最新高三第一轮复习——函数的基本性质

函数的基本性质之一——单调性

【基本概念】

1.函数单调性

①正向结论：若()

y f x

=

在给定区间上是增函数，则当

12

x x

<时，

12

()()

f x f x

<；当12

x x

>，

12

()()

f x f x

>；

②逆向结论：若()

y f x

=在给定区间上是增函数，则当

12

()()

f x f x

<时，_________；当12

()()

f x f x

>时，_________。

当()

y f x

=在给定区间上是减函数时，也有相应的结论。

2.函数最值的求解

求函数最值的常用方法有单调性与求导法。此处重点讲解二次函数的最值。

求二次函数的最值有两种类型：一是函数定义域为R，可用配方法求出最值；二是函数定义域为某一区间，此时应该考虑对称轴是否在给定的区间内。

3.易混淆点：对单调性和在区间上单调两个概念理解错误

【考点一】单调性的判断与证明

1.下列函数()

f x中，满足“对任意

12

,(0,)

x x∈+∞，当

12

x x

<时，都有

12

()()

f x f x

>”的是（）

A．

1

()

f x

x

= B. 2

()(1)

f x x

=- C. ()x

f x e

= D. ln(1)

y x

=+

2.给定函数①

1

2

y x

=;②

1

2

log(1)

y x

=+;③1

y x

=-;④1

2x

y+

=,其中在区间（0,1）上单调

递减的函数的序号是（）

A.①②

B.②③

C.③④

D.①④

3.证明y=[0,)

+∞是增函数

4.证明

4

y x

x

=+在[2,)

+∞是增函数。

【学案编号】数学总复习学案5

【编辑】韩晶飞【审核】马省珍

【主题】函数的基本性质

【考点二】利用单调性求参数与解不等式 3.已知函数(2)1,1

()log ,1a

a x x f x x x --≤?=?>?.若()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，则a 的取值范围为

________________

4.已知()f x 为R 上的减函数，则满足1

()(1)f f x

>的实数x 的取值范围是（ ）

.(,1)A -∞ B. (1,)+∞ C. (,0)(0,1)-∞? D. (,0)(1,)-∞?+∞

5.若函数()f x 的定义域为R,并且在(0,)+∞上是减函数，则下列不等式成立的是（ ）

A 2

3()(1)4

f f a a >-+ B. 23()(1)4

f f a a ≥-+

C. 23()(1)4f f a a <-+

D. 2

3()(1)4

f f a a ≤-+

6.已知函数22

4,0()4,0

x x x f x x x x ?+≥?=?-

(2)()f a f a ->，则实数a 的取值范围是（ ） A. (,1)(2,)-∞-?+∞ B.(1,2) C. (2,1)- D. (,2)(1,)-∞-?+∞ 【考点三】区分单调性和在区间上单调这两个概念

7.若函数2

()2(1)2f x x a x =+-+的单调区间是(,4]-∞，则实数a 的取值范围是_________. 8. 若函数2()2(1)2f x x a x =+-+在(,4]-∞上单调递减，则实数a 的取值范围是_______. 【考点四】二次函数的单调性与最值（注意：常常需要分情况讨论） 9.已知函数2()22,[1,1]f x x ax x =-+∈-，求函数()f x 的最小值。

10.设函数2()22,[,1],f x x x x t t t R =-+∈+∈,求函数()f x 的最小值。

11.已知函数2

2

()1266,f x x tx t x R =+-∈其中0t ≠，求()f x 的单调区间。 B 级

11.已知函数21,0()1,0

x x f x x ?+≥=?

