(完整版)导数与函数的单调性练习题.docx

2.2.1 导数与函数的单调性

基础巩固题：

1.函数 f(x)= ax

1

在区间（ -2， +∞）上为增函数，那么实数 a 的取值范围为（

）

x

2

A.0

1 B.a<-1 或 a>

1

C.a>

1

D.a>-2

2

2

2

答案： C

解析：∵ f(x)=a+

1

2a

在 (-2,+ ∞ )递增，∴ 1-2a<0, 即 a>

1

.

x

2

2

2．已知函数 f(x)＝ x 2＋ 2x ＋ aln x ，若函数 f(x)在 (0,1)上单调，则实数

a 的取值范围是 (

)

A ． a ≥ 0

B ． a<－ 4

C ． a ≥ 0 或 a ≤－ 4

D ． a>0 或 a<－ 4

a

答案： C 解析： ∵ f ′ ( x)＝2x ＋ 2＋ x ， f(x)在 (0,1) 上单调，

∴ f ′ (x)≥ 0 或 f ′ (x)≤ 0 在

(0,1) 上恒成立，即 2x 2＋2x ＋ a ≥ 0 或 2x 2＋ 2x ＋a ≤ 0 在 (0,1)上恒成立，

所以 a ≥ － (2x 2＋ 2x)

或 a ≤ － (2x 2＋ 2x)在 (0,1) 上恒成立．记 g(x)＝－ (2x 2＋ 2x),0< x<1，可知－ 4

或 a ≤ － 4，故选 C.

9

的单调区间为 ________．

3． 函数 f(x)＝ x ＋ x

答案：(－ 3,0)，(0,3)

x 2

－ 9 解析：f ′ (x)＝ 1－ 9

2＝

x 2 ，令 f ′ (x)<0，解得－ 3< x<0 或 0

x

故单调减区间为 (－ 3,0)和 (0,3)．

4 函数 y

x 2 x 3 的单调增区间为

，单调减区间为 ___________________

答案： (0, 2

) ； ( ,0),( 2

, ) 解析： y '

3x 2 2x 0, x 0, 或x

2 3

3

3

5．确定下列函数的单调区间 :(1) y=x 3－ 9x 2+24x (2) y=3x － x 3

(1) 解： y ′ =(x 3－ 9x 2+24x) ′ =3x 2－ 18x+24=3( x － 2)( x － 4)

令 3(x － 2)(x － 4)＞ 0，解得 x ＞ 4 或 x ＜ 2.

∴ y=x 3－ 9x 2+24x 的单调增区间是 (4， +∞)和 (－ ∞， 2) 令 3(x － 2)(x － 4)＜ 0，解得 2＜ x ＜ 4 .∴ y=x 3－ 9x 2+24x 的单调减区间是 (2， 4)

(2) 解： y ′ =(3x － x 3) ′=3－ 3x 2=－ 3(x 2－ 1)= － 3(x+1)( x

－ 1) 令－ 3(x+1)( x － 1)＞ 0，解得－ 1＜ x ＜ 1.

∴ y=3x － x 3 的单调增区间是 (－ 1， 1).

令－ 3(x+1)( x － 1)＜ 0，解得 x ＞ 1 或 x ＜－ 1.

∴ y=3x － x 3 的单调减区间是 (－ ∞，－ 1)和 (1， +∞)

6．函数 y ＝ ln( x 2－ x － 2)的单调递减区间为 __________．

[答案 ] (－∞，－ 1)

[解析 ]

函数 y ＝ ln( x 2－ x － 2)的定义域为 (2，＋ ∞ )∪ (－ ∞，－

1)，令 f(x)＝ x 2

－ x － 2， f ′ (x)＝ 2x － 1<0，得 x<

1

2，

∴ 函数 y ＝ ln( x 2－x － 2)的单调减区间为 ( －∞ ，－ 1)

7．已知 y ＝ 1

x 3 ＋ bx 2＋ (b ＋ 2)x ＋ 3 在 R 上不是单调增函数，则

b 的范围为 ________．

3

[答案 ] b<－ 1 或 b>2

[ 解析 ] 若 y ′ ＝ x 2

＋ 2bx ＋ b ＋ 2≥ 0 恒成立，则

＝ 4b 2－ 4(b

＋2)≤ 0， ∴ － 1≤ b ≤ 2，由题意 b ＜－ 1 或 b ＞ 2.

