中考数学易错题精选-平行四边形练习题及答案
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.已知,在矩形ABCD中,AB=a,BC=b,动点M从点A出发沿边AD向点D运动.
(1)如图1,当b=2a,点M运动到边AD的中点时,请证明∠BMC=90°;
(2)如图2,当b>2a时,点M在运动的过程中,是否存在∠BMC=90°,若存在,请给与证明;若不存在,请说明理由;
(3)如图3,当b<2a时,(2)中的结论是否仍然成立?请说明理由.
【答案】(1)见解析;
(2)存在,理由见解析;
(3)不成立.理由如下见解析.
【解析】
试题分析:(1)由b=2a,点M是AD的中点,可得AB=AM=MD=DC=a,又由四边形ABCD 是矩形,即可求得∠AMB=∠DMC=45°,则可求得∠BMC=90°;
(2)由∠BMC=90°,易证得△ABM∽△DMC,设AM=x,根据相似三角形的对应边成比例,即可得方程:x2﹣bx+a2=0,由b>2a,a>0,b>0,即可判定△>0,即可确定方程有两个不相等的实数根,且两根均大于零,符合题意;
(3)由(2),当b<2a,a>0,b>0,判定方程x2﹣bx+a2=0的根的情况,即可求得答案.
试题解析:(1)∵b=2a,点M是AD的中点,
∴AB=AM=MD=DC=a,
又∵在矩形ABCD中,∠A=∠D=90°,
∴∠AMB=∠DMC=45°,
∴∠BMC=90°.
(2)存在,
理由:若∠BMC=90°,
则∠AMB+∠DMC=90°,
又∵∠AMB+∠ABM=90°,
∴∠ABM=∠DMC,
又∵∠A=∠D=90°,
∴△ABM∽△DMC,
∴AM AB
CD DM
=,
设AM=x,则x a
a b x =
-
,
整理得:x2﹣bx+a2=0,
∵b>2a,a>0,b>0,
∴△=b2﹣4a2>0,
∴方程有两个不相等的实数根,且两根均大于零,符合题意,
∴当b>2a时,存在∠BMC=90°,
(3)不成立.
理由:若∠BMC=90°,
由(2)可知x2﹣bx+a2=0,
∵b<2a,a>0,b>0,
∴△=b2﹣4a2<0,
∴方程没有实数根,
∴当b<2a时,不存在∠BMC=90°,即(2)中的结论不成立.
考点:1、相似三角形的判定与性质;2、根的判别式;3、矩形的性质
2.如图,现有一张边长为4的正方形纸片ABCD,点P为正方形AD边上的一点(不与点A、点D重合),将正方形纸片折叠,使点B落在P处,点C落在G处,PG交DC于H,折痕为EF,连接BP、BH.
(1)求证:∠APB=∠BPH;
(2)当点P在边AD上移动时,求证:△PDH的周长是定值;
(3)当BE+CF的长取最小值时,求AP的长.
【答案】(1)证明见解析.(2)证明见解析.(3)2.
【解析】
试题分析:(1)根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH,进而利用平行线的性质得出
∠APB=∠PBC即可得出答案;
(2)首先证明△ABP≌△QBP,进而得出△BCH≌△BQH,即可得出
PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8;
(3)过F作FM⊥AB,垂足为M,则FM=BC=AB,证明△EFM≌△BPA,设AP=x,利用折叠的性质和勾股定理的知识用x表示出BE和CF,结合二次函数的性质求出最值.
试题解析:(1)解:如图1,
∵PE=BE , ∴∠EBP=∠EPB . 又∵∠EPH=∠EBC=90°, ∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP . 即∠PBC=∠BPH . 又∵AD ∥BC , ∴∠APB=∠PBC . ∴∠APB=∠BPH .
(2)证明:如图2,过B 作BQ ⊥PH ,垂足为Q .
由(1)知∠APB=∠BPH , 又∵∠A=∠BQP=90°,BP=BP , 在△ABP 和△QBP 中,
{90APB BPH
A BQP BP BP
∠=∠∠=∠=?=, ∴△ABP ≌△QBP (AAS ), ∴AP=QP ,AB=BQ , 又∵AB=BC , ∴BC=BQ .
又∠C=∠BQH=90°,BH=BH , 在△BCH 和△BQH 中,
{90BC BQ
C BQH BH BH
=∠=∠=?=, ∴△BCH ≌△BQH (SAS ),
∴CH=QH .
∴△PHD 的周长为:PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8. ∴△PDH 的周长是定值.
(3)解:如图3,过F 作FM ⊥AB ,垂足为M ,则FM=BC=AB .
