【解析】北京市第四十四中学2021届高三上学期期中考试数学试题

北京市第四十四中学2020-2021学年度第一学期期中考试

高三数学试卷

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．

1. 函数()cos 24f x x π?

?=+ ??

?的最小正周期是（ ）

A.

2

π

B. π

C. 2π

D. 4π

【答案】B 【分析】

利用余弦函数的周期性求解． 【详解】()f x 的最小正周期是22

T π

π==． 故选：B ．

【点睛】本题考查函数的周期性，掌握余弦函数的周期性是解题关键．

2. 为了得到函数y=sin

3

x π

+（）的图象，只需把函数y=sinx 的图象上所有的点

A. 向左平行移动

3π

个单位长度 B. 向右平行移动3π

个单位长度

C. 向上平行移动3π

个单位长度

D. 向下平行移动3

π

个单位长度

【答案】A

试题分析：为得到函数π

sin()3

y x =+的图象，只需把函数sin y x =的图象上所有的点向左平行移动

π

3

个单位长度，故选A. 【考点】三角函数图象的平移

【名师点睛】本题考查三角函数图象的平移，函数()y f x =的图象向右平移a 个单位长度得

()y f x a =-的图象，而函数()y f x =的图象向上平移a 个单位长度得()y f x a =+的图

象．左、右平移涉及的是x 的变化，上、下平移涉及的是函数值()f x 的变化． 3. 焦点在x 轴上且渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是（ ）

A.

2

B. 1

C.

D. 2

【答案】C 【

分析】 由渐近线方程

0x y ±=可得

1b

a

=，即可求出离心率. 【详解】因为焦点在x 轴上且渐近线方程为0x y ±=，

所以

1b

a

=，即a b =， 所以222c a =，

即2

2

22c e a

==，

所以e =

故选：C

4. 1l ， 2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 A. 12l l ⊥， 23l l ⊥13//l l ?

B. 12l l ⊥， 23//l l ?13l l ⊥

C. 123////l l l ?1l ， 2l ，3l 共面

D. 1l ， 2l ，3l 共点 ?1l ， 2l ，3l 共面

【答案】B

【详解】解：因为如果一条直线平行于两条垂线中的一条，必定垂直于另一条．

选项A ，可能相交．选项C 中，可能不共面，比如三棱柱的三条侧棱，选项D ，三线共点，可能是棱锥的三条棱，因此错误．选B.

5. 设非零向量,a b 满足a b a b +=-，则（ ） A. a b ⊥ B. a b = C. //a b D. a b >

【答案】A 【分析】

化简条件a b a b +=-，两边平方可得选项. 【详解】解法一：∵a b a b +=-， ∴2

2

a b a b +=-.

∴2

2

2

2

22a a b b a a b b +?+=-?+. ∴0a b ?=.∴a b ⊥. 故选:A.

解法二：利用向量加法的平行四边形法则． 在?ABCD 中，设,AB a AD b ==， 由a b a b +=-知AC DB =，

从而可知四边形ABCD 为矩形，即AB ⊥AD ，故a b ⊥. 故选：A.

【点睛】本题主要考查平面向量运算，利用向量的模长关系得出相应的结论，主要的求解策略是“见模长，就平方”，侧重考查数学运算的核心素养.

6. 过点(1)P -的直线l 与圆221x y +=有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ） A. (0,]6

π

B. (0,

]3

π

C. [0,

]6

π

D. [0,

]3

π

【答案】D 【分析】

先设直线点斜式，再根据圆心到直线距离小大于半径得斜率范围，最后根据斜率与倾斜角关系得结果.

【详解】由题意得直线l 斜率存在，设为k ，则直线l ：1(3)310y k x kx y k +=+∴-+-=，

由直线l 与圆2

2

1x y +=有公共点得

22|31|12230031

k k k k k -≤∴-≤∴≤≤+，

从而倾斜角取值范围是0,3π??

????

，选D.

【点睛】本题考查直线与圆位置关系、直线倾斜角与斜率关系，考查基本求解能力. 7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）

A. 6

B. 9

C. 12

D. 18

【答案】B

1

3V Sh =，

11

63332

=????， 9=．

选B.

点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略

(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解． (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．

(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．

8. 已知正四棱锥S ABCD -中，23SA =，那么当该棱锥的

体积最大时，它的高（ ） A. 1 B.