8.已知 x ∈ R, 求证： e x ≥ x+1．

证明 :设 f （ x ） =e x － x － 1,则 f ′（ x ） =e x － 1．

∴当 x=0 时， f ′（ x ） =0,f （ x ）=0 ．

当 x ＞ 0 时， f ′（ x ）＞ 0,∴ f （ x ）在（ 0,+∞）上是增函数．∴ f （ x ）＞ f （ 0） =0．

当 x ＜ 0 时， f ′（ x ）＜ 0,f （ x ）在（－∞ ,0）上是减函数，∴ f （ x ）＞ f （ 0） =0．

1

9．已知函数 y=x+ ，试讨论出此函数的单调区间 .

x

x 2

解： y ′ =(x+

1 －

1 ( x 1)( x 1)

(x 1)( x 1)

＞ 0. 解

)′ =1－ 1· x

2=

x 2

x 2

令

x 2

x

得 x ＞ 1 或 x ＜－ 1.∴ y=x+

1

的单调增区间 ; 是 (－∞，－ 1)和 (1， +∞ ).令

(x

1)( x

1)

＜ 0，

x

x 2

解得－ 1＜ x ＜0 或 0＜ x ＜1. ∴ y=x+

1

的单调减区间是 (－ 1， 0)和 (0， 1)

10．已知函数 f ( x) x 3 bx 2

x

cx

d 的图象过点 P （ 0， 2），且在点 M （－ 1，f （－ 1））

处的切线方程为 6 x y 7

0 ．（Ⅰ）求函数 y=f(x) 的解析式；（Ⅱ）求函数

y=f(x) 的单调

区间．

解：（Ⅰ）由 f(x) 的图象经过 P （ 0， 2），知 d=2，

所以 f (x) x 3

bx 2

cx 2,

f ( x) 3x 2

2bx c.

由

在

M(-1,f(-1))

处 的 切

线

方

程

是

6 x y

7

0 ，

知

6

f (

1) 7 0, 即 f ( 1) 1, f ( 1)

6.

3 2b c 6, 即 2b c c 3,

1 b c

2 1. b 0, 解得 b c 3.

故所求的解析式是

( )

3

3

2

3

2.

f

x

x

x

x

（Ⅱ） f

(x) 3x 2 6 x

3. 令 3x 2 6x 3 0,

2

2x

1 0.

解得 x 1

1

2, x 2

1

2.

即 x

当 x 1

2, 或x 1

2时, f ( x) 0;

当 1

2 x 1

2时, f ( x) 0.

故 f ( x)在 ( ,1 2 ) 内是增函数，在 (1 2,1 2)内是减函数，在 (1 2, ) 内是增函数． 点拨：本题考查函数的单调性、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析问题和解决问 题的能力． 11. 已知函数 f(x)=x 3

-

1

x 2+bx+c. (1) 若 f(x)

在（ - ∞， +∞）上是增函数，求

b 的取值范

2

围; (x ) =3x 2-x+b, 因 f(x)

f ( x) ≥0. 即 3x 2- x+b ≥0,

解 （ 1） f 在（ - ∞， +∞）上是增函数，则

∴b ≥x -3x 2 在（ - ∞， +∞）恒成立 . 设 g(x)=x-3x

2 当 x= 1 时， g(x)

= 1 , ∴b ≥ 1 .

.

6 max

12

12

12. 已知函数 f(x)=x(x-1)(x-a)

在（ 2，+∞）上是增函数，试确定实数 a 的取值范围 .

解 f(x)=x(x-1)(x-a)=x

3

-(a+1)x 2+ax ∴ f (x) =3x 2-2(a+1)x+a

要使函数

f(x)=x(x-1)(x-a)

在（ 2,+ ∞) 上是增函数，只需 f ( x) 2

在（ 2，+∞）上满足

=3x -2(a+1)x+a f ( x) ≥0即可 .

∵ f (x ) =3x

2

-2(a+1)x+a 的对称轴是 x=

a 1

,

3

a 1

a 1 2

2 或

3

解得 :a ≤ 8

. ∴a 的取值范围是 a ≤ 8

.

∴a 的取值应满足：

3 1

f

(2) 0

f a

0 3

3

( )

3

13．已知函数

f ( x) 4 x ax

2

2

x 3 ( x R) 在区间

1,1 上是增函数，求实数 a 的取值

3

范围．

解： f ' ( x) 4 2ax 2x 2 ，因为 f x 在区间

1,1 上是增函数，所以

f ' ( x) 0 对

x1,1 恒成立，即 x 2

ax 2 0 对 x

1,1 恒成立，解之得：

1 a

1

所以实数 a 的取值范围为

1,1 ．

点拨：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单

调性关系：即“若函数单调递增，则

f ' ( x)

