高考数学大一轮复习第九章平面解析几何7第6讲双曲线新题培优练文(含解析)新人教A版

高考数学大一轮复习第九章平面解析几何7第6讲双曲线新题培

优练文（含解析）新人教A 版

[基础题组练]

1．若双曲线C 1：x 22－y 2

8＝1与C 2：x 2a 2－y 2

2＝1(a >0，b >0)的渐近线相同，且双曲线C 2的焦距

为45，则b ＝( )

A ．2

B ．4

C ．6

D ．8

解析：选B.由题意得，b

＝2?b ＝2a ，C 2的焦距2c ＝45?c ＝a 2＋b 2

＝25?b ＝4，故选B.

2．已知双曲线x 2a 2－y 2

2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支

上，若|PF 1|－|PF 2|＝4b ，且双曲线的焦距为25，则该双曲线的方程为( )

A.x 2

4－y 2

＝1 B.x 23－y 22＝1 C ．x 2

－y 2

＝1

D.x 22－y 2

＝1 解析：选A.由题意可得???|

PF 1

|－|PF 2

|＝2a ＝4b ，c 2

＝a 2

＋b 2

，2c ＝25，

解得?

????a 2

＝4，b 2＝1，则该双曲线方程为x 24－y 2

＝1.

3．(2019·高考全国卷Ⅲ)已知F 是双曲线C ：x 24－y 2

5＝1的一个焦点，点P 在C 上，O 为

坐标原点．若|OP |＝|OF |，则△OPF 的面积为( )

A.32

B.52

C.72

D.92

解析：选B.因为c 2

＝a 2

＋b 2

＝9，所以|OP |＝|OF |＝3.设点P 的坐标为(x ，y )，则x 2

＋y 2

＝9，把x 2＝9－y 2

代入双曲线方程得|y |＝53，所以S △OPF ＝12|OF |·|y P |＝52

.故选B.

4．已知双曲线x 2a 2－y 2

2＝1(a >0，b >0)，过其左焦点F 作x 轴的垂线，交双曲线于A ，B 两

点，若双曲线的右顶点在以AB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是( )

A ．(2，＋∞)

B ．(1，2)

C.? ????32，＋∞

D.? ??

??1，32

解析：选A.由双曲线的性质可得|AF |＝b 2a ，即以AB 为直径的圆的半径为b 2

a ，而右顶点与

左焦点的距离为a ＋c ，由题意可知b 2a

>a ＋c ，整理得c 2－2a 2－ac >0，两边同除以a 2，则e 2

－e

－2>0，解得e >2或e <－1，又双曲线的离心率大于1，所以e >2.

5．已知双曲线的焦距为6，其上一点P 到两焦点的距离之差为－4，则双曲线的标准方程为________．

解析：若双曲线的焦点在x 轴上，设其标准方程为x 2a 2－y 2

b 2＝1.由题意得?????2

c ＝6，2a ＝4，即

????a ＝2，

c ＝3.又c 2＝a 2＋b 2，故b 2

＝5.所以双曲线的标准方程为x 24

－y 2

＝1.若双曲线的焦点在y 轴

上，设其标准方程为y 2a 21－x 2b 21＝1.同理可得?????a 1＝2，c 1

＝3，所以b 21＝5.所以双曲线的标准方程为y 24－

x 25＝1.综上所述，双曲线的标准方程为x 24－y 25＝1或y 24－x 2

＝1.

答案：x 24－y 25＝1或y 24－x 2

＝1

6．若双曲线x 2a 2－y 2

2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率

为________．

解析：由双曲线的渐近线过点(3，－4)知b a ＝4

3，

所以b 2a 2＝169.又b 2＝c 2－a 2

，所以c 2－a 2a 2＝169

，

即e 2－1＝169，所以e 2

＝259，所以e ＝53.

答案：5

7．已知椭圆D ：x 250＋y 2

25＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2

＝9，双曲线G 与椭圆D 有相同的焦点，

它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程．

解：椭圆D 的两个焦点坐标为(－5，0)，(5，0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5.

设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2

2＝1(a >0，b >0)，

所以渐近线方程为bx ±ay ＝0且a 2

＋b 2

＝25，又圆心M (0，5)到两条渐近线的距离为r ＝3. 所以

|5a |

b 2＋a 2

＝3，得a ＝3，b ＝4，

所以双曲线G 的方程为x 29－y 2

＝1.

