北师大版数学高一(北师大)必修3学案 互斥事件

3.2.3 互斥事件

一、学习目标：

1、知识与技能：

(1)理解互斥事件和对立事件的概念，并根据概率计算公式的应用范围和具体运算法则解决简单的概率问题。

（2）正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件，以及互斥事件、对立事件的概念；

（3）概率的几个基本性质：

1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；

2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；

3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)

（4）正确理解和事件与积事件，以及互斥事件与对立事件的区别与联系.

2、过程与方法：

通过引导学生判断互斥事件和互为对立事件两个概念的对比学习，提高学生的类比、归纳、探寻事物的能力。通过不同形式的自主学习和探究活动，体验数学发现和创造的历程，提高学生的合作能力和创造的历程，提高学生的合作解题能力和利用数学知识解决实际应用问题的能力。

3、情感、态度与价值观：

通过课堂上学生独立思考、合作讨论，有意识、有目的的培养学生自主学习的学习习惯与协作共进的团队精神；让学生体验成功，激发其求知欲，树立求真知的信心；培养学生的辩证唯物主义观点。

重点：互斥事件和对立事件的概念以及互斥事件的概率计算公式。

难点：互斥事件与对立事件的区别与联系。

二、学习过程:

问题引入：

一个盒子内放有10个大小相同的小球，其中有7个红球、2个绿球、1个黄球．从中任取1个小球.求:

(1)得到红球的概率;

(2)得到绿球的概率;

(3)得到红球或绿球的概率.

设问：“得到红球”和“得到绿球”这两个事件之间有什么关系,可以同时发生吗?

事件得到“红球或绿球”与上两个事件又有什么关系?它们的概率间的关系如何?

我们把“从中摸出1个球，得到红球”叫做事件A，“从中摸出1个球，得到绿球”叫做事件B，“从中摸出1个球，得到黄球”叫做事件C．

三、新课讲解：

1.互斥事件的定义

如果从盒中摸出的1个球是红球，即事件A发生，那么事件B就不发生；如果从盒中摸出的1个球是绿球，即事件B发生，那么事件A就不发生．

就是说，事件A与B不可能同时发生。这种在一次试验下不能同时发生的两个或多个事件叫做互斥事件．

例1：抛掷一枚骰子一次,下面的事件A与事件B是互斥事件吗？

(1)事件A=“点数为2”,事件B=“点数为3”

(2)事件A=“点数为奇数”,事件B=“点数为4”

(3)事件A=“点数不超过3”,事件B=“点数超过3”

(4)事件A=“点数为5”,事件B=“点数超过3”

说一说：例1题中(2)(3)和(4)中的事件A和B，A+B各表示什么事件？

根据例1中(1),(2),(3)中每一对事件,完成

下表,然后根据你的结果,你能发现P(A+B)

与P(A)+P(B)有什么关系吗?

抽象概括：

在一个随机事试验中,如果事件A和事件

B是互斥事件,那么P(A+B)=P(A)+P(B) （概率加法公式）

思考交流2：(4)事件A=“点数为5”,事件B=“点数超过3”，在(3)中,我们发现有

P(A+B)=P(A)+P(B)=1，那么在(4)中,P(A+B)=P(A)+P(B)是否成立?

概率加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)只适用于互斥事件.

拓展推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An 彼此互斥，那么事件发生（即A1，A2，…，An 中有一个发生）的概率，等于这n 个事件分别发生的概率的和，

即P （A1＋A2＋…An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)

2.对立事件的概念

在前面例1(3)中,我们发现P(A+B)=P(A)+P(B)=1，概率为1,说明事件A+B 为必然事件,即A 和B 中必有一个发生。此时，我们把事件B 称为事件A 的对立事件。

对立事件概念:两个互斥事件必有一个发生，则称

这两个事件为对立事件。事件A 的对立事件记为A 。 从集合的角度看，由事件A 所含的结果组成的集

合，是全集I 中的事件A 所含的结果组成的集合的补集。

思考交流3：互斥事件与对立事件有何关系？

对立事件是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件。

练习：判断下列事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件，如果不是对立事件，再分别说出它们的对立事件。

（1）“恰有一件是次品”与“恰有两件次品”。

（2）“至少有一件次品”与“全是次品”

（3）“至少有一件正品”与“至少有一件次品”

（4）“至少有一件次品”与“全是正品”

例2：某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组分别有39，32，33个成员，一些成员参加了不止1个小组，

具体情况如图所示。随机选取1个成员：

求他参加不超过2个小组的概率是多少？

求他至少参加2个小组的概率是多少？

经验之谈：有时当事件A 比较复杂，可以通过A 的对立事件求，可能会简单点。

例3： 一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件?

