人教版八年级数学下《菱形》拓展练习

《菱形》拓展练习

一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）

1．（5分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8cm，BD＝6cm，DH⊥AB 于点H，且DH与AC交于点G，AG＝cm，则GH的长为（）

A．cm B．cm C．cm D．cm

2．（5分）如图，把菱形ABCD向右平移至DCEF的位置，作EG⊥AB，垂足为G，EG与CD相交于点K，GD的延长线交EF于点H，连接DE，则下列结论：

①DG＝DE；②∠DHE＝∠BAD；③EF+FH＝2KC；④∠B＝∠EDH．

则其中所有成立的结论是（）

A．①②③④B．①②④C．②③④D．①③

3．（5分）矩形ABCD中，O为AC的中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M连接DE，BO．若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论：

①△AOE≌△COF；

②△EOB≌△CMB；

③FB⊥OC，OM＝CM；

④四边形EBFD是菱形；

⑤MB：OE＝3：2

其中正确结论的个数是（）

A．5B．4C．3D．2

4．（5分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点C作AB垂线交AB延长线于点E，连结OE，若AB＝2，BD＝4，则OE的长为（）

A．6B．5C．2D．4

5．（5分）如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、BC边的中点，EP⊥CD 于点P，∠BAD＝110°，则∠FPC的度数是（）

A．35°B．45°C．50°D．55°

二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

6．（5分）如图，已知平行四边形的两条边长分别为1，a（a＞1），它能被平行于边的直线分割成4个菱形，则a的值可以是．

7．（5分）如图，菱形ABCD，∠B＝60°，AB＝4，点E为BC中点，点F在菱形ABCD的边上，连接EF，若EF＝2，则的值为．

8．（5分）在菱形ABCD中，M是BC边上的点（不与B，C两点重合），AB＝AM，点B关于直线AM对称的点是N，连接DN，设∠ABC．∠CDN的度数分别为x，y，则y关于x的函数解析式是．

9．（5分）如图，菱形ABCD和菱形BEFG的边长分别是5和2，∠A＝60°，连结DF，则DF的长为．

10．（5分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，对角线AC平分角∠BAD，点P是△ABC内一点，连接P A、PB、PC，若P A＝6，PB＝8，PC＝10，则菱形ABCD的面积等于．

三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）

11．（10分）菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E在AD上，连接BE，点F、H 在BE上，△AFH为等边三角形．

（1）如图1，若CE⊥AD，BE＝，求菱形ABCD的面积；

（2）如图2，点G在AC上，连接FG，HC，若FG∥AH，HC＝2AH，求证：AG＝GC．

12．（10分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°．

（1）如图①，若点E、F分别在边AB、AD上，且BE＝AF．求证：△CEF是等边三角形；

（2）小明发现若点E、F分别在边AB、AD上，且∠CEF＝60°时△CEF也是等边三角形，并通过画图验证了猜想；小丽通过探索，认为应该以CE＝EF 为突破口构造两个三角形全等；小倩受到小丽的启发，尝试在BC上截取BM ＝BE，连接ME，如图②，很快就证明了△CEF是等边三角形，请你根据小倩的方法，写出完整的证明过程．

13．（10分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是对角线AC上任意一点，F 是线段BC延长线上一点，且CF＝AE，连接BE、EF．

（1）如图1，当E是线段AC的中点时，求证：BE＝EF．

（2）如图2，当点E不是线段AC的中点，其它条件不变时，请你判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由．

14．（10分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长AC到E，使CE＝CO，连接EB，ED．

（1）求证：EB＝ED；

（2）过点A作AF⊥AD，交BC于点G，交BE于点F，若∠AEB＝45°，

①试判断△ABF的形状，并加以证明；

②设CE＝m，求EF的长（用含m的式子表示）．

15．（10分）已知：如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O，点E，F分别是AD，DC的中点，已知OE＝，EF＝3，求菱形ABCD的周长和面积．

《菱形》拓展练习

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）

1．（5分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8cm，BD＝6cm，DH⊥AB 于点H，且DH与AC交于点G，AG＝cm，则GH的长为（）

