江苏省启东中学高一实验班自主招生数学试题及答案
江苏省启东中学创新人才培养实验班自主招生考试
数学试卷
注意事项
1.本试卷共 6 页，满分为150 分，考试时间为120 分钟。
2.答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效．
一、选择题（本大题共6小题，每小题5分,共30分.在每小题所给出的四个选项中,恰有一
项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1.把x2y-2xy2+y3分解因式正确的是( )
A.y(x2-2xy+y2)
B.y(x-y)2
C.y(x-2y)2
D.y(x+y)2
2.已知a,b为一元二次方程x2+2x-9=0的两个根,那么a2+a-b的值为( )
A.-7
B.0
C.7
D.11
3.如图,在R△ABC中,∠C=900,AC=4,BC=3,O是△ABC的内心,以O为圆心,r为半径的圆与线段AB有交
点，则r的取值范围是（）
A.r≥1
B.1≤r≤5
C.1≤r≤10
D.1≤r≤4
4.如图,等边△ABC中，AC=4,点D,E,F分别在三边AB，BC，AC上,且AF=1,FD⊥DE,且∠DFE=600,则AD长
为( )
A.0.5
B.1
C.1.5
D.2
5.如图,△ABC中,AB=BC=4cm,∠ABC=1200,点P是射线AB上的一个动点,∠MPN=∠ACP,点Q是射线PM上的
一个动点.则CQ长的最小值为( )
A.3
B.2
C.23
D.4
6.二次函数y=2x2-8x+m满足以下条件:当-2 位于x轴的上方，则m的值为( ) A.8 B.-10 C.-42 D.-24 二 填空题（本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7.计算-8 2015 ×(-0.125) 2016 = ． 8.市政府为了解决老百姓看病贵的问题,决定下调药品的价格.某种药品经过两次降价，由每盒72元调至56元．若每次平均降价的百分率为x ，由题意，可列方程为 ． 9.在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别A(3，0)，B(8，0)，若点P 在y 轴上,且△PAB 是等腰三角形，则点P 的坐标为 ． 10.关于x 的方程0112=--+x a x 的解是正数，则a 的取值范围是 ． 11.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC 是边长为8的正方形，M(8，s)，N(t ，8)分别是边AB,BC 上的两个动点,且OM ⊥MN,当ON 最小时，s ＋t= ． 12.如图,△ABC 在第一象限,其面积为5.点P 从点A 出发,沿△ABC 的边从A —B —C —A 运动一周,作点P 关于原点O 的对称点Q,再以PQ 为边作等边三角形PQM,点M 在第二象限,点M 随点P 的运动而运动,则点M 随点P 运动所形成的图形的面积为 ． 三、解答题（本大题共6小题,共90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 13.(本小题满分15分)阅读下面材料，并解决问题． 材料：如图1,在平面直角坐标系xOy 中,直线y 1=ax+b 与双曲线 x k y = 2交于A （1,3）和B （-3,-1）两点. 观察图象可知：①当x=-3或1时,y 1=y 2 ；②当-3 的解集． 问题：求不等式x 3+4x 2 -x-4>0的解集． 小聪同学通过以上的阅读材料，对上述问题进行了探究． 下面是他的探究过程，请将（2）,（3）,（4）补充完整： （1）将不等式按条件进行转化 当x ＝0时,原不等式不成立； 当x ＞0时,原不等式可以转化为:x 2 +4x-1>x 4 ; 当x ＜0时,原不等式可以转化为:x 2 +4x-1 . （2）构造函数，画出图象: 设y 3=x 2 +4x-1,y 4=x 4 ,在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象． 双曲线y 4=x 4 如图2所示，请在此坐标系中,画出抛物线y 3=x 2 +4x-1.（不用列表） （3）确定两个函数图象:公共点的横坐标,观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证可知满足y 3=y 4 的所有x 的值为 ； （4）借助图象，写出解集:结合（1）的讨论结果，观察两个函数的图象可知不等式x 3 +4x 2 -x-4>0的解集为 ． 14.(本小题满分12分)如图,“元旦”期间,学校在综合楼上从点A 到点B 悬挂了一条宣传条幅,小明和小 芳所在的教学楼正好在综合楼的对面.小明在四楼D 点测得条幅端点A 的仰角为300 ,测得条幅端点B 的俯 角为450;小芳在三楼C 点测得条幅端点A 的仰角为450,测得条幅端点B 的俯角为300 .若楼层高度CD 为3米,请你根据小明和小芳测得的数据求出条幅AB 的长.（结果保留根号） 15.（本小题满分14分）如图1，A，B，C，D四点都在⊙O上，AC平分∠BAD，过点C的切线与AB的延长线交于点E．（1）求证：CE∥BD；（2）如图2，若AB为⊙O的直径，AC=2BC，BE=5，求⊙O的半径． 16.(本小题满分15分)惠民超市试销一种进价为每件60元的服装,规定试销期间销售单价不低于进价,且获利不得高于40%.经试销发现,销售量y(件)与销售单价x(元)满足一次函数y=kx＋b,且当x=70 时,y=50；x=80时,y=40． （1）求一次函数y=kx＋b的解析式； （2）设该超市获得的利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，超市可获得最大利润，最大利润是多少元？ （3）若该超市预期的利润不低于500元，试确定销售单价x的取值范围． 17.（本小题满分16分）如图,已知抛物线y=-x2+2x+3的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D． （1）求直线BC的解析式； （2）点M在抛物线上,且△BMC的面积与△BCD的面积相等，求点M的坐标； （3）若点P在抛物线上，点Q在y轴上，以P，Q，B，D四个点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点P的坐标． 18.（本小题满分18分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知矩形OACB的边OA，OB分别在x轴和y 轴上，OA=8，OB=6．点P从点O开始沿OA边匀速移动，点M从点B开始沿BO边匀速移动，点P,点M同时出发，它们移动的速度均为每秒一个单位长度，设两个点运动的时间为t秒（0≤t≤6）． （1）连接矩形的对角线AB，当t为何值时，以P，O，M为顶点的三角形与△AOB相似； （2）在点P，点M运动过程中，线段PM的中点Q也随着运动，请求出CQ的最小值； （3）将POM沿PM所在直线翻折后得到△PDM，试判断D点能否在对角线AB上，如果能，求出此时t的值，如果不能，请说明理由．