(完整版)山东省春季高考数学基础知识点

中职数学基础知识汇总

预备知识：

1.完全平方和（差）公式： (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2

2.平方差公式： a 2-b 2=(a+b)(a-b)

3.立方和（差）公式： a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2) a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)

第一章集合

1. 构成集合的元素必须满足三要素：确定性、互异性、无序性。

2. 集合的三种表示方法：列举法、描述法、图像法（文氏图）。

3. 常用数集：N （自然数集）、Z （整数集）、Q （有理数集）、R （实数集）、N +（正整数集）

4. 元素与集合、集合与集合之间的关系：

（1）元素与集合是“∈”与“?”的关系。（2）集合与集合是“í” “”“=”“í/”的关系。

注：（1）空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集。（做题时多考虑Ф是否满足题意）（2）一个集合含有n 个元素，则它的子集有2n 个，真子集有2n -1个，非空真子集有2n -2个。 5. 集合的基本运算（用描述法表示的集合的运算尽量用画数轴的方法）（1）{|}A B x x A x B =挝I

且：A 与B 的公共元素组成的集合

（2）{|}A B x x A x

B =挝U 或：A 与B 的所有元素组成的集合（相同元素只写一次）。

（3）A C U ：U 中元素去掉A 中元素剩下的元素组成的集合。注：=I

U ()U U U C A B C A C B ()U U U C A B C A C B =U I

6. 会用文氏图表示相应的集合，会将相应的集合画在文氏图上。

7. 充分必要条件:p 是q 的……条件 p 是条件，q 是结论

如果p ?q ，那么p 是q 的充分条件;q 是p 的必要条件. 如果p ?q ，那么p 是q 的充要条件

第二章不等式

1. 不等式的基本性质：（略）

注：（1）比较两个实数的大小一般用比较差的方法；另外还可以用平方法、倒数法。（2）不等式两边同时乘以负数要变号！！

（3）同向的不等式可以相加（不能相减），同正的同向不等式可以相乘。 2. 重要的不等式：

（1）ab b a 22

2≥+，当且仅当b a

=时，等号成立。

（2）),(2+

∈≥+R b a ab b a ，当且仅当b a =时，等号成立。

（3）注：

a +（算术平均数）≥a

b （几何平均数） 3. 一元一次不等式的解法（略） 4. 一元二次不等式的解法（1）保证二次项系数为正

（2）分解因式（十字相乘法、提取公因式、求根公式法），目的是求根：

（3）定解：（口诀）大于取两边，小于取中间。 5. 绝对值不等式的解法若0>a

，则??

?-<>?><<-?

x a x a x a

x a a x 或||||

分式不等式的解法：与二次不等式的解法相同。注：分母不能为0. 第三章函数

1. 函数

（1）定义：设A 、B 是两个非空数集,如果按照某种对应法则f ,对A 内任一个元素x,在B 中总有一个且只

有一个值y 与它对应,则称f 是集合A 到B 的函数,可记为:f :A →B,或f :x →y.其中A 叫做函数f 的定义域.函数f 在a x =的函数值,记作)(a f ,函数值的全体构成的集合C(C ?B),叫做函数的值域.

（2）函数的表示方法：列表法、图像法、解析法。

注：在解函数题时可以画出图像，运用数形结合的方法可以使大部分题目变得更简单。 2. 函数的三要素：定义域、值域、对应法则

（1）定义域的求法：使函数（的解析式）有意义的x 的取值范围

主要依据：①分母不能为0，②偶次根式的被开方式≥0，

③特殊函数定义域：0,0

≠=x x y R x a a a y x

∈≠>=),10(,且 0),10(,log >≠>=x a a x y a 且（2）值域的求法：

y 的取值范围

① 正比例函数：kx y = 和一次函数：b kx y +=的值域为R

② 二次函数：c bx ax y ++=2

的值域求法：配方法。如果x 的取值范围不是R 则还需画图像 ③ 反比例函数：x

y 1

的值域为}0|{≠y y ④ 另求值域的方法：换元法、不等式法、数形结合法、函数的单调性等等。（3）解析式求法：在求函数解析式时可用换元法、构造法、待定系数法等。 3. 函数图像的变换（1）平移

)()

(a x f y a x f y +=→=个单位

向左平移

)()

(a x f y a x f y -=→=个单位向右平移 a x f y a x f y +=→=)()

(个单位向上平移 a x f y a x f y -=→=)()(个单位

向下平移

（2）翻折

)()

(x f y x x f y -=→=上、下对折轴沿 |)(|)(x f y x x f y =→=下方翻折到上方

轴上方图像

保留

4. 函数的奇偶性

（1）定义域关于原点对称（2）若)()(x f x f -=-→奇若)()(x f x f =-→偶

注：①若奇函数在0=x

处有意义，则0)0(=f

②常值函数a x f =)(（0≠a

）为偶函数

③0)(=x f 既是奇函数又是偶函数 5. 函数的单调性

对于],[21b a x x ∈?、且21x x <，若??

?><上为减函数

在称上为增函数

在称],[)(),()(],[)(),()(2121b a x f x f x f b a x f x f x f

增函数：x 值越大，函数值越大；x 值越小，函数值越小。

减函数：x 值越大，函数值反而越小；x 值越小，函数值反而越大。 6. 二次函数

（1）二次函数的三种解析式

①一般式：c bx ax x f ++=2

)(（0≠a

）

②顶点式：h k x a x f +-=2

)()( （0≠a

）

，其中),(h k 为顶点 ③两根式：))(()(21x x x x a x f --= （0≠a ）

，其中21x x 、是0)(=x f 的两根（2）图像与性质

二次函数的图像是一条抛物线，有如下特征与性质： ① 开口

→>0a 开口向上 →<0a 开口向下

② 对称轴：a

x 2-= 顶点坐标：)44,2(2a b ac a b -- ③ ?与x 轴的交点：?????→?无交点交点有有两交点0100 ④ 根与系数的关系：（韦达定理）??

?=?-=+a c

x x a b x x 2121 ⑤c bx ax x f ++=2

)(为偶函数的充要条件为0=b ⑥二次函数（二次函数恒大（小）于0）

?>0)(x f ????轴上方图像位于x a 00 轴下方图像位于x a x f ????

0)(

⑦若二次函数对任意x 都有)()(x t f x t f +=-，则其对称轴是t x =。

第四章指数函数与对数函数

1. 指数幂的性质与运算

（1）根式的性质：

①n 为任意正整数，n n

a )(a = ②当n 为奇数时，a a n n =；当n 为偶数时，||a a n n =

③零的任何正整数次方根为零；负数没有偶次方根。（2）零次幂：10

=a )0(≠a （3）负数指数幂：n

a 1=

- ),0(*

N n a ∈≠ （4）分数指数幂：n m n

m a a

= )1,,0(>∈>+n N n m a 且

（5）实数指数幂的运算法则：),,0(R n m a ∈>

①n m n m

a a a

+=? ②mn n m a a =)( ③n n n b a b a ?=?)(

2. 幂运算时，注意将小数指数、根式都统一化为分数指数；一般将每个数都化为最小的一个数的n 次方。

3. 幂函数?

??∞+=<∞+=>=）上单调递减，在（时，当）上单调递增，在（时，当0000a

x y a x y a x y 4. 指数与对数的互化：b N N a

a b

=?=log )10(≠>a a 且、 )0(>N

5. 对数基本性质： ①1log =a a ②01log =a ③N a N

a =log ④N a N a =log ⑤互为倒数与a

b b a log log a

b a b b a b a log 1

log 1log log =

?=??