8．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(4，0)，实轴长为4 3. (1)求双曲线C 的方程；

(2)若直线l ：y ＝kx ＋22与双曲线C 左支交于A ，B 两点，求k 的取值范围．

解：(1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2

2＝1(a >0，b >0)．

由已知得：a ＝23，c ＝4，再由a 2

＋b 2

＝c 2

，得b 2

＝4，所以双曲线C 的方程为x 212－y 2

4＝

(2)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，将y ＝kx ＋22与x 212－y 2

＝1联立，得(1－3k 2)x 2

－122kx －36＝0.由题意知

?????1－3k 2

≠0，

Δ＝（－122k ）2

＋4×（1－3k 2

）×36>0，x A ＋x B ＝122k 1－3k 2

<0，x A x B ＝－361－3k

>0，解得

33，1 [综合题组练]

1．(2019·唐山市摸底考试)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b

2＝1(a >b >0)和双曲线E ：x 2－y 2

＝1有相同

的焦点F 1，F 2，且离心率之积为1，P 为两曲线的一个交点，则△F 1PF 2的形状为( )

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．不能确定

解析：选B.由题意可知，c

a ×2＝1?c ＝2

a ，因为c ＝2，

所以a ＝2，b 2

＝a 2

－c 2

＝2，不妨设P 与F 2在y 轴右侧，

则?

????|PF 1|＋|PF 2|＝4|PF 1|－|PF 2|＝2，得|PF 1|2＝|F 1F 2|2＋|PF 2|2

，所以△F 1PF 2为直角三角形，故选B.

2．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2

－y 2

＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过

F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )

A.32 B ．3 C ．2 3

D ．4

解析：选B.法一：由已知得双曲线的两条渐近线方程为

y ＝±

x .

设两渐近线夹角为2α，则有tan α＝

13＝

，所以α＝30°. 所以∠MON ＝2α＝60°.

又△OMN 为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN ⊥ON ，如图所示．在Rt △ONF 中，|OF |＝2，则|ON |＝ 3.

则在Rt △OMN 中，|MN |＝|ON |·tan 2α＝3·tan 60°＝3.故选B.

法二：因为双曲线x 2

3－y 2

＝1的渐近线方程为y ＝±33x ，所以∠MON ＝60°.不妨设过点F

的直线与直线y ＝

x 交于点M ，由△OMN 为直角三角形，不妨设∠OMN ＝90°，则∠MFO ＝60°，又直线MN 过点F (2，0)，所以直线MN 的方程为y ＝－3(x －2)，

由?????y ＝－3（x －2），y ＝33x ，得?????x ＝3

2，y ＝32，

所以M ? ????32，32，所以|OM |＝? ????322＋? ??

??322

＝3，所以|MN |＝3|OM |＝3，故选B.

3．(综合型)已知双曲线x 23－y 2

4＝1，过点M (m ，0)作垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交

于A ，B 两点．若△AOB 是锐角三角形(O 为坐标原点)，则实数m 的取值范围是________．

解析：由题意得A ? ?

???m ，2

m 2

3－1，B ?

???m ，－2m 2

3－1，所以OA →＝?

??m ，2m 2

－1，OB →

＝?

??m ，－2m 2

－1.因为△AOB 是锐角三角形，所以∠AOB 是锐角，即OA →与OB →

的夹角为锐角，所以OA →·OB →>0，即m 2

－4m 2

3＋4>0，解得－23

线与双曲线交于A ，B 两点可知m <－3或m > 3.故实数m 的取值范围是(－23，－3)∪(3，23)．

答案：(－23，－3)∪(3，23)

4．(2019·河北名校名师俱乐部二调)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2

－y 2

2＝1(b >0)的左、右

焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若|AF 2|＝2且∠F 1AF 2＝45°，延长AF 2交双曲线的右支于点B ，则△F 1AB 的面积等于________．

解析：由题意知a ＝1，由双曲线定义知|AF 1|－|AF 2|＝2a ＝2，|BF 1|－|BF 2|＝2a ＝2，所以|AF 1|＝2＋|AF 2|＝4，|BF 1|＝2＋|BF 2|.由题意知|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝2＋|BF 2|，所以|BA |＝|BF 1|，所以△BAF 1为等腰三角形，因为∠F 1AF 2＝45°，所以∠ABF 1＝90°，所以△BAF 1为等腰直角三角形．所以|BA |＝|BF 1|＝22|AF 1|＝22×4＝2 2.所以S △F 1AB ＝12|BA |·|BF 1|＝12

×22×22＝4.

