高三数学最后一卷文

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43

2

2 合肥一六八中学 高考最后一卷（文科数学）

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的． 1. 已知i 是虚数单位，复数i

i

z ++=

121的虚部是 （A ）12i

（B ）2

1

（C ）3

2

（D ）1

2-

2．设b a ,为两个非零向量，则“||||b a b a ?=?”是“a 与b 共线”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件

（D ）既不充分也不必要条件

3．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何 体的体积是 （A ）83

（B ）163

（C ）83

3

（D ）

163

3

4．设函数∈+=a x a x x f (3cos 3sin )(Ｒ）满足)6

()6(x f x f +=-π

π，则a 的值是 （A ）3

（B ）2

（C ）1 （D ）0

5．执行如图所示的程序框图，那么输出的k 为 （A ）1

（B ）2

（C ）3

（D ）4

6.已知各项为正数的等差数列{}n a 的前20项和为100， 那么714a a ?的最大值为 (A)25 (B)50

(C)100 (D)不存在

7.抛物线2

y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是 (A)43

(B)

75

(C)

85

(D)3

8．已知函数)(x f 是定义在R 上的单调增函数且为奇函数，数列

否

是

{}n a 是等差数列，01007

>a ，则)()()()()(20132012321a f a f a f a f a f +++++ 的值

(A)恒为正数 (B)恒为负数 (C)恒为0 (D)可正可负

9.在平面直角坐标系中，不等式??

?

??≤≥-≥+a x y x y x 00（a 为常数）表示的平面区域的面积为8，则

3

2

+++x y x 的最小值为

(A) 1028- (B) 245- (C) 246- (D) 32

10.若三棱锥ABC S -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，2=AB ，2===SC SB SA ，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）

(A) 163π (B)433 (C) 43π (D) 8

3π

第Ⅱ卷（非选择题部分 共100分)

二、 填空题：本大题共5小题, 每小题5分, 共25分．

11．如图是某学校抽取的n 名学生体重的频率分布直方

图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为

1:2:3，第3小组的频数为18，则的值n 是

12．设二次函数c x ax x f +-=4)(2

的值域为[)+∞,0，

则22

u a c =+的最小值为

13．设正整数n m ,满足304=+n m ，则n m ,恰好使曲线方程122

22=+n

y m x 表示焦点在x 轴

上的椭圆的概率是

14．设21,F F 分别是双曲线)0,(122

22>=-b a b

y a x 的左、右焦点，P 为双曲线上一点，且

a PF 21=，3

21π

=

∠PF F , 则该双曲线的离心率e 的值是

15．给出下列四个命题： ①,;x

x R e ex ?∈≥

②0(1,2)x ?∈，使得02

000(32)340x

x x e x -++-=成立；

③若函数f(x)=xsinx ，则对任意实数,()||x f x x ≤恒成立

④在ABC ?中，若tan tan tan 0A B C ++>，则ABC ?是锐角三角形， 写出所有正确命题的序号

三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分）在ABC ?中c b a ,,分别为A ,B ,C 所对的边，

2

3

π

π

<

sin 2sin a C b A =

（1）判断ABC ?的形状； （2）若

2=+BC BA ，求BC BA ?的取值范围

17．（本小题满分12分）

就餐时吃光盘子里的东西或打包带走，称为“光盘族”，否则称为“非光盘族”.某班几位同学组成研究性学习小组，从某社区[]25,55岁的人群中随机抽取n 人进行了一次调查.得到如下统计表： 组数 分组 频数 频率 光盘占本组的比例

第一组 [)25,30 50 0.05 30% 第二组 [)30,35 100 0.1 30% 第三组 [)35,40 150 0.15 40% 第四组 [)40,45 200 0.2 50% 第五组 [)45,50

a b 65% 第六组

[50,55]

200

0.2

60%

（1）求a 、b 的值并估计本社区[]25,55岁的人群中“光盘族”人数所占的比例；

（2）从年龄段在[35,45）的“光盘族”中采用分层抽样法抽取8人参加节约粮食宣传活动，并从8人中选取2个人作为领队，求选取的2名领队分别来自[35,40)与[40,45)两个年龄段的概率。 18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱1

11C B A ABC -中，△ABC 是等腰直角三角形，

90=∠ACB ，

侧棱21=AA ，E D ,分别为1CC 与B A 1的中点，

点E 在平面ABD 上的射影是ABD ?的重心 （1）求证：//DE 平面ACB ；

（2）求B A 1与平面ABD 所成角的正弦值．

19.（本小题满分13分）

设公比大于零的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11=a ， 245S S =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足11=b ，n n b n T 2=，*∈N n ．

（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；

（2）设))(1(λ-+=n n n nb S C ，若数列{}n C 是单调递减数列，求实数λ的取值范围．

20．（本小题满分13分）

已知点31,2P ?

?- ??

?是椭圆E ：12222=+b y a x （0>>b a ）上一点，1F 、2F 分别是椭圆E 的左、

右焦点，O 是坐标原点，x PF ⊥1轴． （1）求椭圆E 的方程；

（2）设A 、B 是椭圆E 上两个动点，λ=+)2,40(≠<<λλ．求证：直线AB 的斜率为定值；

21．（本小题满分13分）已知函数∈+-=a x x a x f .ln )1()(2

R ．

（1）当4

1

-

=a 时，求函数)(x f y =的单调区间； (2）当),1[+∞∈x 时，函数)(x f y =图象上的点都在不等式组?