⑥b m

b a n a m

log log =

6. 对数的基本运算：

N M N M a a a log log )(log +=? N M N

a a a

log log log -= 7. 换底公式：a

N b b a

log log log =

)10(≠>b b 且

8. 指数函数

对数函数

定义 )1,0(的常数≠>=a a a y x )1,0(log 的常数≠>=a a x y a

图像

9. 利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性比较两个数的大小，将其变为同底、同幂（次）或用换底公式或是利用

中间值0，1来过渡。

10. 指数方程和对数方程：①指数式和对数式互化 ②同底法 ③换元法 ④取对数法

注：解完方程要记得验证根是否是增根，是否失根。

1. 已知前n 项和n S 的解析式，求通项n a

???-=-11

n n

n S S S a )2()1(≥=n n

2. 弄懂等差、等比数通项公式和前n 项和公式的证明方法。（见教材）

第六章三角函数

弧度和角度的互换

π=o 180弧度 180

1π

o 弧度01745.0≈弧度 1弧度'1857)180

(

o o ≈=π

扇形弧长公式和面积公式

r ||?=α扇L 2||2121r Lr S ?==

α扇（记忆法：与ah S ABC 2

=?类似） 3.

任意三角函数的定义：

斜边对边=

αsin =r y 斜边邻边=αcos =r x

邻边对边=αtan =x

y 4.

000=

0306

=π

0454

=π

0603

=π

0902

=π

αsin

21 22 23 24 αcos

4 23 22 2

1 2

0 αtan

3 1

不存在

三角函数的符号判定

（1）口诀：一全二正弦，三切四余弦。（三角函数中为正的，其余的为负）（2）图像记忆法

三角函数基本公式

αcos sin tan =

（可用于化简、证明等） 1cos sin 22=+αα （可用于已知αsin 求αcos ；或者反过来运用）

7. 诱导公式：口诀：奇变偶不变，符号看象限。解释：指)(2

Z k k ∈+?

απ

，若k 为奇数，则函数名要改变，若k 为偶数函数名不变。

7. 已知三角函数值求角α:

(1) 确定角α所在的象限; (2) 求出函数值的绝对值对应的锐角'α; (3) 写出满足条件的π2~0的角; (4) 加上周期（同

终边的角的集合） 8. 和角、倍角公式 ⑴ 和角公式：βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± 注意正负号相同

βαβαβαsin sin cos cos )cos(μ=± 注意正负号相反

αβ

αβαtan tan 1tan tan )tan(μ±=

⑵ 二倍角公式：

αααcos sin 22sin = ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=

α2

tan 1tan 22tan -=

⑶ 半角公式：

2cos 12

sin

αα

-±

= 2

cos 12cos α

α+±= 9. 三角函数的图像与性质

函数

图像

性质

定义域

值域

同期

奇偶性

单调性

x y sin =

R x ∈

]1,1[-

2=T

奇

↑+

2,2

2[π

ππ

πk k

↓

++]2

32,22[ππππk k

y cos =

R x ∈

]1,1[-

2=T

偶

↑-]2,2[πππk k

↓+]2,2[πππk k

9. 正弦型函数

)sin(?ω+=x A y )0,0(>>ωA

(1)定义域R ，值域],[A A - （2）周期：ω

（3）注意平移的问题：一要注意函数名称是否相同，二要注意将x 的系数提出来，再看是怎样平移的。（4）x b x a y cos sin +=)sin(22?++=x b a

10. 正弦定理

R C c

B b A a 2sin sin sin === （R 为AB

C ?的外接圆半径）其他形式：（1）A R a sin 2= B R b sin 2= C R c sin 2=（注意理解记忆，可只记一个）（2）C B A c b a sin :sin :sin ::=

11. 余弦定理

A bc c b a cos 22

-+= ? bc

a c

b A 2cos 2

22-+= （注意理解记忆，可只记一个）

12. 三角形面积公式

B ac A bc

C ab S ABC sin 2

sin 21sin 21===

? （注意理解记忆，可只记一个）

13. 海伦公式：))()((c P b P a P P S ABC

---=?（其中P 为ABC ?的半周长，2

b a P ++=

）第七章平面向量

1. 向量的概念

（1）定义：既有大小又有方向的量。

（2）向量的表示：书写时一定要加箭头！另起点为A ，终点为B 的向量表示为AB 。（3）向量的模（长度）：||||

a AB 或

（4）零向量：长度为0，方向任意。

单位向量：长度为1的向量。

向量相等：大小相等，方向相同的两个向量。反（负）向量：大小相等，方向相反的两个向量。

2. 向量的运算（1）图形法则

三角形法则平形四边形法则

（2）计算法则

加法：=+ 减法：=-

（3）运算律：加法交换律、结合律注：乘法（内积）不具有结合律

3. 数乘向量：a λ （1）模为：||||λ （2）方向：λ为正与a 相同；λ为负与a 相反。

AB 的坐标：终点B 的坐标减去起点A 的坐标。 ),(A B A B y y x x --=

5. 向量共线（平行）：?唯一实数λ，使得λ=。（可证平行、三点共线问题等）

6. 平面向量分解定理：如果21,e e 是同一平面上的两个不共线的向量，那么对该平面上的任一向量，都存在唯一的

一对实数21,x x ，使得2211e x e x +=

。

7. 注意ABC ?中，重心(三条中线交点)、外心（外接圆圆心：三边垂直平分线交点）、内心（内切圆圆心：三角平分

线交点）、垂心（三高线的交点） 8. 向量的内积（数量积）

（1）向量之间的夹角：图像上起点在同一位置；范围],0[π。（2）内积公式：><=?,cos |||| 9. 向量内积的性质：

（1）|

|||,cos b a >=

< （夹角公式）（2）⊥0=??

（3）==?||||2或（长度公式）

10. 向量的直角坐标运算：（1）),(A B A B y y x x AB --=

（2）设),(),,(2211y x b y x a ==，则 ),(2121y y x x b a ±

±=± ),(11y x a λλλ= 2121y y x x b a +=?

11.中点坐标公式：若A 11(,)x y ,B 22(,)x y ,点M(x,y)是线段AB 的中点,则1212

,22

x x y y x y ++=

= 12.向量平行、垂直的充要条件：设),(),,(2211y x y x ==，则

a ∥

b 2

121y y

x x =?

（相对应坐标比值相等） a ⊥b ?=??0b a 02121=+y y x x （两个向量垂直则它们的内积为0）

11. 长度公式

（1）向量长度公式：设),(y x =，则22||y x +=

（2）两点间距离公式：设点),(),,(2211y x B y x A ，则 212212)()(||y y x x -+-=

12. 向量平移

（1）平移公式：点),(y x P 平移向量)','('),(21y x P a a 到=，则??

?+=+=2

''a y y a x x 记忆法：“新=旧+向量”

（2）图像平移：)(x f y =的图像平移向量),(21a a =后得到的函数解析式为：)(12a x f a y -=-

第八章平面解析几何

1. 曲线C 上的点与方程0),(=y x F 之间的关系：（1）曲线C 上点的坐标都是方程0),(=y x F 的解；

（2）以方程0),(=y x F 的解),(y x 为坐标的点都在曲线C 上。

则曲线C 叫做方程0),(=y x F 的曲线，方程0),(=y x F 叫做曲线C 的方程。

2. 求曲线方程的方法及步骤： (1) 设动点的坐标为（x ，y ）；(2) 写出动点在曲线上的充要条件；(3) 用y x ,的关系式

表示这个条件列出的方程；（4）化简方程（不需要的全部约掉）；（5）证明化简后的方程是所求曲线的方程。如果方程化简过程是同解变形的话第五步可省略。 3. 两曲线的交点：联立方程组求解即可。 4. 直线：

