量子力学课件第十一章
第十一章 散射
11.1 引言
11.1.1 经典散射理论
设想单个粒子入射到某一散射中心（比如说，一个质子撞击一个重原子核）。其入射能量为E ，碰撞参数为b ，以散射角θ出射?如图11.1所示（为了简单起见，假定靶在方位角方向是对称的，那么轨道将在一个平面上，并且靶很重，反冲可以忽略）。经典散射理论的基本问题是给定碰撞参数，计算散射角。一般来说，碰撞参数越小，散射角越大。
图11.1：经典散射问题，碰撞参数为b ，散射角为θ。
图11.2：弹性刚球散射。
例题11.1 刚球散射。假定靶是一个半径为R 的刚球，入射粒子被它弹性散射（如图11.2所示）。用α表示，碰撞参数为sin b R α=，散射角为2θπα=-，所以，
sin cos 222b R R πθθ????
=-= ? ?????
[11.1] 显然，
()12cos ,if ,
0,
if .b R b R b R θ-?≤=?≥? [11.2]
一般地，入射到横截面面积为d σ的无穷小面元内的粒子将被散射到相应的无穷小立体角d Ω内（如图11.3所示）。若d σ越大，d Ω将越大；比例系数，()/D d d θσ≡Ω，称为微分（散射）截面：
1
图11.3：入射到面积d σ内的粒子被散射到立体角d Ω内。
[11.3]
利用碰撞参数和方位角φ，d bdbd σφ=，sin d d d θθφΩ=，所以， ()θ
θθd db
b D sin =
[11.4]
(由于θ通常是关于b 的减函数，导数实际上是负的—所以要加上绝对值符号。)
例题11.2 刚球散射（续上例）。对刚球散射（例11.1）， ??
?
??-=2sin 21θθR d db [11.5] 从而，
1
这是很不恰当的用语：D 不是微分，它也不是截面。就我所知，用d σ代表名词“微分截面”更为恰当。
但是恐怕我们还得使用这个术语。我也想提醒你们注意记号D (θ)是不标准的：大多数人把它称为/d d σΩ
—这使得等式11.3看起来像是同义反复。我认为如果我们单独用一个符号来代表微分截面的话，它将会带来较少的混淆。
()()422sin sin )2cos(2
R R R D =
??
? ??=θθθθ [11.6] 这是一个比较特殊的情况，微分截面不依赖θ。
总截面是将D (θ)对立体角积分：
()Ω≡?
d D θσ [11.7]
粗略地讲，它是被靶散射的入射束的总面积。例如对刚球散射，
(
)2
2R d R πσ=Ω=?
[11.8]
可以预期，它正是球的截面面积；入射到此面积内的粒子将击中靶，而在此之外的粒子将不能击中靶。这里所给出的表达形式的实质在于它对于不能简单地说“击中或击不中”的“软”靶（比如一个原子核的库仑场）也同样适用。
最后，假定有一束入射粒子，具有均匀强度（或粒子物理学家所称的亮度）
Λ≡单位时间内通过单位面积的入射粒子数目。 [11.9] 单位时间内通过面积d σ（散射到立体角d Ω内）的粒子数目是()dN d D d σθ==ΩL L ，从而，
()1dN
D L d θ=
Ω
[11.10] 由于它只涉及实验室中容易测量的量，通常被作为微分截面的定义。如果探测器接收散射到立体角d Ω内的粒子，计录下单位时间内的粒子数目，除以d Ω，再除以亮度得到微分散射截面。
***习题11.1 卢瑟福散射。设电荷为q 1，动能为E 的入射粒子被一电荷为q 2 的静止重粒子散射。
（a ） 给出碰撞参数和散射角的关系。2 答案：120(/8)cot(/2)b q q E πεθ=。 （b ） 求出微分散射截面。答案：
()()12
2
02
16sin 2q q D E θπεθ??=????
[11.11]
（c ） 证明卢瑟福散射的总截面是无穷大。通常说1/r 势具有“无穷大作用距离”；你逃脱
不了库仑力的作用。
11.1.2 量子散射理论
在散射的量子理论中，我们设想有一列入射平面波，()ikz
z Ae ψ=，在z 方向上传播，它与一散射势相遇，产生一列出射球面波（图11.4）3。也就是说，我们要寻求具有以下通式的
2
可参考有关经典力学的书，例如：Jerry B. Marion and Stephen T. Thornton, Classical Dynamics of Particles and Systems , 4th ed., Saunders, Fort Worth, TX (1995), Section 9.10。
3
就目前来说，这里没有牵涉到很多量子力学方面的知识；我们在讨论的是波（相对于经典粒子）的
薛定谔方程的解：
()(), ikr ikz
e r A e
f r r ψθθ???≈+?????
对大的 [11.12]
（球面波项中出现因子1/r 是为了在远离散射中心处2
ψ形如1/r 2以保证几率守恒。）与通常一样，波数k 与入射粒子的能量之间的关系为：
图11.4：波散射；入射平面波产生出射球面波。
mE
k 2≡
[11.13] 像以前那样，我将假定靶关于方位角对称；不过对更一般的情况，出射球面波的振幅f 也可能依赖于φ。
图11.5：在时间dt 内通过面积d σ的入射束体积dV 。
所有问题就归结为确定散射振幅()f θ；由它可给出θ方向上的散射几率，进而与微分
散射，甚至可以把图11.4看作一幅描述水波遇到一块岩石的画面，或者（更好地三维散射的角度）一幅表示声波从一个篮球上反弹的图画。在这种情况下，我们以实函数形式写出波函数：
[cos()()cos()/]A kz f kr r θδ++
()f θ将代表被散射到θ
方向上的声波振幅。
截面相联系。以速度υ运行的入射粒子在时间dt 内通过无穷小面积d σ的几率是（图11.5）
22
incident ()dP dV A dt d ψυσ==
它等于粒子被散射到相应的立体角d Ω内的几率：
2
2
2
2scattered 2
()A
f
dP dV dt r d r ψυ==
Ω，
由此得出2
d f
d σ=Ω，从而，
()()2
θσθf d d D =Ω
≡
[11.14] 显然微分截面（实验工作者感兴趣的量）等于散射振幅（可通过求解薛定谔方程而得到）绝对值的平方。在随后的几节中我们将学习计算散射振幅的两种方法：分波法和波恩近似。
问题11.2 对一维和二维散射，构造与11.12式相对应的表达式。
11.2 分波法
11.2.1理论表述
正如我们在第四章中所发现的那样，在球对称势()V r 情况下，薛定谔方程的解可表示为：
()()()φθφθψ,,r,m l Y r R = [11.15] 其中m l Y 是球谐函数（4.32 式），()()u r rR r =满足径向方程（4.37 式）：
()()Eu u r l l m dr u d m =??
?
???+++-2
222212r V 2 [11.16] 当r 很大时势趋于零，并且离心部分贡献可以忽略，上式变为，
222
d u
k u dr
≈- 其通解为：
()ikr ikr u r Ce De -=+；
第一项代表出射球面波，第二项代表入射球面波。我们目的是求散射波，所以要求D =0。因此，当r 很大时，我们有，
()ikr
e R r r
，
这符合上一节中的物理图象（11.12 式）。
上述讨论是针对r 很大的情况（更准确地说对应1kr 的情况；光学中称为辐射区）。正如在一维散射理论中那样，我们假定势是“局域的”，即认为在有限的散射区域之外势为零（如图11.6所示）。在中间区域（此区域内V 可以忽略，但是需保留离心项），4径向方程
4
这里不适用于库仑势，因为当r →∞时，1/r 比1/r 2 更慢地趋于零，在此区域内离心项不占主导地位。
变为：
()u k u r
l l dr u d 22221-=+- [11.17] 通解（方程4.45）是球贝塞尔函数的线性组合：
()()()l l u r Arj kr Brn kr += [11.18]
然而，无论l j （它有点像正弦函数） 还是l n （它像一个余弦函数的推广）都不能表示出射波（或入射波）。我们需要的是类似于ikr
e 和ikr
e
-的线性组合；因此选择球汉克尔函数：
()
()()()1;l
l l h x j x i n x ≡+ ()()()()2l l l h x j x i n x
≡- [11.19]
图11.6：局域势散射：散射区（较暗的阴影），中间区（较亮的阴影）和辐射区（此区域内1kr ）。
表11.1：球汉克尔函数，(1)
(2)
表l
因此库仑势不是局域的，分波法不适用。
趋于/ikr
e
r ，而(2)()l h kr （第二类汉克尔函数）趋于/ikr e r -；因而对于出射波，我们需要
第一类球汉克尔函数：
()()()kr h r R l 1~ [11.20]
因此，在散射区域之外（()0V r =），波函数为： ()()()()??
?
???
??