又∵EF 为折痕, ∴EF ⊥BP .
∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°, ∴∠EFM=∠ABP . 又∵∠A=∠EMF=90°, 在△EFM 和△BPA 中,
{EFM ABP EMF A FM AB
∠=∠∠=∠=, ∴△EFM ≌△BPA (AAS ). ∴EM=AP . 设AP=x
在Rt △APE 中,(4-BE )2+x 2=BE 2.
解得BE=2+2
8x ,
∴CF=BE-EM=2+2
8
x -x ,
∴BE+CF=2
4
x -x+4=14(x-2)2+3.
当x=2时,BE+CF 取最小值, ∴AP=2.
考点:几何变换综合题.
3.如图,将矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠,使点B 落到到B′的位置,AB′与CD 交于点E.
(1)求证:△AED ≌△CEB′
(2)若AB = 8,DE = 3,点P 为线段AC 上任意一点,PG ⊥AE 于G ,PH ⊥BC 于H.求PG +
PH的值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
【分析】
(1)由折叠的性质知,,,,则由得到;
(2)由,可得,又由,即可求得的长,然后在中,利用勾股定理即可求得的长,再过点作于,由角平分线的性质,可得,易证得四边形是矩形,继而可求得答案.
【详解】
(1)四边形为矩形,
,,
又,
;
(2),
,
,
,
在中,,
过点作于,
,,
,
,,
,
、、共线,
,
四边形是矩形,
,
.
【点睛】
此题考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理等知识.此题难度较大,注意掌握折叠前后图形的对应关系,注意掌握辅助线的作
法,注意数形结合思想的应用.
4.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,以线段AB为边向外作等边△ABD,点E 是线段AB的中点,连接CE并延长交线段AD于点F.
(1)求证:四边形BCFD为平行四边形;(2)若AB=6,求平行四边形ADBC的面积.
【答案】(1)见解析;(2)S平行四边形ADBC
273
【解析】
【分析】
(1)在Rt△ABC中,E为AB的中点,则CE=1
2
AB,BE=
1
2
AB,得到∠BCE=∠EBC=60°.由
△AEF≌△BEC,得∠AFE=∠BCE=60°.又∠D=60°,得∠AFE
=∠D=60度.所以FC∥BD,又因为∠BAD=∠ABC=60°,所以AD∥BC,即FD//BC,则四边形BCFD是平行四边形.
(2)在Rt△ABC中,求出BC,AC即可解决问题;
【详解】
解:(1)证明:在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,∴∠ABC=60°,在等边△ABD中,∠BAD=60°,∴∠BAD=∠ABC=60°,∵E为AB的中点,∴AE=BE,又∵∠AEF=∠BEC,
∴△AEF≌△BEC,在△ABC中,∠ACB=90°,E为AB的中点,∴CE=1
2AB,BE=
1
2
AB,
∴CE=AE,∴∠EAC=∠ECA=30°,∴∠BCE=∠EBC=60°,又∵△AEF≌△BEC,
∴∠AFE=∠BCE=60°,又∵∠D=60°,∴∠AFE=∠D=60°,∴FC∥BD,又
∵∠BAD=∠ABC=60°,∴AD∥BC,即FD∥BC,∴四边形BCFD是平行四边形;(2)解:在Rt△ABC中,∵∠BAC=30°,AB=6,∴BC=AF=3,AC=33∴S平行四边形
BCFD=3×3393,S△ACF=1
2
×3×33
93
,S平行四边形ADBC
273
.
【点睛】
本题考查平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理、等边三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,属于中考常考题型.
5.如图1,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D,分别延长AC至E,BC至F,且CE=EF,
延长FE交AD的延长线于G.
(1)求证:AE=EG;
(2)如图2,分别连接BG,BE,若BG=BF,求证:BE=EG;(3)如图3,取GF的中点M,若AB=5,求EM的长.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)5 2
【解析】
【分析】
(1)根据平行线的性质和等腰三角形的三线合一的性质得:∠CAD=∠G,可得AE=EG;(2)作辅助线,证明△BEF≌△GEC(SAS),可得结论;
(3)如图3,作辅助线,构建平行线,证明四边形DMEN是平行四边形,得EM=DN=
1
2
AC,计算可得结论.