(1) 倾斜角α：一条直线l 向上的方向与x 轴的正方向所成的最小正角叫这条直线的倾斜角。其范围是),0[π

(2) 斜率：①倾斜角为0

90的直线没有斜率；②αtan =k

（倾斜角的正切）

③经过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线的斜率1

2x x y y K --=

)(21x x ≠

(3) 直线的方程 ① 两点式：

121x x x x y y y y --=

-- ② 斜截式：b kx y += ③ 点斜式：)(00x x k y y -=- ④ 一般式：0=++C By Ax

注：1.若直线l 方程为3x+4y+5=0，则与l 平行的直线可设为3x+4y+C=0；与l 垂直的直线可设为4X-3Y+C=0

2.求直线的方程最后要化成一般式。 (4) 两条直线的位置关系

注：系数为0的情况可画图像来判定。

(5)点到直线的距离

①点),(00y x P 到直线0=++C By Ax 的距离：2

00|

A C By Ax d +++=

5. 圆的方程

（1）标准方程：2

)()(r b y a x =-+-（0>r

）其中圆心),(b a ，半径r 。

（2）一般方程：022

=++++F Ey Dx y x （0422

>-+F E D

）

圆心（2

,2E

D --）半径：2

422F

E D r -+=

（4）直线和圆的位置关系：主要用几何法，利用圆心到直线的距离d 和半径r 比较。

相交?r d

标准方程

122

22=+b y a x （焦点在x 轴上） 122

22=+a

y b x （焦点在y 轴上）图像

c b a ,,的关系

222c b a += 注意：通常题目会隐藏这个条件

对称轴与对称中心 x 轴：长轴长a 2；y 轴：短轴长b 2；)0,0(O

顶点坐标 )0,(a ± ),0(b ±

焦点坐标

)0,(c ± 焦距c 2 注：要特别注意焦点在哪个轴上

离心率

1122

<-==a

b a

c e

7. 几何定义

动点与两定点（焦点）的距离之差的绝对值等于常数a 2

a PF PF 2||||||21=-

标准方程

122

22=-b y a x （焦点在x 轴上） 122

22=-b

x a y （焦点在y 轴上）图像

c b a ,,的关系

222b a c += 注意：通常题目会隐藏这个条件

对称轴与对称中心 x 轴：实轴长a 2；y 轴：虚轴长b 2；)0,0(O

顶点坐标

)0,(a ±

焦点坐标

)0,(c ± 焦距c 2 注：要特别注意焦点在哪个轴上

离心率

1122

>+==a

b a

c e

渐近线

x a

y ±

=（焦点在x 轴上） x b

y ±

=（焦点在y 轴上）注：等轴双曲线：（1）实轴长和虚轴长相等?b a =（2）离心率2=e （3）渐近线x y ±=

8. 几何定义到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹

d MF =||（d 为抛物线上一点M 到准线的距离）

焦点位置

x 轴正半轴 x 轴负半轴

y 轴正半轴 y 轴负半轴

图像

标准方程 px y 22=)0(>p px y 22-=)0(>p py x 22=)0(>p py x 22-=)0(>p

焦点坐标 )0,2(p

F )0,2(p F -

)2,0(p F

)2,0(p F -

准线方程 2

p x -=

2p x =

2p y -=

p y =

顶点 )0,0(O

对称轴 x 轴

y 轴

离心率

1=e

注：（1（2）掌握焦点在哪个轴上的判断方法

（3）圆锥曲线中凡涉及到弦长，都可用联立直线和曲线的方程求解再用弦长公式：

2122124)(1||x x x x k AB -++=

（4）圆锥曲线中最重要的是它本身的定义！！做题时应注意圆锥曲线上的点是满足圆锥曲线的定义的！

第九章立体几何

1. 空间的基本要素：点、线、面

注：用集合符号表示空间中点（元素）、线（集合）、面（集合）的关系

2. 平面的基本性质（1）三个公理：

① 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。

② 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们的所有公共点组成的集合是过该点的一条直线。 ③ 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。（2）三个推论：

① 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。 ② 经过两条相交直线，有且只有一个平面。 ③ 经过两条平行直线，有且只有一个平面。 3. 两条直线的位置关系：

（1）相交：有且只有一个公共点，记作“A b a =I ”

（2）平行：.a 过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行。

.b 平行于同一条直线的两条直线平行

（3）异面：

① 定义：不同在任何一个平面内的两条直线

② 异面直线的夹角：对于两条异面直线，平移一条与另一条相交所成的不大于

的角。注意在找异面直线之间的夹角时可作其中一条的平行线，让它们相交。 4. 直线和平面的位置关系：

（1）直线在平面内：α?l

（2）直线与平面相交：A l =αI

（3）直线与平面平行

① 定义：没有公共点，记作：l ∥α

② 判定：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与平面平行。

③ 性质：如果一条直线与一平面平行，且过直线的另一平面与该平面相交，则该直线与交线平行。 5. 两个平面的位置关系（1）相交：l =βαI

（2）平行：

① 定义：没有公共点，记作：“α∥β”

② 判定：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面都平行，则两平面平行 ③ 性质：

.a 两个平行平面与第三个平面都相交，则交线互相平行

.b 平行于同一平面的两个平面平行 .c 夹在两平行平面间的平行线段相等

.d 两条直线被三个平行平面所截得的对应线段成比例

6. 直线与平面所成的角：

（1）定义：直线与它在平面内的射影所成的角（2）范围：]2

0[π

7. 直线与平面垂直

（1）判定：如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，则该直线与平面垂直（2）性质：

① 如果一条直线垂直于一平面，则它垂直于该平面内任何直线；

② 垂直于同一平面的两直线平行； ③ 垂直于同一直线的两平面平行。 8. 两个平面垂直

（1）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则两个平面互相垂直。

（2）性质定理：如果两个平面垂直，则一个平面内垂直于它们的交线的直线与另一个平面垂直。 9. 二面角

（1）定义：过二面角βα--l 的棱上一点O ，分别在两半平面内引棱l 的垂线OB OA 、，则AOB ∠为二面角的

平面角

（2）范围：],0[π

（3）二面角的平面角构造：

① 按定义，在棱上取一点O ，分别在两半平面内引棱的垂线OB OA 、，则AOB ∠即是 ② 作一平面与二面角的棱垂直，与两半平面分别交于OB OA 、，AOB ∠即是

第十章排列、组合与二项式定理

1.分类用加法：n m m m N +??++=21 分步用乘法：n m m m N ??=21

2.有序为排列：)!

)1()2)(1(m n n m n n n n P m

n -=

+-??--=

无序为组合：)!(!!

!)1()2)(1(m n m n m m n n n n P P C m m

m n m

+-??--== 阶乘：123)2)(1(!?????--==n n n n P n

n 规定：1!0=

10=n C

注：（1）做排列组合题的原则：先特殊，后一般！

（2）在一起，用捆绑法；不在一起，用插空法；另外的思考方法：一般法、排除法、分类讨论法、机会均等法等等。 3.组合数的两个性质：（1）m n n

n C C -= （2）1

1-++=m n m n m n C C C 4.二项式定理：

n n n n n r r n r n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a C b a 011111100)(+??++??++=+----

通项：r

r n r n r b a C T -+=1

，其中r n

C 叫做第1+r 项的二项式系数。注：（1）二项展开式中第1+r 项的系数与第1+r 项的二项式系数r

n C 是两个不同的概念。（2）杨辉三角 1. 二项式系数的性质

（1）除每行两端的1以外，每个数字都等于它肩上两数之和，即1

1-++=r n

r n r

n C C C （2）与首末两端等距离的两项的二项式系数相等，即r

n n

C C -=

（3）

n 为偶数，展开式有奇数项，中间项的二项式系数最大；

（第12

项） n 为奇数，展开式有偶数项，中间两项的二项式系数最大。（第2

+n 项和后一项）

7. n

n n n C C C 2C m

n 1

=??+??++ 1

-=??+++=??+++n n n n n n n C C C C C C

第十一章概率与统计

一、概率.

1. 概率：随机事件A 的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值.

