4﹣4k＞0，
k＜1．
21.（2019年江西省）设x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则x1+x2+x1x2＝．
【答案】0
【解析】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1?x2＝．直接根据根与系数的关系求解．
∵x1、x2是方程x2﹣x﹣1＝0的两根，
∴x1+x2＝1，x1×x2＝﹣1，
∴x1+x2+x1x2＝1﹣1＝0．
22.（2019年四川省攀枝花市）已知x1，x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则x12+x22＝．
【答案】6
【解析】根据根与系数的关系变形后求解．
∵x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，
∴x1+x2＝2，x1×x2＝﹣1，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝22﹣2×（﹣1）＝6．
23.（2019年四川省成都市）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的两个实数根，且x12+x22﹣x1x2＝13，则k的值为．
【答案】-2
【解析】根据“x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的两个实数根，且x12+x22﹣x1x2＝13”，结合根与系数的关系，列出关于k的一元一次方程，解之即可．
根据题意得：x1+x2＝﹣2，x1x2＝k﹣1，
+﹣x1x2
＝﹣3x1x2
＝4﹣3（k﹣1）＝13
24.（2019年甘肃省天水市）中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入20000元，到2018年人均年收入达到39200元．则该地区居民年人均收入平均增长率为．（用百分数表示）
【答案】40%．
【解析】根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得该地区居民年人均收入平均增长率，本题得以解决．设该地区居民年人均收入平均增长率为x，
20000（1+x）2＝39200，
解得，x1＝0.4，x2＝﹣2.4（舍去），
∴该地区居民年人均收入平均增长率为40%
25.（2019年四川省宜宾市）某产品每件的生产成本为50元，原定销售价65元，经市场预测，从现在开始
的第一季度销售价格将下降10%，第二季度又将回升5%．若要使半年以后的销售利润不变，设每个季度平均降低成本的百分率为x，根据题意可列方程是．
【答案】65×（1﹣10%）×（1+5%）﹣50（1﹣x）2＝65﹣50．
【解析】设每个季度平均降低成本的百分率为x，根据利润＝售价﹣成本价结合半年以后的销售利润为（65﹣50）元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
设每个季度平均降低成本的百分率为x，
依题意，得：65×（1﹣10%）×（1+5%）﹣50（1﹣x）2＝65﹣50．
26.（2019年江苏省连云港市）已知关于x的一元二次方程ax2+2x+2﹣c＝0有两个相等的实数根，则+c 的值等于．
【答案】2
【解析】根据“关于x的一元二次方程ax2+2x+2﹣c＝0有两个相等的实数根”，结合根的判别式公式，得到关于a和c的等式，整理后即可得到的答案．
根据题意得：
△＝4﹣4a（2﹣c）＝0，
整理得：4ac﹣8a＝﹣4，
4a（c﹣2）＝﹣4，
∵方程ax2+2x+2﹣c＝0是一元二次方程，
∴a≠0，
等式两边同时除以4a得：c﹣2＝﹣，
则+c＝2
27.（2019年浙江省嘉兴市）在x2+ +4＝0的括号中添加一个关于x的一次项，使方程有两个相等的实数根．
【答案】±4x
【解析】此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0 时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0 时，方程无实数根，但有2个共轭复根．上述结论反过来也成立．
要使方程有两个相等的实数根，即△＝0，则利用根的判别式即可求得一次项的系数即可．
要使方程有两个相等的实数根，则△＝b2﹣4ac＝b2﹣16＝0
得b＝±4
故一次项为±4x
28.（2019年山东省枣庄市）已知关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是．
【答案】a＞且a≠0
【分析】由方程有两个不相等的实数根，则运用一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式是b2﹣4ac ＞0即可进行解答
【解答】解：由关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根
得△＝b2﹣4ac＝4+4×3a＞0，
解得a＞
则a＞且a≠0
三、解答题
29.（2019年浙江省绍兴市）x为何值时，两个代数式x2+1，4x+1的值相等？
【答案】x1＝0，x2＝4．
【解析】考查了实数的运算，因式分解法解一元二次方程．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
利用题意得到x2+1＝4x+1，利用因式分解法解方程即可．
x2+1＝4x+1，
x2﹣4x＝0，
x（x﹣4）＝0，
x1＝0，x2＝4．
30. (2019黑龙江绥化)已知关于x的方程kx2－3x+1＝0有实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)若该方程有两个实数根,分别为x1和x2,当x1+x2+x1x2＝4时,求k的值.