A．cm B．cm C．cm D．cm

【分析】先求出菱形的边长，然后利用面积的两种表示方法求出DH，在Rt△DHB中求出BH，然后得出AH，勾股定理可得出GH的值．

【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8cm，BD＝6cm，

∴AO＝4cm，BO＝3cm，

在Rt△AOB中，AB＝＝5cm，

∵BD×AC＝AB×DH，

∴DH＝cm，

在Rt△DHB中，BH＝＝cm，

则AH＝AB﹣BH＝cm，

∴GH＝＝＝cm．

故选：B．

【点评】本题考查了菱形的性质、解直角三角形及三角函数值的知识，注意菱形

的面积等于对角线乘积的一半，也等于底乘高．

2．（5分）如图，把菱形ABCD向右平移至DCEF的位置，作EG⊥AB，垂足为G，EG与CD相交于点K，GD的延长线交EF于点H，连接DE，则下列结论：

①DG＝DE；②∠DHE＝∠BAD；③EF+FH＝2KC；④∠B＝∠EDH．

则其中所有成立的结论是（）

A．①②③④B．①②④C．②③④D．①③

【分析】首先证明△ADG≌△FDH，再利用菱形的性质、直角三角形斜边中线的性质即可一一判断；

【解答】解：∵四边形ABCD和四边形DCEF是菱形，

∴AB∥CD∥EF，AD＝CD＝DF，

∴∠GAD＝∠F，

∵∠ADG＝∠FDH，

∴△ADG≌△FDH，

∴DG＝DH，AG＝FH，

∵EG⊥AB，

∴∠BGE＝∠GEF＝90°，

∴DE＝DG＝DH，故①正确，

∴∠DHE＝∠DEH，

∵∠DEH＝∠CEF，∠CEF＝∠CDF＝∠BAD，

∴∠DHE＝∠BAD，故②正确，

∴EF+FH＝AB+AG＝BG，故③正确，

∵∠B＝∠DCE，∠CED＝∠CDE＝∠DEF＝∠DHE，

∴∠B＝∠EDH，故④正确．

故选：A．

【点评】本题考查菱形的性质、平移变换、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

3．（5分）矩形ABCD中，O为AC的中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M连接DE，BO．若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论：

①△AOE≌△COF；

②△EOB≌△CMB；

③FB⊥OC，OM＝CM；

④四边形EBFD是菱形；

⑤MB：OE＝3：2

其中正确结论的个数是（）

A．5B．4C．3D．2

【分析】①由矩形的性质和全等三角形的判定方法即可证明①△AOE≌△COF；

②根据已知得出△OBF≌△CBF，可求得△OBF与△CBF关于直线BF对称，进

而求得FB⊥OC，OM＝CM；

③因为△EOB≌△FOB≌△FCB，故△EOB不会全等于△CBM．

④先证得∠ABO＝∠OBF＝30°，再证得OE＝OF，进而证得OB⊥EF，因为

BD、EF互相平分，即可证得四边形EBFD是菱形；

⑤根据三角函数求得MB和OF的长，根据OE＝OF即可求得MB：OE的值．【解答】解：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，

∴∠OCF＝∠OAE，

∵O为AC的中点，

∴AO＝CO，

在△AOE和△COF中

，

∴△AOE≌△COF，

∴①正确；

连接BD，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AC＝BD，AC、BD互相平分，

∵O为AC中点，

∴BD也过O点，

∴OB＝OC，

∵∠COB＝60°，OB＝OC，

∴△OBC是等边三角形，

∴OB＝BC＝OC，∠OBC＝60°，

在△OBF与△CBF中

，

∴△OBF≌△CBF（SSS），

∴△OBF与△CBF关于直线BF对称，∴FB⊥OC，OM＝CM；

∴③正确，

∵∠OBC＝60°，

∴∠ABO＝30°，

∵△OBF≌△CBF，

∴∠OBM＝∠CBM＝30°，

∴∠ABO＝∠OBF，

∵AB∥CD，

∴∠OCF＝∠OAE，

∵OA＝OC，

易证△AOE≌△COF，

∴OE＝OF，

∴OB⊥EF，

∴四边形EBFD是菱形，

∴④正确，

∵△EOB≌△FOB≌△FCB，

∴△EOB≌△CMB错误．

∴②错误，

∵∠OMB＝∠BOF＝90°，∠OBF＝30°，

∴MB＝，OF＝，

∵OE＝OF，

∴MB：OE＝3：2，

∴⑤正确；

综上可知其中正确结论的个数是4个，

故选：B．

【点评】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定和性质．全等三角形的判定和

性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．4．（5分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点C作AB垂线交AB延长线于点E，连结OE，若AB＝2，BD＝4，则OE的长为（）