【详解】
证明:(1)如图1,过E作EH⊥CF于H,
∵AD⊥BC,
∴EH∥AD,
∴∠CEH=∠CAD,∠HEF=∠G,
∵CE=EF,
∴∠CEH=∠HEF,
∴∠CAD=∠G,
∴AE=EG;
(2)如图2,连接GC,
∵AC =BC ,AD ⊥BC , ∴BD =CD ,
∴AG 是BC 的垂直平分线, ∴GC =GB , ∴∠GBF =∠BCG , ∵BG =BF , ∴GC =BE , ∵CE =EF ,
∴∠CEF =180°﹣2∠F , ∵BG =BF ,
∴∠GBF =180°﹣2∠F , ∴∠GBF =∠CEF , ∴∠CEF =∠BCG ,
∵∠BCE =∠CEF+∠F ,∠BCE =∠BCG+∠GCE , ∴∠GCE =∠F , 在△BEF 和△GCE 中,
CE GCE F CG BF EF =??
∠=∠??=?
, ∴△BEF ≌△GEC (SAS ), ∴BE =EG ;
(3)如图3,连接DM ,取AC 的中点N ,连接DN ,
由(1)得AE =EG , ∴∠GAE =∠AGE ,
在Rt △ACD 中,N 为AC 的中点,
∴DN =
1
2
AC =AN ,∠DAN =∠ADN , ∴∠ADN =∠AGE , ∴DN ∥GF ,
在Rt △GDF 中,M 是FG 的中点,
∴DM =
1
2
FG =GM ,∠GDM =∠AGE , ∴∠GDM =∠DAN , ∴DM ∥AE ,
∴四边形DMEN 是平行四边形,
∴EM =DN =
1
2
AC , ∵AC =AB =5,
∴EM =
52
. 【点睛】
本题是三角形的综合题,主要考查了全等三角形的判定与性质,直角三角形斜边中线的性质,等腰三角形的性质和判定,平行四边形的性质和判定等知识,解题的关键是作辅助线,并熟练掌握全等三角形的判定方法,特别是第三问,辅助线的作法是关键.
6.在ABC 中,AD BC ⊥于点D ,点E 为AC 边的中点,过点A 作//AF BC ,交
DE 的延长线于点F ,连接CF .
()1如图1,求证:四边形ADCF 是矩形;
()2如图2,当AB AC =时,取AB 的中点G ,连接DG 、EG ,在不添加任何辅助线
和字母的条件下,请直接写出图中所有的平行四边形(不包括矩形ADCF ).
【答案】(1) 证明见解析;(2)四边形ABDF 、四边形AGEF 、四边形GBDE 、四边形
AGDE 、四边形GDCE 都是平行四边形. 【解析】 【分析】
(1)由△AEF ≌△CED ,推出EF=DE ,又AE=EC ,推出四边形ADCF 是平行四边形,只要证
明∠ADC=90°,即可推出四边形ADCF 是矩形.
(2)四边形ABDF 、四边形AGEF 、四边形GBDE 、四边形AGDE 、四边形GDCE 都是平行四边形. 【详解】
()1证明:∵
//AF BC ,
∴AFE EDC ∠=∠, ∵E 是AC 中点, ∴AE EC =, 在AEF 和CED 中,
AFE CDE AEF CED AE EC ∠=∠??
∠=∠??=?
, ∴
AEF CED ?,
∴EF DE =,∵AE EC =, ∴四边形ADCF 是平行四边形, ∵AD BC ⊥,
∴90ADC ∠=, ∴四边形ADCF 是矩形.
()2∵线段DG 、线段GE 、线段DE 都是
ABC 的中位线,又//AF BC ,
∴//AB DE ,//DG AC ,//EG BC ,
∴四边形ABDF 、四边形AGEF 、四边形GBDE 、四边形AGDE 、四边形GDCE 都是平行四边形. 【点睛】
考查平行四边形的判定、矩形的判定、三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质等知识,正确寻找全等三角形解决问题是解题的关键.
7.(感知)如图①,四边形ABCD 、CEFG 均为正方形.可知BE=DG . (拓展)如图②,四边形ABCD 、CEFG 均为菱形,且∠A=∠F .求证:BE=DG . (应用)如图③,四边形ABCD 、CEFG 均为菱形,点E 在边AD 上,点G 在AD 延长线上.若AE=2ED ,∠A=∠F ,△EBC 的面积为8,菱形CEFG 的面积是_______.(只填结果)
【答案】见解析 【解析】
试题分析:探究:由四边形ABCD 、四边形CEFG 均为菱形,利用SAS 易证得△BCE ≌△DCG ,则可得BE=DG ;
应用:由AD ∥BC ,BE=DG ,可得S △ABE +S △CDE =S △BEC =S △CDG =8,又由AE=3ED ,可求得△CDE 的面积,继而求得答案. 试题解析:
探究:∵四边形ABCD 、四边形CEFG 均为菱形, ∴BC=CD ,CE=CG ,∠BCD=∠A ,∠ECG=∠F . ∵∠A=∠F , ∴∠BCD=∠ECG .
