【高一前应掌握的练习】
【例 1】解关于x 的不等式：x -m < 1 .
①若x < 1，不等式可变为-(x -1) - (x - 3) > 4 ，
即-2x + 4 ＞4，解得x＜0，
又x＜1，∴ x＜0 ；
②若1 ≤x < 2 ，不等式可变为(x -1) - (x - 3) > 4 ，
即 1＞4，
∴不存在满足条件的x；
③若x ≥ 3 ，不等式可变为(x -1) + (x - 3) > 4 ，
即2x - 4 ＞4，解得x＞4 ．
又x ≥ 3 ，∴ x＞4 ．
综上所述，原不等式的解为x＜0 或x＞4 ．
解法二：如图 1．1－1，x - 1 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为 1 的点A 之间的距离|PA|，即PA ＝| x－1 |；|x－3|表示x轴上点P到坐标为2 的点B之间的距离|PB|，即|PB|
＝|x－3|．
所以，不等式x -1 +x - 3 ＞4 的几何意义即为PA ＋PB ＞4 ．
由|AB|＝2，可知点P 在点C(坐标为 0)的左侧、或点P 在点D(坐标为 4)的右侧．
|x－3|
P C A B D
x 0 1 3 4x
所以x＜0 或x＞4 ．|x－1|
图1．1－1
【例 3】}关于 x 的方程有一个负根而没有正根，求 m 的取值范围.
【分析】本题首先对 x 分情况讨论，将方程化简，在每种情况中注意到方程“有负根而无正根”这一条件.用分类讨论法解题.
解：x = 0 不是原方程的解.
当 x<0 时，原方程可化为，即 .
∵方程有负根，∴ ，且，
∴ .①
当时，原方程可化为，即，
假设原方程有正根，则，且，∴ .
从而时原方程无正根.②
综合①②知， .
1.2. 乘法公式
整式的变形是重要的代数式的恒等变形，也是高中数学中极其常见的运算．
【初中】要求了解整式的概念，会进行简单的整式加、减运算，乘法运算（其中的多项式相乘仅指一次式相乘）；会利用平方差、完全平方公式进行简单计算；会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）．
【高中】不再学习整式．但是乘法公式一直贯穿于整个高中数学的学习.
【建议】熟练使用立方和、立方差、和的立方、差的立方及三数和的平方公式.
补充知识：
我们在初中已经学习了下列乘法公式：
?-a (a ≤ 0); （1）平方差公式： (a + b )(a - b ) = a 2 - b 2
； （2）完全平方公式： (a ± b )2
= a 2
± 2ab + b 2 ． 我们还可以通过证明得到下列乘法公式：
（1）立方和公式： (a + b )(a 2
- ab + b 2
) = a 3
+ b 3
； （2）立方差公式： (a - b )(a 2
+ ab + b 2
) = a 3
- b 3
；
（3）三数和的平方公式： (a + b + c )2
= a 2
+ b 2
+ c 2
+ 2ab + 2bc + 2ac ；
（4）两数和的立方公式： (a + b )3
= a 3
+ b 3
+ 3a 2
b + 3ab 2
；
（5）两数差的立方公式： (a - b )3 = a 3 - b 3 - 3a 2b + 3ab 2
． 【高一前应掌握的练习】
【例 1】 计算： (x +1)(x -1)(x 2 - x +1)(x 2
+ x
+1) ． 解法一：原式= (x 2 -1) ??(x 2 +1)2 - x 2
??
= (x 2 -1)(x 4 + x 2
+1) = x 6
-1．
解法二：原式= (x +1)(x 2 - x +1)(x -1)(x 2
+ x +1) = (x 3 +1)(x 3
-1) = x 6
-1．
【例 2】 已知a + b + c = 4 ， ab + b c + ac = 4 ，求a 2
+ b 2
+ c 2
的
值． 解： a 2
+ b 2
+ c 2
= (a + b + c )2
- 2(ab + bc + ac ) = 8．
1.3 ．二次根式
高中阶段，我们在学习函数、解析几何、数列等内容时，会涉及到大量与二次根式有关的
计算．
【初中】了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算(不要求分母有理化)．
【高中】会学习有理指数幂及运算.
【建议】根据需要，我们应掌握最简二次根式、同类根式的概念与运用，分子(母)有理化， 简单的无理方程（不等式）． 补充知识：
1. 二次根式的性质
（1）若a ≥ 0，则( a )
2
=a ;
（2） a 2
= a = ?a (a ≥ 0),
?
（3） a ? b = ab (a ≥ 0,b ≥ 0);
3 -1
( 3 +1
)( 3 -1
)
3 -1 11 11 10 6 11 12 - 11 10 11 + 10 1 （4） a
= b
(a ≥ 0, b > 0).
2. 分母有理化
1 把分母中的根号化去，即分母有理化.如
=
= .
2
把分子中的根号化去，即分子有理化.如
【高一前应掌握的练习】
-1=
2
. x = 3 +1
1,2 2a
【例 1】 计算： ÷ (3 - 3) .
解法一： ÷ (3 - 3) ＝ 3 ? (3 + 3) ＝ 3 3 + 3 ＝
(3 - 3)(3 + 3) 3 + 1 9 - 3 ＝
6
＝
．
2
解法二： ÷ (3 - 3) ＝ 3
3 - 3
3 +1 3 = 3( 3 -1) 3 + 1
1 ＝
3 -1 ＝
＝
．
( 3 -1)( 3 +1) 2
【例 2】化简：（1） 9 - 4 5 ； （2）
x 2 + 1 x 2
- 2 (0 < x < 1) ． 解：（1）原式= 5 - 4 5 + 4
= ( 5)2 - 2 ? 2 ? 5 + 22
= (2 - 5)2
= 2 - 5 = 5 - 2 ．
（2）原式= ( x - 1 )
2
x = x - 1
， x
∵ 0 < x <1，∴ 1
> 1 > x ，
x ∴原式＝ - x ． x
【例 3】试比较下列各组数的大小：
2
（1） - 和 - ； （2）
6 + 4
和2 2－ .
( 12 - 11)( 12 + 11) 1
解：（1）∵ - = = = ，
1 1
2 + 11 12 + 11 11 - 10 ( 11 - 10)( 11 + 10) 1
- =
= = ， 1 11 + 10
a b 3 +1 3 -b ± b 2
- 4ac 3 3 3 3 - 3
3( 3 + 1)
3 12 12 11
解：（1）原方程变形为 x 2
+ 5x +1=2x -1，
两边平分，得 x 2 + 5x +1=4x 2
- 4x +1.
整理，得3x 2
- 9x = 0,即3x (x - 3)
= 0 ， 解得 x = 0 或 x = 3.
（2）原方程变形为 2x - 4 = x + 5 +1，
两边平分，得2x - 4 = x + 5 +1+ 2 x + 5 ，
再两边平分，得 x 2
- 20x +100 = 4x + 20 ，
12 11 12 11 6 2 2－ 6 (2 2－ 6)(2 2+ 6) 2 2+ 6 2 2+ 6 6 3 - 2 3 + 2 2x 2 + 3x + 9 x + 5 2x 2 + 3x + 9 又 + > 11+ 10 ， ∴ - ＜ - 10 ．
2 （2）∵ 2 2－ =
= = , 1
又 4＞2 2，
∴ 6＋4＞ 6＋2 2， 2
∴
6 + 4
＜ 2 2－ .
【例 4】已知 x = 3 - 2 , y =
3 + 2
，求3x 2 - 5xy + 3y 2
的值 ． 解：∵ x + y = 3 - 2
+ 3 + 2 = ( - 2)2 + ( 3 + 2)2 = 10 ，
3 + 2 3 - 2
3 + 2 xy = ? = 1，
3 - 2
∴ 3x 2 - 5xy + 3y 2 = 3(x + y )2 -11xy = 3?102 -11 = 289 ．
【例 5】解方程：（1） - 2x + 1 = 0 ；（2） 2x - 4 - x + 5 = 1；
（3） 2x 2
+ 3x - 5 + 3 = 0 ．
即 x -10 = 2 .