答案：4

5．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2

2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶

点．

(1)求双曲线的方程；

(2)过双曲线右焦点F 2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求|AB |.

解：(1)因为双曲线C ：x 2a 2－y 2

2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个

顶点，

所以?????c a ＝3，a ＝3，

解得c ＝3，b ＝6，

所以双曲线的方程为x 23－y 2

＝1.

(2)双曲线x 23－y 2

＝1的右焦点为F 2(3，0)，

所以经过双曲线右焦点F 2且倾斜角为30°的直线的方程为y ＝

(x －3)．联立?????x 23－y 2

6＝1，y ＝3

（x －3），得5x 2

＋6x －27＝0.

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－65，x 1x 2＝－275.

所以|AB |＝

1＋1

? ????－652

－4×? ??

??－275＝1635. 6．(综合型)设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2

2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长

为43，焦点到渐近线的距离为 3.

(1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝

x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →

，求t 的值及点D 的坐标．

解：(1)由题意知a ＝23，

因为一条渐近线为y ＝b a

x ，即bx －ay ＝0. 所以由焦点到渐近线的距离为3，得

|bc |

b 2＋a 2

＝ 3.

又因为c 2

＝a 2

＋b 2

，所以b 2

＝3，

所以双曲线的方程为x 212－y 2

＝1.

(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，其中x 0≥2 3. 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.

将直线方程y ＝33x －2代入双曲线方程x 212－y 2

3＝1得x 2

－163x ＋84＝0，

则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝

(x 1＋x 2)－4＝12. 所以?????x 0y 0

＝433，x 2

12－y 20

3＝1.

解得???x 0

＝43，y 0

＝3.

所以t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．

高考数学椭圆与双曲线的经典性质50条技巧归纳总结

新高中数学《集合》专项测试 (1145)

高中数学《集合》测试题学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________ 一、选择题 1．设集合{}{}{}1,2,3,4,5,|,,,A B M x x a b a A b B ====+∈∈则M 中的元素个数为 (A)3 (B)4 (C)5 (D)6（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对）） 2．设集合{|1A x =-≤x ≤2},B={x |0≤x ≤4},则A ∩B=A (A)［0,2］ (B)［1,2］ (C)［0,4］ (D)［1,4］(2006年高考浙江理) 3．设集合{1,2}A =,则满足{1,2,3}A B ?=的集合B 的个数是（） (A)1 (B)3 (C)4 (D)8(2006辽宁理) 4．已知集合M ={x |x 2＜4}，N ={x |x 2－2x －3＜0}，则集合M ∩N 等于( ) A.{x |x ＜－2} B.{x |x ＞3} C.{x |－1＜x ＜2} D.{x |2＜x ＜3}（2004全国Ⅱ1） 5．若集合A={-1,1},B={0,2},则集合{z ︱z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为（） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2（2012江西理） C 6．设集合A={x|1＜x ＜4}，集合B ={x|2x -2x-3≤0}, 则A ∩（C R B ）= A .(1,4) B .(3,4) C.(1,3) D .(1,2)∪（3,4） 7．若关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++<的解集为实数集R ，则a 、b 、c 应满足的条件为-----------------------------------------------------------------------（）（A ） a ＞0，b 2―4ac ＞0 （B ） a ＞0，b 2 ―4ac ＜0 （C ） a ＜0，b 2―4ac ＞0 （D ） a ＜0，b 2―4ac ＜0 二、填空题 8．已知全集U ={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，集合{}321,,a a a A =，则满足

2018高考理科数学选填压轴题专练32题(含详细答案)