??-≤≥11

x y x 所表示的区域内，

求a 的取值范围．

合肥一六八中学 高考最后一卷（文科数学）答案

一、选择题：BACDC AAACA

二、 填空题： 48; 8; 7

1

: 3; ①②③④. 三、解答题：

16.解：（1）由题意

sin sin 2a A

b C

=

由正弦定理知，

C

A B A b a 2sin sin sin sin == 在ABC ?中，C B A 2sin sin 0sin =∴≠ C B 2=∴或π=+C B 2 ……………3分

当C B 2=时，)2,3(

π

π∈C ),3

2(ππ

∈∴B 则π>+C B 舍 当π=+C B 2时，C A C C B =?-=+π 即ABC ?为等腰三角形。………6分

（2）在等腰三角形ABC ?，)3

,0()2,3(

π

π

π∈∴∈=B C A 取AC 中点D

2=+，得1=BD

又由，()A

BC BA BC BA 2

2

sin 1

24-=??=+

所以，??

?

??∈?1,32BC BA ………12分 17. 解：

1.第一组人数为50，频率为0.05，所以抽查的总人数n=

50

10000.05

=人， 第五组频率为b=1-(0.2+0.2+0.15+0.1+0.15)=0.3 第五组人数a=300人 抽取的样本中“光盘族”比例为520

521000

=﹪ ……………6分

2.应用分层抽样：在[)35,40年龄段人数为150×40%=60人，在[)40,45年龄段人数为200×50%=100人，两组人数比例为3:5，抽取的8人中在[)35,40组有3人，在[)40,45有5人，

抽取2人总的抽样方法为28种，概率 15

28p =

…12分

18．（本小题满分12分）

解：（1）取FC EF F AB ,,连结中点， ………………2分 由已知可得A A EF 1//,

A A EF 121=

, 又A A DC 1//,A

A DC 12

1

=

所以四边形DEFC 为平行四边形 ………………4分 则,,,//ABC FC ABC ED CF ED 平面平面因为??

所以ABC ED 平面// ………………6分 （2）HB H DF EH E 连结于作过,⊥，

,11AB CC ABC AB ABC CC ⊥??

??

?⊥平面平面

,CF AB FB AF BC AC ⊥??

??

==

又,,,DEFC CD CF C CD CF 平面?= 所以,AB DEFC ⊥平面,EH DEFC ?平面

,AB EH ⊥所以

又,,,,ABD DF AB F AB DF DF EH 平面?=⊥ 所以ABD EH 平面⊥， 所以,1所成角的平面角与平面为ABD B A EBH ∠

……………9分

1

31

,,22==?=??FD FD FH EF DEF Rt ABD H 中在的重心为

所以得,3,2,2,3

6

,33,3=====

=EB FB CF EH HF FD 得3

2sin ==

∠EB EH EBH ，所以B A 1

与平面ABD 所成角的正弦值为32． ……………12分

19. 解：（1）由245S S =，,0>q 得 1

2,2-==n n a q ……………3分

又11)1(11

2

12

+-=??????-==---n n b b b n T b n T n n n n n

n （)1>n ， 则得

)

1(2

3142132111232211+=???--?-?+-=????-----n n n n n n n n b b b b b b b b n n n n n n 所以)

1(2

+=

n n b n ，当1=n 时也满足．

………6分

（2）21n n S =-，所以)12

(

2λ-+=n C n

n ，使数列{}n C 是单调递减数列， 则0)1

224(21<-+-+=-+λn n C C n

n n 对*∈N n 都成立， …………8分

即max )1224(01224+-+>?<-+-+n n n n λλ， …………10分 n n n n n n n 2

32

)2)(1(21224++=

++=+-+， 当1=n 或2时，,3

1

)1224(max =+-+n n 所以31>λ． ……13分

20.解：（1）∵PF 1⊥x 轴， ∴F 1（-1，0），c =1，F 2（1，0），

|PF 2|=2

523

222=

+）（，2a =|PF 1|+|PF 2|=4，a =2，b 2

=3， 椭圆E 的方程为：13

42

2=+y x ； ……5分 （2）设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），由 λ=+得

（x 1+1，y 1-23）+（x 2+1，y 2-23）=λ（1,- 2

3）， 所以x 1+x 2=λ-20≠，y 1+y 2=2

3

（2-λ）0≠………①

又12432

12

1=+y x ，12432

22

2=+y x ，

两式相减得3（x 1+x 2）（x 1-x 2）+ 4（y 1+y 2）（y 1-y 2）=0………．．② 以①式代入可得AB 的斜率k =2

1

2121=--x x y y 为定值； ……13分

21．解：（1）x x x f a ln )1(4

1

)(,412+--=-

=，)0(>x x

x x x x x x x x f 2)1)(2(2212121)(2+--=

++-=++-='， …………2分

（1）当;)2,0()(,0)(,20单调递增在时x f x f x >'<< （2）当2,()0,()(2,);x

f x f x '><∞时在单调递减

所以函数的单调递增区间是)2,0(，单调递减区间是),2(+∞． ……5分

（2）由题意得,),1[1ln )1(2

恒成立对+∞∈-≤+-x x x x a

设1ln )1()(2

+-+-=x x x a x g ，),1[+∞∈x .则使),1[,0)(max +∞∈≤x x g 成立.求导得x

x ax x x a ax x g )1)(12(1)12(2)(2--=++-='， ……7分

①当0≤a 时，若,),1[)(,0)(,1单调递减在所以则+∞<'>x g x g x

;0,00)1()(max ≤≤==a g x g 得成立 …………9分

②当21≥

a 时，121≤=a

x ，,),1[)(上单调递增在+∞∈x x g 0)1()(,1=>>g x g x 使所以存在，则不成立； ………11分

③当,]21,1[)(,121,210上单调递减在则时a x f a x a >=<

<,),21

[单调递增+∞a 则存在),,21[1+∞∈a a 有

01ln 11

1ln )11()1(2>-+-=+-+-=a a a

a a a a g ，所以不成立…12分 综上得0≤a ． ……13分