2. 等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有年n 个，且所有结果出现的可能性都相等，那么，每

一个基本事件的概率都是

n 1，如果某个事件A 包含的结果有m 个，那么事件A 的概率n

P(A)=. 3. ①互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件A 、B 互斥，那么事件A+B 发生(即A 、B 中

有一个发生)的概率，等于事件A 、B 分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)。

②对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件．．．．．．．．．．．．．．．

叫对立事件. 注意：i.对立事件的概率和等于1：1)A P(A )A P(P(A)=+=+.

ii.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件.

③相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件.

如果两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A·B)=P(A)·P(B). 由此，当两个事件同时发生的概率P （AB ）等于这两个事件发生概率之积，这时我们也可称这两个事件为独立事件.

④独立重复试验：若n 次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n 次试验

是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率：

n k k n n P)

(1P C (k)P --=. 二、随机变量.

1. 随机试验的结果应该是不确定的.试验如果满足下述条件：

①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是

恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.

它就被称为一个随机试验.

2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随

机变量。

设离散型随机变量ξ可能取的值为：ΛΛ,,,,21i x x x

ξ取每一个值),2,1(Λ=i x 的概率p x P ==)(ξ，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.

121i 注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：]5,0[∈ξ即ξ可以取0～

5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.

3. ⑴离散型随机变量的二项分布：在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试

验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是

k n k k

n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．

由于k

n q

p C 恰好是二项展开式

11100)(q p C q p C q p C q p C p q n n n k n k k n n n n n n +++++=+--ΛΛ

中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数，并记

k n k k

n q p C -＝b (k ；n ，p )．

⑵二项分布的判断与应用.

①二项分布，实际是对n 次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n 次独立重复，且每次试验只有两种结

果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.

②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此

时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.

三、数学期望与方差.

n n 2211随机变量取值的平均水平.

2. 二项分布的数学期望：np E =ξ 其分布列为ξ～),(p n B .（P 为发生ξ的概率）

3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为),2,1()(Λ===k p x P k k ξ时，则称

ΛΛ+-++-+-=n n p E x p E x p E x D 2222121)()()(ξξξξ为ξ的方差。显然0≥ξ

D ，故σξξσξ.D =为ξ的根方差或标准差。随机

变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.ξD 越小，稳定性越高，波动越小．．．．．．．．．．．．．.．

4.二项分布的方差：npq D =ξ

5. 期望与方差的关系：22)(ξξξE E D -= 四、正态分布.（基本不列入考试范围）

1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x 轴上方，ξ落在任一区间),[b a 内的概率等于它与x 轴.

直线a x =与直线b x =所围成的曲边梯形的面积

（如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为

图像的函数)(x f 叫做ξ的密度函数，由于“),(+∞-∞∈x ” 是必然事件，故密度曲线与x 轴所夹部分面积等于1.

2. ⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为：2

221)(σσ

π-

x f . （σμ,,R x ∈为常数，且0φσ），

称ξ服从参数为σμ,的正态分布，用ξ～),(2σμN 表示.)(x f 的表达式可简记为),(2σμN ，它的密度曲线简称为正态曲线.

⑵正态分布的期望与方差：若ξ～),(2σμN ，则ξ的期望与方差分别为：μξ=E ，2σξ=D ⑶正态曲线的性质.

①曲线在x 轴上方，与x 轴不相交. ②曲线关于直线μ=x 对称.

③当μ=x 时曲线处于最高点，当x 向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线. ④当x ＜μ时，曲线上升；当x ＞μ时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，

向x 轴无限的靠近.

⑤当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.

3. ⑴标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为)(21)(2

2+∞-∞=

-ππx e

x x π?，则称ξ服从标准正态分布. 即

ξ～)1,0(N 有)()(x P x ≤=ξ?，)(1)(x x --=??求出，而P （a ＜ξ≤b ）的计算则是)()()(a b b a P ??ξ-=≤π.

注意：当标准正态分布的)(x Φ的X 取0时，有5.0)0(=Φ，当)(x Φ的X 取大于0的数时，有

，如图.

⑵正态分布与标准正态分布间的关系：若ξ～),(2σμN 则ξ的分布函数通常用)(x F 表示，且有)σ

x (

F(x)x)P(ξ-==≤?.

4.⑴“3σ”原则.

假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计假设里的变量服从正

态分布),(2σμN .②确定一次试验中的取值a 是否落入范围)3,3(σμσμ+-.③做出判断：如果)3,3(σμσμ+-∈a ，接受统计假设. 如果)3,3(σμσμ+-?a ，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.

⑵“3σ”原则的应用：若随机变量ξ服从正态分布),(2σμN 则 ξ落在)3,3(σμσμ+-内的概率为99.7％亦即落在

)3,3(σμσμ+-之外的概率为0.3％，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即ξ不服从正态

分布）。

S 阴=0.5S a =0.5+S

2019年山东省春季高考数学试题及答案版

山东省2019年普通高校招生（春季）考试数学试题 1．本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分，满分120分，考试时间120分钟。考生清在答题卡上答题，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 2．本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，除题目有具体要求外，最后结果精确到0.01。卷一（选择题共60分）一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分。在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出．并填涂在答题卡上） 1. 已知集合M={0,1}，N={1,2}，则M ∪N 等于（） A. {1} B. {0,2} C. {0,1,2} D.? 2. 若实数a ，b 满足ab>0，a+b>0，则下列选项正确的是（） A. a>0，b>0 B. a>0，b<0 C. a<0，b>0 D. a<0，b<0 3. 已知指数函数y=a x ，对数函数y=log b x A. 0

(完整word版)2019年山东省春季高考数学真题

山东省2019级普通高校招生（春季）考试数学试题 1、本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分。满分120分，考试时间120分钟。考试请在答题卡上答题，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 2、本次考试允许使用函数型计算器。凡使用计算器的题目，除题目有具体要求外，最后结果精确到0.01。卷一（选择题共60分）一、选择题(本大题共20小题，每小题3分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，并涂在答题卡上) 1. 已知集合{}{ },2,1,1,0==N M 则N M Y 等于 A ．{ }1 B ．{}2,0 C ．{}2,1,0 D ．? 2．若实数b a ,满足0,0＞＞b a ab +，则下列选项正确的是 A ．0,0＞＞b a B ．0,0＜＞b a C ．0,0＞＜b a D ．0,0＜＜b a 3．已知指数函数,x a y =对数函数x y a log =的图像如图所示，则下列关系式成立的是 ( )． A ．1b 0＜＜＜a B ．b 10＜＜＜a C ．a ＜＜＜1b 0 D ．b a ＜＜＜10 4．已知函数x x x f +=3)(，若2)(=a f ，则)(a f -的值是 A ．-2 B ．2 C ．-10 D ．10 5．若等差数列}{n a 的前7项和为70，则71a a +等于 A ．5 B ．10 C ．15 D ．20 6．如图所示，已知菱形ABCD 的边长是2，且?=∠60DAB ，则 AC AB ?的值是 A ．4 B ．324+ C ．6 D ．324- 7．对于任意角”的”是““ βαβαβαsin sin ,,== ( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 8．如图所示，直线OP l ⊥，则直线l 的方程是 A ．023=-y x B ．01223=-+y x C ．0532=+-y x D ．01332=-+y x 9．在n x )1(+的二项展开式中，若所以项的系数之和为64，则第3项是． A ．315x B ．320x C ．215x D ．220x 10．在ABC △Rt 中，M 4B C 3AB 90AB C ，，，==?=∠是线段AC 上的动点，设点M 到BC 的距离为x,△MBC 的面积为y ，则y 关于x 的函数是 ( )． A ．]4,0(,4∈=x x y B ．]3,0(,2∈=x x y C ．）+∞∈=,0(,4x x y D ．）+∞∈=,0(,2x x y 11. 线把甲、乙等6位同学排成一列，若甲同学不能排在前两位，且乙同学必须排在甲同学前面（相邻或不相邻均可），则不同的排法的种数是 A ．360 B ．336 C ．312 D ．240 12. 设集合},4,2,0,2{-=M 则下列命题为真命题的是 A ．是正数a M a ,∈? B ．是自然数b M b ,∈? C ．是奇数c M c ,∈? D ．是有理数d M d ,∈? 13. 已知3 1 sin = α，则α2cos 的值是 A ．98 B ．98- C ．97 D ．9 7- 14. 已知)(x f y =在R 上是减函数，若)2()1(f a f ＜+，则实数a 的取值范围是 A ．)1,(-∞ B ．),1()1,(+∞-∞Y