3

C. 2

D. 3

【答案】C

【详解】如图所示，设正四棱锥高为h ，底面边长为a ， 则

21222

a h =-，即22

2(12)a h =-，023h ∴<< 所以()()223122

1212333

V a h h h h h =

??=-=--， 令3

()12f h h h =-，则2()3123(2)(2)(02)3f h h h h h '=<-<=-+， 令()0,2f h h '==，当(0,2)h ∈时，()0,()f h f h '<单调递减， 当(2,23)h ∈时，()0,()f h f h '>单调递增，

所以2,()h f h =取得极小值，也是最小值，V 有最大值． 故选：C.

9. 设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线()2

20y px p =>上任意一点，M 是线段PF

上的点，且2PM MF =,则直线OM 的斜率的最大值为( )

A.

33

B.

23

C.

22

D. 1

【答案】C

试题分析：设

2

,)

2

y

P y

p

（，由题意(,0)

2

p

F，显然

y<时不符合题意，故

y>，则

2

00

1112

()(,)

3333633

y y

p

OM OF FM OF FP OF OP OF OP OF

p =+=+=+-=+=+，可得：

2

22

3

22

22

63

OM

y

k

y p

y p

p y

p

==≤=

+

+

，当且仅当22

00

2,2

y p y p

==时取等号，故选C．

考点：1．抛物线的简单几何性质；2．均值不等式．

【方法点晴】本题主要考查的是向量在解+析几何中的应用及抛物线标准方程方程，均值不等式的灵活运用，属于中档题．解题时一定要注意分析条件，根据条件||2||

PM MF

=，利用向量的运算可知

2

00

(,)

633

y y

p

M

p

+，写出直线的斜率，注意均值不等式的使用，特别是要分析等号是否成立，否则易出问题．

10. 如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在边AD、BC上，且2

DE AE

=，2

CF BF

=，如果对于常数λ，在正方形ABCD的四条边上，有且只有6个不同的点P使得PE PFλ

?=成立，那么λ的取值范围是（）

A. (0,7)

B. (4,7)

C. (0,4)

D. (5,16)

-

【答案】C

【分析】

由题画出图形,设EF 的中点为O ,则2PE PF PO PE PF FE

?+=?

-=?，可解得9PO λ=+，讨论点P 在

每一条边上时，PO 的取值范围，进而求解即可得选项. 【详解】如图所示，

设EF 的中点为O ，则2PE PF PO PE PF FE

?+=?-=?，两式平方相减得22

44PE PF PO EF ?=-，所以

2

9PE PF PO λ?=-=，即2

9PO λ=+,所以9PO λ=

+

①当点P 在DC 上时，

当P 在DC 的中点处时，94PO λ=+=，此时7λ=，

当P 在DC 的中点两侧(非端点A 、D )时，495PO λ<=+<，此时716λ<<， ②当点P 在AB 上时，

当P 在AB 的中点处时，92PO λ=+=，此时5λ=-，

当P 在AB 的中点两侧(非端点A 、B )时，2913PO λ<=+<54λ-<<， ③当点P 在AD 上时， 当P 在点E 处时，93PO λ=+=，此时0λ=，

当3913PO λ<=

+<此时04λ<<，点P 有2个满足3913PO λ<=+< 1395PO λ<=+<，此时416λ<<，点P 有11395PO λ<=+<的

点；

④当点P 在BC 上时，

当P 在点F 处时，3PO λ==，此时0λ=，

当3PO λ<=

<此时04λ<<，点P 有2个满足3PO λ<=<

5PO λ<=<，此时416λ<<，点P 有15PO λ<=<的

点；

⑤当P 在点A 处时，PO λ==4λ=，当P 在点B 处时，

PO λ==4λ=，

当P 在点C 处时，5PO λ==，此时16λ=，当P 在点D 处时，5PO λ==，

此时16λ=，

综上得：当5λ=-时，有1个满足条件的点P ； 当50λ-<<时，有2个满足条件的点P ； 当0λ=时，有4个满足条件的点P ； 当04λ<<时，有6个满足条件的点P ； 当4λ=时，有4个满足条件的点P ； 当47λ<<时，有2个满足条件的点P ； 当7λ=时，有3个满足条件的点P ； 当716λ<<时，有4个满足条件的点P ； 当16λ=时，有2个满足条件的点P ； 故选:C.

【点睛】本题考查数量积的应用，考查数形结合思想，属于中档题.