整理，得 x 2
- 24x + 80 = 0 ，即(x - 20)(x - 4) = 0 ，
解得 x = 20 或 x = 4 . （3）原式可化为
( 2x
2
+ 3x + 9 )
2
- + 25 = 49 ，
4 4
即?
5 ?2
- ? ? 7 ?2
= ? ，
?
2 ? ? 2 ? 11
3 + 2 3 - 2
3 x 2 + 5x + 1 2x 2 + 3x + 9
2x 2
+ 3x + 9 A ?
5 = 7 ? - 7 舍? ， 2 2 2 ?
? ?
∴ 2x 2
+ 3x + 9 =6 ，解得 x = 3 或 x = - 9
.
2
小知识：根号下含有未知数的方程，叫做无理方程.在解无理方程时，需要将方程得两边乘方，从而化为有理方程，这样得到的方程有可能产生不适合原方程得根.因此，解无理方程时，必须把解得的有理方程得根带入原方程进行检验，如果适合，就是原方程的根；如果不适合，就是曾根.
1.４．分式
【初中】了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、 乘、除运算；会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）；能确定分式函数的自变量取值范围，并会求出函数值．
【高中】不再学习.但在整个高中学习中都会用到分式的计算. 高二选修中，有少量分式不等式的学习.
【建议】接触更复杂的分式运算（如分式拆分，分式乘方）；解可化为一元二次方程的分式方程．
补充知识：
a 1.繁分式：像 b
m + n + p 这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．遇 ，
c + d
2m n + p
到繁分式化简要分清谁是分母，谁是分子，将其化成一般分式进行运算.
2.解分式不等式： ；
f (x )
? f (x )g (x ) ≥ 0(≤ 0),
≥ 0(≤ 0) ? ?
g (x ) ?g (x ) ≠ 0.
若分式不等式的一端不为 0 ，则先移项，使得不等式一端为零，再通分化为
f (x )
> 0(< 0) 或 g (x )
f (x )
≥ 0(≤ 0) 的形式进行求解. g (x )
【高一前应掌握的练习】
5x + 4 【例 1】若
= A + B ，求常数 A , B 的值．
x (x + 2) x x + 2
解： ∵ + B
= A (x + 2) + Bx = ( A + B )x + 2A =
5x + 4 ， x x + 2 ? A + B = 5,
∴ ?2A = 4,
x (x + 2) x (x + 2) x (x + 2) 解得 A = 2, B = 3 ．
【例 2】解方程 1 + x + 2 4x - x 2
- 4 2
x - 2
= 1 ．
- = - = < ?
解：原式通分
3x - 6
(x + 2)(x - 2)
x - 2 + 4x - 2 ( x + 2) (x + 2)(x - 2)
= 1，
= 1，
3
x + 2
= 1 ，解得 x =1.
【例 3】（1）已知a > b > 0 ，求证： 1 < 1
．
a
b
（2）已知 x > 0，求证： x + 1
≥ 2 ．
x
1 1 (b - a )
证明：（1） .
a b ab
∵ a > b > 0 ，∴ b - a < 0 ， ab > 0 ，
1 1 (b - a )
∴ 0 .
a b ab
∴ 1 < 1 .
a
b
1
x 2 - 2x +1
(x -1)2
（2） x + - 2 =
=
.
x
x
x
∵ x > 0 ，∴ (x -1)2
≥ 0 ，
∴
(x -1)2
x ≥ 0 ， ∴ x + 1 x
≥ 2 . 【例 4】解下列不等式： 3x + 1 ≥ -1 3 - x
解：（1） 3x + 1 +1 ≥ 0 ，
3 - x
； x 2
- 3x + 2 x 2 - 2x - 3
< 0 ．
3x +1+ 3 - x ≥ 0 ，即 2x + 4 ≥ 0 ，
3 - x ??(x + 4)(3 - x ) ≥ 0, ∴ ? ?3 - x ≠ 0,
3 - x
解得-2 ≤ x < 3. （2）原不等式变形为(
x 2
- 3x + 2)(
x 2
- 2x - 3)
< 0
1 1
2 2 1 2
即 (x -1)(x - 2)(x - 3)(x +1)
< 0 ， 解高次不等式用穿根法，得-1 < x < 1 或2 < x < 3 .
2.1 分解因式
【初中】会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）． 【高中】不再学习整式．但在整个高中学习中都会用到因式分解进行计算.
【建议】掌握十字相乘法分解因式. 补充知识：
因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应 了解求根法及待定系数法．
1.分组分解法
对于一个多项式整体，若不能直接运用提公因式法或公式法进行因式分解，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解.
2.十字相乘法
一般地，对于二次三项式ax 2
+ bx + c (a ≠ 0) ，如果二次项系数a 可以分解成两个因数
之积，即a = a 1a 2 ，常数项c 可以分解成两个因数之积，即c = c 1c 2 ，把a 1, a 2 , c 1, c 2 排列如下：
按斜线交叉相乘，再相加，得到 a c + a c ，若它正好等于二次三项式 ax 2
+ bx + c 的
1 2
2 1
一次项系数b ，即a 1c 2 + a 2c 1 =b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式a 1x + c 1 和a 2 x + c 2
之积，即ax 2
+ bx + c = (a x + c )(a x + c ).
像这种借助面十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法.
3.求根法
若 ax 2
+ bx + c (a ≠ 0) 有两个实数根 x , x ，则二次三项式ax 2 + bx + c 就可以分解为
a (x - x 1 )(x - x 2 ) .
4.常见的配方变形有：
（1） a 2 + b 2 = (a + b )2 - 2ab = (a - b )2
+ 2ab ；
（2） x 2
+ 1 x 2
= (x + 1 )2 - 2 = (x - 1
)2 + 2 ；
x
x
（3） a 2
+ b 2
+ c 2
= (a + b + c )2
- 2(ab + bc + ca ) ；
－1
1
1 2 （4） a 2 + b 2 + c 2
+ ab + bc + ca = 1
[(a + b )2 + (b + c )2 + (c + a )2
] ；……
2
【高一前应掌握的练习】
1．十字相乘法
【例 1】分解因式：
（1） x 2－3x ＋2 ； （2） x 2
＋4x －12 ；
（3） x 2 - (a + b )xy + aby 2
； （4） xy -1+ x - y ．
解：（1） x 2
－3x ＋2 =（x -1）(x - 2)；
（2） x 2
＋4x －12＝(x －2)(x ＋6) ；
（3） x 2
- (a + b )xy + aby 2
＝ (x - ay )(x - by ) ;
（4） xy -1+ x - y ＝xy ＋(x －y )－1
x
＝(x －1) ( y +1)（如图所示）．
y
2．提取公因式法与分组分解法
【例 2】分解因式：
（1） a 2 (b - 5)+ a (5 - b )?（2）
x 3 + 9 + 3x 2 + 3x （3） 2x 2
+ xy - y 2
- 4x + 5y - 6 ．
解：（1） a 2
(b - 5)+ a (5 - b )= a (b - 5)(a - 1)
（2）方法一： x 3 + 9 + 3x 2 + 3x = (x 3 + 3x 2 ) + (3x + 9) = x 2
(x + 3) + 3(x + 3)
= (x + 3)(x 2
+ 3) ．
方法二： x 3 + 9 + 3x 2
+ 3x ＝ (x 3 + 3x 2 + 3x +1) + 8
＝ (x +1)3 + 8 ＝ (x +1)3 + 23
＝[(x +1) + 2][(x +1)2
- (x +1) ? 2 + 22
]
＝ (x + 3)(x 2
+ 3)
（3）方法一： 2x 2
+ xy - y 2
- 4x + 5y - 6 = 2x 2
+ ( y - 4)x - y 2
+ 5y - 6
= 2x 2
+ ( y - 4)x - ( y - 2)( y - 3) =
(2x - y + 2)(x + y - 3) ． 方法二： 2x 2
+ xy - y 2
- 4x + 5y - 6 = (2x 2
+ xy - y 2
) - (4x - 5y ) - 6
=
(2x - y )(x + y ) - (4x - 5 y ) - 6 =
(2x - y + 2)(x + y - 3) ．
3．关于 x 的二次三项式ax 2
+ bx + c (a ≠ 0) 的因式分解．
若关于 x 的方程 ax 2
+ bx + c = 0(a ≠ 0)的两个实数根是 x ， x ， 则二次三项式
1
2
ax 2 + bx + c (a ≠ 0) 就可分解为a (x - x )(x - x ) .