天津高等院校春季高考

天津高等院校一年制统招预科（春季高考）招生简章【天津春考】天津市普通高校招生考试，分为：普通高等院校招生全国统一考试和天津市春季招生统一考试(每年4月份）两类。从1999年开始举行春季高考普通高校招生统一考试，即春季高考。天津春季高考是国家对天津普通高等教育的特殊政策，目前在全国只有天津和上海两市有春季高考。学生毕业后颁发普通高校毕业证书。因此，春季高考和秋季高考的考生毕业后享受国家计划内招生政策的同等待遇。天津春季高考考试内容为数学、语文、英语、计算机基础四门课程。考试时间为每年4月上旬，参与录取的院校为天津市所属的高等院校和外省市部分院校。学生参加春季高考，待成绩公布以后，依据考试分数填报、本科、高职高专艺术志愿，5月中旬开始录取。被高等院校录取的学生和参加秋季高考的学生一同开学，实行混合编班，在高校学习期间和毕业后的待遇完全相同，学生毕业后颁发国家统招电子注册的毕业证书。凡参加我春季高考培训班学员，可按照天津市考生待遇参加天津春季高考和招生录取，享受和天津市考生同等权益。学生入学后，在学习、生活等方面和天津市普通在校生的待遇同等，同时天津招生高校多、数量大、分数线低，把孩子送到天津读书，除了天津有着一流的教育资源外，且近靠京城、滨海新区，能够为孩子提供更好的就业空间。按新的管理模式，几年来，春季高考为社会培养输送了一批高素质、实用性、技能型的专门人才。实践证明，春季高校招生有力的促进了我市高等教育的发展，满足了广大学员升

学成才的需求，受到了用人单位的欢迎和肯定。且每年的春季招生计划安排，都紧贴社会经济发展需求，向经济发展的支柱产业和重点行业倾斜，优先安排紧缺专业招生计划，调整长线专业招生计划，发展新兴学科，为加快经济和社会发展服务。【春季高考六大优势】 1.考试难度小春季高考以天津市教育招生考试院组编的《天津市高等学校春季招生统一考试大纲》为依据，考试内容为语文，数学，英语，计算机基础四科。与普通高考相比，考试科目少，范围小，难度低。 2.录取分数低录取分数低，每科150分，四科满分共600分，根据2012年高考情况综合分析，专科录取分数线为200分左右，本科录取线为480分左右，录取分数远低于各省、市高考录取分数线。 3.录取率高 2012年报考人数为8000多人，实际参考人数为8000多人，录取率高达98%以上。 4.选择面宽天津市春季高考招生院校为33所，涉及文史、理工、医学、艺术等各类热门专业400多个，考生可以根据自己的意愿自由选择，选择面宽且灵活。 5.无后顾之忧参加春季高考无论录取与否，均可继续参加本年的秋季高考。如在春季高考和秋季高考分别被录取的，由考生自己依据本人意愿自主选择。 6.天津本地生源少、计划多天津目前已经进入独生子女时代，全市生源明显锐减。但天津市春季高考投放招生计划多，而参加春考人数少，因而考生的升学愿望基本上得到满足。所以外省市高中毕业生到天津参加春季高考升学优势明显。天津春考一年制统招预科招生简介

2017年山东春季高考英语试题

山东省2017年普通高校招生（春季）考试英语试题本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分，满分80分，考试时间60分钟。考生请在答题卡上答题，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。卷一（选择题，共50分）一、英语知识运用（本题30个小题，每小题1分，共30分。在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，并填涂在答题卡上）1.— Whose dictionary is this? —It's my ________. She bought it yesterday. A.sister B.sister's C.sisters D.sisters' 2.— What a wonderful model car! — Thanks. I made it with a 3-D printer by ________. A.it B.me C.itself D.myself 3.— It is reported that there are ________ bike-sharing app users in China now. — Yes, bike-sharing service has brought us great convenience. A.five millions B.five millions of https://www.360docs.net/doc/4e10553864.html,lion of https://www.360docs.net/doc/4e10553864.html,lions of 4.— Amy, what's the date today? — ________. A.Sunday B.A quarter to three C.May 14th D.Summer holiday 5.— I think students can have cell phones to help with their studies. — ________. They often use them to play games instead of studying. A.I don't think so B.All right C.You are welcome D.Good idea 6.— Tim, are you fond ________ skill-training classes? — Yes, they are my favorites. A.with B.of C.at D.for 7.— I'm disappointed to miss John, who ________ of the hotel just now. A.checked out B.checked in C.checked up D.checked over 8.— Would you like to fill in the ________ form? — Sure. Thank you. A.apply B.applied C.applicant D.application 9.— Edward gets on well with his classmates, ________? — Yes. He is always friendly to others. A.does he B.doesn't he C.is he D.isn't he 10.Today, more and more people like to use WeChat (微信) to ________ each other. A.look out B.prepare for https://www.360docs.net/doc/4e10553864.html,municate with D.set off 11.— I really hope ________ everything goes well. — So do I. A.what B.which C.why D.that 12.— Could I speak to Mary, please? — ________. Oh, sorry, she isn't in. A.That’s OK B.Forget it C.Don’t mention it D.Hold on, please 13.— Excuse me. ls there a supermarket nearby? — ________. A.Yes, please B.No, thanks C.Sorry, I’m. New here D.Yes, I am 14.— Have you read the books ________ by Mo Yan? — Yes, I’ve learned a lot from his books. A.write B.writing C.written D.to write 15.— ________? — I have a pain in my chest. A.Have you bad an injection B.What’s wrong with you C.Have you taken your temperature D.How long have you been like this 16.When does the concert start? A.At 2 pm. B.At 5 pm. C.At 7 pm. D.At 9 pm. 17.Where does Henry work? A.In a college. B.ln a company. C.In a restaurant. D.In a bookstore. 机密★启用前

2015年山东春季高考数学试题及详解答案

山东省2015年普通高校招生（春季）考试数学试题注意事项: １.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分120分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．２.本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，最后结果精确到0.01．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母选出，填涂在答题卡上） 1．若集合A＝{1，2，3}，B＝{1，3}，则A∩B等于（）（A）{1，2，3} （B）{1，3} （C）{1，2} （D）{2} 2．|x－1|＜5的解集是（）（A）(－6，4) （B）（－4，6）（C）(－∞, －6)∪(4, ＋∞) （D）(－∞, －4 )∪（6，＋∞) 3．函数y＝x+1 +1 x的定义域为（）（A）{x| x≥－1且x≠0} （B）{x|x≥－1} （C）{x x＞－1且x≠0} （D）{x|x＞－1} 4.“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件5．在等比数列{a n}中，a2＝1，a4＝3，则a6等于（）（A）-5 （B）5 （C）-9 （D）9