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11. 已知向量(1,2)a =-，(,1)b m =，若向量a b +与a 垂直，则m =_______. 【答案】7 【分析】

利用平面向量坐标运算法则先求出a b +，再由向量a b +与a 垂直，利用向量垂直的条件能求出m 的值．

【详解】

向量(1,2)a =-，(,1)b m =，

∴(1,3)a b m +=-+，

向量a b +与a 垂直，

()(1)(1)320a b a m ∴+?=-+?-+?=，

解得7m =． 故答案为：7．

【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算法则和向量垂直的坐标表示，是基础题 12. 若圆

的半径为1，其圆心与点

关于直线对称，则圆的标准方程为_______.

【答案】2

2

(1)1y x +-=

【详解】因为圆心与点

关于直线

对称，所以圆心坐标为(0,1)，

所以圆的标准方程为：2

2

(1)1y x +-=，故答案为2

2

(1)1y x +-=. 考点：圆的标准方程.

13. 在ABC ?中，AB 6=，75A ∠=?，45B ∠=?，则AC =________．

【答案】2

试题分析：在ABC ?中，由正弦定理得sin 6sin 452sin AB B AC C ?

=

==.所以答案应填：2．

考点：1、正弦定理；2、三角形内角和定理．

14. 在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是 （写出所有正确结论的编号）. ①矩形；

②不是矩形的平行四边形；

③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体； ④每个面都是等边三角形的四面体； ⑤每个面都是直角三角形的四面体.

【答案】①③④⑤

试题分析：本题中①③④⑤只要能举一例说明正确即可，如图长方体1111ABCD A B C D -中，四边形11ABB A 是矩形，四面体1B ABC 有三个面是直角三角形，第四个面1B AC 是等腰三角形，四面体11A BC D 每个面都是等腰三角形，四面体1D BDC 每个面都是直角三角形，故①③④⑤正确，而任取四点构成的平行四边形的两组对边中至少有一组是长方体的平行的一对棱，故这个平行四边形一定是矩形，从而②错误.

考点：线线垂直与线面垂直.

15. 已知曲线4422:1C x y mx y ++=（m 为常数）. （i ）给出下列结论： ①曲线C 为中心对称图形； ②曲线C 为轴对称图形；

③当1m =-时，若点(),P x y 在曲线C 上，则1x ≥或1y ≥. 其中，所有正确结论的序号是_________.

（ii ）当2m >-时，若曲线C 所围成的区域的面积小于π，则m 的值可以是_________.（写出一个即可）

【答案】 (1). ①②③ (2). 2m >均可 【分析】

（i ）在曲线C 上任取一点(),P x y ，将点()1,P x y --、()2,P x y -、()3,P x y -代入曲线C 的方程，可判断出命题①②的正误，利用反证法和不等式的性质可判断出命题③的正误；

（ii ）根据2m =时，配方得出2

2

1x y +=，可知此时曲线C 为圆，且圆的面积为π，从而得

知当2m >时，曲线C 所表示的图形面积小于π.

【详解】（i ）在曲线C 上任取一点(),P x y ，则4422

1

x y mx y ++=，

将点()1,P x y --代入曲线C 的方程可得()()()

()

4

4

2

2

1x y m x y -+-+--=，

同理可知，点()2,P x y -、()3,P x y -都在曲线C 上，则曲线C 关于原点和坐标轴对称，命题①②正确.

当1m =-时，2

4

4

2

2

22213124x y x y x y y ??=+-=-+ ??

?，反设1x <且1y <，

则201x ≤<，2

01y ≤<，所以，22111222x y -<-<，则2

2211024x y ??≤-< ??

?，

所以，2

4

4

2

2

22213124x y x y x y y ??+-=-+< ??

?，这与4422

1x y x y +-=矛盾.

假设不成立，所以，1x ≥或1y ≥，命题③正确；

（ii ）当2m =时，曲线C 的方程为4422

21x y x y ++=，即()

2

22

1x y +=，即221x y +=，

此时，曲线C 表示半径为1的圆，其面积为π.

当2m >时，且当0xy ≠时，在圆2

2

1x y +=上任取一点(),P x y ，则

()

2

2

24422442212x y

x y x y x y mx y =+=++<++，则点P 在曲线外，所以，曲线C 的面积

小于圆的面积π.

故答案为：①②③；2m >均可.

【点睛】本题考查曲线中的新定义，涉及曲线的对称性以及曲线面积相关的问题，考查推理能力，属于难题.