2 1 1 【例 3】把下列关于 x 的二次多项式分解因式：
（1） x 2
+ 2x -1； （2） x 2 + 4xy - 4y 2
．
解： （1）令 x 2
+ 2x -1=0，则解得 x = -1 + 2 ， x = -1- ，
2
∴ x 2
+ 2x -1=
? x - (-1+ 2)? ? x - (-1 - 2)? ?
? ?
?
= (x +1- 2)(x +1+ 2) ．
（2）令 x 2 + 4xy - 4y 2 =0，则解得 x = (-2 + 2 2) y ， x 1 = (-2 - 2 2) y ，
∴ x 2 + 4xy - 4y 2 =[x + 2(1- 2) y ][x + 2(1+ 2) y ] ．
二．函数与方程
二次函数知识的生长点在初中，而发展点则在高中，是初高中数学衔接的重要内容．二次
函数作为一种简单而基本的函数类型，是历年来高考的一项重点考查内容，以它为核心内容的重点试题，也年年有所变化．
【初中】具体地学习了一次函数、二次函数、反比例函数，了解这些函数的概念、图象和性质. 确定二次函数的表达式，会用描点法画出二次函数的图象，并能从图象上认识二次函数的性质，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．
【高中】结合二次函数的图象，（1）判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；（2）求一元二次不等式.
【建议】高中教材很少专门对二次函数进行研究，所以应该更深入地研究二次函数的图象和性质，包括：简单的图象变换、求给定自变量 x 的范围的二次函数的最值、构造二次函数来解决一些问题．
2.1 二次函数的三种表示方式
1．一般式： y ＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠ 0)；
2．顶点式： y ＝a (x ＋h )2
＋k (a ≠ 0)，其中顶点坐标是(－h ，k ) ．
3．两根式： y ＝a (x －x 1 ) (x －x 2 ) (a ≠ 0) ，其中 x 1，x 2 是二次函数图象与 x 轴交点的
横坐标．
今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、两根式这三种表达形式中的某一形式来解题．
2.2 根的判别式
我们知道，对于一元二次方程ax 2
＋bx ＋c ＝0 (a ≠ 0)，用配方法可以将其变形为
-b b 2 - 4ac -b + b 2 - 4ac -b b 2 - 4ac
(x + b )2 2a
b 2
- 4ac ． ①
4a 2 由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ≠ 0)的根的情况可以由b 2
－4ac 来判定，我
们把b 2
－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ≠ 0)的根的判别式，通常用符号“ ”来
表示．
综上所述，对于一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ≠ 0)，有
（1）当 ＞0 时，方程有两个不相等的实数根： x 1,2 = 2a ；
（2）当 ＝0 时，方程有两个相等的实数根： x ＝x ＝－ b
；
1 2 2a
（3）当 ＜0 时，方程没有实数根．
【例 1】. 已知关于 x 的方程(m 2
-1)x 2
+ (m +1)x +1 = 0 有实根，求实数m 的取值范围. 【分析】这是一个二次项系数含字母的方程，需要分情况讨论.但当m 2
-1 = 0 ，即= ±1 时，还要看m +1是否为零，即这个方程可以是二次的，也可以是一次的. 【解】当m 2
-1 = 0 ，即m = ±1时，已知方程化为(m +1)x +1 = 0 . 若m = 1，则 x = - 1
.
2
若 m = -1，则0? x +1 = 0 ，方程无解.
当 m 2
-1 ≠ 0 ，即m ≠ ±1时，原方程有实根，此时， ?=(m +1)2 - 4(m 2 -1) = -3m 2 + 2m + 5 ≥ 0 ，
即 ?
m - 5 ? (m +1) ≤ 0 ，解得-1 ≤ m ≤ 5 且m ≠ 1.
3 ? 3 ? ? 综合上述两方面知，当原方程有实根时，实数m 的范围是?
-1, 5 ? .
3 ? ? ?
【说明】判别式对二次方程使用有效.在用判别式时，应考虑二次项的系数不等于 0 这个前
提，这是容易漏掉的地方.
2.3 根与系数的关系（韦达定理）
【初中】会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程．
【高中】不再直接学习.但根与系数的关系会在研究函数、导数、圆锥曲线时直接使用. 【建议】（1）理解一元二次方程的根的判别式，并能用判别式判定根的情况；（2）掌握一元二次方程根与系数的关系，并能运用它求含有两根之和、两根之积的代数式的值，还能构造 以 x 1 , x 2 为根的一元二次方程；（3）能解决二元二次方程组的相关问题． 补充知识： 1.韦达定理
若一元二次方程ax 2
＋bx ＋c ＝0 (a ≠ 0)有两个实数根
x 1 = 2a ， x 2 = 2a
， =
b 2
- 4ac ? 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
-2b b
则有 x 1 + x 2 =
+ = = - ； 2a a
b 2 - (b 2
- 4ac ) 4ac c
x 1 x 2 = ? 2a 2a = 4a 2 = = ． 4a 2
a
所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
如果 ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ≠ 0)的两根分别是 x ，x ，那么 x ＋x ＝- b ，x ·x ＝ c ．这一
关系也被称为韦达定理．
1 2 1 2
a
1 2
a
特别地，对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x 2
＋px ＋q ＝0 ，若 x ，x 是其两根，由
韦达定理可知 x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ， 即 p ＝－(x 1＋x 2 )，q ＝x 1·x 2 ，
所以，方程 x 2
＋px ＋q ＝0 可化为 x 2
－(x ＋x )x ＋x ·x ＝0 ，由于 x ，x
是一元二次方 1
2
1 2
1
2
程 x 2
＋px ＋q ＝0 的两根，所以 x ，x 也是一元二次方程 x 2
－(x ＋x )x ＋x ·x ＝0 的两
根．因此 ， 以 两 个 数 x 1，x 2 x 2－(x ＋x )x ＋x ·x ＝0 . 为 根 的 一 元 二 次 方 程 （ 二 次 项 系 数 为 1 ）是
2. 一元二次方程的两根之差的绝对值
一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的 问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：
设 x 和 x 是一元二次方程ax 2
＋bx ＋c ＝0 (a ≠ 0)的两根，则
1
x 1 = 2
-b + b 2 - 4ac 2a ，
x 2 = -b -
b 2 - 4ac
， 2a
∴ x 1－x 2 -b + ＝ b 2 - 4ac - -b - 2a b 2 - 4ac =
2a
= = ．
| a | | a |
于是有下面的结论：
若 x 和 x 是一元二次方程 ax 2
＋bx ＋c ＝0 (a ≠ 0) 的两根，则 x －x =
（其中
1
2
1
2
| a |
?＝b 2－4ac ）．
今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接应用上面的结论． 【高一前应掌握的练习】 【例 1】 已知方程5x
2
+ kx - 6 = 0 的一个根是 2，求它的另一个根及k 的
值． 解：设方程的另一个根为 x ，由韦达定理，得2x =- 6
，解得 x =- 3
. 5
5
再由韦达定理，得- 3
+ 2 = - k
，解得k = -7 .
5 5
【例 2】已知两个数的和为 4，积为－12，求这两个数．
【分析】我们可以设出这两个数分别为 x ， y ，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解．
-b + b 2 - 4ac -b - b 2 - 4ac -b + b 2 - 4ac -b - b 2 - 4ac 2 b 2 - 4ac 2a ?
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2
+
解：由韦达定理知，这两个数是方程 x 2
- 4x -12 = 0 的两个实根. 解方程得 x 1 = 6, x 2 = -2 .
