湖南省衡阳市第八中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学(理)含答案

2019年上期衡阳市八中高二期中考试试题

理科数学

考试范围：集合与逻辑，排列组合，二项式定理，概率与统计，空间向量与立体几何，

解析几何，函数与导数

注意事项：

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。时量120分钟，满分150分。

2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应位置上。

3.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，0，1，2，，则

A. B. C. D. 1，2，

2.命题“，”的否定是

A.，

B. ，

C. ，

D. ，

3.记为等差数列的前n项和若，，则的

公差为

A.1

B. 2

C. 4

D. 8

4.执行如图所示的程序框图如果输入的，则输出y的值是

A. B. C. D.

5.设，则等于

A. B. C. D.

6.函数在单调递减，且为奇函数若，则满足的x的取值范围

是

A. B. C. D.

7.在区间上随机取两个实数x，y，使得的概率为

A. B. C. D.

8.某产品的广告费用x万元与销售额y万元的统计数据如右表：

根据上表可得回归方程，则m为

A.54

B. 53

C. 52

D. 51

9.已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为

A. B. C. D.

10.把10名登山运动员，平均分为两组先后登山，其中熟悉道路的有4人，每组都需要2人，那么不同的安

排方法的种数是

A.30

B. 60

C. 120

D. 240

11.三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成

角的余弦值为

A. B. C. D.

12.已知函数，若关于x的不等式

恒成立，则实数a的取值范围为

A. B. C. D.

第Ⅱ卷

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知i是虚数单位，则______；

14.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为______cm3；

15.已知随机变量，若，则______；

16.已知椭圆的一个焦点恰为抛物线的焦点，设

抛物线的准线与轴的交点为，过的直线与抛物线交于，两点，若以

线段为直径的圆过点，则______.

三、解答题：共70分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（本小题满分12分）

在ΔABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

(1)求A；

(2)若，且ΔABC的面积为，求ΔABC的周长．

18.（本小题满分12分）

如图1，已知四边形BCDE为直角梯形，，，且，A为BE的中点将沿AD折到位置如图，连结PC，PB构成一个四棱锥．求证：；

若平面ABCD，求二面角的大小.

19.（本小题满分12分）

某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试假设某学生每次通过测试的概率都是，每次测试时间间隔恰当，每次测试通过与否互相独立．

求该学生没有考上大学的概率；

如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为X，求X的分布列及X的数学期望．

20.（本小题满分12分）

已知椭圆C:的一个焦点为，且离心率为．

求椭圆方程；

斜率为k的直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，P为直线上的一点，若为等边三角形，求直线l的方程．

21.（本小题满分12分）

已知函数．

讨论函数的单调性；

当时，证明:．

（二）选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22.【选修4-4：坐标系与参数方程】

已知曲线在平面直角坐标系中的参数方程为为参数，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，有曲线：

将的方程化为普通方程，并求出的平面直角坐标方程；

求曲线和两交点之间的距离．

23.【选修4-5：不等式选讲】

已知函数．

求不等式的解集；

若不等式的解集非空，求m的取值范围．

2019年上期衡阳市八中高二期中考试试题

理科数学

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、；14、π8；15、；16、.

由椭圆方程易知焦点坐标为，抛物线方程为，很明显直线AB的斜率存在且斜率不为0，设直线AB的斜率为，AB的方程为，其中，

联立直线方程与抛物线方程可得，解得：，则，设，，以线段为直径的圆过点，则，即：，结合

可得，据此有：，整理可得：，解得：(负根舍去)，结合弦长公式可得：.

四、解答题：共70分。

（二）必考题：共60分。

17、【答案】，，

，，，

，，；

的面积为，，，由，及，得，，又，．故周

长为6．

18、【答案】证明：Ⅰ在图1中，，

，

为平行四边形，，

，，

当沿AD折起时，，，

即，，

又，面面

平面PAB，

又平面PAB，．

解：Ⅱ以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，由于平面ABCD 则0，，0，，1，，0，，1，

1，，1，，0，，

设平面PBC的法向量为y，，

则，取，得0，，

设平面PCD的法向量b，，

则，取，得1，，

设二面角的大小为，可知为钝角，

则，．

19、【答案】解：记“该生没有考上大学”的事件为事件A根据题意可得：

()()()P A C =+=

1455

122112333243

由题意可得：参加测试次数X 的可能取值为2，3，4，5，

，

，

，

的数学期望为：

20、【答案】解： Ⅰ 椭圆

的一个焦点为 ，且离心率为

． ，

，

，解得

，

． 椭圆方程为

Ⅱ 直线l 的方程为 ．联立方程组

，消去y 并整理，得

．设 ， 故

，

．则

．设AB 的中点为 可得

，

．直线

MP 的斜率为

，又 ，所以

．

当 为正三角形时，

，

， 解得 ． 直线l 的方程为 ，或 ．

21、【答案】 解：因为 ， 求导

， ，

当 时，

恒成立，此时 在 上单调递增；

当 ，由于 ，所以 恒成立，此时 在 上单调递增；

当 时，令 ，解得：

．因为当

、当

，所以 在

上单调递增、在 上单调递减． 综上可知：当 时 在 上单调递增，

当 时， 在

上单调递增、在

上单调递减；

证明：由 可知：当 时 在

上单调递增、在

上单调递减，所以当

时函

数 取最大值 从而要证 ，即证

，即证

，即证

．

令

，则 ，问题转化为证明：

令

，则

，令 可知 ，则当 时 ，当 时 ，所以 在 上单调递增、在 上单调递减，即

，即 式成立，所以当 时，

成立． （二）必考题：共10分。

22、【答案】解： 曲线 在平面直角坐标系中的参数方程为

为参数 ，

消去参数t 可得普通方程： ．由曲线 ： ，即 ，

可得直角坐标方程： ．

法一： 化为 ．

可得圆心 ，半径 ． 曲线 和 两交点之间的距离

． 法二： 化为

，将直线方程代入得：

t t t t t ì

??+=-?

+-=\í??=-???212123053

C C A B t t \=-=

12125

曲线和两交点的距离为：

23、【答案】解：

当 时， ，解得 ；当 时， 恒成立，故 ； 综上，不等式 的解集为 ．

原式等价于存在 使得 成立，即 ，设 ． 由 知，

当 时， ，其开口向下，对称轴方程

为

， ；当 时， ，其开口向下，对称轴方程为

，

；当 时， ，其开口向下，对称轴方程为

， ；综上，

， 的取值范围为