三、解答题：本大题共6小题，共85分

16. 已知函数()()

2

cos 23sin cos sin f x x x x x =+-．

（1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）若当0,

2x π??

∈????

时，关于()f x m ≥的不等式 _______，求实数m 的取值范围．

请选择①和②中的一个条件，补全问题（2），并求解．其中，①有解；②恒成立． 注意：如果选择①和②两个条件解答，以解答过程中书写在前面的情况计分． 【答案】（1）[,

],3

6

k k k Z π

π

ππ-++∈；（2）若选择①，2m ≤． 若选择②，1m ≤-．

【分析】

(1)先结合二倍角公式及辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的单调性可求; (2）若选择①，由()f x m ≥有解，即max ()m f x ≤，结合正弦函数的性质可求; 若选择②，由()f x m ≥恒成立，即min ()m f x ≤，结合正弦函数的性质可求.

【详解】（1）因为()()

2cos cos sin f x x x x x =+-

22cos s n cos i x x x x =+-

2cos2x x +

2sin(2).6

x π

=+

令222,2

62

k x k k Z π

π

π

ππ-

+≤+

≤

+∈，

解得36

k x k k Z ππ

-+π≤≤+π,∈.

所以函数()f x 的单调递增区间,,.36k k k Z ππππ??

-++∈????

（2）若选择①，

由题意可知，不等式()f x m ≥有解，即max ()m f x ≤， 因为0,2x π??

∈????，所以72666x πππ≤+≤， 故当262

x π

π

+

=

，即6

x π

=

时，

()f x 取得最大值，且最大值为()26

f π

=，

所以2m ≤.

若选择②，由()f x m ≥恒成立，即min ()m f x ≤,

因为0,

2x π??

∈????

，所以72666x πππ≤+≤, 故当726

6

x π

π+

=

，即2x π=时,

()f x 取得最小值，且最小值为()12

f π

=-，

所以1m ≤-

【点睛】关键点点睛：考查了二倍角公式辅助角公式在三角函数化简中的应用，还考查了正弦函数性质的综合应用，其中，考查了存在性命题与全称命题的理解，理解含量词命题转化成适当的不等式是解题关键，属于中档试题.

17. 如图，在几何体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2

的

正方形，DE ⊥平面ABCD ，

//DE BF ，且22DE BF ==．

（Ⅰ）求证：平面//BCF 平面ADE ； （Ⅱ）求钝二面角D AE F --的余弦值． 【答案】（Ⅰ）详见解+析；（Ⅱ）1

3

-． 【分析】

（Ⅰ）推导出//BF 平面ADE ，//BC 平面ADE ，利用面面平行的判定定理可证明出平面

//BCF 平面ADE ；

（Ⅱ）分别以DA 、DC 、DE 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可计算出钝二面角D AE F --的余弦值．

【详解】（Ⅰ）因为//DE BF ，DE ?平面ADE ，BF ?平面ADE ，所以//BF 平面ADE ． 同理，得//BC 平面ADE ． 又因为BC

BF B =，BC ?平面BCF ，BF ?平面BCF ，所以平面//BCF 平面ADE ；

（Ⅱ）由DE ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，可知DA 、DC 、DE 两两垂直，

分别以DA 、DC 、DE 为x 轴、y 轴、z 轴，如图建立空间直角坐标系， 则()0,0,0D 、()0,0,2E 、()2,2,1F 、()2,0,0A ， 所以()2,0,2AE =-，()0,2,1AF =，

设平面AEF 的法向量(),,n x y z =，由00

AE n AF n ??=??=?，得220

20x z y z -+=??+=?，

令1y =，则2z =-，2x =-，得()2,1,2n =--． 平面ADE 的一个法向量()0,1,0m =．

11

cos ,133

m n m n m n ?=

==??， 因此，钝二面角D AE F --的余弦值为13

-.

【点睛】本题考查面面垂直的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角的余弦值，考查计算能力，属于中等题.

18. 在△ABC 中，8b =，1

cos 7

B =-． （Ⅰ）若7a =，求A ∠； （Ⅱ）若7a =，求A

C 边上的高．

（Ⅲ）写出△ABC 面积的最大值．（结论不要求证明） 【答案】（Ⅰ）3

A π

∠=

；（Ⅱ）

33

2

；（Ⅲ）83

【分析】

（Ⅰ）根据同角三角函数的基本关系求出sin B，由正弦定理求解；（Ⅱ）由两角和的正弦公式可得sin C，由sin

BC C即可求解；（Ⅲ）由余弦定理及均值不等式，可求出ac的最大值，即可求解.