【例 3】若关于 x 的一元二次方程 x 2
－x ＋a －4＝0 的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围．
解：设 x 1，x 2 是方程的两根，则
x 1x 2＝a －4＜0 ， ① 且 ?＝(－1)2
－4(a －4)＞0 ． ② 由①得 a ＜4 ， 由②得 a <
17
．∴ a 的取值范围是 a ＜4 ． 4
【例 4】已知关于 x 的方程 x 2＋2(m －2)x ＋m 2
＋4＝0 有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大 21，求m 的值．
【分析】本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21 得到关于m 的方程， 从而解得 m 的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此， 其根的判别式应大于零．
解：设 x 1，x 2 是方程的两根，由韦达定理，得 x ＋x ＝－2(m －2)，x ?x ＝m 2
＋4． x 2＋x 2
－x ·x ＝21， ∴(x ＋x )2－3x ?x ＝21， 即 [－2(m －2)]2－3(m 2
＋4)＝21， 化简，得m 2
－16m －17＝0 ， 解得 m ＝－1或m ＝17 .
当 m ＝－1 时，方程为 x 2
＋6x ＋5＝0，?＞0 ，满足题意；
当 m ＝17 时，方程为 x 2＋30x ＋293＝0 ，?＝302
－4 ?1? 293＜0 ，不合题意，舍去． 综上， m ＝17 ．
【例 5】若 x 和 x 分别是一元二次方程2x 2
＋5x －3＝0 的两根．
1
2
（1）求| x 1－x 2 | 的值；
1
1
（2）求
x 2 x
2 的值；
1 2
（3） x 3
＋x 3
． 解：∵ x 和 x 分别是一元二次方程2x 2
＋5x －3＝0 的两根，
1 2
∴ x + x = - 5 ，
x x =- 3
． 1 2 2 1 2 2
（1）∵ | x －x |2 ＝x 2 + x 2－2x x ＝(x ＋x )2－4x x ＝(- 5)2 - 4 ? (- 3
) 1 2 1 2 1 2 1
25 49
＝ ＋6＝ ，
4 4 2 1 2 2 2
∴ | x 1－x 2
|＝ 7 ． 2
2 - 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
1
2 2 2
(- 5)2 - 2 ? (- 3)
25
+ 3
（2） + 1
= x 1 + x 2 = (x 1 + x 2 ) - 2x 1 x 2 = 2
2 = 4 = 37 ． x
2
x 2 x 2
? x 2
(x x )2
3 2
9 9
1
2
1
2
1 2
(- )
2 4
（3） x 3＋x 3＝(x ＋x )(x 2－x x ＋x 2 )＝(x ＋x )[ (x ＋x )2
－3x x ] 5 5 3 215
＝(－ )×[(－ ) －3×( )]＝－ ． 2 2 2 8
2.4 二次函数的图象和性质（衔接中最重要的内容）
二次函数的性质可以分别通过图直观地表示出来．在今后解决二次函数问题时，可以借
助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．
（1） 二次函数图象及性质
（2） 二次函数 y = ax 2
＋bx ＋c 的图象是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线.
函数
二次函数 y = ax 2
＋bx ＋c (a 、b 、c 为常数，a ≠ 0)
图象
a > 0
a > 0
性质
（1）抛物线开口向上 （1）抛物线开口向下
b
b 4a
c - b 2
（2）对称轴是 x = - ，顶点是（- ， ）
2a 2a 4a
（3）当 x <-
b
时， y 值随 x 的增
2a
大而减少；
当 x > -
b
时，y 值随 x 的增大而增
2a
大
b （3）当 x <-
时， y 值随 x 的增大而
2a
增大；
b 当 x > -
时， y 值随 x 的增大而减少
2a
x = - b
（4）抛物线有最低点，当
2a 4ac - b 2
y min = 4a
时，y 取得最小值， x = - b
（4）抛物线有最高点，当
2a 时， 4ac - b 2
y y max = 4a
取得最大值，
（2）二次函数的最值
已知二次函数 y = f (x ) = ax 2＋bx ＋c (a ≠ 0) ，我们可以利用配方法或公式法得到：
若 a > 0 ，则当 x = - b 2a
时，函数有最小值，
y =f (- b ) = 最小 2a 4ac - b 2
； 4a 若 a < 0 ，则当 x = - b
2a
时，函数有最大值，
y =f (- b ) = 最大 2a
函数的最大值与最小值统称为函数的最值.
【高一前应掌握的练习】
4ac - b 2
. 4a
【例 1】对于二次函数 y = x 2 - 4x + 1，分别在下列的自变量取值范围内，求出函数的最大 值、最小值．
（1） 3 ≤ x ≤ 4 ； （2） 0 ≤ x ≤1； （3） 0 ≤ x ≤
5 ． 解：∵令 f (x ) = y = x 2 - 4x +1 = (x - 2)2
- 3 ，
∴函数的对称轴为 x = 2 .
（1）当3 ≤ x ≤ 4 时， y 的值随 x 值的增大而增大， ∴ y min = f (3) = -2, y max = f (4) = 1；
（2）当0 ≤ x ≤1时， y 的值随 x 值的增大而减小， ∴ y min = f (1) = -2, y max = f (0) = 1；
（3）当0 ≤ x ≤ 5 时， y 的值随 x 值的增大先减小再增大， ∴ y min = f (2) = -3, y max = f (5) = 6 .
【例 2】 求二次函数 y ＝－3x 2－6x ＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最
小值），并指出当 x 取何值时， y 随 x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．
解：∵ y ＝－3x 2
－6x ＋1＝－3(x ＋1)2
＋4 ，
∴函数图象的开口向下； 对称轴是直线 x ＝-1 ； 顶点坐标为(－1，4)；
当 x ＝-1 时，函数 y 取最大值 y ＝4 ；
当 x ＜－1时， y 随着 x 的增大而增大；当 x ＞－1时， y 随着 x 的增大而减小； 采用描点法画图，选顶点 A (－1，4))，与 x 轴交于点 B (
2 3 - 3 , 0) , C (- 2 3 + 3
, 0) ， 3 3
与 y 轴的交点为 D (0，1) ，过这五点画出图象（如图 2－5 所示）．
【 例 3 】 已 知 . （1）求 y 的最值 （f x ）
. （2）当 a 取不同的实数值时，抛物线的顶点在何处？
解：（1）y=a （ ）
若 a>0， 则 当 x= 1 时 ， 最 小 .
当 a<0，则当 x= 1 时， 最大 .
（2）当 a 取不同的实数值时，抛物线的顶点都在直线 x= 1 上.
说明：求二次函数 y =f （x ）= 的最值，必须对二次项系数进行讨论，若a>0，
则当 x= 时，函数有最小值， ；若 a<0，则当 x= 时，函数有
最小
最大值，
.
最大
【例 4】 求函数 y=
的最大值.
（ ）
【分析】本题令 t （ ），t 是一个关于 x 的二次函数，问题就转化为求
t= （ ）的最小值，进而可求函数 y=
的最大值.
（ ）
解：∵1- （x 1- x ）= 1- x + x 2
= ?
x - ? 1 ?2
? ? + 3 ≥ 3 ，
4 4
∴
y = 1
≤ 4 ，y = 4
1- （x 1- x ） 3 max 3
2
1 2 1 2 1 2
≠－
；
1. 一元二次不等式
2.5 一元二次不等式及不等式组
形如 （或 或 ，或 ），其中 的不等式叫做一元二次不等式. （1） 不 等 式 或 （ ） 的 解 如 下 表 .
【为了方便起见，我们先来研究二次项系数 a ＞0 时的一元二次不等式的解．
我们知道，对于一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)，设△＝b 2
－4ac ，它的解的情形按照△ ＞0，△=0，△＜0 分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解
和没有实数解，相应地，抛物线 y ＝ax 2
＋bx ＋c （a ＞0）与 x 轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图 2.3－2 所示)，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二
次不等式 ax 2
＋bx ＋c ＞0（a ＞0）与 ax 2＋bx ＋c ＜0（a ＞0）的解．
（1） 当 Δ ＞0 时，抛物线 y ＝ax 2
＋bx ＋c （a ＞0）与 x 轴有两个公共点(x ，0)和(x ，0)， 方程 ax 2
＋bx ＋c ＝0 有两个不相等的实数根 x 和 x (x ＜x )，由图 2.3－2①可知不等式 ax 2
＋bx ＋c ＞0 的解为
x ＜x 1，或 x ＞x 2； 不等式 ax 2
＋bx ＋c ＜0 的解为
x 1＜x ＜x 2．
（2）当 Δ ＝0 时，抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与 x 轴有且仅有一个公共点，方程 ax 2
＋
b bx ＋
c ＝0 有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－ ，由图 2.3－2②可知
2a 不等式 ax 2＋bx ＋c ＞0 的解为 x b
2a
不等式ax2＋bx＋c＜0 无解．
（3）如果△＜0，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x 轴没有公共点，方程ax2＋bx＋c＝0 没有实数根，由图 2.3－2③可知
不等式ax2＋bx＋c＞0 的解为一切实数；
不等式ax2＋bx＋c＜0 无解．
今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以－1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式．（文字说明）
对于二次项系数是负数（a<0）的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再求解.