+≡∑m l m l l m l ikz
Y kr h e
A r c ,1,,,,φθφθψ [11.21] 第一项是入射平面波，求和项（展开系数,l m C ）代表散射波。但是由于我们假定势具有球对称性，波函数不依赖于φ，5所以，仅有对应于0m =的项存在（注意m im l Y e φ ）。根据方程4.27 和4.32 ，有： (
)()0
,cos l
l Y θφθ≡
[11.22] 其中l P 为l 阶勒让德多项式。通常重新定义展开系数，令
1,0l l l C i +≡：
()()()()()?
?????
++=∑∞
=+011cos 12,l l l l l ikz p kr h a l i k e A r θθψ [11.23]
下面将会看到这种表达形式的方便之处；l a 称为第l 分波振幅。
在r 很大的情况下，汉克尔函数近似于1()/l ikr
i e
kr +-（表11.1）
，因此， ()()?
?????
+≈r e f e A r ikr ikz θθψ, [11.24]
其中，
()()()θθcos 120
l
l l p a l f ∑∞
=+=
[11.25]
从而更严格地证实了方程11.12 所假设的通式，并且告诉我们如何根据分波振幅（l a ）计算散射振幅()f θ。微分截面是： ()()()()
()()θθθθcos cos 1212'''
*'
2
l l l l l
l
p p a a l
l f D ++=
=∑∑ [11.26]
总截面是：
5
由于入射平面波定义了一个z 方向，球对称性被破坏，θ依赖性没有问题。但是方位角对称性仍然存在；
入射平面波不依赖φ，并且散射过程也不可能导致出射波依赖于φ。
()2
124l
l a
l ∑∞
=+=π
σ [11.27]
(这里对角度的积分利用了Legendre 多项式的正交性和方程4.34 。)
11.2.2 计算技巧
余下的事情是根据问题中的势能计算确定分波振幅l a 。这可通过求解内部区域（()V r 显著地不为零区域）的薛定谔方程，加上适当的边界条件使解和外部解（11.23 式）相匹配。唯一的问题是记号的混乱：在前面的表达式中，散射波用球坐标表示，而入射波用笛卡尔坐标表示。我们需要以一种统一的记号表达波函数。
ikz e 显然满足0V =时的薛定谔方程。另一方面，正如前面的讨论，0V =时的薛定谔
方程的通解可以表达为如下形式：
,,,[()()](,)m l m l
l m l l l m A
j kr B n kr Y θφ+∑
那么，以这种形式表示ikz
e 一定是可能的。但在原点处ikz
e 有限，没有合适的诺埃曼函数（()l n kr 在0r =处发散），并且由于cos z r θ=不依赖φ，只有相对于0m =的项出现。平面波用球面波展开式称为瑞利公式：6 ()()()∑∞
=+=0
cos 12l l l l ikz
p kr j l i e
θ [11.28]
利用这个公式，外部区域的波函数就可以完全以r 和θ表示： ()()()()[]
()θθψcos 12,10
l l l l l l p kr h ika kr j
l i A
r ++=??
? ?
?
∞
=∑ [11.29]
例题11.3 量子刚球散射。假定 (), ,
0,
.
r a V r r a ∞≤?=?>? [11.30]
那么边界条件为：
()0,=θψa [11.31] 所以，
()()()[]
()0cos 1210
=++??
? ?
?∞
=∑θl l l l l l p kr h ika kr j
l i [11.32] 对于所有的θ成立，由上式可以得出(习题11.3)：
6
其证明参考： George Arfken and Hans-Jurgen Weber, Mathematical Methods for Physicists , 5th ed., Academic
Press, Orlando (2000), 习题 12.4.7 和 12.4.8。
()
()()
ka kh ka j i
a l l l 1-= [11.33]
总截面为：
()()()
()∑∞
=+=0
2
12
124l l l ka h ka j l k
π
σ [11.34] 上式是精确解，但是它并不十分能直观，所以让我们考虑低能散射的极限情况：1ka （由于2/k πλ=，因而这等于说波长远大于球的半径）。从表4.4可以看出，当z 较小时，()l n z 远大于()l j z ，所以，
()()()()()1
22
11!2!212!2!2!12!2+--??
? ????
? ????? ????? ????
? ????
? ??
??????+=-+-≈-≈+=l l l
l l l l l l l l l l z l l l i l z l l z l i z n z j i z in z j z j z h z j [11.35] 因此，
4
422
0412!()21(2)!l l l l ka k
l l π
σ∞
+=??
≈??
+??
∑。 由于我们假定1ka ，较高次幂项可以忽略—在低能近似下散射由0l =的项主导（这意味着类似于经典情况中那样，微分截面不依赖于θ）。那么，对于低能刚球散射，我们有 2
4a πσ≈ [11.36] 散射截面是几何截面的四倍—事实上σ是球的表面面积。这种“增大的有效尺寸”是长波长散射所独有的特征（在光学中也是同样）；在某种意义上，这些波在整个球的周围“摸索”着前进，而经典粒子只能看到正面的截面。
习题11.3 试从等式11.32 证明[11.33]式。提示：利用Legendre 多项式的正交性来证明具有不同l 值的系数必定会分别为零。
**习题11.4 考虑下述δ-函数球壳的低能散射：
()()V r r
a αδ=- 其中α和a 是常数。计算散射振幅()f θ、微分截面()D θ以及总截面σ。假定1ka ，从而仅有0l =项的显著贡献（为简单起见，从一开始就舍去0l ≠的项）。当然主要问题就是确定0a 。以无量纲量2
2/ma βα≡ 来表示答案。 答案：2
224/(1)a σπββ=+。
11.3 相移
首先考虑在半轴0x <上一局域的势()V x 所产生的一维散射（图11.7）。在0x =处建一堵“砖墙”，因此从左边入射的一列波， ()()ikx
i x Ae x a ψ=<- [11.37]
被完全反射：
()()ikx r x Be
x a ψ-=<- [11.38]
无论在相互作用区域（0a x -<<）发生什么，由于几率守恒，反射波的振幅一定和入射波的振幅相等，但是它们的相位未必相同。如果完全没有势（仅有0x =处的墙），因为总的波函数（入射波函数加上反射波函数）在原点处必须等于零，那么B A =-：
()()
0(()0)ikx ikx
x A e e
V x ψ-=-= [11.39]
如果势不为零，波函数（对于x a <-）为如下形式：
()()()
2(()0)i kx ikx
x A e e V x δψ-=-≠ [11.40]
图11.7：右边被一堵无限高的墙约束的定域势的一维散射。
整个散射理论归结为计算相对于一给定的势的相移7δ（它是关于k 的函数，因而也是能量
22/2E k m = 的函数）。为此，我们需要在散射区域（0a x -<<），并考虑适当的边界条
件，求解薛定谔方程（见问题11.5）。用相移（相对于复振幅B ）讨论的价值在于它能阐明物理（因为几率守恒，所以势的作用就是改变反射波的相位）并且简化数学（用一个实数替换一个具有两个实数的复数）。
让我们回到三维情况。入射平面波（ikz
Ae ）不具有z 方向上的角动量（瑞利公式不含
0m ≠的项），但是它包括总角动量的所有值（0,1,2,...l =）。因为角动量守恒（球对称势），
所以每个分波（由特定的l 标记）独立地被散射，而在此过程中振幅8不变—只有相位改变。
7
在δ前面的2是约定俗成的。我们认为入射波在进来时被移相一次，在射出时又被移相一次；通常把δ看作“单程”相移，总相移就是2δ。
8
这个名词容易被混淆，其中一个原因就是几乎每个量都被叫做“振幅”：
()f θ是“散射振幅”，l a 是“分
波振幅”，但是前者是θ的函数，两者都是复数。我现在谈到的“振幅”是基于其最初的含义：一列正弦波的高度（当然是实数）。
如果在任何区域都没有散射势，那么0ikz Ae ψ=，并且第l 分波是（11.28式）：
()
()()()
021cos (()0).l l
l l Ai l j kr p V r ψθ=+= [11.41]
但是（由11.19式和表11.1可知）： ()()()()()()112111(1).22l ix l ix l l j x h x h x i e i e x x ++-????=
+≈-+?
??? [11.42]
所以，对于大r ， ()
()()
()0211cos (()0)2l
l ikr ikr l l A
e e p V r ikr ψθ-+??≈-
-=?
?
[11.43]
其中方括号中的第二项代表一列入射球面波；当我们引入散射势时它不变。第一项是出射波；它获得了相移l δ： ()
()()()[]()θψ
δcos 121221l
ikr l l kr i p e e ikr
l A
----+≈ [11.44]
这是一列收敛的球面波（由于去除了ikz
e 中的(2)l h 部分），此波被移相2l δ（见脚注7），表现为一列出射球面波（ikz
e 中的(1)l h 部分以及散射波）。
在11.2.1节中整个理论是用分波振幅l a 来表达的; 而现在, 我们用相移l δ来表达。这两种表达方式之间必定存在联系。的确, 将11.23式的渐近形式（大r 时） ()()()[]
()()??