∴∠BCD-∠ECD=∠ECG-∠ECD , 即∠BCE=∠DCG . 在△BCE 和△DCG 中,
BC CD BCE DCG CE CG ??
∠∠???
=== ∴△BCE ≌△DCG (SAS ), ∴BE=DG .
应用:∵四边形ABCD 为菱形, ∴AD ∥BC , ∵BE=DG ,
∴S △ABE +S △CDE =S △BEC =S △CDG =8, ∵AE=3ED , ∴S △CDE =
1
824
?= , ∴S △ECG =S △CDE +S △CDG =10 ∴S 菱形CEFG =2S △ECG =20.
8.定义:我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”. 性质:如果两个三角形是“友好三角形”,那么这两个三角形的面积相等.
理解:如图①,在△ABC中,CD是AB边上的中线,那么△ACD和△BCD是“友好三角形”,并且S△ACD=S△BCD.
应用:如图②,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E在AD上,点F在BC上,AE=BF,AF 与BE交于点O.
(1)求证:△AOB和△AOE是“友好三角形”;
(2)连接OD,若△AOE和△DOE是“友好三角形”,求四边形CDOF的面积.
探究:在△ABC中,∠A=30°,AB=4,点D在线段AB上,连接CD,△ACD和△BCD是“友好三角形”,将△ACD沿CD所在直线翻折,得到△A′CD,若△A′CD与△ABC重合部分的面
积等于△ABC面积的,请直接写出△ABC的面积.
【答案】(1)见解析;(2)12;探究:2或2.
【解析】
试题分析:(1)利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,得到四边形ABFE是平行四边形,然后根据平行四边形的性质证得OE=OB,即可证得△AOE和△AOB是友好三角形;
(2)△AOE和△DOE是“友好三角形”,即可得到E是AD的中点,则可以求得△ABE、
△ABF的面积,根据S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF即可求解.
探究:画出符合条件的两种情况:①求出四边形A′DCB是平行四边形,求出BC和A′D推出∠ACB=90°,根据三角形面积公式求出即可;②求出高CQ,求出△A′DC的面积.即可求出△ABC的面积.
试题解析:(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∵AE=BF,
∴四边形ABFE是平行四边形,
∴OE=OB,
∴△AOE和△AOB是友好三角形.
(2)∵△AOE和△DOE是友好三角形,
∴S△AOE=S△DOE,AE=ED=AD=3,
∵△AOB与△AOE是友好三角形,
∴S△AOB=S△AOE,
∵△AOE≌△FOB,
∴S△AOE=S△FOB,
∴S△AOD=S△ABF,
∴S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF=4×6-2××4×3=12.
探究:
解:分为两种情况:①如图1,
∵S△ACD=S△BCD.
∴AD=BD=AB,
∵沿CD折叠A和A′重合,
∴AD=A′D=AB=×4=2,
∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的,
∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC,
∴DO=OB,A′O=CO,
∴四边形A′DCB是平行四边形,
∴BC=A′D=2,
过B作BM⊥AC于M,
∵AB=4,∠BAC=30°,
∴BM=AB=2=BC,
即C和M重合,
∴∠ACB=90°,
由勾股定理得:AC=,
∴△ABC的面积是×BC×AC=×2×2=2;
②如图2,
∵S△ACD=S△BCD.
∴AD=BD=AB,
∵沿CD折叠A和A′重合,
∴AD=A′D=AB=×4=2,
∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的,
∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC,
∴DO=OA′,BO=CO,
∴四边形A′BDC是平行四边形,
∴A′C=BD=2,
过C作CQ⊥A′D于Q,
∵A′C=2,∠DA′C=∠BAC=30°,
∴CQ=A′C=1,
∴S△ABC=2S△ADC=2S△A′DC=2××A′D×CQ=2××2×1=2;
即△ABC的面积是2或2.
考点:四边形综合题.
9.已知:在矩形ABCD中,AB=10,BC=12,四边形EFGH的三个顶点E、F、H分别在矩形ABCD边AB、BC、DA上,AE=2.
(1)如图①,当四边形EFGH为正方形时,求△GFC的面积;
(2)如图②,当四边形EFGH为菱形,且BF=a时,求△GFC的面积(用a表示);(3)在(2)的条件下,△GFC的面积能否等于2?请说明理由.