（2）不等式与的解：
的解或;
的解;
?或
?或
?;
?.
（3）一元二次不等式的一般解题步骤
对于一元二次不等式或（），先计算判别式的值.若或，则求出对应的一元二次方程的根，然后对照上表写出不等式的解，若，则可直接对照上表写出不等式的解.
另外，当时，一元二次不等式或（）还可利用积的符号法则化成一次不等式组来解.一般可先将不等式等价变形为或，其中是方程的两根，再进行求解 .
2.一元二次不等式组
一元二次不等式组的解法：
（1）分别求出不等式组内每一个不等式的解；
（2）求这些解的公共解即为原不等式组的解.
【高一前应掌握的练习】
【例 1】解不等式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
解：（1）∵?＞0，方程x2＋2x－3＝0的解是x ＝-3，x ＝1．
1 2
∴不等式的解为－3 ≤x ≤ 1．
（2）整理，得x2－x－6＞0 ．
∵ ?＞0 ，方程x2－x－6 = 0 的解为x＝－2，x ＝3 ．
1 2
-a a 2 - 4 -a - a 2
- 4 -a + a 2
- 4 ?
∴所以，原不等式的解为 x ＜－2 或 x ＜3 ． （3）整理，得(2x ＋1)2 ≥ 0 . 由于上式对任意实数 x 都成立， ∴原不等式的解为一切实数．
（4）整理，得(x －3)2
≤ 0 .
由于当 x ＝3 时， (x －3)2＝0 成立；而对任意的实数 x ， (x －3)2
＜0 都不成立， ∴原不等式的解为 x ＝3 ．
（5）整理，得 x 2
－x ＋4＞0 ．
?＜0 ，所以，原不等式的解为一切实数．
【例 2】解关于 x 的一元二次不等式 x 2
+ ax +1 > 0(为实数).
【分析】对于一元二次不等式,按其一般解题步骤,首先应该将二次项系数变成正数,本题已满足这一要求,欲求一元二次不等式的解,要讨论根的判别式 ? 的符号,而这里的 ?是关于未知系数的代数式, ? 的符号取决于未知系数的取值范围，因此,再根据解题的需要,对? 的符号进行分类讨论. 解: ? = a 2
- 4 ,
①当? > 0,即a < -2或a > 2时, 方程x 2
+ax +1 = 0的解是
x 1 =
2 , x 2 = .
-a +
a 2 - 4 所以,原不等式的解集为 x < 或 x >
；
2
2
②当?＝0 ，即a ＝± 2 时，原不等式的解为 x ≠ - a ；
2
③当? < 0,即- 2 < a < 2 .
综上,当a ≤ －2 ，或 a ≥ 2 时，原不等式的解是
x <
-a - a 2 - 4 2 或 x > ； 2
当-2 < a < 2时，原不等式的解为一切实数.
??x 2 + 2x - 35 > 0, （1）
【例 3】解不等式组? x - 2 < 10.
??
（2） 解： 由（1）得 x < -7或x > 5.
由（2）得-8 < x <12 .
?x < -7或 x > 5 于 是 原 不 等 式 组 的 解 就 是 ?-8 < x < 12
的 公 共 部 分 ， 如 图 说 是 ，即
-8 < x < 7
或 5< x < 1.
-a a 2 - 4
史上最全的初高中数学知识点衔接归纳
初高中数学教材衔接的必要性与措施 近几年，随着我国教育体制改革步代加大，素质教育理念不断深入人心,课改新教材在我省大多数中小学已经实施。黄石市初中是率先使用课改新教材的县市之一，经过两届学生实验，结果表明：使用课改新教材的学生学习的自主性，思维的广阔性，师生的互动性明显增强，但思维的严谨性，推理的逻辑性显得有些不足。加上我市高中教材未与课改新教材接轨，教学内容上有明显“脱节”。学生从初中进入高中出现明显“不适应”现象。因此解决初高中数学教材衔接问题势在必行。 一、初高中数学知识“脱节”点 1. 绝对值型方程和不等式，初中没有讲，高中没有专门的内容却在使用 2．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。 3．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。 4．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。 5．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 6．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。 7．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。 8．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。 9．几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。 10. 圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习，高中则在使用。 另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。 二、“脱节”知识点掌握情况调查 高一新生入学不久，在已进行“乘法公式”与“因式分解”讲授后，我们对学生初高中“脱节”知识点作了全面调查，统计情况如下：
2020高一数学知识点总结归纳精选5篇
2020高一数学知识点总结归纳精选5 篇 高一数学是很多同学的噩梦，知识点众多而且杂，对于高一的同学们很不友好，建议同学们通过总结知识点的方法来学习数学，这样可以提高学习效率。下面就是给大家带来的高一数学知识点总结，希望能帮助到大家！ 高一数学知识点总结(一) (1)指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a 大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。 (2)指数函数的值域为大于0的实数集合。 (3)函数图形都是下凹的。 (4)a大于1，则指数函数单调递增;a小于1大于0，则为单调递减的。 (5)可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0)，函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴
的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。 (6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴，永不相交。 (7)函数总是通过(0，1)这点。 (8)显然指数函数无界。 奇偶性 定义 一般地，对于函数f(x) (1)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。 (2)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。 (3)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。
(4)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。 高一数学知识点总结(二) 对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性： 首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q 是偶数，函数的定义域是[0，+)。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x0，函数的定义域是(-，0)(0，+).因此可以看到x所受到的限制****于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道： 排除了为0与负数两种可能，即对于x0，则a可以是任意实数; 排除了为0这种可能，即对于x0和x0的所有实数，q不能是偶数; 排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。
(完整版)高一数学集合练习题及答案(人教版)
一、选择题（每题4分，共40分） 1、下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、集合{a ，b ，c }的真子集共有 个 （ ） A 7 B 8 C 9 D 10 3、若{1，2}?A ?{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是 （ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U （M ∪N ）= （ ） A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4} 5、方程组 1 1x y x y +=-=- 的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式：{}00∈，{}0??，Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? ， {}2 |20,x x x Z -=∈是空集中，错误的个数是 （ ） A 4 B 3 C 2 D 1 7、点的集合M ＝｛(x,y)｜xy≥0｝是指 ( ) A.第一象限内的点集 B.第三象限内的点集 C. 第一、第三象限内的点集 D. 不在第二、第四象限内的点集 8、设集合A=} { 12x x <<，B=} { x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是 （ ） A } { 2a a ≥ B } { 1a a ≤ C } { 1a a ≥ D } { 2a a ≤