????++--+≈-θψcos 121212l ikr l
ikr l
ikr l p e a r l e e ikr
l A [11.45]
与11.44 式比较，我们发现9
()
()l l l i i l
e k
e ik
a δδδsin 21121=-= [11.46]
将上式分别代入11.25 式和11.27 式，则
()()()()θδθδ
cos sin 1210l l l i p e l k f l ∑∞=+= [11.47]
()()∑∞
=+=0
2
2
sin 124l l
l k
δπ
σ [11.48]
我们再次看到使用相移的优点（与分波振幅相比较），它使得物理解释更清晰，而且数学更简单——用相移的表述利用了角动量守恒，从而把一个复数量l a （两个实数）替换为单个
9
虽然用波函数的渐近形式来导出l a 和l δ之间的关系，但是所得结果（[11.46] 式）是严格的。两者都是常
量（不依赖于r ），l δ代表渐近区域（在此区域内Hankel 函数趋于/ikr
e kr ±）内的相移。
实数量l δ。
习题11.5 一个质量为m ，能量为E 的粒子从左边入射到如下的势：
00, (),(), (0),, (0).x a V x V a x x <-??
=--≤≤??∞>?
(a) 如果入射波是ikx
Ae
（其中k = ），求反射波。
答案：2'cot(')'cot(')ika ikx
k ik k a Ae e k ik k a --??-?
?
+??
，其中
'k = 。 (b) 证明反射波振幅与入射波相同。
(c) 对于一个很深的势阱（0E V ），求相移δ（11.40式）。
答案：ka δ=-。
习题11.6 对于刚球散射（例题11.3），给出分波相移（l δ）。
习题11.7 对于δ—函数球壳势散射（习题11.4），求S -波（0l =）分波相移0()k δ。假定当
r →∞时，径向波函数()u r 趋于0。答案： 12
cot cot()sin ()ka
ka ka β-??-+????，其中22m a αβ≡ 。 11.4 波恩近似
11.4.1 薛定谔方程的积分形式 定态薛定谔方程，
ψψψE V m
=+?-2
22 ， [11.49] 可写为简洁的形式
Q =+?ψκ)(2
2
， [11.50] 其中
mE
k 2≡
， ψV m Q 22 ≡。 [11.51]
这与赫尔姆霍茨（helmholtz ）方程的形式相同；但是，需要注意是“非齐次”项（Q ）与ψ
有关。
定义G(r )，满足
223()()()k G δ?+=r r 。 [11.52]
则ψ可表达为如下积分：
3000()()()G Q d ψ=-?r r r r r 。 [11.53]
容易证明它满足薛定谔方程11.50:
222230003
3
000()()[()()]()()()()
k k G Q d Q d Q ψδ?+=?+-=-=??r r r r r r r r r r
G(r )称为赫尔姆霍茨方程的格林函数。（一般地，一个线性微分方程的格林函数代表对一个δ函数源的“响应”。）
下面首先求解方程11.52 得到G(r )10。利用傅里叶转换，把微分方程转化为代数方程，从而简化求解过程。令
33/21
()()(2)
i G e g d π?=
?s r r s s 。 [11.54] 则
22223
3/21()()[()]()(2)
i k G k e g d π??+=
?+?s r r s s 。 再利用
22i i e s e ???=-s r s r ， [11.55]
和（见2.144 式）
3331()(2)
i e d δπ?=
?s r r s ， [11.56] 方程11.52 可写为
223
33/2311()()(2)(2)
i i s k e g d e d ππ??-+=??s r s r s s s . 由此可得11
3/222
1
()(2)()
g k s π=
-s 。 [11.57] 将上式代回11.54 式，可得
3
322
11()(2)()
i G e d k s π?=
-?s r r s 。 [11.58]
10注意：接下来的两页是包含回路积分的复杂的分析，读者可以直接跳过这些分析看结果，即11.65式。
11
这显然是充分的，但是它也是必要的，你可以把两项并入一个积分并利用Plancherel 定理2.102式.
图11.8：[11.5]）式积分的坐标系。
在此积分中r 是固定，对s 的积分，我们选择极轴沿着r 方向的球坐标系（s,θ,φ）（如图11.8）。那么，cos sr θ?=s r ，对φ的积分很简单（其值为2π），对θ的积分为
sr
sr isr e d e
isr isr )
sin(2|sin 00
cos cos =-=?
ππ
θθ
θθ。 [11.59]
代入11.58式，可得
22222201
2sin()1sin()
()(2)4s sr s sr G ds ds r k s r k s
ππ∞∞-∞=
=--??r 。 [11.60] 剩下的积分就没有那么简单了。为此，将11.60 式中的积分项还原为指数形式，并将分
母因子化：
2122()8()()()() ().
8isr isr
i
se se G ds ds r s k s k s k s k i
I I r
ππ-∞∞-∞-∞??=-??
-+-+??=-??r [11.61]
对其中两个积分的计算可利用柯西积分公式：
?=-)(2)()
(00z if dz z z z f π， [11.62]
其中z 0位于积分回路之内（否则积分为零）。现在的积分沿着实轴向右，并且依次穿越两个奇点±k 。我们必须考虑如何绕过这两个奇异点。这里选择从上面绕过点-k ，从下面绕过点+k （如图11.9所示）。（读者也可以选择不同的积分路径，甚至多次环绕奇点，那样会得到不同的Green 函数，但可证明它们都是等价的。）
图11.9 ： 绕过奇点的积分路径（11.61 式）。
对于11.61式中的每个积分，我们必须选择适当的闭合回路使得在无穷远处半圆路径上的积分贡献为零。在1I 的被积函数中，当s 的虚部为正且趋于无穷大时因子isr
e 趋于零，因而对1I 的积分选择s 复平面内上半平面中的闭合积分回路（如图11.10（a ））。此回路仅包围奇点k s +=，所以
112isr isr ikr
s k
se se I ds i i e s k s k s k ππ=????===?
???+-+????? 。 [11.63] 在2I 的被积函数中，当s 的虚部为负且趋于负无穷大时因子isr
e
-趋于零，所以对2I 的积分
选择s 复平面内下半平面中的闭合积分回路（如图11.10（b ））; 此时回路包围奇点k s -=（并
且回路沿顺时针方向，所以有负号）：
212isr isr ikr
s k
se se I ds i i e s k s k s k ππ--=-????=-=-=-?
???-+-????? 。 [11.64] 将11.63 式和11.64 式代入11.61 式，得：
()()2()84ikr ikr
ikr
i
e G i e i e r r
ππππ??=--=-??r 。 [11.65] 这就是赫尔姆霍茨方程的格林函数?即方程11.52的解。（也可以通过进行微分来验证
这个结果?见习题11.8.）。或者说这只是赫尔姆霍茨方程的一个格林函数，因为我们可以对G(r )加上满足如下齐次赫尔姆霍茨方程的任一函数G 0(r )：
220()()0k G ?+=r ； [11.66]
结果时（G+G 0）仍满足方程11.52。这种不确定性来源于积分绕过奇点的选择方式的不唯一性?不同的选择给出不同的0()G r 。
图11.10： 11.63 和11.64式中的闭合积分回路。
再回到11.53式，薛定谔方程的一般解就可写为
||3
000020()()()(),2||
ik m e V d ψψψπ-=--?0r r r r r r r r r [11.67] 其中0ψ满足自由粒子薛定谔方程
220()0k ψ?+=。 [11.68]
11.67式是薛定谔方程的积分形式；它完全等价于所熟悉的微分形式。初看起来11.67式好
像是薛定谔方程(对任何给定势)的显式解?这好的不敢令人相信. 不要上当, 其实等式右边的积分中仍含有ψ，因而不能直接进行积分, 除非你知道解。尽管如此，这一积分形式非常有用，下面将看到它特别适用于求解散射问题。
习题11.8 用直接代入法验证11.65 式满足方程11.52。提示：23(1/)4()r πδ?=-r 。12
**习题11.9 证明：对于适当的V 和E ，氢原子基态（4.80式）满足积分形式薛定谔方程（注
意E 为负值，所以k i κ=, 其中κ≡ ）。
11.4.2 一级波恩近似
假设V （r 0）是在0=0r 附近的局域势（就是说，该势在某个有限区域之外为0，这在散射问题中很常见。），我们想要计算在远离散射中心处的ψ(r )。 那么，在11.67式中对积分有贡献的所有区域有|r |>>|r 0|，所以
222200002||212r r r r ??
?-=+-??- ??