A．6B．5C．2D．4

【分析】先判断出OE＝OA＝OC，再求出OB＝1，利用勾股定理求出OA，即可得出结论．

【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，

∴OA＝OC，BD⊥AC，∵CE⊥AB，

∴OE＝OA＝OC，

∵BD＝4，

∴OB＝BD＝2，

在Rt△AOB中，AB＝2，OB＝2，

∴OA＝＝4，

∴OE＝OA＝4．

故选：D．

【点评】此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，判断出CD＝AD＝AB是解本题的关键．

5．（5分）如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、BC边的中点，EP⊥CD 于点P，∠BAD＝110°，则∠FPC的度数是（）

A．35°B．45°C．50°D．55°

【分析】延长PF、EB交于点G；连接EF，易证△BGF≌△CPF，则点F为PG 的中点，FP＝FG＝FE，则∠FPC＝∠FGB＝∠GEF；连接AC，则∠GEF＝∠BAC＝∠BAD＝55°，进而可求出∠FPC的度数．

【解答】解：延长PF、EB交于点G；连接EF，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AG∥DC，

∴∠GBF＝∠PCF，

∵F是BC中点，

∴BF＝CF，

在△BGF和△CPF中，，

∴△BGF≌△CPF，

∴PF＝GF，

∴点F为PG的中点，

∵∠GEP＝90°，

∴FP＝FG＝FE，

∴∠FPC＝∠FGB＝∠GEF，

连接AC，

则∠GEF＝∠BAC＝∠BAD＝55°，

∴∠FPC的度数是55°．

故选：D．

【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线的性质，题目的综合性较强难度较大，解题的关键是正确添加辅助线，

构造全等三角形，从而得到点F为PG的中点．

二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

6．（5分）如图，已知平行四边形的两条边长分别为1，a（a＞1），它能被平行于边的直线分割成4个菱形，则a的值可以是4或2.5或或．

【分析】结合菱形的性质画出图形，根据图形可以直接得到答案．

【解答】解：如图所示，a＝4 或a＝2.5 或a＝或a＝；

故答案是：4或2.5或或．

【点评】本题主要考查菱形的性质，平行四边形的性质，解题时，采用了“分类讨论”和“数形结合”的数学思想，使抽象的问题变得形象化，降低了题的难度．

7．（5分）如图，菱形ABCD，∠B＝60°，AB＝4，点E为BC中点，点F在菱形ABCD的边上，连接EF，若EF＝2，则的值为1或．

【分析】①当点F与A重合时，易知EF＝2，此时DF＝DC＝4，可得＝1，

②当点F′是CD的中点时，由BE＝EC，DF′＝CF′，推出EF′＝BD

＝2，满足条件，

【解答】解：如图，连接AC、BD交于点O．

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，AB＝4，

∴易知△ABC，△ADC都是等边三角形，

∴AC＝AB＝4，OB＝OD＝2，

∴BD＝4，

①当点F与A重合时，易知EF＝2，此时DF＝DC＝4，

∴＝1，

②当点F′是CD的中点时，∵BE＝EC，DF′＝CF′，

∴EF′＝BD＝2，满足条件，此时DF′＝2，DC＝4，

∴＝，

故答案为1或．

【点评】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会用分讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．8．（5分）在菱形ABCD中，M是BC边上的点（不与B，C两点重合），AB＝AM，点B关于直线AM对称的点是N，连接DN，设∠ABC．∠CDN的度数

分别为x，y，则y关于x的函数解析式是y＝．

【分析】①当x＝72°时，如图1中，易知点N在CD上，此时y＝0；②当72°＜x＜90°时，如图2中，根据菱形的邻角互补，构建方程求解；③当0＜x ＜72°，如图3中，同法可得；

【解答】解：①当x＝72°时，如图1中，易知点N在CD上，此时y＝0．

②当72°＜x＜90°时，如图2中，

∵AB＝AM＝AN＝AD，

∴∠ABM＝∠AMB＝∠AMN＝∠ANM＝x，∠ADN＝∠AND＝x﹣y，

∵∠B+∠BAD＝180°，

∴x+（360°﹣4x）+[180°﹣2（x﹣y）]＝180°，

∴y＝x﹣180°．

③当0＜x＜72°，如图3中，同法可得：x+（360°﹣4x）+[180°﹣2（x+y）]