6.如图所示，M 是线段OB 的中点，设向量→OA ＝→a ，→OB ＝→b ，则→ AM 可以表示为（）（A ）→ a + 12→b （B ）－→ a + 12→b （C ）→ a － 12→b （D ）－→ a － 12→b 7．终边在y 轴的正半轴上的角的集合是（）（A ）{x |x ＝2＋2k ，k Z } （B ）{x |x ＝2＋k } （C ）{x |x ＝－2＋2k ，k Z } （D ）{x |x ＝－2＋k ，k Z } 8．关于函数y ＝－x 2+2x ，下列叙述错误的是（）（A ）函数的最大值是1 （B ）函数图象的对称轴是直线x =1 （C ）函数的单调递减区间是[－1，＋∞) （D ）函数图象过点（2，0） 9．某值日小组共有5名同学，若任意安排3名同学负责教室内的地面卫生，其余2名同学负责教室外的走廊卫生，则不同的安排方法种数是（）（A ）10 （B ）20 （C ）60 （D ）100 10．如图所示，直线l 的方程是（）（A ）3x －y －3＝0 （B ）3x －2y －3＝0 （C ）3x －3y －1＝0 （D ）x －3y －1＝0 11．对于命题p ，q ，若p ∧q 为假命题”，且p ∨q 为真命题，则（）（A ）p ，q 都是真命题（B ）p ，q 都是假命题（C ）p ，q 一个是真命题一个是假命题（D ）无法判断 12．已知函数f (x )是奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2＋2，则f (－1)的值是（）（A ）－3 （B ）－1 （C ）1 （D ）3 13．已知点P （m ，－2）在函数y ＝log 13 x 的图象上，点A 的坐标是（4，3），则︱→ AP ︱的值是（）（A ）10 （B ）210 （C ）6 2 （D ）52 B O M A

2018山东春季高考数学试题

山东省2017年普通高校招生(春季)考试数学试题注意事项: 1.本试卷分卷一(选择题)和卷二(非选择题)两部分。满分120分，考试时间为120分钟。考生请在答题卡上答题。考试结束后，去诶能够将本试卷和答题卡一并交回。 2.本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，除题目有具体要求外，最后结果精确到0.01。卷一（选择题，共60分）一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分。在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的字母选项代号选出，并填涂在答题卡上。） 1.已知全集{}1,2U =，集合{}1M =，则U C M 等于 ( ) （A ）? （B ） {}1 （C ） {}2 （D ）{}1,2 2. 函数y = 的定义域是( ) （A ）[2,2]- （B ） (,2][2,,2)-∞-+∞-U （C ）(2,2)- （D ）(,2)(2,,2)-∞-+∞-U 3.下列函数中，在区间(,0)-∞上为增函数的是( ) （A ）y x = （B ） 1y = （C ）1 y x = （D ）y x = 4.已知二次函数()f x 的图像经过两点(0,3),(2,3)，且最大值是5，则该函数的解析式是 ( ) （A ）2()2811f x x x =-+ （B ） 2()281f x x x =-+- （C ）2 ()243f x x x =-+ （D ）2 ()243f x x x =-++ 5. 在等差数列{}n a 中, 15a =-，3a 是4和49的等比中项，且30a <，则5a 等于( ) （A ）18- （B ） 23- （C ）24- （D ）32- 6. 已知(3,0),(2,1)A B ，则向量AB uuu r 的单位向量的坐标是 ( ) （A ）(1,1)- （B ） (1,1)- （C ）(22 - （D ）22 - 7. 对于命题,p q ，“p q ∨”是真命题是“p 是真命题”的 ( ) （A ）充分比必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 8.函数2cos 4cos 1y x x =-+的最小值是（）（A ）3- （B ） 2- （C ）5 （D ）6 9.下列说法正确的是（）（A ）经过三点有且只有一个平面（B ）经过两条直线有且只有一个平面（C ）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直（D ）经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直 10. 过直线10x y ++=与240x y --=的交点，且一个方向向量(1,3)v =-r 的直线方程是（）（A ）310x y +-= （B ） 350x y +-= （C ）330x y +-= （D ）350x y ++= 11.文艺演出中要求语言类节目不能相邻，现有4个歌舞类节目和2个语言类节目，若从中任意选出4个排成节目单，则能排出不同节目单的数量最多是（）（A ）72 （B ） 120 （C ）144 （D ）288 12.若,,a b c 均为实数，且0a b <<，则下列不等式成立的是（）（A ）a c b c +<+ （B ）ac bc < （C ）22a b < （D <13. 函数3()2,()log kx f x g x x ==，若(1)(9)f g -=，则实数k 的值是（）（A ）1 （B ）2 （C ）－1 （D ）－2 14. 如果3,2a b a ==-r r r ，那么a b ?r r 等于（）（A ）－18 （B ）－6 （C ）0 （D ）18 15. 已知角α终边落在直线3y x =-上，则cos(2)πα+的值是（）（A ）35 （B ）45 （C ）35± （D ）45 ±

数学春季高考各章主要公式汇总

各章主要公式汇总第一章集合与数理逻辑用语 1．如果B A ?，同时A B ?，那么A = B. 2．如果C A C B B A ???，那么， 3．A ?A ；φ?A ； A ∩A ＝A ∪A ＝A ； A ∩φ＝φ；A ∪φ＝A ； 4．A ∩B ＝A ?A ∪B ＝B ?A ?B ； 5．A ∩ U A ＝φ； A ∪ U A ＝U ； U ( U A)＝A ； U (A ∪B)＝ U A ∩ U B 6.常用数集：自然数集N 、正整数集N *或N ＋、整数集Z 、有理数集Q 、实数集R 、空集φ 7．充分条件与必要条件：对命题p 和q ，若p ?q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。当p ?q 时，即p 即是q 的充分条件，p 又是q 的必要条件，称p 是q 的充要条件。 8. 复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题。三种形式：p 或q 、p 且q 、非p 真假判断：p 或q ，都假才假，否则为真；p 且q ，都真才为真；非p ，真假相反第二章方程与不等式一、一元二次方程 1．一元二次方程的的一般形式ax 2 +bx+c=0(a ≠0) 2．解一元二次方程的基本方法有求根公式法，直接开平方法，配方法和因式分解法。 4．ax 2+bx+c=0(a ≠0)求根公式:x 1,2=a ac b b 242 -±-( b 2 -4ac ≥0) 4．一元二次方程的判别式：△=b 2 -4ac (1)△>0?一元二次方程有两个不相等的实数根； (2)△=0?一元二次方程有两个相等的实数根； (3)△<0?一元二次方程的没有实数根。 5. 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）设方程ax 2 +bx+c=0(a ≠0)的两根为x 1,x 2,则两根与系数a 、b 、c 关系为: x 1＋x 2=a b -； x 1.x 2=a c 6．配方法：ax 2+bx+c=a[x 2+b a x+22b a ?? ???-22b a ?? ??? ]=a(x+2b a )2+2 44ac b a - （提出系数a 后，加上一次项系数一半的平方，再减去一次项系数一半的平方）二.一元二次不等式的解法 22 三.绝对值不等式 |x|>a(a>0)解集为{x|x>a 或x<-a}