【答案】(1)10;(2)12-a;(3)不能
【解析】
解:(1)过点G作GM⊥BC于M.在正方形EFGH中,
∠HEF=90°,EH=EF,
∴∠AEH+∠BEF=90°.
∵∠AEH+∠AHE=90°,
∴∠AHE=∠BEF.
又∵∠A=∠B=90°,
∴△AHE≌△BEF.
同理可证△MFG≌△BEF.
∴GM=BF=AE=2.∴FC=BC-BF=10.
∴.
(2)过点G作GM⊥BC交BC的延长线于M,连接HF.
∵AD∥BC,∴∠AHF=∠MFH.
∵EH∥FG,∴∠EHF=∠GFH.
∴∠AHE=∠MFG.
又∵∠A=∠GMF=90°,EH=GF,
∴△AHE≌△MFG.∴GM=AE=2.
∴.
(3)△GFC的面积不能等于2.
说明一:∵若S△GFC=2,则12-a=2,∴a=10.
此时,在△BEF中,
.
在△AHE中,
,
∴AH>AD,即点H已经不在边AD上,故不可能有S△GFC=2.
说明二:△GFC的面积不能等于2.∵点H在AD上,
∴菱形边EH的最大值为,∴BF的最大值为.
又∵函数S△GFC=12-a的值随着a的增大而减小,
∴S△GFC的最小值为.
又∵,∴△GFC的面积不能等于2.
10.如图,正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上,点B坐标为(3,3).将正方形ABCO 绕点A顺时针旋转角度α(0°<α<90°),得到正方形ADEF,ED交线段OC于点G,ED的延长线交线段BC于点P,连AP、AG.
(1)求证:△AOG≌△ADG;
(2)求∠PAG的度数;并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系,说明理由;
(3)当∠1=∠2时,求直线PE的解析式;
(4)在(3)的条件下,直线PE上是否存在点M,使以M、A、G为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请直接写出M点坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析(2)∠PAG =45°,PG=OG+BP.理由见解析(3)y=x﹣3.(4)、.
【解析】
试题分析:(1)由AO=AD,AG=AG,根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,判断出△AOG≌△ADG即可.(2)首先根据三角形全等的判定方法,判断出
△ADP≌△ABP,再结合△AOG≌△ADG,可得∠DAP=∠BAP,∠1=∠DAG;然后根据
∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°,求出∠PAG的度数;最后判断出线段OG、PG、BP之间的数量关系即可.(3)首先根据△AOG≌△ADG,判断出∠AGO=∠AGD;然后根据
∠1+∠AGO=90°,∠2+∠PGC=90°,判断出当∠1=∠2时,∠AGO=∠AGD=∠PGC,而
∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°,求出∠1=∠2=30°;最后确定出P、G两点坐标,即可判断出直线PE的解析式.
(4)根据题意,分两种情况:①当点M在x轴的负半轴上时;②当点M在EP的延长线上时;根据以M、A、G为顶点的三角形是等腰三角形,求出M点坐标是多少即可.
试题解析:(1)在Rt△AOG和Rt△ADG中,(HL)∴△AOG≌△ADG.
(2)在Rt△ADP和Rt△ABP中,∴△ADP≌△ABP,则∠DAP=∠BAP;
∵△AOG≌△ADG,∴∠1=∠DAG;又∵∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°,
∴2∠DAG+2∠DAP=90°,∴∠DAG+∠DAP=45°,∵∠PAG=∠DAG+∠DAP,∴∠PAG=45°;
∵△AOG≌△ADG,∴DG=OG,∵△ADP≌△ABP,∴DP=BP,∴PG=DG+DP=OG+BP.(3)解:∵△AOG≌△ADG,∴∠AGO=∠AGD,又∵∠1+∠AGO=90°,∠2+∠PGC=90°,∠1=∠2,
∴∠AGO=∠PGC,又∵∠AGO=∠AGD,∴∠AGO=∠AGD=∠PGC,
又∵∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°,∴∠AGO=∠AGD=∠PGC=180°÷3=60°,
∴∠1=∠2=90°﹣60°=30°;在Rt△AOG中,∵AO=3,∴OG=AOtan30°=3×=,
∴G点坐标为(,0),CG=3﹣,在Rt△PCG中,PC===3(﹣
1),
∴P点坐标为:(3,3﹣3 ),设直线PE的解析式为:y=kx+b,则
,
解得:,∴直线PE的解析式为y=x﹣3.
(4)①如图1,当点M在x轴的负半轴上时,,∵AG=MG,点A坐标为(0,3),
∴点M坐标为(0,﹣3).