学校年级姓名装装订线一．选择题（共26小题） 1．设实数x ，y 满足，则z= +的取值范围是（） A ．[4，] B ．[，] C ．[4，] D ．[，] 2．已知三棱锥P ﹣ABC 中，PA ⊥平面ABC ，且，AC=2AB ，PA=1，BC=3，则该三棱锥的外接球的体积等于（） A ． B ． C ． D ． 3．三棱锥P ﹣ABC 中，PA ⊥平面ABC 且PA=2，△ABC 是边长为的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（） A ． B ．4π C ．8π D ．20π 4．已知函数f （x +1）是偶函数，且x ＞1时，f ′（x ）＜0恒成立，又f （4）=0，则（x +3）f （x +4）＜0的解集为（） A ．（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞） B ．（﹣6，﹣3）∪（0，4） C ．（﹣∞，﹣6）∪（4，+∞） D ．（﹣6，﹣3）∪（0，+∞） 5．当a ＞0时，函数f （x ）=（x 2﹣2ax ）e x 的图象大致是（） A ． B ． C D ． 6．抛物线y 2=4x 的焦点为F ，M 为抛物线上的动点，又已知点N （﹣1，0），则的取值范围是（） A ．[1，2 ] B ． [ ， ] C ．[ ，2] D ．[1， ] 7．《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布，记该女子一月中的第n 天所织布的尺数为a n ，则a 14+a 15+a 16+a 17的值为（） A ．55 B ．52 C ．39 D ．26 8．已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足：当x ≥0时，f （x ）=x 3+x 2，若不等式f （﹣4t ）＞f （2m +mt 2）对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ． B ． C ． D ． 9．将函数的图象向左平移个单位得到y=g （x ）的图象，若对满足|f （x 1）﹣g （x 2）|=2的x 1、x 2，|x 1﹣x 2|min = ，则φ的值是（） A ． B ． C ． D ． 10．在平面直角坐标系xOy 中，点P 为椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的下顶点， M ，N 在椭圆上，若四边形OPMN 为平行四边形，α为直线ON 的倾斜角，若α∈ （，]，则椭圆C 的离心率的取值范围为（） A ．（0， ] B ．（0 ， ] C ．[ ， ] D ．[ ， ]

[数学]数学高考压轴题大全

1、（本小题满分14分）已知函数．（1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；（2）当时，试比较与的大小；（3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数．（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；（Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点；（Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点. （Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点；

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高考数学椭圆与双曲线的经典性质50条经典法则

椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）高三数学备课组椭圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122 tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=-，即0 202y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支） 5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2 的直线方程是00221x x y y a b -=. 7. 双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122 t 2 F PF S b co γ ?=. 8. 双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c 当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-. 当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =-- 9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和 A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.

高考数学填空选择压轴题试题汇编

高考数学填空选择压轴题试题汇编（理科）目录（120题）第一部分函数导数(47题)······································2/23 第二部分解析几何(23题)······································9/29第三部分立体几何（11题）·····································12/31 第四部分三角函数及解三角形（10题）··························14/32 第五部分数列（10题）········································15/33 第六部分概率统计（6题）·····································17/35 第七部分向量（7题）·········································18/36 第八部分排列组合（6题）······································19/37 第九部分不等式（7题）········································20/38

第十部分算法（2 题）··········································21/40 第十一部分交叉部分（2 题）·····································22/40 第十二部分参考答案············································23/40 【说明】：汇编试题来源河南五年高考真题5套；郑州市2011年2012年一模二模三模试题6套；2012年河南省各地市检测试题12套；2012年全国高考文科试题17套。共计40套试题.试题为每套试卷选择题最后两题，填空最后一题。第一部分函数导数 1.【12年新课标】（12）设点P 在曲线1 2 x y e = 上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则||PQ 的最小值为( ) 2.【11年新课标】(12)函数x y -= 11 的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于( ) 3.【10年新课标】（11）()??? ??>+-≤<=10,62 1100,lg x x x x x f ，若c b a ,,均不相等，且 ()()()c f b f a f ==，则abc 的取值范围是（） 4.【09年新课标】（12）用{}c b a ,,m in 表示c b a ,,三个数中的最小值。设 (){}()010,2m in ≥-+=x x x x f ,则()x f 的最大值为( ) 5.【11年郑州一模】12．若定义在R 上的偶函数()(2)()f x f x f x +=满足，且当 [0,1],(),x f x x ∈=时则函数3()log ||y f x x =-的零点个数是( ) A ．多于4个 B ．4个 C ．3个 D ．2个 6.【11年郑州二模】 7.【11年郑州二模】设()x f 是R 上的奇函数，且()01=-f ，当0>x 时， () ()()021'2 <-+x xf x f x ，则不等式()0>x f 的解集为________.