9、 满足条件M U }{1=}{ 1,2,3的集合M 的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 10、集合{}|2,P x x k k Z ==∈，{}|21,Q x x k k Z ==+∈， {}|41,R x x k k Z ==+∈，且,a P b Q ∈∈，则有 （ ） A a b P +∈ B a b Q +∈ C a b R +∈ D a b +不属于P 、Q 、R 中的任意一个 二、填空题（每题3分，共18分） 11、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2 A t t x x B ∈==，用列举法表示B 12、集合A={x| x 2 +x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ?A ，则a=__________ 13、设全集U={ } 2 2,3,23a a +-，A={}2,b ，C U A={} 5，则a = ，b = 。 14、集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ?=____________. 15、已知集合A={x|2 0x x m ++=}, 若A ∩R=?，则实数m 的取值范围是 16、50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人. 三、解答题（每题10分，共40分） 17、已知集合A={x| x 2 +2x-8=0}, B={x| x 2 -5x+6=0}, C={x| x 2 -mx+m 2 -19=0}, 若B ∩C ≠Φ，A∩C=Φ，求m 的值 18、已知二次函数f (x )=2 x ax b ++,A=}{ }{ ()222x f x x ==,试求 f ()x 的解析式
初高中数学衔接知识点
初高中数学到底“衔接”什么？新生需掌握的八个知识点 很多新高一的同学，暑假里都忙着“衔接”，步入高中，无论是学习方法还是知识难度都有了很大的改变，大家都想趁着暑假来全方位提升自己，让这一级台阶迈得更稳。但是到底该衔接些什么内容，才可以达到事半功倍，直击问题的核心呢?为新高一的学生们答疑解惑，如何做好初高中衔接教育。 初高中数学到底“衔接”什么? 衔接≠上新课、竞赛培训、巩固复习课每年的暑假，都有不少新高一的学生去参加初高中衔接的课程，二八学习法温馨提醒：做好衔接方面的工作是必要的，但是不要盲目参加，要分清楚到底是不是衔接，衔接的是哪些知识。 初高中衔接教材：不是要急于学习高一的新课本，而是将一些初中应该提高与拓展的部分进行巩固。目前初高中数学衔接教学存在的三个误区： 误区之一：衔接课程讲授大量的高一新知识，衔接课变成了新课。 误区之二：衔接课程讲授大量的初中竞赛内容，衔接课变成了竞赛培训课。 误区之三：衔接课程仅仅是巩固初中知识，衔接课变成了复习课。 数学语言更抽象了思维方法更理性了王老师提醒，高中数学和初中有很大不同： 一是数学语言在抽象程度上突变：历来学生都反映，集合、映射等概念难以理解，离生活很远，似乎很“玄”。 二是思维方法向理性层次跃迁：数学语言的抽象化对思维能力提出了更高的要求。 三是知识内容的整体数量剧增，加之时间紧、难度大，这样，不可避免地造成学生不适应高中数学学习，而影响成绩的提高。 王老师建议同学们做好课后的复习工作，理解新旧知识的内在联系，学会对知识结构进行梳理. 二八学习法初高中衔接教材系列的三大优势： 1.针对性强：内容衔接，复习已学过的内容，预习新学期学习的内容，温故知新。 2.新颖性强：通过《二八学习法讲义》掌握高效学习方法，并通过二八学习法视频加深对二八学习法的理解，并将掌握的方法运用于学习之中。资料部分，内容新颖，知（知识）、能（能力）、思（思考方法）并重，讲、练、评一体化。 3.实用性强：二八学习法讲义+视频讲解+资料（读和练）三维一体，相得益彰，高效学习，效率惊人！ 初中名师家教、高中名师家教、初高中衔接教材 产品类别内容（二八学习法讲义+DVD光盘+资料） 秋季开学新初一版语、数、英三科 秋季开学新初二版语、数、英三科 秋季开学新初三版语、数、英、理四科 秋季开学新高一版语、数、英、理、化五科 秋季开学新高二版语、数、英、理、化五科 秋季开学新高三版语、数、英、理、化五科 二八学习法，是指引学习方向的学习方略，方向正确，事半功倍，相信二八学习法会给你的学习带来神奇的效果！ 二八学习法五大系列产品是：名师家教、同步导学、复习指南、模法解题、试题分析 足不出户尽享名师家教 单科提分20-30分
初高中数学衔接研究报告
初高中数学衔接研究报告
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初高中数学衔接教学的实验与研究研究报告 平舆县第一高级中学“初高中数学衔接教学的实验与研究”课题组 执笔人:韩雨濛 摘要: 国家教委在八十年代对初中数学教学要求和内容的调整,较大地降低了有关知识的要求，造成了初、高中数学教学的较为严重的脱节。从高一数学老师的现状看:各校大部分是教学不足5年的青年教师,有学历,有热情,但对高一数学教材不熟悉,对初中数学教材知之更少,他们急需要有一个学习、了解初高中数学数学教材的衔接与初高中教学的差异,以便于更好的组织教学，使学生更快适应高中、 一、问题的提出 1．学生升入高中学习之后，无论选择理科或者文科的学习，数学课程都是必须继续学习的课程之一。初高中数学教学内容上有很强的延续性,初中数学是高中数学学习的基础,高中数学是建立在初中数学基础上的延续与发展,在教学内容上、思想方法上，均密切相关。因此，从教学内容、数学思想方法上，理顺初高中数学之间的关系，进而在高中刚开始阶段强化初高中衔接点的教学,为学生进一步深造打下基础,是高中数学教学必须研究的重要课题。 2．初高中数学教学衔接研究，主要从初高中数学教学内容、基本的数学思想方法、新课程标准对数学教学的要求，试图找出初高中数学教学衔接的相关关
键点，从而为高中数学教学提出有用的建议，让高一学生尽快适应高中数学，从而进行有效的学习。 3．近年来初高中数学教学衔接作为“初高中教学衔接”这一宏观课题,在很多地方被人们提及，一些教育科研部门也作过尝试,试图寻找其间的规律与共性，但大多是从教学内容上进行简单地分类研究，也没有作为专项课题进行研究。因为这一课题将直接影响学生高中数学学习的效果,因此有进行全面研究的重要价值。 二、选题目的与意义 １．找出初高中数学教学衔接的相关关键点,从而为高中数学教学提出有用的建议,为学生适应高中数学学习进行有效地定位。 2．从教学内容、数学思想方法上，理顺初高中数学之间的关系，进而在高中初期阶段强化初高中衔接点的教学,为学生进一步深造打下基础。 3.为学生有效适应高中阶段的数学学习打好基础,提高教师对新课程理念以及学科课程目标的全面、深刻地理解; 三、课题研究目标 １、通过研究,促使教师从研究的视角来审视初高中数学衔接问题,在课堂教学中更多地关注学生的这一学习主体。反思自身的教学思想和教学行为。寻找初高中数学教材的知识衔接,结合旧知识,寻找新知识的结合点和突破点，充分发挥数学本身所具有的激发、推动学生学习的动力。
初高中数学衔接知识点总结讲课稿
初高中数学衔接读本 数学是一门重要的课程，其地位不容置疑，同学们在初中已经学过很多数学知识，这是远远不够的，而且现有初高中数学知识存在以下“脱节”： 1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。 2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到，如解方程、不等式等。 3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。 4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。
目录 1.1 数与式的运算 1.1.1绝对值 1.1.2 乘法公式 1.1.3二次根式 1.1.４分式 1.2 分解因式 2.1 一元二次方程 2.1.1根的判别式 2.1.2 根与系数的关系（韦达定理） 2．2 二次函数 2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质2.2.2 二次函数的三种表示方式 2.2.3 二次函数的简单应用 2.3 方程与不等式 2.3.1 一元二次不等式解法
1.1 数与式的运算 1.１.1．绝对值 1.绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 ,0,||0,0,,0.a a a a a a >??==??-
高中数学知识点大全
高中数学常用公式及常用结论 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == . 3.包含关系 A B A A B B =?= U U A B C B C A ???? U A C B ?=Φ U C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+ . 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1 个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(210时，若[]q p a b x ,2∈- =，则{}m i n m a x m a x ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a =-=； []q p a b x ,2?- =，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =. (2)当a<0时，若[]q p a b x ,2∈-=，则{}m i n ()m i n (),()f x f p f q =，若
2019初高中数学衔接知识点及习题
