2020年高中数学必修第一册《任意角和弧度制》同步练习 (含答案)
高中数学必修第一册《任意角和弧度制》同步练习
一、选择题
1.已知α是第三象限角，则－α是第________象限角．( )
A ．四
B ．三
C ．二
D ．一
2.与-420°角终边相同的角是( )
A.-120°
B.420°
C.660°
D.280°
3.若α是第三象限角,则错误!未找到引用源。是( )
A.第二象限角
B.第四象限角
C.第二或第三象限角
D.第二或第四象限角
4.已知圆的半径为π cm,则120°的圆心角所对的弧长是( )
A.错误!未找到引用源。cm
B.错误!未找到引用源。cm
C.错误!未找到引用源。cm
D.错误!未找到引用源。cm
5.与-463°终边相同的角可表示为( ) A.k ·360°+436°(k ∈Z) B.k ·360°+103°(k ∈Z)
C.k ·360°+257°(k ∈Z)
D.k ·360°-257°(k ∈Z)
6.终边在坐标轴上的角的集合是( )
A ．{φ|φ=k·360°，k ∈Z}
B ．{φ|φ=k·180°，k ∈Z}
C ．{φ|φ=k·90°，k ∈Z}
D ．{φ|φ=k·180°＋90°，k ∈Z}
7.点P(cos 2 019°，sin 2 019°)所在的象限是( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
8.一个扇形的弧长与面积的数值都是6，则这个扇形的圆心角的弧度数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9.若角α与β的终边相同，则角α－β的终边( )
A ．在x 轴的非负半轴上
B ．在x 轴的非正半轴上
C ．在y 轴的非正半轴上
D ．在y 轴的非负半轴上
10.在半径为8 cm 的圆中，5π3
的圆心角所对的弧长为( ) A.403π cm B.203π cm C.2003π cm D.4003
π cm 11.扇形圆心角为π3
，半径为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( ) A ．1∶3 B ．2∶3 C ．4∶3 D ．4∶9
12.如果弓形的弧所对的圆心角为3π，弓形的弦长为4 cm ，则弓形的面积是（ ） A.(344-9π)cm 2 B.(344-3π)cm 2 C.(348-3π)cm 2 D.(328-3π)cm 2 二、填空题
13.若把－570°写成2kπ＋α(k∈Z,0≤α＜2π)的形式，则α=________.
14.如图，以正方形ABCD 中的点A 为圆心，边长AB 为半径作扇形EAB ，若图中两块阴影部分的面积相等，则∠EAD 的弧度数大小为________．
15.如图，终边落在OA 的位置上的角的集合是 ；终边落在OB 的位置上，且在－360°～360°内的角的集合是 ；终边落在阴影部分(含边界)的角的集合
是 .
16.已知ɑ是第二象限角，且|ɑ+2|≤4则ɑ的范围是 .
三、解答题
17.如图，分别写出适合下列条件的角的集合：
(1)终边落在射线OB 上；
(2)终边落在直线OA 上；
(3)终边落在阴影区域内(含边界).
18.已知角的集合M={α|α=30°＋k·90°，k∈Z}，回答下列问题：
(1)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？
(2)写出集合M中的第二象限角β的一般表达式.
19.用弧度写出终边落在如图阴影部分(不包括边界)内的角的集合．
20.已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.
(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；
(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.
21.已知一个扇形的周长是40，
(1)若扇形的面积为100，求扇形的圆心角；
(2)求扇形面积S的最大值．
22.已知扇形的周长为24，当扇形的圆心角为多大时，扇形的面积最大？
参考答案
1.答案为：C.
解析：∵α是第三象限角，∴k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°，k ∈Z. 则－k·360°－270°＜－α＜－k·360°－180°，k ∈Z.∴－α是第二象限角． 2.答案为：C ；
解析：与-420°角终边相同的角为n ·360°-420°(n ∈Z),当n=3时,n ·360°-420°=660°.故选C.