②如图2,当点M在EP的延长线上时,,由(3),可得∠AGO=∠PGC=60°,
∴EP与AB的交点M,满足AG=MG,∵A点的横坐标是0,G点横坐标为,
∴M的横坐标是2,纵坐标是3,∴点M坐标为(2,3).
综上,可得点M坐标为(0,﹣3)或(2,3).
考点:几何变换综合题.
中考数学易错题专题训练-二次函数练习题及答案
一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.已知二次函数的图象以A(﹣1,4)为顶点,且过点B(2,﹣5) (1)求该函数的关系式; (2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标; (3)将该函数图象向右平移,当图象经过原点时,A、B两点随图象移至A′、B′,求△O A′B′的面积. 【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0)(3)15. 【解析】 【分析】(1)已知了抛物线的顶点坐标,可用顶点式设该二次函数的解析式,然后将B 点坐标代入,即可求出二次函数的解析式; (2)根据函数解析式,令x=0,可求得抛物线与y轴的交点坐标;令y=0,可求得抛物线与x轴交点坐标; (3)由(2)可知:抛物线与x轴的交点分别在原点两侧,由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时,抛物线平移的单位,由此可求出A′、B′的坐标.由于△OA′B′不规则,可用面积割补法求出△OA′B′的面积. 【详解】(1)设抛物线顶点式y=a(x+1)2+4, 将B(2,﹣5)代入得:a=﹣1, ∴该函数的解析式为:y=﹣(x+1)2+4=﹣x2﹣2x+3; (2)令x=0,得y=3,因此抛物线与y轴的交点为:(0,3), 令y=0,﹣x2﹣2x+3=0,解得:x1=﹣3,x2=1, 即抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0); (3)设抛物线与x轴的交点为M、N(M在N的左侧), 由(2)知:M(﹣3,0),N(1,0), 当函数图象向右平移经过原点时,M与O重合,因此抛物线向右平移了3个单位, 故A'(2,4),B'(5,﹣5), ∴S△OA′B′=1 2 ×(2+5)×9﹣ 1 2 ×2×4﹣ 1 2 ×5×5=15. 【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的
中考数学备考之平行四边形压轴突破训练∶培优易错试卷篇及答案解析(1)
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.如图,△ABC是等边三角形,AB=6cm,D为边AB中点.动点P、Q在边AB上同时从点D出发,点P沿D→A以1cm/s的速度向终点A运动.点Q沿D→B→D以2cm/s的速度运动,回到点D停止.以PQ为边在AB上方作等边三角形PQN.将△PQN绕QN的中点旋转180°得到△MNQ.设四边形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S(cm2),点P运动的时间为t(s)(0<t<3). (1)当点N落在边BC上时,求t的值. (2)当点N到点A、B的距离相等时,求t的值. (3)当点Q沿D→B运动时,求S与t之间的函数表达式. (4)设四边形PQMN的边MN、MQ与边BC的交点分别是E、F,直接写出四边形PEMF 与四边形PQMN的面积比为2:3时t的值. 【答案】(1)(2)2(3)S=S菱形PQMN=2S△PNQ=t2;(4) t=1或 【解析】 试题分析:(1)由题意知:当点N落在边BC上时,点Q与点B重合,此时DQ=3;(2)当点N到点A、B的距离相等时,点N在边AB的中线上,此时PD=DQ; (3)当0≤t≤时,四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形PQMN;当≤t≤时,四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形PQFEN. (4)MN、MQ与边BC的有交点时,此时<t<,列出四边形PEMF与四边形PQMN的面积表达式后,即可求出t的值. 试题解析:(1)∵△PQN与△ABC都是等边三角形, ∴当点N落在边BC上时,点Q与点B重合. ∴DQ=3 ∴2t=3. ∴t=; (2)∵当点N到点A、B的距离相等时,点N在边AB的中线上,
六安数学三角形填空选择易错题(Word版 含答案)
六安数学三角形填空选择易错题(Word 版 含答案) 一、八年级数学三角形填空题(难) 1.如图,在△ABC 中,∠C =90°,BC =8cm ,AC =6cm ,点E 是BC 的中点,动点P 从A 点出发,先以每秒2cm 的速度沿A →C 运动,然后以1cm /s 的速度沿C →B 运动.若设点P 运动的时间是t 秒,那么当t =___________________,△APE 的面积等于6. 【答案】1.5或5或9 【解析】 【分析】 分为两种情况讨论:当点P 在AC 上时:当点P 在BC 上时,根据三角形的面积公式建立方程求出其解即可. 【详解】 如图1,当点P 在AC 上.∵△ABC 中,∠C =90°,BC =8cm ,AC =6cm ,点E 是BC 的中点,∴CE =4,AP =2t . ∵△APE 的面积等于6,∴S △APE = 12AP ?CE =12 AP ×4=6.∵AP =3,∴t =1.5. 如图2,当点P 在BC 上.则t >3∵E 是DC 的中点,∴BE =CE =4. ∵PE ()43=7-PE t t =-- ,∴S =12EP ?AC =12 ?EP ×6=6,∴EP =2,∴t =5或t =9. 总上所述,当t =1.5或5或9时,△APE 的面积会等于6.故答案为1.5或5或9. 【点睛】 本题考查了直角三角形的性质的运用,三角形的面积公式的运用,解答时灵活运用三角形的面积公式求解是关键. 2.如图,平面内有五个点,以其中任意三个点为顶点画三角形,最多可以画_____个三角形.