?r r r r r r ， [11.69]
12
见 D. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 3rd ed. (Prentice Hall, Upper Saddle River,NJ,1999),Section
1.5.3
因而
00
||r r -?-?r r r 。 [11.70] 令
;kr
≡k ； [11.71] 从而
00||ik i ikr e e e --??r r k r ， [11.72]
00
||0||ik ikr i e e e
r
--??-r r k r r r 。 [11.73] （对分母我们可取近似r -?0r r ; 在指数因子中我们需保留到下一项。其合理性可以通过在分母的展开式中也写出下一项，然后做r 0/r 的幂级数展开，仅保留最低阶项而得到验证。）
在散射问题中，用
0()ikz Ae ψ=r ， [11.74]
表示入射平面波，对于较大的r ，有
03
0002
()()()2ikr i ikz
m e r Ae e V d r ψψπ-??-?
k r r r r 。 [11.75] 与标准形式（11.12式）对比，我们可以得到散射振幅：
??--
=03
002)()(2),(0r d r r V e A
m f r ik ψπφθ 。 [11.76] 到目前为止, 推导都是严格的。现在我们引入波恩近似：假设在散射过程中入射平面波没有
被势场严重改变，则在上式积分中可令
'
000()()ikz i r r Ae Ae ψψ?≈==k r , [11.77]
其中
'kz
≡k ， [11.78]
（如果V 为零，则11.77式是一个精确波函数；这里本质上是一个弱势场近似13。）在波恩近似下，有
'0()3
002(,)()2i r m f e V d θφπ-?=-
?k k r r
。 [11.79]
13
一般地，分波分析法适用于入射粒子具有较低能量的情形，因为这时只有前几项的贡献是主要的；波恩
近似适用于弱势场(与入射能量相比而言)，从而偏转不大的情形。
图11.11 波恩近似中的两个波矢量：k '指向入射方向，k 指向散射方向。
（按照k '和k 的定义，它们量值k 相同，但是前者是指向入射束流的方向，而后者是指向探测器的方向—如图11.11所示；'()-k k 是散射过程中的动量转移。）
特别地，对于低能散射（长波），在整个散射区域指数因子基本上不变，从而波恩近似可简化为：
3
2(,)()2m f V d θφπ=-
?r r
，(低能情形)。 [11.80] （其中积分中省略了r 的下标, 这不会引起混淆。）
低能软球散射。设
?
?
?>≤=.,0,
,)(0a r a r V r V [11.81] 在低能情况下，散射振幅为
??
?
??-
?302342),(a V m f ππφθ ， [11.82] （与θ和φ无关），微分截面为
2
2302
32||???
? ???=Ω a m V f d d σ， [11.83] 总截面为
2
230324???
? ??? a m V πσ。 [11.84]
在球对称势的情况下，V(r )=V(r)，对不是低能的情形，波恩近似也可以约化简洁的形
式。定义：
κ≡k '-k ， [11.85]
在对r 0的积分中取球坐标的极轴沿着κ的方向，从而
(k '-k )?r 0= κ r 0 cos θ0 [11.86]
14
波恩近似不适用于刚球散射（V 0=∞）, 积分发散。我们所做的假设中关键点在于弱势场，从而在散射区
波函数没有大的改变。但是，对于刚球散射情形，进入散射区波函数由
ikz Ae 变为零。
那么
?-
?00002
00cos 2sin )(2)(00φθθπθθd d dr r r V e m f ikr 。 [11.87] 其中对φ0的积分很简单，值为2π；对θ0的积分参照11.59式。省略r 的下标，上式变为：
?
∞
-
?0
2)sin()(2)(dr r r rV m f κκ
θ ，（球对称势情形）。 [11.88]
其中f 对角度的依赖包含在κ中；由图11.11，可知
κ=2ksin(θ/2) 。 [11.89]
================================================================== 例题11.5 汤川散射。汤川势（原子核内部束缚力的一个粗略模型）具有以下形式
r
e r V r
μβ-=)(， [11.90]
其中β和μ是常数。波恩近似给出
)
(2)sin(2)(2220
2
κμβ
κκ
β
θμ+-
=-??
∞
- m dr r e m f r 。 [11.91]
（在习题11.11中，要求计算该积分。）
================================================================== 例题11.6 卢瑟福散射。若令0214/πεβq q =，μ=0，则汤川势变为库伦势，描述两个点电荷之间的电相互作用。显然，散射振幅为
2
202
142)(κπεθ q mq f -
?， [11.92]
或（根据11.89和11.51式）
()()2sin 16202
1θπθE q q f ε-
? [11.93]
微分截面为上式的平方：
()2
2
02
12sin 16??
????=ΩθπσE q q d d ε [11.94] 上式正是卢瑟福公式（11.11式）。非常巧合，用库仑势，经典力学、波恩近似和量子场论都得到了相同的结果。用计算机行业界人士的话说，卢瑟福公式惊人的“强壮”。
*习题11.10 对于任意能量的软球散射，求出波恩近似下的散射振幅。证明所得结果在低能情况下变为11.82式。
习题11.11 计算11.91式中的积分，验证右边的表达式。
**习题11.12 在波恩近似下，计算汤川势散射的总截面，并将结果表达为E 的函数。
*习题11.13 对于习题11.4中的势，
（a ）在低能波恩近似下，计算()f θ，()D θ和σ； （b ）利用波恩近似，计算任意能量情况下的()f θ； （c ）证明所得结果在适当的范围与问题11.4的答案一致。
11.4.3 波恩级数
波恩近似的精神类似于经典散射理论中的冲量近似。在冲量近似中我们先假定粒子沿直线运动（如图11.12所示），然后计算传递给粒子的横向冲量：
dt F I ?⊥= [11.95]
图11.12：冲量近似中先假定粒子不被偏转，然后计算传递的横向动量。
如果偏转相对较小，此横向冲量就是传递给粒子的横向动量的一个很好的近似，从而散射角为
()p I 1tan -?θ [11.96]
其中p 是入射粒子动量。这可以说是“一阶”冲量近似（零阶近似就是我们最初考虑的情况：完全没有偏转）。同样地，在零阶波恩近似中入射平面波没有任何改变地穿过，我们在上一小节中所讨论的情况正是对此的一阶修正。 但是，按照同样的思路进行迭代能够得到一系列高阶修正，可以推测它将收敛于精确解。
薛定谔方程的积分形式可写为：
()()()()
()0000r r r r r r r 30d V g ψψψ?
-+= [11.97] 其中0ψ为入射波，
()r
e m g ikr
22 π-≡r [11.98]
为格林函数（为方便起见，这里合并了因子2
2/m ），V 是散射势。用简单的符号表示为
量子力学教程课后习题答案
量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)()(5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλ λρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ
? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=h v ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ
量子力学曾谨言习题解答第十一章
第十一章：量子跃迁 [1] 具有电荷q 的离子，在其平衡位置附近作一维简谐振动，在光的照射下发生跃迁，入射光能量密为)(ωρ，波长较长，求： （1）跃迁选择定则。 （2）设离子处于基态，求每秒跃迁到第一激发态的几率。 （解）本题是一维运动，可以假设电磁场力的方向与振动方向一致。 （1）跃迁选择定则： 为确定谐振子在光照射下的跃迁选择定则，先计算跃迁速率，因为是随时间作交变的微扰，可以用专门的公式（12）（§11.4，P396） )(34/ /'2 22 2 k k k k k k r q W ωρπ→ = （1） 式中2 ' → k k r 应理解为谐振子的矢径的矩阵元的平方和，但在一维谐振子情形，→ k k r / 仅有一项 2 /k k x )(34/ /'2 22 2 k k k k k k x q W ωρπ = （2） 根据谐振子的无微扰能量本征函数来计算这矩阵元 dx x k k k ? ∞ ∞ -= ) 0(' /ψ （3） 式中)(2 )(!)0(ax H k a x k k k πψ = ， μω= a ~446~ 要展开（3）式，可以利用谐振子定态波函数的递推公式： }2 12 { 1 )0(1 )0(1 )0(+-++ = k k k k k x ψ ψ α ψ （4） 代入（3），利用波函数的正交归一化关系： mn n x n dx δψ ψ =?)0(* )0( dx k k x k k k k k ? ∞ ∞ -+-++ ? = }2 12 { 1 )0(1 )0(1 *)0(' 'ψ ψ α ψ