【详解】（Ⅰ）

1

cos,(,)

72

B B

π

π

=-∴∈，

2

43

sin1cos

7

B B

∴=-=，

由正弦定理得：

7

sin sin sin43

a b

A B A

=?=

，

3

sin

2

A

∴=,

(,)

2

B

π

π

∈，

(0,)

2

A

π

∴∈，

3

A

π

∴=.

（Ⅱ）在ABC中，sin sin()sin cos sin cos

C A B A B B A

=+=+

3114333

().

72

=?-+?=

如图，

sin

h

C

BC

=，

3333

sin7

h BC C

∴=?==，

所以AC

（Ⅲ）△ABC

面积的最大值为19. 已知椭圆M ：22

213

x y a +=()0a >的一个焦点为()1,0F -，左右顶点分别为A ，B ．经过

点F 的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点． （Ⅰ）求椭圆M 方程；

（Ⅱ）当直线l 的倾斜角为45时，求线段CD 的长；

（Ⅲ）记△ABD 与△ABC 的面积分别为1S 和2S ，求12S S -的最大值．

【答案】（Ⅰ）22

143x y +=；

（Ⅱ）247；（Ⅲ）12||S S -

【分析】

（Ⅰ）根据椭圆的几何性质求出,a b 可得结果； （Ⅱ）联立直线与椭圆，根据弦长公式可求得结果；

（Ⅲ）设直线l ：1x ty =-(0)t ≠，11(,)C x y ，22(,)D x y ，联立直线l 与椭圆M 的方程，利用韦达定理求出12y y +，12||S S -=

212||

34

t t +，变形后利用基本不等式可求得最大值.

【详解】（Ⅰ）因为椭圆的焦点为()1,0F -，所以1c =且23b =，所以222314a b c =+=+=，

所以椭圆M 方程为22143

x y +=.

（Ⅱ）因为直线l 的倾斜角为45，所以斜率为1，直线l 的方程为1y x =+，

联立221143y x x y =+??

?+

=??

，消去y 并整理得27880x x +-=，

设11(,)C x y ，22(,)D x y ， 则1287

x x +=-

，128

7x x =-，

所以||

CD=

24

7

=.

（Ⅲ）由（Ⅰ）知(2,0),(2,0)

A B

-，

设直线l：1

x ty

=-(0)

t≠，

11

(,)

C x y，

22

(,)

D x y，

联立22

1

1

43

x ty

x y

=-

?

?

?

+=

??

，消去x并整理得22

(34)690

t y ty

+--=，

则

122

6

34

t

y y

t

+=

+

，

123

9

34

y y

t

=-

+

<，所以12

,y y异号，

所以

1212

11

|||4||4|||

22

S S y y

-=?-??

12

2||||||

y y

=-

12

2||

y y

=+

2

12||

34

t

t

=

+ 12

4

3||

||

t

t

=

+

≤==

当且仅当||t=.

所以12

||

S S

-

【点睛】关键点点睛：第（Ⅲ）问中将三角形面积用,C D两点的纵坐标表示，并利用韦达定理和基本不等式解决是解题关键.

20. 已知函数()32

1

2

f x x x bx c

=-++，且()

f x在1

x=处取得极值．

（Ⅰ）求b的值；

（Ⅱ）若当[]

1,2

x∈-时，()2

f x c

<恒成立，求c的取值范围；

（Ⅲ）对任意的[]

12

,1,2

x x∈-，()()

12

7

2

f x f x

-≤是否恒成立？如果成立，给出证明；如果不成立，请说明理由．

【答案】（Ⅰ）2

b=-；（Ⅱ）c的取值范围是()()

,12,

-∞-+∞．（Ⅲ）成立，证明见解+析.