【答案】10 【解析】 【分析】 以平面内的五个点为顶点画三角形,根据三角形的定义,我们在平面中依次选取三个点画出图形即可解答. 【详解】 解:如图所示,以其中任意三个点为顶点画三角形,最多可以画10个三角形, 故答案为:10. 【点睛】 本题考查的是几何图形的个数,我们根据三角形的定义,在画图的时候要注意按照一定的顺序,保证不重复不遗漏. 3.如图,已知:四边形ABCD中,对角线BD平分∠ABC,∠ACB=74°,∠ABC=46°,且∠BAD+∠CAD=180°,那么∠BDC的度数为_____. 【答案】30° 【解析】 【分析】 延长BA和BC,过D点作DE⊥BA于E点,过D点作DF⊥BC于F点,根据BD是∠ABC的平分线可得出△BDE≌△BDF,故DE=DF,过D点作DG⊥AC于G点,可得出 △ADE≌△ADG,△CDG≌△CDF,进而得出CD为∠ACF的平分线,得出∠DCA=53°,再根据三角形内角和定理即可得出结论. 【详解】 解:
中考数学易错题精选-锐角三角函数练习题及答案解析
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.某地是国家AAAA 级旅游景区,以“奇山奇水奇石景,古賨古洞古部落”享誉巴渠,被誉为 “小九寨”.端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”,昂首向天,望穿古今.一个周末,某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离.他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ,想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40,从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60,5CB m =, 2.7CD m =.景区管理员告诉同学们,上嘴尖到地面的距离是3m .于是,他们很快就算出了AB 的长.你也算算?(结果精确到0.1m .参考数据:400.64400.77400.84sin cos tan ?≈?≈?≈,,.2 1.41,3 1.73≈≈) 【答案】AB 的长约为0.6m . 【解析】 【分析】 作BF CE ⊥于F ,根据正弦的定义求出BF ,利用余弦的定义求出CF ,利用正切的定义求出DE ,结合图形计算即可. 【详解】 解:作BF CE ⊥于F , 在Rt BFC ?中, 3.20BF BC sin BCF ?∠≈=, 3.85CF BC cos BCF ?∠≈=, 在Rt ADE ?E 中,3 1.73tan 3AB DE ADE = ==≈∠, 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+=﹣=,==﹣= 由勾股定理得,22BH AH 0.6(m)AB =+≈, 答:AB 的长约为0.6m .