3.答案为：D ；
解析：由α是第三象限角可得k ·360°+180°<α 所以k ·180°+90°<错误!未找到引用源。 4.答案为：D ； 5.答案为：C ； 解析：因为-463°=257°+(-2)×360°,所以与-463°终边相同的角可表示为k ·360°+257°(k ∈Z). 6.答案为：C ； 解析：令k=4m ，k=4m ＋1，k=4m ＋2，k=4m ＋3，k ，m ∈Z. 分别代入选项C 进行检验： (1)若k=4m ，则φ=4m·90°=m·360°； (2)若k=4m ＋1，则φ=(4m＋1)·90°=m·360°＋90°； (3)若k=4m ＋2，则φ=(4m＋2)·90°=m·360°＋180°； (4)若k=4m ＋3，则φ=(4m＋3)·90°=m·360°＋270°. 综上可得，终边在坐标轴上的角的集合是{φ|φ=k·90°，k ∈Z}． 7.答案为：C ； 8.答案为：C ； 9.答案为：A. 解析：由已知可得α=β＋k·360°(k∈Z)， ∴α－β=k·360°(k∈Z)，∴α－β的终边在x 轴的非负半轴上． 10.答案为：A. 解析：根据弧长公式，得l=5π3×8=40π3 (cm)． 11.答案为：B. 解析：如图，设内切圆半径为r ，则r=a 3 ， 所以S 圆=π·(a 3)2=πa 29，S 扇=12a 2·π3=πa 26，所以S 圆S 扇=23 . 12.C 13.答案为：5π6；解析：[－570°=－19π6=－4π＋5π6 .] 14.答案为：2－π2 解析：设AB=1，∠EAD=α， ∵S 扇形ADE =S 阴影BCD ， 由题意可得12×12×α=12－π×124，∴解得α=2－π2 .] 15.答案为：{α|α=120°＋k ·360°，k ∈Z } {315°，－45°} {α|－45°＋k ·360°≤α≤120°＋k ·360°，k ∈Z } 解析：终边落在OA 的位置上的角的集合是{α|α=120°＋k ·360°，k ∈Z }. 终边落在OB 的位置上的角的集合是{α|α=315°＋k ·360°，k ∈Z }， 取k=0，－1得α=315°，－45°.故终边落在OB 的位置上， 且在－360°～360°内的角的集合是{315°，－45°}. 终边落在阴影部分的角的集合是 {α|－45°＋k ·360°≤α≤120°＋k ·360°，k ∈Z }. 16.答案为：(-1.5错误!未找到引用源。,-错误!未找到引用源。)∪(0.5错误!未找到引用源。,2]; 17.解：(1)终边落在射线OB 上的角的集合为S 1={α|α=60°＋k ·360°，k ∈Z}. (2)终边落在直线OA 上的角的集合为S 2={α|α=30°＋k ·180°，k ∈Z}. (3)终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为 S 3={α|30°＋k ·180°≤α≤60°＋k ·180°，k ∈Z}. 18.解：(1)令－360°<30°＋k ·90°<360°， 则－133 ， 又∵k ∈Z ， ∴k=－4，－3，－2，－1,0,1,2,3， ∴集合M 中大于－360°且小于360°的角共有8个， 分别是－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°. (2)集合M 中的第二象限角与120°角的终边相同， ∴β=120°＋k ·360°，k ∈Z. 19.解：30°=π6，150°=5π6 . 终边落在题干图中阴影区域内角的集合(不包括边界)是 ??????????β??? π6＋kπ＜β＜5π6＋kπ，k ∈Z . 20.解：(1)由⊙O 的半径r=10=AB ， 知△AOB 是等边三角形， ∴α=∠AOB=60°=π3 . (2)由(1)可知α=π3 ，r=10， ∴弧长l=α·r=π3×10=10π3 ， ∴S 扇形=12lr=12×10π3×10=50π3 ， 而S △AOB =12·AB ·1032=12×10×1032=5032 ， ∴S=S 扇形－S △AOB =50? ?? ??π3－32. 21.解：(1)设扇形的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α， 则由题意得? ????l ＋2r ＝40，12lr ＝100，解得?????l ＝20，r ＝10，则α=l r =2(rad)． 故扇形的圆心角为2 rad. (2)由l ＋2r=40得l=40－2r ， 故S=12lr=12 (40－2r)·r=20r －r 2=－(r －10)2＋100， 故r=10时，扇形面积S 取最大值100. 22.解：设扇形的半径为r ，弧长为l ，面积为S. 依题意2r ＋l=24， S=12l·r=12 ·r(24－2r)=(12－r)r=－r 2＋12r=－(r －6)2＋36， 故当r=6时S max =36.此时l=24－2r=12，即圆心角α=l r =2. 即当圆心角为2弧度时，面积最大为36.