春季高考历年真题-2013年天津市春季高考数学试卷

2013年天津市高等院校春季招生统一考试数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至9页，第Ⅱ卷10至12页。共150分。考试时间120分钟。第Ⅰ卷（选择题共75分）注意事项： 1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、考试科目涂写在答题卡上，并将本人考试用条形码贴在答题卡的贴条形码处。 2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。 3. 考试结束，监考员将本试卷和答题卡一并收回。 —、单项选择题：本大题共15小题，每小题5分，共75分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。 1.已知全集U={1,2,3,4，5,6}，A, ={1,2,3,6}， B={3, 5}，则B ∩=C u A= A.{5} B.{3,4,5} C.{3，4，5，6} D.{1,2,3,4,5,6} 2.已知log a 4=-21 ，则a= A. 161 B=2 C.8 D=16 3.条件“χ=0”是结论“yx=0”的 A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.函数f(x)= 1) 12lg(2-X -X 的定义域是 A.（ 21 ，-∞） B.（ 21 ，1）∪（1，＋∞） C.（-1,1）∪（1，＋∞） D. （0,1）∪（1，+∞）第一页 5.在数列{a n }中，若a 2=2，且满足a n =3n-1（n ≥2）,则α5= A.162 B. 54 C.17 D. 14 6.若α=323 π，则α是 A.第一象限的角 B.第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角 7.在下列函数中，周期为π的奇函数是 A. f(x)=sinx B. f(x)=cosx C. f(x)=sin2x D. f(x)=cos2x 8.在ΔABC 中，已知AB=4，BC=6，∠B=60°，则AC= A. 28 B.2 7 C. 76 D.219 9.已知点A=（3,1），B=(1,2),C=(1，2),D=(2，1),则向量??→?+?→?BD AC 2的坐标是 A. (6，-3) B.(4，1) C. (-1，2) D.(3，0) 10.若点M （1，2），N （-2,3），P(4,b)在同一条直线上，则b= A. 21 B. 23 C. 1 D. -1 11.已知点a （-1,0），B(5，0),则线段AB 为直径的圆的标准方程是 A.（x-3）2+y 2=3 B. （x-3）2+y 2=9 C.（x-2）2+y 2=3 D. （x-2）2+y 2=9 12.顶点为坐标原点，准线为直线x=-1的抛物线的标准方程是 A. y 2=4x B. y 2=-4x C. y 2=2x D. y 2=-2x 13.已知如图所示的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的直观图，应该为虚线的线段共有 A.1条 B.2条第二页

山东春季高考招生院校及开设专业

山东春季高考共农林果蔬、畜牧养殖、土建、机械、机电一体化、电工电子、化工、服装、汽车、信息技术、医药、护理、财经、商贸、烹饪、旅游服务、文秘服务、学前教育共18个专业类别。其中山科院春季高考学校共开设九大科目：医药、护理、学前、财经、商贸、汽车、机电一体化、土建、信息技术。山科院春季高考学校开设各个专业可报考的具体本科院校医药：潍坊医学院、滨州医学院、济宁医学院、德州学院、泰山学院、菏泽学院、齐鲁医药学院、枣庄学院、潍坊学院、山东现代学院、山东协和学院。护理：潍坊医学院、滨州医学院、济宁医学院、德州学院、齐鲁医药学院、青岛滨海学院、烟台南山学院、山东英才学院、山东现代职业学院、山东协和学院、中国石油大学胜利学院、齐鲁理工学院。信息：山东建筑大学、山东理工大学、德州学院、滨州学院、济宁学院、菏泽学院、齐鲁师范学院、山东青年政治学院、枣庄学院、潍坊学院、山东交通学院、山东女子学院、烟台南山学院、潍坊科技学院、山东英才学院、青岛恒星科技学院、青岛黄海学院、山东现代学院、山东协和学院、青岛理工大学琴岛学院、山东华宇工学院、青岛工学院、齐鲁理工学院、聊城大学东昌学院、青岛滨海学院、济南大学泉城学院。土建：山东科技大学、滨州学院、青岛滨海学院、枣庄学院、烟台大学、山东交通学院、烟台南山学院、潍坊科技学院、山东英才学院、青岛黄海学院、山东现代学院、山东协和学院、青岛工学院、青岛农业大学海都学院、青岛理工学院。财经：山东建筑大学、山东理工大学、青岛农业大学、德州学院、滨州学院、菏泽学院、齐鲁医药学院、青岛滨海学院、枣庄学院、潍坊学院、山东交通学院、烟台南山学院、潍坊科技学院、山东英才学院、青岛恒星科技学院、青岛黄海学院、山东协和学院、烟台学院文经学院、青岛理工大学琴岛学院、山东财经大学燕山学院、山东科技大学泰山科技学院、山东财经大学东方学院、聊城大学东昌学院、济南大学泉城学院、齐鲁师范学院、山东青年政治学院、青岛理工大学。

2016山东春季高考数学真题(含标准答案)

山东省201６年普通高校招生（春季)考试数学试题注意事项: １.本试卷分卷一（选择题)和卷二(非选择题)两部分。满分１20分,考试时间12０分钟。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。 2.本次考试允许使用函数型计算器,凡使用计算器的题目，除题目有具体要求外，最后结果精确到０.01。卷一(选择题,共６０分) 一、选择题（本大题20个小题，每小题3分,共60分.在每小题列出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请将符合题目要求的选项字母代号选出，并填涂在答题卡上) 1.已知集合A ={}1,3,B ={}2,3，则A B 等于 ( ) A ． ? Ｂ. {}1,2,3 Ｃ. {}1,2 D ． {}3 【答案】B 【解析】因为A ={}1,3,B ={}2,3,所以A B {}1,2,3=. 2.已知集合A ，Ｂ，则“A B ?”是“A B =”的 ( ） ?Ａ.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】Ｂ【解析】A B A B =??，又A B A B A B ??=或,∴“A B ?”是 “A B =”的必要不充分条件. 3.不等式23x +>的解集是( ） ?A ． () (),51,-∞-+∞ B. ()5,1- ?C. ()(),15,-∞-+∞ D.()1,5- 【答案】A 【解析】23123235 x x x x x +>>??+>????+<-<-??,即不等式的解集为 ()(),51,-∞-+∞. ４.若奇函数()y f x =在()0,+∞上的图像如图所示，则该函数在(),0-∞上的图像可能是 ( ）第４题图G Ｄ21

天津春季高考英语试题word版(含答案)

2017 年3 月普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）英语笔试本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共130 分，考试用时 100 分钟。第Ⅰ卷 1 至 10 页，第Ⅱ卷 11 至 12 页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试第Ⅰ卷顺利！注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 2．本卷共 55 小题，共 95 分。

第一部分：英语知识运用（共两节，满分45 分）第一节：单项填空（共 15 小题；每小题 1 分，满分 15 分）从 A、B、C、D 四个选项中，选出可以填入空白处的最佳选项。例：Stand over there you’ll be able to see it better. A．or B．and C．but D．while 答案是 B。 1．The number of firms selling computers in this region since January 2012. A．are dropping B．is dropping C．have dropped D．has dropped 2．—So he told you you’d got the job —. But he said they were impressed with me. A．Not exactlyB．That’s for sure C．Don’t mention it D．Sounds great 3．more about amazing animal facts, he made a trip to the nearby nature reserve. A．Finding out B．Found out C．To find out D．Being found out

春考数学知识点

2016天津春季高考数学知识点一、解不等式 1、小于零，取中间；大于零，取两边例如：(x – 2)(x + 3) < 0 è– 3 < x < 2 例如：(x + 1)( x – 4) > 0 è x < – 1或x > 4 2、除法不等式：可以变成“乘法”不等式，前提：要把右侧变成0 例如：> 1 => > 0 => < 0 =>(x – 1)(x – 3) < 0 =>1 < x < 3 3、绝对值不等式 ① |x – 1| < 3 => – 3 < x – 1 < 3 => – 2 < x < 4 “小于，取中间” ② |x – 2| > 1 => x – 2 < – 1或 x – 2 > 1 =>x < 1或x > 3 “大于，取两边” 4、不等式的解为R、或解为空集的问题一般情况下，利用判别式b2– 4ac < 0 (或≤0)进行处理。例如：x2– mx + 1 > 0的解为R，求m的取值范围_____ △= b2– 4ac = m2– 4 < 0 = > – 2 < m < 2 二、一元二次方程求根公式 ax2 + bx + c = 0，则求根公式：x1,2 = ①当△= b2– 4ac > 0时，有两个实根； ②当△= b2– 4ac = 0时，有两个等根 ③当△= b2– 4ac < 0时，无实根三、集合 1、A∩B，表示求A、B的公共元素。例如：A = { x | 1 < x < 5 }，A = { x | 2 < x < 6 }，则A∩B = {x | 2 < x < 5 } 2、A∪B，表示将A、B的元素全都合在一起，重复写一遍。例如：A = { x | 1 < x < 5 }，A = { x | 2 < x < 6 }，则A∪B = {x | 1 < x < 6 } 3、C u A，表示在全集U中求A的补集。例如：U = {1，2，3，4，5，6}，A = {2，4，5}，则C u A = { 1，3，6 } 三、一元二次函数 1、f(x) = ax2+ bx + c (a≠0)对称轴x0 = 2、x无范围时，f(x)的最大值或最小值，只需将x0代入f(x)可得最大值或最小值： ①a > 0，开口向上，f(x0)为最小值；②a < 0，开口向下，f(x0)为最大值 3、若x有范围，则画出f(x)的示意图，再将x的范围标上，找f(x)的最高和最低值即可例如：y = x2– 4x + 5，x∈[ 1,4]，求函数的最大值和最小值。示意图如右，对称轴为x = 2，标出x的范围，可以看出： y min = f(2) = 1，y max = f(4) = 5 四、指数与指数函数 1、运算性质