1 ,1 ,' ' 2 112 1+-++ = k k k k k k δα δα （5） 由此知道，对指定的初态k 来说，要使矢径矩阵元（即偶极矩阵元）不为零，末态'k 和初态k 的关系必需是： ,1' -=k k 这时2 1,1' k k x x k k k α= =- （6） ,1' +=k k 这时2 11 ,1'+= =+k k x x k k k α 因得结论：一维谐振子跃迁的选择定则是：初态末态的量子数差数是1。 （2）每秒钟从基态0=k 跃迁到第一激发态的几率可以从（2）式和（7）式得到： )()2 11( 34102 2 2 210ωρα π q W = )(321010 2 2 2 ωρμωπ q = ~447~ [2]设有一带电q 的粒子，质量为μ，在宽度为a 的一维无限深势阱中运动，它在入射光照射下发生跃迁，波长a >>λ。 （1）求跃迁的选择定则。 （2）设粒子原来处于基态，求跃迁速率公式。 （解）本题亦是一维运动，并且亦是周期性微扰，故可用前题类似方法。 （1）跃迁选择定则： 按第三章§3.1一维无限深势阱定态波函数是：（原点取在势阱左端） a x k a x k πψsin 2)(= （1） 根据此式计算矩阵元： dx a x k x a x k a x a x k k ππsin sin 2 ' '??= ?= dx a x k k a x k k x a a x ?=+--= ' ' ])(cos )([cos 1 ππ 利用不定积分公式： 2 cos sin cos p px x p px pxdx x x + ?= ? (2)
第一章 量子力学基础知识
《结构化学基础》 讲稿 第一章 孟祥军
第一章 量子力学基础知识 （第一讲） 1.1 微观粒子的运动特征 ☆ 经典物理学遇到了难题： 19世纪末，物理学理论（经典物理学）已相当完善： ? Newton 力学 ? Maxwell 电磁场理论 ? Gibbs 热力学 ? Boltzmann 统计物理学 上述理论可解释当时常见物理现象，但也发现了解释不了的新现象。 1.1.1 黑体辐射与能量量子化 黑体：能全部吸收外来电磁波的物体。黑色物体或开一小孔的空心金属球近似于黑体。 黑体辐射：加热时，黑体能辐射出各种波长电磁波的现象。 ★经典理论与实验事实间的矛盾： 经典电磁理论假定：黑体辐射是由黑体中带电粒子的振动发出的。 按经典热力学和统计力学理论，计算所得的黑体辐射能量随波长变化的分布曲线，与实验所得曲线明显不符。 按经典理论只能得出能量随波长单调变化的曲线： Rayleigh-Jeans 把分子物理学中能量按自由度均分原则用到电磁辐射上，按其公式计算所得结果在长波处比较接近实验曲线。 Wien 假定辐射波长的分布与Maxwell 分子速度分布类似，计算结果在短波处与实验较接近。 经典理论无论如何也得不出这种有极大值的曲线。 ? 1900年，Planck （普朗克）假定： 黑体中原子或分子辐射能量时作简谐振动，只能发射或吸收频率为ν, 能量为 ε=h ν 的整数倍的电磁能，即振动频率为 ν 的振子，发射的能量只能是 0h ν，1h ν，2h ν，……，nh ν（n 为整数）。 ? h 称为Planck 常数，h ＝6.626×10－34J ?S ? 按 Planck 假定，算出的辐射能 E ν 与实验观测到的黑体辐射能非常吻合： ●能量量子化：黑体只能辐射频率为 ν ，数值为 h ν 的整数倍的不连续的能量。 能量波长 黑体辐射能量分布曲线 () 1 /81 3 3 --= kt h c h e E ννπν
量子力学第一章习题答案
第一章 1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律： 能量密度极大值所对应的波长λm 与温度T 成反 比，即λm T = b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到两位有效数字。 解：黑体辐射的普朗克公式为：) 1(833 -=kT h e c h ν νν πρ ∵ v=c/λ ∴ dv/dλ= -c/λ2 又 ∵ ρv dv= -ρλdλ ∴ ρλ=-ρv dv/dλ=8πhc/[λ5(e hc/λkT -1)] 令x=hc/λkT ,则 ρλ=8πhc(kT/hc)5x 5/(e x -1) 求ρλ极大值，即令dρλ(x)/dx=0，得： 5(e x -1)=xe x 可得： x≈4.965 ∴ b=λm T=hc/kx ≈6.626 *10-34*3*108/(4.965*1.381*10-23) ≈2.9*10-3（m K ） 1.2√. 在0 K 附近，钠的价电子能量约为3电子伏，求其德布罗意波长。 解： h = 6.626×10-34 J ·s , m e = 9.1×10-31 Kg,， 1 eV = 1.6×10-19 J 故其德布罗意波长为： 07.0727A λ=== 或λ= h/2mE = 6.626×10-34/(2×9.1×10-31×3×1.6×10-19)1/2 ≈ 7.08 ? 1.3 √.氦原子的动能是E= 32 KT （K B 为波尔兹曼常数），求T=1 K 时，氦原子的德布罗意波长。 解：h = 6.626×10-34 J ·s , 氦原子的质量约为=-26-2711.993104=6.641012 kg ???? , 波尔兹曼常数K B =1.381×10-23 J/K 故其德布罗意波长为： λ = 6.626×10-34/ (2×-276.6410?×1.5×1.381×10-23×1)1/2 ≈0 1.2706A 或λ= 而KT E 23 =601.270610A λ-==? 1.4利用玻尔-索末菲量子化条件，求： a ） 一维谐振子的能量： b ） 在均匀磁场作圆周运动的电子轨道的可能半径。 解： a ）解法一：设一维谐振子的质量为m ，广义坐标为 q=Acos(ωt+φ) 根据玻尔—索末菲量子化条件 ∮pdq = nh 得：∮m(dq/dt)dq = m ωA 2∮sin 2θd θ=m ωA 2π=nh ∴ A 2 =nh/(πm ω)=2nh/m ω (其中h=h/2π) 又 ∵ 一维谐振子的周期 T =2π(m/k)0.5
量子力学第一章课外练习题
第一章绪论 一、填空题 1、19２3年，德布洛意提出物质波概念,认为任何实物粒子，如电子、质子等,也具有波动性，对于质量为1克，速度为１米／秒的粒子，其德布洛意波长为 (保留三位有效数字)。 2、自由粒子的质量为m,能量为E,其德布罗意波长为_＿__＿____＿__＿___＿（不考虑相对论效应）。 3、写出一个证明光的粒子性的实验＿_＿___＿___＿___＿_________＿_。 4、爱因斯坦在解释光电效应时,提出概念。 5、德布罗意关系为（没有写为矢量也算正确）。 ７、微观粒子具有二象性。 8、德布罗意关系是粒子能量E、动量P与频率、波长之间的关系,其表达式为。 9、德布罗意波长为λ，质量为m的电子,其动能为＿___ _ 。 １0、量子力学是的理论。 1１、历史上量子论的提出是为了解释的能量分布问题。用来解释光电效应的爱因斯坦公式为。 12、设电子能量为4电子伏,其德布罗意波长为 nm。 1３、索末菲的量子化条件为，应用这个量子化条件可以 E。 求得一维谐振子的能级= n 14、德布罗意假说的正确性,在19２７年为戴维孙和革末所做的子衍射实验所证实,德布罗意关系(公式)为和。 15、1923年，德布洛意提出物质波概念,认为任何实物粒子，如电子、质子等，也具有波动性。根据其理论,质量为μ,动量为ｐ的粒子所对应的物质波的频率为 ,波长为。若对于质量为1克，速度为1米/秒的粒子，其德布洛意波长为（保留三位有效数字）。 16、1923年, 提出物质波概念,认为任何实物粒子,如
电子、质子等，也具有波动性，对于经过电压为1０0伏加速的电子，其德布洛意波长为（保留三位有效数字）。 二、选择题 1、利用提出的光量子概念可以成功地解释光电效应。 A．普朗克 B. 爱因斯坦 C. 玻尔 D. 波恩 2、192７年和等人所做的电子衍射试验验证了德布洛意的物质波假设。 Ａ. 夫兰克赫兹 B. 特恩革拉赫 C. 戴维逊盖末 D. 康普顿吴有训 ３、能量为０．1eＶ的自由中子的德布罗意波长为 A. 0.92? B.1.2３? C. １2．6 ? D.０.17 ? ４、一自由电子具有能量1５0电子伏,则其德布罗意波长为 A.1 A B．15 A C.10 AＤ．1５0 A 5、普朗克在解决黑体辐射时提出了。 Ａ、能量子假设Ｂ、光量子假设 Ｃ、定态假设 D、自旋假设 ６、证实电子具有波动性的实验是。 Ａ、戴维孙——革末实验Ｂ、黑体辐射 C、光电效应 D、斯特恩—盖拉赫实验 7、1９00年12月发表了他关于黑体辐射能量密度的研究结果,提出原子振动能量假设，第一个揭示了微观粒子运动的特殊规律：能量不连续。 Ａ. 普朗克Ｂ．爱因斯坦 C. 波尔Ｄ. 康普顿８、普朗克量子假说是为解释 (A) 光电效应实验规律而提出来的 (B) X射线散射的实验规律而提出来的 (C) 黑体辐射的实验规律而提出来的 (D) 原子光谱的规律性而提出来的 ９、康普顿效应的主要特点是
第一章量子力学基础和原子轨道报告