【分析】

（Ⅰ）由题意得f（x）在x＝1处取得极值所以f′（1）＝3﹣1+b＝0所以b＝﹣2．

（Ⅱ）利用导数求函数的最大值即g（x）的最大值，则有c2＞2+c，解得：c＞2或c＜﹣1．（Ⅲ）对任意的x1，x2∈[﹣1，2]，|f（x1）﹣f（x2）|

7

2

≤恒成立，等价于|f（x1）﹣f（x2）|≤f

（x ）max ﹣f （x ）min 72

=

． 【详解】（Ⅰ）∵f （x ）＝x 312

-x 2

+bx +c ， ∴f ′（x ）＝3x 2﹣x +b ．

∵f （x ）在x ＝1处取得极值， ∴f ′（1）＝3﹣1+b ＝0． ∴b ＝﹣2． 经检验，符合题意． （Ⅱ）f （x ）＝x 312

-

x 2

﹣2x +c ． ∵f ′（x ）＝3x 2﹣x ﹣2＝（3x +2）（x ﹣1）， 当x ∈（﹣1，2

3

-）时，f ′（x ）＞0 当x ∈（2

3

-

，1）时，f ′（x ）＜0 当x ∈（1，2）时，f ′（x ）＞0

∴当x 23=-

时，f （x ）有极大值

22

27

+c ． 又f （2）＝2+c 2227+＞c ，f （﹣1）12=+c 2227

+＜ c ∴x ∈[﹣1，2]时，f （x ）最大值为f （2）＝2+c ． ∴c 2＞2+c ．∴c ＜﹣1或c ＞2．

（Ⅲ）对任意的x 1，x 2∈[﹣1，2]，|f （x 1）﹣f （x 2）|7

2

≤恒成立． 由（Ⅱ）可知，当x ＝1时，f （x ）有极小值3

2

-+c ． 又f （﹣1）12=

+c 32

-+＞ c ∴x ∈[﹣1，2]时，f （x ）最小值为3

2

-

+c ． ∴|f （x 1）﹣f （x 2）|≤f （x ）max ﹣f （x ）min 7

2

=

，故结论成立． 【点睛】本题考查函数的极值及最值的应用，易错点是知极值点导数为0要检验，结论点睛：|f （x 1）﹣f （x 2）|≤a 恒成立等价为f （x ）max ﹣f （x ）min ≤a 21.

已知集合{}121{|(,,),0,1,1,2,,}(2)n n S X X x x x x i n n ==?∈=?≥，对于

12(,,,)n A a a a =…，12(,,,)n n B b b b S =∈…，定义A 与B 的差为

1122(|,,|);n n A B a b a b a b -=--?-

A 与

B 之间的距离为1

11

(,)i d A B a

b -=

-∑

（Ⅰ）当n=5时，设(0,1,0,0,1),(1,1,1,0,0)A B ==，求A B -，(,)d A B ； （Ⅱ）证明：,,,n n A B C S A B S ?∈-∈有，且(,)(,)d A C B C d A B --=; (Ⅲ) 证明：,,,(,),(,),(,)n A B C S d A B d A C d B C ?∈三个数中至少有一个是偶数 【答案】（Ⅰ）A B -=（1,0,1,0,1），(,)d A B =3； （Ⅱ）见解+析; (Ⅲ)见解+析

【详解】（Ⅰ）解：(01,11,01,00,10)A B -=-----=（1,0,1,0,1）

(,)0111010010d A B =-+-+-+-+-=3

(Ⅱ)证明：设121212(,,,),(,,,),(,,,)n n n n A a a a B b b b C c c c S =???=???=???∈ 因为{}11,0,1a b ∈，所以{}110,1(1,2,,)a b i n -∈=??? 从而1122(,,)n n n A B a b a b a b S -=--???-∈ 由题意知{},,0,1(1,2,,)i i i a b c i n ∈=??? 当0i c =时，i i i i i i a c b c a b ---=-

当1i c =时，(1)(1)i i i i i i i i a c b c a b a b ---=---=- 所以1

(,)(,)n

i i

i d A C B C a b

d A B =--=

-=∑

(Ⅲ)证明：设121212(,,,),(,,,),(,,,)n n n n A a a a B b b b C c c c S =???=???=???∈

(,),(,),(,)d A B k d A C l d B C h ===

记0(0,0,0)n S =???∈由（Ⅱ）可知

(,)(,)(0,)(,)(,)(0,)(,)(,)d A B d A A B A d B A k d A C d A A C A d C A l d B C d B A C A h

=--=-==--=-==--= 所以(1,2,,)i i b a i n -=???中1的个数为k,(1,2,,)i i c a i n -=???中1的个数为l 设t 是使1i i i i b a c a -=-=成立的i 的个数．则2h l k t =+- 由此可知，,,k l h 三个数不可能都是奇数

即(,),(,),(,)d A B d A C d B C 三个数中至少有一个是偶数．