＝180°，

∴y＝180°﹣x．

综上所述，y＝．

故答案为y＝．

【点评】本题考查菱形的性质、轴对称的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

9．（5分）如图，菱形ABCD和菱形BEFG的边长分别是5和2，∠A＝60°，连结DF，则DF的长为．

【分析】延长FG交AD于点M，过点D作DH⊥AB交AB于点H，交GF的延长线于点N，由菱形的性质和勾股定理再结合已知条件可求出NF，DN的长，在直角三角形DNF中，再利用勾股定理即可求出DF的长．

【解答】解：

延长FG交AD于点M，过点D作DH⊥AB交AB于点H，交GF的延长线于点N，

∵四边形ABCD和四边形BEFG都是菱形，

∴GF∥BE，EF∥AM，

∴四边形AMFE是平行四边形，

∴AM＝EF＝2，MF＝AE＝AB+BE＝5+2＝7，

∴DM＝AD﹣AM＝5﹣2＝3，

∵∠A＝60°，

∴∠DAH＝30°，

∴MN＝DM＝，

∴DN＝＝，NF＝MF﹣MN＝，

在Rt△DNF中，DF＝＝，

故答案为：．

【点评】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定和性质、含30°直角三角形的性质以及勾股定理的运用，正确作出图形的辅助线是解题的关键．10．（5分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，对角线AC平分角∠BAD，点P是△ABC内一点，连接P A、PB、PC，若P A＝6，PB＝8，PC＝10，则菱形ABCD的面积等于50．

【分析】将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AM，连接PM，想办法证明∠APH＝30°，利用勾股定理求出AB的平方即可解决问题．

【解答】解：将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AM，连接PM，作AH ⊥BP于H．

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC，∵∠ABC＝60°，

∴△ABC是等边三角形，

∵AM＝AP，∠MAP＝60°，

∴△AMP是等边三角形，

∵∠MAP＝∠BAC，

∴∠MAB＝∠P AC，

∴△MAB≌△P AC，

∴BM＝PC＝10，

∵PM2+PB2＝100，BM2＝100，

∴PM2+PB2＝BM2，

∴∠MPB＝90°，∵∠APM＝60°，

∴∠APB＝150°，∠APH＝30°，

∴AH＝P A＝3，PH＝3，BH＝8+3，

∴AB2＝AH2+BH2＝100+48，

∴菱形ABCD的面积＝2?△ABC的面积＝2××AB2＝50+72，

故答案为50+72．

【点评】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）

11．（10分）菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E在AD上，连接BE，点F、H 在BE上，△AFH为等边三角形．

（1）如图1，若CE⊥AD，BE＝，求菱形ABCD的面积；

（2）如图2，点G在AC上，连接FG，HC，若FG∥AH，HC＝2AH，求证：AG＝GC．

【分析】（1）首先证明△ABC，△ADC都是等边三角形，由CE⊥AD，推出AE ＝DE，BC⊥CE，设AE＝DE＝m，则AD＝BC＝2m，CE＝m，在Rt△BCE 中，根据BE2＝CE2+BC2，构建方程求出m即可解决问题；

（2）作CK∥AH交BE于点K．想办法证明FH＝FK，利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；

【解答】（1）解：如图1中，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠D＝60°，AD∥BC

∴△ABC，△ADC都是等边三角形，

∵CE⊥AD，

∴AE＝DE，BC⊥CE，设AE＝DE＝m，则AD＝BC＝2m，CE＝m，

在Rt△BCE中，∵BE2＝CE2+BC2，

∴4m2+3m2＝63，

∴m＝±3，

∵m＞0，

∴m＝3，

∴BC＝6，EC＝3，

∴S

＝BC?CE＝18．

菱形ABCD

（2）作CK∥AH交BE于点K．

∵△AFH是等边三角形，

∴∠AHF＝∠AFH＝60°，

∵AH∥CK，

∴∠AHF＝∠CKE＝60°，

∴∠AFB＝∠BKC＝120°，

∵∠ABF+∠CBK＝60°，∠CBK+∠BCK＝60°，

∴∠ABF＝∠BCK，

∵AB＝BC，

∴△ABF≌△BCK（AAS），

∴BK＝AF，

∵∠BAC＝∠F AH＝60°，

∴∠BAF＝∠CAH，

∵BA＝AC，AF＝AH，

∴△BAF≌△CAH（SAS），

∴BF＝CH，

∵CH＝2AH，AH＝AF＝FH＝BK，

∴BK＝FK＝FH，

∵AH∥FG∥CK，FH＝FK，

∴AG＝CG．

【点评】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，