第一章 量子力学基础与原子结构 一、单项选择题（每小题1分） 1．一维势箱解的量子化由来（ ） ① 人为假定 ② 求解微分方程的结果 ③ 由势能函数决定的 ④ 由微分方程的边界条件决定的。 2．下列算符哪个是线性算符（ ） ① exp ② ▽2 ③ sin ④ 3．指出下列哪个是合格的波函数(粒子的运动空间为 0+)（ ） ① sinx ② e -x ③ 1/(x-1) ④ f(x) = e x ( 0 x 1); f(x) = 1 ( x 1) 4．基态氢原子径向分布函数D(r) ~ r 图表示（ ） ① 几率随r 的变化 ② 几率密度随r 的变化 ③ 单位厚度球壳内电子出现的几率随r 的变化 ④ 表示在给定方向角度上，波函数随r 的变化 5.首先提出微观粒子的运动满足测不准原理的科学家是（ ） ①薛定谔 ② 狄拉克 ③ 海森堡 ③波恩 6．立方势箱中22 810m a h E <时有多少种状态（ ） ① 11 ② 3 ③ 7 ④ 2 7.立方势箱在22 812m a h E ≤的能量范围内，能级数和状态数为（ ） ①5，20 ② 6，6 ③ 5，11 ④ 6，17 8．下列函数哪个是22 dx d 的本征函数（ ） ① mx e ② sin 2x ③ x 2+y 2 ④ (a-x)e -x 9．立方势箱中22 87m a h E <时有多少种状态（ ） ① 11 ② 3 ③ 4 ④ 2 10．立方势箱中22 89m a h E <时有多少种状态（ ） ① 11 ② 3 ③ 4 ④ 2 11.已知x e 2是算符x P ?的本征函数，相应的本征值为（ ） ① i h 2 ② i h 4 ③ 4ih ④ πi h
量子力学课件第十一章
第十一章 散射 11.1 引言 11.1.1 经典散射理论 设想单个粒子入射到某一散射中心（比如说，一个质子撞击一个重原子核）。其入射能量为E ，碰撞参数为b ，以散射角θ出射?如图11.1所示（为了简单起见，假定靶在方位角方向是对称的，那么轨道将在一个平面上，并且靶很重，反冲可以忽略）。经典散射理论的基本问题是给定碰撞参数，计算散射角。一般来说，碰撞参数越小，散射角越大。 图11.1：经典散射问题，碰撞参数为b ，散射角为θ。 图11.2：弹性刚球散射。 例题11.1 刚球散射。假定靶是一个半径为R 的刚球，入射粒子被它弹性散射（如图11.2所示）。用α表示，碰撞参数为sin b R α=，散射角为2θπα=-，所以，
sin cos 222b R R πθθ???? =-= ? ????? [11.1] 显然， ()12cos ,if , 0, if .b R b R b R θ-?≤=?≥? [11.2] 一般地，入射到横截面面积为d σ的无穷小面元内的粒子将被散射到相应的无穷小立体角d Ω内（如图11.3所示）。若d σ越大，d Ω将越大；比例系数，()/D d d θσ≡Ω，称为微分（散射）截面： 1 图11.3：入射到面积d σ内的粒子被散射到立体角d Ω内。 [11.3] 利用碰撞参数和方位角φ，d bdbd σφ=，sin d d d θθφΩ=，所以， ()θ θθd db b D sin = [11.4] (由于θ通常是关于b 的减函数，导数实际上是负的—所以要加上绝对值符号。) 例题11.2 刚球散射（续上例）。对刚球散射（例11.1）， ?? ? ??-=2sin 21θθR d db [11.5] 从而， 1 这是很不恰当的用语：D 不是微分，它也不是截面。就我所知，用d σ代表名词“微分截面”更为恰当。 但是恐怕我们还得使用这个术语。我也想提醒你们注意记号D (θ)是不标准的：大多数人把它称为/d d σΩ —这使得等式11.3看起来像是同义反复。我认为如果我们单独用一个符号来代表微分截面的话，它将会带来较少的混淆。
量子力学(周世勋)课后答案-第一二章
量子力学课后习题详解 第一章 量子理论基础 1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ， （1） 以及 λνc =， （2） ||λνρρλd d v =， （3） 有 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 如果令x=kT hc λ ，则上述方程为 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1.2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解：根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 λ h P =。 所考虑的粒子是非相对论性的电子（动能eV c m E e k 621051.0?=<<），满足 e k m p E 22 =， 因此利用非相对论性的电子的能量—动量关系式，有 在这里，利用了 m eV hc ??=-61024.1， eV c m e 621051.0?=。 最后，对 E m h e 2= λ 作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。 自然单位制： 在粒子物理学中，利用三个普适常数（光速c ，约化普朗克常数,玻耳兹曼常数 k ）来减少独立的基本物理量的个数，从而把独立的量纲减少到只有一种（能量量纲，常用单位eV ）。例：1nm=5.07/keV ，1fm=5.07/GeV ， 电子质量m=0.51MeV . 核子（氢原子）质量M=938MeV ，温度5 18.610K eV -=?.
量子力学曾谨言第十章第十一章习题答案
第十章：散射问题 [1]用玻恩近似法，求在下列势场中的散射微分截面： （1） a r a r V r V >a (3) r e r V ar -=β )( )0(>a (4) ar e V r V -=0)( )0(>a (5) 2 )(r a r V = (解) （1）先列出玻恩近似法的基本公式。根据理论，如果散射粒子所在的势场是)(r V 。粒子质量是μ，粒子的波数是k （因是弹性散射，在散射前后都用此文字表示，它与能量E 的关系是2 2 2 E k μ= ）散射角度是θ，而)(θq 表示以下参数： 2 sin 2)(θ θk q = （1） 则与散射方向θ对应的散射振幅用下述一维定积分计算 ? ∞ ??-= 2 sin )(2)(dr r qr r V q f μθ （2） 是为玻恩的散射振幅公式一般适用于高能量散射，若)()(0a r V r V <-= 代入（2）： ? ??= a dr r qr q V f 0 2 0sin 2)( μθ 利用积分公式 qx q x qx q qxdx x cos sin 1sin 2 - = ? 于前一式，注意上下限为a 和0。 )c o s s i n (2)(2 20q qa a q qa q V f --= μθ （3） 微分截面：
2 2 2 4 2 022 )c o s s i n ( 4) ()(q qa a q qa q V f - = = μθθσ ~400~ 第十一章：量子跃迁 [1] 具有电荷q 的离子，在其平衡位置附近作一维简谐振动，在光的照射下发生跃迁，入射光能量密为)(ωρ，波长较长，求： （1）跃迁选择定则。 （2）设离子处于基态，求每秒跃迁到第一激发态的几率。 （解）本题是一维运动，可以假设电磁场力的方向与振动方向一致。 （1）跃迁选择定则： 为确定谐振子在光照射下的跃迁选择定则，先计算跃迁速率，因为是随时间作交变的微扰，可以用专门的公式（12）（§11.4，P396） )(34/ /'2 22 2 k k k k k k r q W ωρπ→ = （1） 式中2 ' → k k r 应理解为谐振子的矢径的矩阵元的平方和，但在一维谐振子情形，→ k k r / 仅有一项 2 /k k x )(34/ /'2 22 2 k k k k k k x q W ωρπ = （2） 根据谐振子的无微扰能量本征函数来计算这矩阵元 dx x k k k ? ∞ ∞ -= ) 0(' /ψ （3） 式中)(2 )(!) 0(ax H k a x k k k πψ= ， μω= a ~446~ 要展开（3）式，可以利用谐振子定态波函数的递推公式： }2 12 { 1 )0(1 )0(1 )0(+-++ = k k k k k x ψ ψ α ψ （4） 代入（3），利用波函数的正交归一化关系： mn n x n dx δψ ψ =?)0(* )0(
医用物理(第二版)第11章量子力学详解