【答案】见解析。
【解析】根据根的判别式列出不等式,即可求得k的范围;由根与系数的关系,得到方程,即可解得k的值.
(1)当k＝0时,方程是一元一次方程,有实数根,符合题意;当k≠0时,方程是一元二次方程,由题意得 ＝9
－4k≥0,∴k≤9
4
,综上所述,k的取值范围是k≤
9
4
.
(2)∵x1和x2是该方程的两个实数根,∴x1+x2＝3
k
,x1x2＝
1
k
,∵x1+x2+x1x2＝4,∴
3
k
+
1
k
＝4,解得k＝1,经检
验,k＝1是原分式方程的解,且1≤9
4
,∴k的值为1.
31. （ 2019湖北十堰）已知于x的元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求a的取值范围；
（2）若x12+x22﹣x1x2≤30，且a为整数，求a的值．
【答案】（1）a＜2 （2）a的值为﹣1，0，1．
【解析】根据根的判别式，可得到关于a的不等式，则可求得a的取值范围；
由根与系数的关系，用a表示出两根积、两根和，由已知条件可得到关于a的不等式，则可求得a的取值范围，再求其值即可．
（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2，
∴△＞0，即（﹣6）2﹣4（2a+5）＞0，
解得a＜2；
（2）由根与系数的关系知：x1+x2＝6，x1x2＝2a+5，
∵x1，x2满足x12+x22﹣x1x2≤30，
∴（x1+x2）2﹣3x1x2≤30，
∴36﹣3（2a+5）≤30，
∴a≥?3
2
，∵a为整数，
∴a的值为﹣1，0，1．
32. （2019湖北孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）若a为正整数，求a的值；
（2）若x1，x2满足x12+x22﹣x1x2＝16，求a的值．
【答案】（1）a＝1，2 （2）a＝﹣1．
【解析】根据关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根，得到
△＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，于是得到结论；
根据x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，代入x12+x22﹣x1x2＝16，解方程即可得到结论．
（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，
解得：a＜3，
∵a为正整数，
∴a＝1，2；
（2）∵x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，
∵x12+x22﹣x1x2＝16，
∴（x1+x2）2﹣x1x2＝16，
∴[﹣2（a﹣1）]2﹣3（a2﹣a﹣2）＝16，
解得：a1＝﹣1，a2＝6，
∵a＜3，
∴a＝﹣1．
33.（2019江苏徐州）如图所示，有一块矩形硬纸板，长30cm,宽20cm.在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子。当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为200cm2？
【答案】5
【解析】根据题目给定的相等关系，列出一元二次方程，解这个方程取舍后得出实际问题的解.
设剪去的小正方形的边长为xcm，
则根据题意有：(30-2x)(20-2x)=200，解得x1=5，x2=20，
当x=20时，20-2x<0，所以x=5.
所以，当剪去小正方形的边长为5cm时，长方体盒子的底面积为200cm2.