事件A ：命中环数大于7环； 事件B ：命中环数为10环；

事件C ：命中环数小于6环； 事件D ：命中环数为6、7、8、9、10环. 分析：要判断所给事件是对立还是互斥，首先将两个概念的联系与区别弄清楚，互斥事件是指不可能同时发生的两事件，而对立事件是建立在互斥事件的基础上，两个事件中一个不发生，另一个必发生。

例4、抛掷一骰子,观察掷出的点数,设事件A 为“出现奇数点”，B 为“出现偶数点”，已知P(A)=21，P(B)=2

1，求出“出现奇数点或偶数点” 概率． 分析：抛掷骰子,事件“出现奇数点”和“出现偶数点”是彼此互斥的，可用运用概率的加法公式求解．

例5、 如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心（事件A ）的概率是41，取到方块（事件B ）的概率是4

1，问： （1）取到红色牌（事件C ）的概率是多少？

（2）取到黑色牌（事件D ）的概率是多少？

分析：事件C 是事件A 与事件B 的并，且A 与B 互斥，因此可用互斥事件的概率和公式求解，事件C 与事件D 是对立事件，因此P(D)=1—P(C)．

例6、 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为31，得到黑球或黄球的概率是125，得到黄球或绿球的概率也是12

5，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？

分析：利用方程的思想及互斥事件、对立事件的概率公式求解．

四、课堂小结：

1.互斥事件:不可能同时发生的两个或多个事件叫做互斥事件。

若事件A 与B 互斥： P(A+B) = P(A) + P(B)

若事件A1，A2，…，An 彼此互斥

P （A1＋A2＋…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)

2. 对立事件：其中必有一个发生的两个互斥事件叫做对立事件。

当A 、B 是对立事件时，P(B)=1-P(A)

3. 互斥事件与对立事件的关系：

对立事件是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件。

4.概率的基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；2）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；3）若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；3）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A 与事件B 在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：（1）事件A 发生且事件B 不发生；（2）事件A 不发生且事件B 发生；（3）事件A 与事件B 同时不发生，而对立事件是指事件A 与事件B 有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事件A 发生B 不发生；（2）事件B 发生事件A 不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。

五、课堂练习：

1．从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件。

（1）恰好有1件次品恰好有2件次品；

（2）至少有1件次品和全是次品；

（3）至少有1件正品和至少有1件次品；

（4）至少有1件次品和全是正品；

2．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数，事件B 为出现2点，已知P （A ）=21，P （B ）=6

1，求出现奇数点或2点的概率之和。 3．某射手在一次射击训练中，射中10环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.28，计算该射手在一次射击中：

（1）射中10环或9环的概率；

（2）少于7环的概率。

4．已知盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是71，从中取出2粒都是白子的概率是35

12，现从中任意取出2粒恰好是同

一色的概率是多少？

3.2.3 互斥事件答案

三、 新课讲解

例1解：互斥事件: (1) (2) (3)

但(4)不是互斥事件,当点数为

5时,事件A 和事件B

同时发生。

从集合意义理解：

给定事件A,B,我们规定A+B 为一个事件，事件A+B 发生是指事件A 和

事件B 至少有一个发生。事件A+B 发生的意义:事件A 和事件B 中至少有一个发生。 当A 与B 互斥时,A+B 事件指“A 发生B 不发生”和“A 不发生B 发生”。

例2解：(1)用事件A 表示“选取的成员参加不超过2个

小组”用A1表示“选取成员只参加1个小组”，A2“选

取成员只参加2个小组”，A1与A2互斥事件 87.060

526010117601086)()(21≈=+++++=+=A A P A P 因此，随即选取一个成员参加不超过2个小组的概率是0.87.

(2)用事件B 表示“选取的成员至少参加2个小组”则B 表示“选取的成员只参加1个小组”，则 P(B)=1—P(B )=6.060

36602416010861==-=++- 所以，随即选取一个成员至少参加2个小组的概率是0.6。

例3解：A 与C 互斥（不可能同时发生），B 与C 互斥，C 与D 互斥，C 与D 是对立事件（至少一个发生）.

例4解：记“出现奇数点或偶数点”为事件C,则C=A ∪B,因为A 、B 是互斥事件，所以P(C)=P(A)+ P(B)=21+2

1=1 答：出现奇数点或偶数点的概率为1

B A 与B 交集为空集 A 、B 互斥 A 与B 交集不为空A 、B 不互斥

例5解：（1）P(C)=P(A)+ P(B)=21（2）P(D)=1—P(C)=2

1 例6解：从袋中任取一球，记事件“摸到红球”、“摸到黑球”、“摸到黄球”、“摸

到绿球”为A 、B 、C 、D ，则有P(B ∪C)=P(B)+P(C)=

125；P(C ∪D)=P(C)+P(D)=12

5；P(B ∪C ∪D)=1-P(A)=1-31=32,解的P(B)=41,P(C)=61,P(D)=4

1 答：得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是41、61、41． 课堂练习;

1．解：依据互斥事件的定义，即事件A 与事件B 在一定试验中不会同时发生知：（1）恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生，因此它们是互斥事件，又因为它们的并不是必然事件，所以它们不是对立事件，同理可以判断：（2）中的2个事件不是互斥事件，也不是对立事件。（3）中的2个事件既是互斥事件也是对立事件。

2．解：“出现奇数点”的概率是事件A ，“出现2点”的概率是事件B ，“出现奇数点或2点”的概率之和为P （C ）=P （A ）+P （B ）=21+61=3

2 3．解：（1）该射手射中10环与射中9环的概率是射中10环的概率与射中9环的概率的和，即为0.21+0.23=0.44。（2）射中不少于7环的概率恰为射中10环、9环、8环、7环的概率的和，即为0.21+0.23+0.25+0.28=0.97，而射中少于7环的事件与射中不少于7环的事件为对立事件，所以射中少于7环的概率为1－0.97=0.03。

4．解：从盒子中任意取出2粒恰好是同一色的概率恰为取2粒白子的概率与2粒黑子的概率的和，即为71+3512=35

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