习题 11–1 夜空中最亮的恒星为天狼星，测得其峰值波长为290nm ，其表面温度是多少北极星的峰值波长为350nm ，其表面温度又是多少 11–2 热核爆炸时火球的瞬时温度可达×107 K ，求辐射最强的波长（即峰值波长）及该波长光子的能量． 11–3 人体的辐射相当于黑体辐射，设某人体表面积为1.5m 2 ，皮肤温度为34℃，所在房间的温度为25℃，求人体辐射的净功率． 11–4 频率为×1014 Hz 的单色光入射到逸出功为 eV 的钠表面上，求：（1）光电子的最大初动能和最大初速度，（2）在正负极之间施加多大的反向电压（—遏止电压）才能使光电流降低为零 11–5 钠的逸出功为 eV ，求：（1）从钠表面发射光电子的临界频率和临界波长是多少（2）波长为680nm 的橙黄色光照射钠能否产生光电效应 11–6 在理想条件下，正常人的眼睛接收到550 nm 的可见光时，每秒光子数达100个时就有光感，求与此相当的功率是多少 11–7 太阳光谱中的D 线，即钠黄光波长为，求相应光子的质量及该质量与电子质量的比值． 11–8 根据玻尔理论计算氢原子巴耳末系最长和最短谱线的波长、及相应光子的频率、能量、质量和动量． 11–9 一电子显微镜的加速电压为 kV ，经过该电压加速的电子的德布罗意波波长是多少 11–10 光子和电子的德布罗意波波长都是，它们的动量、能量分别是多少 11–11 镭的衰变过程中，产生两种粒子，一种为 1 （％），另一种为 2 （％），已知粒子的 质量为 10-27 kg ，求这两种粒子的速度和德布罗意波波长． 11–12 粒子在宽度为a 的一维无限深势阱中，标准化的波函数为x a n a x n π sin 2)(= ψ（n ＝1，2，3，…），求：（1）基态波函数的概率密度分布，（2）何处概率密度最大，最大概率密度是多少 11–13 氢原子基态波函数为0/-3 100e π1 )(a r a r =ψ，求最可几半径． 11–1 夜空中最亮的恒星为天狼星，测得其峰值波长为290nm ，其表面温度是多少北极星的峰值波长为350nm ，其表面温度又是多少
第十一章 多体理论
第11章 多体理论 §11.1 多体理论概述 §11.1.1少体问题与多体问题 众所周知，宏观世界是由许多微观客体构成的，量子理论是处理微观客体的有效工具。在一定的层次之下，按着微观粒子数目的多少可以把体系分为少体体系和多体体系。一般情况下，界定两种体系的粒子数并无十分明确的规定，通常把粒子数少于5个的体系称为为少体体系，否则为多体体系或者多粒子体系。对少体问题的研究可以提供粒子之间相互作用的信息，它是研究多体问题的基础和出发点。 在前面几章中，所处理的基本上属于单体问题，即使原本是二体问题的氢原子也被化成了单体问题来处理，它们都属于少体问题的范畴。真实的物理世界是由许多相互作用着的微观粒子构成的，多体理论就是研究如何处理这种多个相互作用着的粒子体系的理论。多体理 511
512 论在原子、分子、等离子体及原子核物理学中都得到了广泛的应用。 按着所研究对象的属性及能量大小分类： ???? ? ? ? ???????????????非相对论相对论费米子非相对论 相对论玻色子全同粒子非全同粒子 正如前面提到的，本书只涉及非相对论的内容。 §11.1.2 多体理论的基本问题 1、多体体系的哈密顿算符 设体系由N 个粒子组成，若只顾及二体相互作用，则体系的哈密顿算符为 ()()∑∑=>=+=N j i N i j i v i t H 1 1,??? （11.1.1） 其中，()i t ?是第i 个粒子的动能算符，()j i v ,?是第i 个粒子与第j 个粒子的相互作用能。第i 个粒子的动能算符可以具体写出为 ()2 2 2? i i m i t ?-= （11.1.2） 二体相互作用也可以写成 （11.1.3）
第十章～第十一章习题+解答
第十章～第十一章 1、简述定态微扰论的基本思想。 解答：量子力学体系的哈密顿算符不是时间的显函数时，通过求解定态薛定谔方程，讨论定态波函数。除少数特例外，定态薛定谔方程一般很难严格求解。求解定态薛定谔方程 时，若可以把不显函时间的分为大、小两部分 ，其中 ，即的本征值和本征函数是可以精确求解的，或已有确定的结果。 满足上述条件的基础上，常引入一个很小参数（），将微扰写成 ，以逐步近似的精神求解薛定谔方程。将能级和波函数以的幂级数展开 与称为零级近似能量和零级近似波函数，是未受微扰时的本征能量和本征函数，也是我们求解微扰问题的必备基本条件，后面各项按的幂次称为一级修正、二级修正、…。 2、非简并定态微扰论的适用条件是什么？ 解答：非简并定态微扰论的适用条件为，一是要求微扰本身应很小，二是要求能级间隔较大。 3、量子跃迁问题与定态微扰在研究目标和处理方法上有何不同? 解答：定态微扰和量子跃迁是量子力学中两个不同类型的问题，在研究目标和处理方法上都不一样。定态微扰处理定态问题，考虑加入微扰后如何求出体系总哈密顿量的本征值和本征函数的修正项，其出发点是定态薛定谔方程。量子跃迁是考虑体系在微扰作用下，波函数随时间的变化问题，是依据含时薛定谔方程具体计算量子态之间的跃迁几率问题。一般说来，这两类问题都需要运用近似方法求解。 4、设一体系未受微扰作用时有两个能级：，现在受到微扰的作用，微扰矩阵元为；都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。 解：由微扰公式得 得 ∴能量的二级修正值为
5．设一个定域电子处于沿x方向的均匀磁场中B中（不考虑电子的轨道运动），电子内禀磁矩与外磁场的作用为 设初始时刻电子自旋态为的本征态即（采用表象） 求在t时刻电子自旋态 解：体系的能量本征态，即的本征值和本征态分别为 电子自旋初态为，按，t时刻自旋态为 6．设在H0表象中，的矩阵为： 试用微扰论求能量的二级修正。（提示：先找到和微扰） 解：微扰算符的的矩阵是 （1） 根据无简并微扰论，一级能量修正量是： 从（1）中看出，对角位置的矩阵元全是零，因此一级修正量 又二级能量公式是： 所需的矩阵元已经直接由式（1）表示出，毋需再加计算，因而有： 故
量子力学(周世勋)课后答案解析-第一二章
量子力学课后习题详解 第一章 量子理论基础 1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ， （1） 以及 λνc =， （2） ||λνρρλd d v =， （3） 有 (),1 18)(| )(|| 5 2-?=?===kT hc v v e hc c d c d d dv λνλλ πλλρλ λλρλ ρρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是
要求的，具体如下： 011511 86=??? ? ? ?? -?+--?=-kT hc kT hc e kT hc e hc d d λλλλλ πλρ ? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m = λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??≈-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
量子力学第一章总结
第一章 1.量子力学:量子力学 是反映微观粒子（分子、原子、原子核、基本粒子等）运动规律的理论 2.黑体辐射：如果一个物体能够吸收投射在它上面的全部辐射而无反射，这种物体就成为绝对黑体，简称黑体。一个空腔可以看做是黑体。由这样的空腔小孔发出的辐射就是黑体辐射 3.光电效应/光电子/临界 频率 (1)光电效应:当光照射到 金属上时,有电子从金属中溢出.这种电子称为光电子 （2）实验证明，当光的频率大于一定值时，才有光电子发射出来；如果光的频率低于这个值，则不论光强多大，照射时间多长，都没有光电子产生。这个频率称为 临界频率 4.脱出功:电子克服原子核 的束缚,从材料表面逸出所需的最小能量,称为脱出功 5.光量子：电磁辐射不仅在被发射和吸收时以能量h ν形式出现，而且以这种形式以光速C 在空间中运动，这种粒子叫做光量子 或光子 6.光子动量:光子不仅具有确定的能量E = hv ，而且具有动量。光子的能量动量关系式： 7.氢原子谱线线系/里德伯 常数： 氢原子光谱有许多分立谱线组成，这是很早就发现了的。巴尔末发现紫外光附近 的一个线系，并得出氢原子谱线 的经验公式是： 其中R H =1.09677576×107m -1 是氢的Rydberg 常数 8.波尔的量子论： （1）波尔假定 （2）氢原子线光谱的解释 （3）量子化条件的推广 （4）波尔量子论的局限性 9.波尔假定： 电子在原子中不能沿着经典理论所允许的每一个轨道运动，而只能沿着其中一组特殊的轨道运动，波尔假设沿这一组特殊的轨道运动的电子处于稳定状态（简称定态），当电子保持在这种状态时，它们不吸收也不发出辐射，只有当电子 由一个定态跃迁到另一个 定态时，才会产生辐射的吸收和发射现象。电子由能量为Em 的定态跃迁到能量为En 的定态时所吸收或发射的辐射频率v 满足下面关系： V nm =[E n -E m ]/h 为了确定电子运动的可能轨道，波尔提出量子化条件：在量子理论中，角动量必须是h 的整数倍 10.波尔半径:氢原子核外电子基态轨道的半径就是波尔半径 即为波尔轨道半径 11.角动量:物体绕轴的线速度与其距轴线的垂直距离的乘积，即 L=r ×p 12,索末菲量子化条件： 索末菲将Bohr 量子化条件推广为推广后的量子化条件可用于多自由度情况， ∮p i dq i =n i h 其中p i 是广义动量,q i 是 相应的一个广义坐标， 这样索末菲量子化条件不仅能解释氢原子光谱，而且对于只有一个电子（Li ，Na ，K 等）的一些原子光谱也能很好的解释。 13.束缚态：通常把在无限远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态。（一般地说束缚态所属的能级是分立的） 14.康普顿散射:X 射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后，除了出现与入射波同样波长的散射外，还出现波长向长波方向移动的散射现象。 15.电子的康普顿波长 Δλ=2λ0sin 2 (θ/2) 其中 λ0=2πh/(m 0C)=2.4×10-10 cm 称为电子的康普顿波长 16.普朗克假定/普朗克辐射定律/普朗克常数 普朗克假定： (1)原子的性能和谐振子一样，以给定的频率v 振荡； (2)黑体只能以E = hv 为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，而不是像经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收辐射能量。 普朗克辐射定律： 普朗克常数为： h=6.62606896(33)×10-34 J ·s 通常使用h=6.63×10-34J ·s 17.德布罗意关系 假定与一定能量E 和动量P 的实物粒子相联系的波（物质波）的频率波长为： E=hv v=E/h P=h/λ λ=h/p 该关系称为德布罗意关系