(1)(2)f x f x ->的x 的取值范围是

_____________.

12.设函数()y f x =在(,)-∞+∞内有定义。对于给定的正数K ，定义函数

(),()(),()K f x f x K f x K f x K

≤?=?>?。取函数()2

x

f x -=。当1

2

K =

时，函数()K f x 的单调递增区间为（ ）

A.(,0)-∞

B. (0,)+∞

C. (,1)-∞- D (1,)+∞.

13.用{}min ,,a b c 表示,,a b c 三个数中的最小值。设{}

()min 2,2,10(0)x f x x x x =+-≥，则()f x 的最大值为（ ）

A.4

B.5

C.6

D.7

函数的基本性质之二——奇偶性与周期性

【基本概念】

1. 函数奇偶性的判断步骤：

（1） 定义域是否关于原点对称：若定义域不关于原点对称，则函数是__________函数；

若关于原点对称，进行第二步。 （2） 判断()f x -与()f x 的关系：如果()f x -=()f x ，则函数为偶函数；如果

________________，则函数为奇函数；如果()f x -=()f x =()f x -，则函数既是奇函数又是偶函数；

2. 函数的周期性：对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 去定义域内的每

一个值时，都有()()f x T f x +=,则称()f x 为周期函数，非零常数T 为这个函数的周期。

【考点一】判别奇偶性

1.若函数

()33x x

f x -=+

与()33x x g x -=-的定义域均为R ，则()f x 为

___________,()g x 为______________。（填奇函数或者偶函数）

2.设函数()f x 和()g x 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ） A ．()()f x g x -是奇函数 B.()()f x g x +是偶函数 C ．()()f x g x -是奇函数 D.()()f x g x +是偶函数

3.若函数()(21)()x f x x x a =

+-为奇函数，则a=（ ）A. 12 B. 23 C. 3

4

D.1

【考点二】利用奇偶性求参数与求值（注意：对于奇函数，若在x=0处有定义，则(0)0f =） 4.若函数2

()(2)f x x b x =+-是偶函数，则b=_________.

5.若

1

()21

x

f x a =

+-是奇函数，则a=_________. 6.设()f x 是定义在R 上的奇函数。当0x ≥时，()22x

f x x b =++（b 为常数），则

(1)f -=______________

7.若函数2

()f x x x a =-+为偶函数，则实数a=_____________

8.已知()f x 为奇函数，()()9g x f x =+，(2)3g -=，则(2)f =_____________ 9.函数3

()sin 1f x x x =++，若()2f a =，则()f a -=_____________

【考点三】奇偶性与单调性的综合（注意奇函数对应区间上的单调性相同，偶函数对应区间上的单调性相反）

10.定义在R 上的偶函数()f x 的部分图像如图所示，则在

(2,0)-上，下列函数中与()f x 的单调性不同的是（ ）

A ．2

1y x =+ B.1y x =+

C. 321,0

1,0x x y x x +≥?=?+

x e x y e x -?≥?=?

11.已知定义在R 上的奇函数满足2

()2(0)f x x x x =+≥，若2

(3)(2)f a f a ->，则实数a 的取值范围是

_____________

12.已知偶函数在区间(0,)+∞单调增加，则满足1

(21)()3

f x f -<的x 取值范围是________ 13.设偶函数()f x 满足()24(0)x

f x x =-≥，则{}

(2)0x f x ->=（ ） A {}24x x x <->或B {}

04x x x <>或 C.{}06x x x <>或 D.{}

22x x x <->或

14.设偶函数()f x 在(0,)+∞上为减函数，并且(2)0f =，则不等式()()

0f x f x x

+->的解

集为（ ）

A ．(2,0)(2,)-?+∞ B. (,2)(0,2)-∞-? C. (,2)(2,)-∞-?+∞ D. (2,0)(0,2)-? 【考点四】奇偶性与周期性的综合

15.设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()2(1)f x x x =-，则5()2

f -=__________ 16.设()f x 是R 上周期为5的奇函数，且满足(1)1f =，(2)2f =，则(3)(4)f f

-=______

17.已知函数()f x 是R 上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2)()f x f x +=，且当02x ≤<时，

2()log (1)f x x =+，则(2008)(2009)f f -+=__________

18.已知函数()f x 是R 上的奇函数，且对任意的x R ∈有()(2)f x f x =-成立，则

(2010)f =__________

19.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数，则（ ）

A. (25)(11)(80)f f f -<<

B. (80)(11)(25)f f f <<-

C. (11)(80)(25)f f f <<-

D. (25)(80)(11)f f f -<< 20.函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则（ ）

A ．()f x 是偶函数 B. ()f x 是奇函数 C ．()(2)f x f x =+ D. (3)f x +是奇函数 【考点5】抽象函数与单调性奇偶性相结合

21.已知函数()f x 对任意实数,x y 均有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0f x >，求证()f x 在R 上是增函数。

22.设函数()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数，且满足()()()f xy f x f y =+。若(3)1f =，且()(1)2f a f a >-+，求实数a 的取值范围。

23.已知函数()f x 对任意实数,x y 均有()()2()()f x y f x y f x f y ++-=，试判断()f x 的奇偶性。

24.函数()f x 的定义域为D={}

0x x ≠，且满足对于任意,x y D ∈，有()()()f x

y f x f y =+

（1）求(1)f 的值。

（2）判断()f x 的奇偶性并证明。

（3）如果(4)1f =，(31)(26)6f x f x ++-≤，且()f x 在(0,)+∞上是增函数，求x 的取值范围。