数学 亲爱的2019届平冈学子： ?恭喜你进入平冈中学！你们是高中生了,做好了充分的准备吗?其实学好高中数学并不难，你只要有坚韧不拔的毅力，认真做题,善于总结归纳，持之以恒，相信你一定能成功。 从2016年开始，广东省高考数学试题使用全国I卷，纵观今年高考数学试题，我们发现它最大的特点就是区分度特别大,选拔性很明显,难度相比以前广东自主命题难度大大提升。打铁还需自身硬，因此，让自己变强大才是硬道理。假期发给你们的这本小册子,是为了使你们在初高中数学学习上形成较好的连续性,能有效地克服知识和方法上的跳跃,利于激发你们学习数学的兴趣。你们一定要利用好暑假，做好充分的准备工作。 这里给大家几个学数学的建议： １、记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师为备战高考而加的课外知识。记录本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题,以便今后将其补上。 2、建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来,以防再犯。争取做到:找错、析错、改错、防错。达到:能从反面入手深入理解正确东西；能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。 ３、熟记一些数学规律和数学小结论,使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。 ４、经常对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”,如表格化,使知识结构一目了然;经常对习题进行类化,由一例到一类,由一类到多类，由多类到统一;使几类问题归纳于同一知识方法。 5、阅读数学课外书籍与报刊，参加数学学科课外活动与讲座,多做数学课外题,加大自学力度,拓展自己的知识面。 6、及时复习，强化对基本概念知识体系的理解与记忆,进行适当的反复巩固,消灭前学后忘。 7、学会从多角度、多层次地进行总结归类。如:①从数学思想分类②从解题方法归类③从知识应用上分类等，使所学的知识系统化、条理化、专题化、网络化。 8、经常在做题后进行一定的“反思”，思考一下本题所用的基础知识,数学思想方法是什么,为什么要这样想,是否还有别的想法和解法，本题的分析方法与解法，在解其它问题时，是否也用到过。 9、无论是作业还是测验，都应把准确性放在第一位，通法放在第一位,而不是一味地去追求速度或技巧,这是学好数学的重要问题。 初高中数学衔接呼应版块 １.立方和与差的公式初中已删去不讲,而高中的运算还在用。 2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求,但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。 3.二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求,而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。 4.初中教材对二次函数要求较低,学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 5.二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系(韦达定理)在初中不作要求,此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容， 6．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下;左、右平移，两个函数关于原点,轴、直线的对称问题必须掌握。 7．含有参数的函数、方程、不等式,初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。 8.几何部分很多概念（如重心、垂心等)和定理(如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习,而高中都要涉及。 ９．角度问题,三角函数问题。在初中只涉及360°范围内的角，而高中是任意角。三角函数在初中也只是锐角三角函数，高中是任意角三角函数，定义的范围大大不同。同时,度量角也引进了弧度制这个新的度量办法。 10．高中阶段特别注重数学思维,数学思想方法的培养。 另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化,不利于高中知识的讲授。
人教版高中数学集合教案
1.1.1 集合 教学目标: 1、理解集合的概念和性质. 2、了解元素与集合的表示方法. 3、熟记有关数集. 4、培养学生认识事物的能力. 教学重点:集合概念、性质 教学难点:集合概念的理解 教学过程: 1、定义： 集合：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）. 元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素. 由此上述例中集合的元素是什么？ 例（1）的元素为1、3、5、7， 例（2）的元素为到两定点距离等于两定点间距离的点， 例（3）的元素为满足不等式3x-2> x+3的实数x， 例（4）的元素为所有直角三角形， 例（5）为高一·六班全体男同学. 一般用大括号表示集合，{ …}如{我校的篮球队员}，{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋}。则上几例可表示为…… 为方便，常用大写的拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员} ，B={1，2，3，4，5} 2
（1）确定性；（2）互异性；（3）无序性. 3、元素与集合的关系：隶属关系 元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?（? 也可表示为 ）两种。 如A={2，4，8，16}，则4∈A ，8∈A ，32 A. 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a 是集合A 的元素，就说a 属于集A 记作 a ∈A ，相反，a 不属于集A 记作 a ?A （或a A ） 注：1、集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q …… 元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q …… 2、“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写。 4 注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0。 （2）非负整数集内排除0的集。记作N *或N + 。Q 、Z 、R 等其它数集内排除0 的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z * 请回答：已知a+b+c=m ，A={x|ax 2+bx+c=m}，判断1与A 的关系。 1.1.2 集合间的基本关系 教学目标：1.理解子集、真子集概念； 2.会判断和证明两个集合包含关系； 3 . 理解 ”、“?”的含义； 4.会判断简单集合的相等关系； 5.渗透问题相对的观点。 教学重点：子集的概念、真子集的概念 教学难点：元素与子集、属于与包含间区别、描述法给定集合的运算 教学过程： 观察下面几组集合，集合A 与集合B 具有什么关系？ (1) A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}. (2) A={x|x>3},B={x|3x-6>0}. (3) A={正方形}，B={四边形}. (4) A=?，B={0}. ∈?∈
初中高中数学知识点
初一 第一章有理数 1．1正数和负数 1．3有理数的加减法 1．4有理数的乘除法 1．5有理数的乘方 第二章整式的加减 2．1整式 2．2整式的加减 第三章一元一次方程 3．1从算式到方程 3．2解一元一次方程（一）——合并同类项与移项3．3解一元一次方程（二）——去括号与去分母3．4实际问题与一元一次方程 第四章图形认识初步 4．1多姿多彩的图形 4．2直线、射线、线段 4．3角 第五章相交线与平行线 5.1相交线 5.2平行线及其判定 5.3平行线的性质 第六章平面直角坐标系 6.1平面直角坐标系 6.2坐标方法的简单应用 第七章三角形 7.1与三角形有关的线段 7.2与三角形有关的角 7.3多边形及其内角和 7.4课题学习镶嵌 第八章二元一次方程组 8.1二元一次方程组 8.2消元——二元一次方程组的解法 8.3实际问题与二元一次方程组 8.4三元一次方程组解法举例 第九章不等式与不等式组 9.1不等式 9.2实际问题与一元一次不等式 9.3一元一次不等式组 第十章数据的收集、整理与描述 10.1统计调查 10.2直方图
10.3课题学习从数据谈节水，设计制作长方体形状的包装纸盒。初二 第十一章全等三角形 11.1全等三角形 11.2三角形全等的判定 11.3角的平分线的性质 第十二章轴对称 12.1轴对称 12.2作轴对称图形 12.3等腰三角形 第十三章实数 13.1平方根 13.2立方根 13.3实数 第十四章一次函数 14.1变量与函数 14.2一次函数 14.3用函数观点看方程（组）与不等式 14.4课题学习选择方案 第十五章整式的乘除与因式分解 15.1整式的乘法 15.2乘法公式 15.3整式的除法 第十六章分式 16.1 分式 16.2 分式的运算 16.3 分式方程 第十七章反比例函数 17.1 反比例函数 17.2 实际问题与反比例函数 第十八章勾股定理 18.1 勾股定理 18.2 勾股定理的逆定理 第十九章四边形 19.1 平行四边形，平行四边形法则 19.2 特殊的平行四边形 19.3 梯形 19.4 课题学习重心 第二十章数据的分析 20.1 数据的代表 20.2 数据的波动 20.3 课题学习体质健康测试中的数据分析
2020最全高一数学知识点总结归纳
2020最全高一数学知识点总结归纳 高一新生刚接触到高中数学时都会很不适应，应为高中数学和以往初中和小学的数学都不一样，高中数学更加灵活多变，思维也更加广阔，而高一数学也是整个高中数学的基础，必须要学好，所以下面就是给大家带来的高一数学知识点总结，希望能帮助到大家！ 高一数学知识点总结(一) 1.进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解. 2.在应用条件时，易A忽略是空集的情况 3.你会用补集的思想解决有关问题吗? 4.简单命题与复合命题有什么区别?四种命题之间的相互 关系是什么?如何判断充分与必要条件? 5.你知道“否命题”与“命题的否定形式”的区别.