【点睛】 考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键. 2.如图,AB是⊙O的直径,点C,D是半圆O的三等分点,过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E,过点D作DF⊥AB于点F,交⊙O于点H,连接DC,AC. (1)求证:∠AEC=90°; (2)试判断以点A,O,C,D为顶点的四边形的形状,并说明理由; (3)若DC=2,求DH的长. 【答案】(1)证明见解析; (2)四边形AOCD为菱形; (3)DH=2. 【解析】 试题分析:(1)连接OC,根据EC与⊙O切点C,则∠OCE=90°,由题意得 ,∠DAC=∠CAB,即可证明AE∥OC,则∠AEC+∠OCE=180°,从而得出 ∠AEC=90°; (2)四边形AOCD为菱形.由(1)得,则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形,再由OA=OC,即可证明平行四边形AOCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形); (3)连接OD.根据四边形AOCD为菱形,得△OAD是等边三角形,则∠AOD=60°,再由 DH⊥AB于点F,AB为直径,在Rt△OFD中,根据sin∠AOD=,求得DH的长. 试题解析:(1)连接OC,
平行四边形(易错题、重点题)
平行四边形二次达标题 1、等腰三角形中有一条边长为6,其三条中位线长度总和为10,则底边长为 ______ 2.如图,平行四边形ABCD的周长是30cm,△ABC的周长是22cm, 则AC的长为_________ 3.如图,在平行四边形ABCD中,EF过两条对角线的交点O,若AB=4,BC=7,OE=3, 则四边形EFCD的周长是__________ 4.能判定四边形是平行四边形的条件序号是__________ ①一组对边平行,另一组对边相等②一组对边相等,一组邻角相等 ③一组对边平行,一组邻角相等④一组对边平行,一组对角相等 5.平行四边形的两对角线的长度分别为8和6,则其边长a范围为____________ 6、如图,在?ABCD中,AB=,AD=4,将?ABCD沿AE翻折后, 7、在A B C中,AC=6cm,BC=8cm,AB=10cm,D、E、F分别是 AB、BC、AC的中点,则D E F的面积为__________ 8、如图,在平行四边形ABCD中,以A为圆心,AB为半径画弧, 交AD于F,再分别以B、F为圆心,大于BF的长为半径画弧, 两弧相交于点G,若BF=12,AB=10,则AE的长为_______ 9、如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,且AD>BC,BC=6cm,点 P、Q分别从A、C两点的位置同时出发,点P以1cm/s的速度由 点A向点D运动,点Q以2cm/s的速度由点C出发向点B运动.则 _______秒后四边形ABQP是平行四边形。 10、如图,△ABC的周长为28,点D,E都在边BC上,∠ABC的平分线垂直于AE, 垂足为Q,∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为P,若BC=10, 则PQ的长为___________
(易错题精选)初中数学三角形经典测试题及答案
(易错题精选)初中数学三角形经典测试题及答案 一、选择题 1.如图,在ABC ?中,90C =o ∠,30B ∠=o ,以A 为圆心,任意长为半径画弧分别交 AB 、AC 于点M 和N ,再分别以M 、N 为圆心,大于12 MN 的长为半径画弧,两弧交于点P ,连结AP 并延长交BC 于点D ,则下列说法中正确的个数是( ) ①AD 是BAC ∠的平分线;②ADC 60∠=o ;③点D 在AB 的垂直平分线上;④:1:3DAC ABC S S ??= A .1 B .2 C .3 D .4 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题干作图方式,可判断AD 是∠CAB 的角平分线,再结合∠B=30°,可推导得到△ABD 是等腰三角形,根据这2个判定可推导题干中的结论. 【详解】 题干中作图方法是构造角平分线,①正确; ∵∠B=30°,∠C=90°,AD 是∠CAB 的角平分线 ∴∠CAD=∠DAB=30° ∴∠ADC=60°,②正确 ∵∠DAB=∠B=30° ∴△ADB 是等腰三角形 ∴点D 在AB 的垂直平分线上,③正确 在Rt △CDA 中,设CD=a ,则AD=2a 在△ADB 中,DB=AD=2a ∵1122DAC S CD AC a CD ?=??=?,13(CD+DB)22 BAC S AC a CD ?=??=? ∴:1:3DAC ABC S S ??=,④正确 故选:D 【点睛】 本题考查角平分线的画法及性质、等腰三角形的性质,解题关键是熟练角平分线的绘制方法.
2.AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线,DE ⊥AB 于点E ,DF ⊥AC 交AC 于点F .S △ABC =7,DE=2,AB=4,则AC 长是( ) A .4 B .3 C .6 D .2 【答案】B 【解析】 【分析】 首先由角平分线的性质可知DF=DE=2,然后由S △ABC =S △ABD +S △ACD 及三角形的面积公式得出结果. 【详解】 解:AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线, ∠EAD=∠FAD DE ⊥AB 于点E ,DF ⊥AC 交AC 于点F , ∴DF=DE , 又∵S △ABC =S △ABD +S △ACD ,DE=2,AB=4, 11742222 AC ∴=??+?? ∴AC=3. 故答案为:B 【点睛】 本题主要考查了角平分线的性质,熟练掌握角平分线的性质、灵活运用所学知识是解题的关键. 3.△ABC 中,∠A :∠B :∠C =1:2:3,最小边BC =4cm ,则最长边AB 的长为( )cm A .6 B .8 C 5 D .5 【答案】B 【解析】 【分析】 根据已知条件结合三角形的内角和定理求出三角形中角的度数,然后根据含30度角的直角三角形的性质进行求解即可. 【详解】 设∠A =x , 则∠B =2x ,∠C =3x , 由三角形内角和定理得∠A+∠B+∠C =x+2x+3x =180°, 解得x =30°,