34.（2019?湖南衡阳）关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，求此时m的值．
【答案】见解析。
【解析】（1）根据题意得△＝（﹣3）2﹣4k≥0，
解得k≤；
（2）k的最大整数为2，
方程x2﹣3x+k＝0变形为x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，
∵一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，
∴当x＝1时，m﹣1+1+m﹣3＝0，解得m＝；
当x＝2时，4（m﹣1）+2+m﹣3＝0，解得m＝1，
而m﹣1≠0，
∴m的值为．
35. （2019?广西贵港）为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2016年底到2018年底两年内由5万册增加到7.2万册．
（1）求这两年藏书的年均增长率；
（2）经统计知：中外古典名著的册数在2016年底仅占当时藏书总量的5.6%，在这两年新增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几？
【答案】见解析。
【解析】根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以得到这两年藏书的年均增长率；
根据题意可以求出这两年新增加的中外古典名著，从而可以求得到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几．
（1）设这两年藏书的年均增长率是x，
5（1+x）2＝7.2，
解得，x1＝0.2，x2＝﹣2.2（舍去），
答：这两年藏书的年均增长率是20%；
（2）在这两年新增加的图书中，中外古典名著有（7.2﹣5）×20%＝0.44（万册），
到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分比是：×100%＝10%，
答：到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%．
36. （2019?湖南长沙）近日，长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》，鼓励教师参与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次．
（1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；
（2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？
【答案】见解析。
【解析】设增长率为x，根据“第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次”可列方程求解；用2.42×（1+增长率），计算即可求解．
（1）设增长率为x，根据题意，得
2（1+x）2＝2.42，
解得x1＝﹣2.1（舍去），x2＝0.1＝10%．
答：增长率为10%．
（2）2.42（1+0.1）＝2.662（万人）．
答：第四批公益课受益学生将达到2.662万人次．
37. （2019?湖南邵阳）2019年1月14日，国新办举行新闻发布会，海关总署新闻发言人李魁文在会上指出：在2018年，我国进出口规模创历史新高，全年外贸进出口总值为30万亿元人民币．有望继续保持全球货物贸易第一大国地位．预计2020年我国外贸进出口总值将达36.3万亿元人民币．求这两年我国外贸进出口总值的年平均增长率．
【答案】10%．
【解析】根据a（1﹣x）2＝b增长率公式建立方程30（1+x）2＝36.3，解方程即可．
设平均增长率为x，根据题意列方程得
30（1+x）2＝36.3
解得x1＝0.1，x2＝﹣2.1（舍）
答：我国外贸进出口总值得年平均增长率为10%．
38.（2019?湖北黄石）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（4m+1）＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根为x1.x2，且|x1﹣x2|＝4，求m的值．
【答案】见解析。
【解析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；由根与系数的关系可得出x1+x2＝6，x1x2＝4m+1，结合|x1﹣x2|＝4可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．
（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+（4m+1）＝0有实数根，
∴△＝（﹣6）2﹣4×1×（4m+1）≥0，
解得：m≤2．
（2）∵方程x2﹣6x+（4m+1）＝0的两个实数根为x1.x2，
∴x1+x2＝6，x1x2＝4m+1，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝42，即32﹣16m＝16，
解得：m＝1．
39. （2019?南京）某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长50m，宽40m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3：2．扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总费用642000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？
【答案】扩充后广场的长为90m，宽为60m．
【解析】设扩充后广场的长为3xm，宽为2xm，根据矩形的面积公式和总价＝单价×数量列出方程并解答．设扩充后广场的长为3xm，宽为2xm，
依题意得：3x?2x?100+30（3x?2x﹣50×40）＝642000
解得x1＝30，x2＝﹣30（舍去）．
所以3x＝90，2x＝60
40. （2019?山东省德州市）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率
不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
【答案】见解析。
【解析】一元二次方程应用。先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于608，列方程求解；根据所计算出的月平均增长率，计算出第四个月的进馆人次，再与500比较大小即可．
（1）设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：
128+128（1+x）+128（1+x）2＝608
化简得：4x2+12x﹣7＝0
∴（2x﹣1）（2x+7）＝0，
∴x＝0.5＝50%或x＝﹣3.5（舍）
答：进馆人次的月平均增长率为50%．
（2）∵进馆人次的月平均增长率为50%，
∴第四个月的进馆人次为：128（1+50%）3＝128×＝432＜500
答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．