2021年天津春季高考模拟试卷A卷

天津市高等院校春季招生统一考试模拟试题计算机基础(A卷) 本试卷分为第1卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间90分钟．第1卷（选择题，共1 20分）注意事项：本卷共两大题，共120分。一、单项选择题：本大题共60小题，每小题1.5分，共90分。每小题给出的四个选项中，只有一个是最符合题目要求的。i '1．在计算机应用领域中，CAI是指( ) A.计算机辅助测试色．计算机辅助制造 C．计算机辅助教学D．计算机辅助设计 2．一个完整的计算机系统由什么组成( ) A．内部设备和外部设备 B．软件系统和硬件系统 C．主机箱、鼠标、键盘、显示器和打印机 D．控制器、运算器、存储器、输入设备和输出设备 3．与十六进制数20相等的八进制数是( ) A．40 B．16 C．32 D．128 4．在微型计算机系统中，CPU的组成主要包括( ) A．控制器和存储器B．运算器和存储器 C．运算器和控制器D．内存储器和高速缓冲存储器 5．下列选项中，既是输入设备又是输出设备的是( ) A．硬盘B．扫描仪 C．CD-ROM D．绘图仪 6．下列不属于计算机病毒特征的是( ) A.隐蔽性B。破坏性 C.可识别性 D.传染性 7．计算机能够直接使用高级语言编写的程序执行的方式有两种，它们是( ) A.汇编执行和连接执行 B.编译执行和解释执行 C．机器语言执行和汇编语言执行 D．源程序执行和目标程序执行 8\DRAM存储器的中文含义是( ) A.动态随机存储器 C．静态只读存储器 B．静态随机存储器 D．动态只读存储器 9．在Windows XP中，任务栏的“属性”对话框中不能进行的设置是( ) A．清除“开始”菜单下“文档”中的内容 B．设置任务栏显示方式：总在前或自动隐藏 C．安装某些应用程序 D.在“开始”菜单中“添加或删除”某些项目

山东省春季高考数学考纲完整版

山东省春季高考数学考纲集团标准化办公室：[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN]

[2018春考]数学考纲一、考试范围和要求（一）代数 1．集合集合的概念，集合元素的确定性和互异性，集合的表示法，集合之间的关系，集合的基本运算，子集与推出的关系。微信公众号：Jiuwes 2．方程与不等式配方法，一元二次方程的解法，实数的大小，不等式的性质与证明，区间，含有绝对值的不等式的解法，一元二次不等式的解法。 3．函数函数的概念，函数的表示方法，函数的单调性、奇偶性。分段函数，一次函数、二次函数的图像和性质。微信公众号：Jiuwes 函数的实际应用。 4．指数函数与对数函数指数（零指数、负整指数、分数指数）的概念，实数指数幂的运算法则。指数函数的概念，指数函数的图像和性质。对数的概念，对数的性质与运算法则。

对数函数的概念，对数函数的图像和性质。 5．数列数列的概念。等差数列及其通项公式，等差中项，等差数列前n项和公式。等比数列及其通项公式，等比中项，等比数列前n项和公式。6．平面向量向量的概念，向量的线性运算。向量直角坐标的概念，向量坐标与点坐标之间的关系，向量的直角坐标运算，中点式，距离公式。微信公众号：Jiuwes 向量夹角的定义，向量的内积，两向量垂直、平行的条件。7．逻辑用语命题、量词、逻辑联结词。 8．排列、组合与二项式定理分类计数原理与分步计数原理。排列的概念，排列数公式。组合的概念，组合数公式及性质。二项式定理，二项式系数的性质。（二）三角角的概念的推广，弧度制。任意角三角函数（正弦、余弦和正切）的概念，同角三角函数的基本关系式。三角函数诱导公式。微信公众号：Jiuwes

2018年春季高考数学真题

2018春季高考真题一、选择题 1、已知集合，,则等于 A、? B、 C、 D、 2、函数的定义域是 A、（∞） B、（）（，∞） C、∞） D、）（，∞） 3、奇函数的布局如图所示，则 A、B、 C、D、 4、已知不等式的解集是 A、（）（，） B、（，） C、（）（，） D、（，） 5、在数列中，=-1 ,=0，=+,则等于 A、B、C、D、 6、在如图所示的平面直角坐标系中，向量的坐标是 A、（） B、（） C、（） D、（，） 7、圆的圆心在 A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 8、已知、，则“ ”是“ ”的 A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 9、关于直线,下列说法正确的是 A、直线l的倾斜角为。 B、向量是直线l的一个方向向量 C、直线l经过点（，） D、向量是直线l的一个法向量 10、景区中有一座山，山的南面有2条道路，山的北面有3条道路，均可用于游客上山或下山，假设没有其他道路，某游客计划从山的一面走到山顶后，接着从另一面下山，则不同的走法的种数是 A、6 B、10 C、12 D、20 11、在平面直角坐标系中，关于的不等式（）表示的区域（阴影部分）可能是 12、已知两个非零向量a与b 的夹角为锐角，则 A、B、C、D、 13、若坐标原点（）到直线的距离等于，则角的取值集合是 A、{} B、{} C、{} D、{} 14、关于的方程（）,表示的图形不可能是

15、在（）的展开式中，所有项的系数之和等于 A 、32 B 、-32 C 、1 D 、-1 16、设命题 ,命题 ,则下列命题中为真命题的是 A 、p B 、 C 、 D 、 17、已知抛物线的焦点为，准线为 ,该抛物线上的点到轴的距离为，且 =7，则焦点到准线距离是 A 、2 B 、 C 、 D 、 18、某停车场只有并排的8个停车位，恰好全部空闲，现有3辆汽车依次驶入，并且随机停放在不同车位，则至少有2辆汽车停放在相邻车位的概率是 A 、 B 、 C 、 D 、 19、已知矩形ABCD ，AB=2BC ，把这个矩形分别以AB ，BC 所在直线为轴旋转一周，所围成集合体的侧面积分别记为S 1、S 2 ，则S 1、S 2的比值等于 A 、 B 、 C 、 D 、 20、若由函数图像变换得到的图像，则可以通过以下两个步骤完成：第一步，把上所有点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变；第二步，可以把图像沿x 轴 A 、向右平移个单位 B 、向右平移个单位 C 、向左平移个单位 D 、向左平移个单位二、填空题 21、已知函数 ,则的值等于。 22、已知，若，则等于。 23、如图所示，已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 ，E ，F 分别是D 1B,A 1C 上不重合的两个动点，给出下列四个结论： ①CE||D 1F ； ②平面AFD||平面B 1EC 1 ； ③AB 1 EF ； ④平面AED||平面ABB 1A 1 其中，正确的结论的序号是。 24、已知椭圆C 的中心在坐标原点，一个焦点的坐标是（0,3），若点（4,0）在椭圆C 上，则椭圆C 的离心率等于 25、在一批棉花中随机抽测了500根棉花纤维的长度（精确到1mm ）作为样本，并绘制了如图所示的频率分布直方图，由图可知，样本中棉花纤维的长度大于225mm 的频数是。