6.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则. 7.判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称. 8.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，易忽略标注该函数的定义域. 9.原函数在区间[-a,a]上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增;但一个函数存在反函数，此函数不一定单调.例如：. 10.你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗?定义法(取值,作差,判正负)和导数法 11.求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“”和“或”;单调区间不能用集合或不等式表示. 12.求函数的值域必须先求函数的定义域。 13.如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小;②解抽象函数不等式;③求参数的范围(恒成立问题).这几种基本应用你掌握了吗? 14.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗? (真数大于零，底数大于零且不等于1)字母底数还需讨论
初高中衔接数学基本知识点
初中数学与高中数学衔接紧密的知识点 1 绝对值： ⑴在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。 ⑵正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0的绝对值是0，即(0)0(0)(0)a a a a a a >??==??-?-<<； ||(0)x a a x a >>?<-或x a > 2 乘法公式： ⑴平方差公式：22()()a b a b a b -=+- ⑵立方差公式：3322()()a b a b a ab b -=-++ ⑶立方和公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+ ⑷完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+， 2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++ ⑸完全立方公式：33223 ()33a b a a b ab b ±=±+± 3 分解因式： ⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。 ⑵方法：①提公因式法，②运用公式法，③分组分解法，④十字相乘法。 4 一元一次方程：
⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。 ⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。 ⑶关于方程ax b =解的讨论 ①当0a ≠时，方程有唯一解b x a =； ②当0a =，0b ≠时，方程无解 ③当0a =，0b =时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。 5 二元一次方程组： （1）两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。 （2）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 （3）二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 （4）解二元一次方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法。 6 不等式与不等式组 （1）不等式： ①用符不等号（>、≠、<）连接的式子叫不等式。 ②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。 ③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。 ④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。 （2）不等式的解集： ①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 ②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 ③求不等式解集的过程叫做解不等式。 （3）一元一次不等式： 左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。 （4）一元一次不等式组： ①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一
高一数学知识点总结归纳5篇最新
高一数学知识点总结归纳5篇最新 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{…}如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 注意：常用数集及其记法：https://www.360docs.net/doc/4d7073659.html, 非负整数集(即自然数集)记作：N 正整数集：N_或N+ 整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R 1)列举法：{a,b,c……} 2)描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合{x?R|x-3>2},{x|x-3>2} 3)语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4)Venn图:
4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意：有两种可能 (1)A是B的一部分，; (2)A与B是同一集合。 反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA 2.“相等”关系：A=B(5≥5，且5≤5，则5=5)实 例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等” 即： ①任何一个集合是它本身的子集。AíA ②真子集:如果AíB,且A1B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA) ③如果AíB,BíC,那么AíC ④如果AíB同时BíA那么A=B 3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 4.子集个数：
初高中数学知识衔接资料全
1.1 数与式的运算 1.１.1．绝对值 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零 的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >?? ==??--x 解法一：由01=-x ，得1=x ； ①若1--x ，即41>-x ，得3--x ， 即5>x 又1≥x ∴ 5>x 综上所述，原不等式的解为3-x 。 解法二：如图，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|PA |，即|PA |＝|x －1|； 所以4|1|>-x 的几何意义即为 |PA |＞4． 可知点P 在点C (坐标为-3)的左侧、或点P 在点D (坐标5)的右侧． ∴ 3-x 。 2、解不等式：3|2|<+x 3、│a －2│+│b －3│+│c －4│=0,则a+2b+3c 的值为多少 4. 已知│x+y+3│=0, 求│x+y │的值。 1 A -3 C x P |x －1| D
初高中数学知识点总结
七年级上册 第一章有理数（12课时） 一、正数和负数（1课时） 二、有理数（3课时） 1、有理数 2、数轴 3、相反数 4、绝对值 三、有理数的加减法（3课时） 1、有理数的加法 2、有理数的减法 四、有理数的乘除法（3课时） 1、有理数的乘法 2、有理数的除法 五、有理数的乘方（2课时） 1、乘方 2、科学记数法 3、近似数和有效数字 第二章整式的加减（4课时） 一、整式（2课时） 二、整式的加减（2课时） 第三章一元一次方程（7课时） 一、从算式到方程（2课时） 1、一元一次方程 2、等式的性质 二、解一元一次方程（一）----合并同类项与移项 （1课时） 三、解一元一次方程（二）----去括号与去分母（1 课时） 四、实际问题与一元一次方程（1课时） 第四章图形认识初步（5课时） 一、多姿多彩的图形（1.5课时） 1、几何图形 2、点、线、面、体 二、直线、射线、线段（2.5课时） 1、角 2、角的比较和运算 3、余角和补角 七年级下册 第五章相交线与平行线（4课时） 一、相交线（1课时） 1、相交线 2、垂线 二、平行线（1课时） 1、平行线 2、直线平行的条件 三、平行线的性质（1课时） 四、平移（1课时） 第六章平面直角坐标系（3课时） 一、平面直角坐标系（1.5课时） 1、有序数对 2、平面直角坐标系 二、坐标方法的简单应用（1.5课时） 1、用坐标表示地理位置 2、用坐标表示平移 第七章三角形（3课时） 一、与三角形有关的线段（1课时） 1、三角形的边 2、三角形的高、中线与角平分线 3、三角形的稳定性 二、与三角形有关的角（1课时） 1、三角形的内角 2、三角形的外角 三、多边形及其内角和（1课时） 1、多边形 2、多边形的内角和 四、镶嵌 第八章二元一次方程组（2课时） 一、二元一次方程组 二、消元 三、实际问题与二元一次方程组 第九章不等式与不等式组（5课时）
高一数学知识点总结归纳最新5篇
高一数学知识点总结归纳最新5篇 域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道： 排除了为0与负数两种可能，即对于x0，则a可以是任意实数; 排除了为0这种可能，即对于x0和x0的所有实数，q不能是偶数; 排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。 总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数; 如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。 在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。 在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。 而只有a为正数，0才进入函数的值域。 由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况. 可以看到：
(1)所有的图形都通过(1，1)这点。 (2)当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。 (3)当a大于1时，幂函数图形下凹;当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。 (4)当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。 (5)a大于0，函数过(0，0);a小于0，函数不过(0，0)点。 (6)显然幂函数无界。 高一数学知识点总结2 定义： x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。 范围： 倾斜角的取值范围是0°≤α180°。 理解： (1)注意“两个方向”：直线向上的方向、x轴的正方向; (2)规定当直线和x轴平行或重合时，它的倾斜角为0度。 意义： ①直线的倾斜角，体现了直线对x轴正向的倾斜程度; ②在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角; ③倾斜角相同，未必表示同一条直线。 公式：
2019年人教版必修一高中数学 1.1.3 集合的基本运算配套习题
1.1.3 集合的基本运算 班级:__________姓名:__________设计人__________日期 __________ 【基础过关】 1．若，，，，则满足上述条件的集合的个数为 A.5 B.6 C.7 D.8 2．已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={3,4,5}, B={1,3,6},那么集合{2,7,8}是 A.A∪B B.A∩B C.(?U A)∩(?U B ) D.(?U A)∪(?U B) 3．若集合P={x∈N|-11或x<-1},N={x|05．某班共30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱乒乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为. 6．集合A={(x,y)|x+y=0},B={(x,y)|x-y=2},则A∩B= . 7．设集合A={x|0初高中数学衔接基础知识点专题
初高中数学衔接知识点专题 临洮二中数学组董学峰 ★专题一数与式的运算 【要点回顾】 1.绝对值 [1]绝对值的代数意义: .即. [2]绝对值的几何意义: 的距离. [3]两个数的差的绝对值的几何意义:表示的距离. [4]两个绝对值不等式:;. 2.乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式: [1]平方差公式: ; [2]完全平方与公式: ; [3]完全平方差公式: . 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式: [公式1] [公式2](立方与公式) [公式3] (立方差公式) 说明:上述公式均称为“乘法公式”. 3.根式 [1]式子叫做二次根式,其性质如下: (1) ;(2) ;(3) ; (4) . [2]平方根与算术平方根的概念: 叫做的平方根,记作,其中叫做的算术平方根. [3]立方根的概念: 叫做的立方根,记为 4.分式 [1]分式的意义形如的式子,若B中含有字母,且,则称为分式.当M≠0时,分式具有下列性质: (1) ; (2) . [2]繁分式当分式的分子、分母中至少有一个就是分式时,就叫做繁分式,如, 说明:繁分式的化简常用以下两种方法:(1) 利用除法法则;(2) 利用分式的基本性质. [3]分母(子)有理化 把分母(子)中的根号化去,叫做分母(子)有理化.分母有理化的方法就是分母与分子都乘以分母的有理化因式,化去分母中的根号的过程;而分子有理化则就是分母与分子都乘以分母的有理化因式,化去分子中的根号的过程 【例题选讲】 例1 解下列不等式:(1) (2)＞4. 例2 计算: (1) (2) (3) (4) 例3 已知,求的值. 例4 已知,求的值. 例5 计算(没有特殊说明,本节中出现的字母均为正数): (1) (2) (3) (4) 例6 设,求的值. 例7 化简:(1) (2)