量子力学第十一章习题
第十一章 量子跃迁 11-1电荷为e 的谐振子，在时间t=0时处于基态，t>0时，处于τεε/0t e -=的电场中（τ为常数），求谐振子处于第一激发态的几率。 11-2 一粒子具有电荷为e ，在宽度为a 的无限深势阱中运动，原来处于基态，在光波照耀下激发跃迁。求其跃迁几率，和跃迁选择定则。 11-3 设在时刻t=0时，氢原子处于基态，以后受到单色光的照射而电离。设单色光的电场可以近似地表示为t ωεsin 0，0ε与ω均为常数，电离后电子的波函数近似地以平面波表示。求这单色光的最小频率和在时刻t 跃迁到电离态的几率。 11-4 求线性谐振子偶极跃迁的选择定则。 11-5 基态氢原子处于平行板电场中，若电场是均匀的且随时间按指数下降，即?? ?>≥≤=-) 0(0,0,0/τεετ时当时当t e t t ，求经过长时间后氢原子处在2p 态的几率。 11-6 具有电荷q 的离子，在其平衡位置附近作一维简谐运动，在光的照射下发生跃迁。设入射光能量密度（单位频率）为)(ερ，波长较长。若离子原来处于基态，求每秒钟跃迁到第一激发态的几率。 11-7 计算氢原子由第一激发态到基态的自发跃迁几率。 11-8 计算氢原子光谱中赖曼系的第一条谱线（2P →1S ）的强度。 11-9 有一自旋1/2 ，磁矩μ，电荷为零的粒子，置于磁场B 中，),0,0(00B B = ，开始时（t=0）,粒子处于自旋“向 下”态，即1-=z σ，t>0时，加上沿x 方向的弱磁场)0,0,(11B B = ，从而),0,(0110B B B B B =+=，求粒子在t>0 时的自旋态以及测得自旋“向上”（1=z σ）的几率。 11-10 氢原子处于基态，受到脉冲电场)()(0t t δεε =的作用，0ε 为常矢量，试用微扰论求电子跃迁至各激发态的几率以及仍停留在基态的几率。 11-11 根据实验测定，氢原子的2/12S 能级高于2/12p 能级1058MHz （兰姆移动），试求电子在这两个能级间的自发跃迁平均寿命。 11-12 计算氢原子赖曼线系的头两条谱线)12(s p L y →α与)13(s p L y →β的强度比。
11第十九章 量子力学基础(2)作业答案
作业十一（第十九章 量子力学简介（Ⅱ）） (薛定谔方程、一维无限深势阱、隧道效应、能量和角动量量子化、电子自旋、多电子原子) 电子组态 [ C ]1.（基础训练10）氢原子中处于2p 状态的电子，描述其量子态的四个量子数(n ，l ， m l ，m s )可能取的值为 (A) (2，2，1，2 1-)． (B) (2，0，0，21 )． (C) (2，1，-1，2 1-)． (D) (2，0，1，21 )． 【提示】p 电子：l ＝1，对应的m l 可取－1、0、1， m s 可取21或2 1 -。 2.（基础训练17）在主量子数n =2，自旋磁量子数2 1 =s m 的量子态中，能够填充的最大电子数是 4 ． 【提示】主量子数n =2的L 壳层上最多可容纳2 28n =个电子（电子组态为2622s p ），如仅考虑自旋磁量子数2 1 = s m 的量子态，则能够填充的电子数为上述值的一半。 3.（自测提高16）有一种原子，在基态时n = 1和n = 2的主壳层都填满电子，3s 次壳层也填满电子，而3p 壳层只填充一半．这种原子的原子序数是 15 ，它在基态的电子组态为 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 3 . 4.（自测提高17）在下列各组量子数的空格上，填上适当的数值，以便使它们可以描述原子中电子的状态： (1) n =2，l = 1 ，m l = -1，21 - =s m ． (2) (2) n =2，l =0，m l = 0 ，2 1 =s m ． (3) n =2，l =1，m l = 0，m s =11 22 或-． 【提示】2 1 ;210;1210± ±±±-的取值：，，，的取值：）（，，，的取值： S l m l m n l 激光 [ C ]5.（基础训练11）在激光器中利用光学谐振腔 (A) 可提高激光束的方向性，而不能提高激光束的单色性． (B) 可提高激光束的单色性，而不能提高激光束的方向性． (C) 可同时提高激光束的方向性和单色性. (D) 既不能提高激光束的方向性也不能提高其单色性．
普通物理-量子力学习题解-第十一章
第十一章：量子跃迁 [1] 具有电荷的离子，在其平衡位置附近作一维简谐振动，在光的照射下发生跃迁，入射光能量密为，波长较长，求：（1）跃迁选择定则。 （2）设离子处于基态，求每秒跃迁到第一激发态的几率。 （解）本题是一维运动，可以假设电磁场力的方向与振动方向一致。 （1）跃迁选择定则： 为确定谐振子在光照射下的跃迁选择定则，先计算跃迁速率，因为是随时间作交变的微扰，可以用专门的公式（12）（§11.4，P396） （1） 式中应理解为谐振子的矢径的矩阵元的平方和，但在一维谐振子情形，仅有一项 （2） 根据谐振子的无微扰能量本征函数来计算这矩阵元 （3） 式中， ~446~
要展开（3）式，可以利用谐振子定态波函数的递推公式： （4） 代入（3），利用波函数的正交归一化关系： （5） 由此知道，对指定的初态来说，要使矢径矩阵元（即偶极矩阵元）不为零，末态和初态的关系必需是： 这时（6） 这时 因得结论：一维谐振子跃迁的选择定则是：初态末态的量子数差数是1。 （2）每秒钟从基态跃迁到第一激发态的几率可以从（2）式和（7）式得到： ~447~ [2]设有一带电的粒子，质量为，在宽度为的一维无限深势
阱中运动，它在入射光照射下发生跃迁，波长。 （1）求跃迁的选择定则。 （2）设粒子原来处于基态，求跃迁速率公式。 （解）本题亦是一维运动，并且亦是周期性微扰，故可用前题类似方法。 （1）跃迁选择定则： 按第三章§3.1一维无限深势阱定态波函数是：（原点取在势阱左端） （1） 根据此式计算矩阵元： 利用不定积分公式： (2) ~448~ (3)
从最后一式知道，要使矩阵元，必需要是奇数。但这个规律也可以用别种方式叙述，当是奇数时 必然也是奇数，因此一维无限深势阱受光照的选择定则是：表示初态和末态的量子数之和（或差）应是个奇数 因此二者之中，一个是奇另一个是偶。 （2）跃迁速率：依前题公式（1） （4） 偶数时，奇数时 （5） 粒子从基态，跃迁到任何一个偶数态的速率： ~449~ [3]设把处于基态的氢原子放在平行板电容器中，取平行板法线方向为z轴方向、电场沿z轴方向可视作均匀，设电容器突然充电然后放电，电场随时间变化规律是：
量子力学-卷一(第三版)答案-井孝功
第一章 量子力学的诞生 1.1设质量为m 的粒子在谐振子势2221)(x m x V ω= 中运动，用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。 提示：利用 )]([2,,2,1,x V E m p n nh x d p -===??Λ )(x V 解：能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x ≤ （1） 其中a 由下式决定：2221)(a m x V E a x ω= ==。 a - 0 a x 由此得 2/2ωm E a = ， （2） a x ±=即为粒子运动的转折点。有量子化条件 h n a m a m dx x a m dx x m E m dx p a a a a ==?=-=-=??? ?+-+-222222222)21(22πωπωωω 得ω ωπm n m nh a η22== （3） 代入（2），解出 Λη,3,2,1,==n n E n ω （4） 积分公式： c a u a u a u du u a ++-=-?arcsin 222222 2 1.2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。 解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向，把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x 方向，有 ()?==?Λ,3,2,1,x x x n h n dx p 即 h n a p x x =?2 （a 2：一来一回为一个周期） a h n p x x 2/=∴, 同理可得， b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=, Λ,3,2,1,,=z y x n n n