0 ；若函数单调递减，则 f ' ( x) 0 ”来求解，

注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．

14.已知函数的切线方程

f ( x) x 3 bx 2 ax d 的图象过点 P （ 0，2），且在点 M （－ 1， f ( 1) ）处 6x y 7 0 ，（ 1）求函数 y f (x) 的解析式；（ 2）求函数 y f ( x) 的单调

区间。

解：（ 1）由 f ( x) 的图象经过 P （ 0， 2），知 d

2 ，所以 f ( x) x 3

bx 2

cx 2 ，

f ( x)

3x 2

2bx c

由在点 M （

1, f ( 1) ）处的切线方程为 6x

y 7 0

∴ f ( 1)

1, f ( 1) 6

3 2b c 6 3

即 ∴

1 b c 解得 b c

2 1

故所求的解析式是 f ( x) x 3 3x 2 3x 2

（ 2） f ( x) 3x 2 6x 3 令 3x 2 6x 3

0 ，解得 x 1

1

2, x 2

1

2

当 x 1 2 或 x

1

2 时， f ( x) 0

当 1

2 x 1

2 时， f (x) 0

故 f ( x)

x 3 3x 2 2 在 (

,1 2 ) 内是增函数，在 (1

2 ,1

2) 内是减函数

在 (1

2,

) 内是增函数

点拨：本题考查函数的单调性、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力．

2x － b

15．已知函数 f(x)＝

2，求导函数 f ′ (x)，并确定 f(x)的单调区间．

2(x － 1)2－ (2x － b) ·2(x － 1)

解析： f ′ (x)＝ ＝

(x － 1)4

－ 2x ＋ 2b － 22[x － (b － 1)]

(x － 1)3 ＝－

3

(x － 1) 令 f ′ (x)＝ 0，得 x ＝ b － 1 且 x ≠ 1.

当 b －1＜ 1，即 b ＜ 2 时， f ′ (x)的变化情况如下表：

x (－ ∞ ，b － 1) b － 1 (b － 1,1) (1，＋ ∞ )

f ′ (x)－0＋－

当 b－1＞ 1，即b＞ 2 时， f′ (x)的变化情况如下表：

x(－∞，1)(1， b－ 1)b－ 1(b－ 1，＋∞ )

f ′ (x)－＋0－

所以，当 b＜2 时，函数f(x)在 (－∞， b－ 1)上单调递减，在 (b－ 1,1)上单调递增，在(1，＋∞ )上单调递减．

当 b＞2 时，函数 f (x)在 (－∞，1) 上单调递减，在 (1，b－ 1)上单调递增，在 (b－ 1，＋∞ )上单调递减．

当 b－1＝1，即

2

b＝2时， f ( x)＝ x－1，所以函数 f ( x)在(－∞，1) 上单调递减，在(1，

＋∞ ) 上单调递减．

强化提高题：

16．设 f(x)、g(x)是 R 上的可导函数， f′ (x)，g′ (x)分别为 f(x)、g(x)的导函数，且满足 f′ ( x) g( x)＋ f(x)g′ (x)<0，则当a

A ． f(x)g(b)>f(b)g(x) C． f(x)g(x)>f(b)g(b)

答案： C 解析：令B ． f(x)g(a)>f(a)g(x)

D． f(x)g(x)>f(b)g(a)

y＝ f(x) ·g(x)，则y′＝ f ′ (x)·g(x)＋f(x)·g′ (x) ，由于f′ ( x) g( x)＋

f(x)g′ (x)<0，所以y 在R 上单调递减，又x f(b)g(b)．

17．若函数y＝x3－ ax2＋ 4 在 (0,2)内单调递减，则实数 a 的取值范围是 ____________ ．

[答案 ] [3，＋∞ )[ 解析 ] y′＝ 3x2－ 2ax，由题意知3x2－ 2ax<0 在区间 (0,2) 内恒成立，

3

即a>2x 在区间 (0,2)上恒成立，∴ a≥ 3.

18．已知函数f(x)＝ ax－ ln x，若 f (x)＞ 1 在区间 (1，＋∞ )内恒成立，实数 a 的取值范围为________．

[答案 ] a≥ 1[解析 ]由已知 a＞1＋ ln x

在区间 (1，＋∞ )内恒成立．x

1＋ ln x ln x1＋ ln x

设 g(x)＝x，则 g′ (x)＝－x2＜ 0(x＞1)，∴ g(x)＝x在区间 (1，＋∞ )内单调

递减，∴ g(x)＜ g(1)，∵g(1) ＝ 1，∴1＋ ln x

x

＜ 1 在区间 (1，＋∞ )内恒成立，∴ a≥ 1.

－

x的单调递增区间是 ________．

19．函数 y＝ x2 e

答案： (0,2)解析： y′＝ (2x－ x2)e－x＞ 0? 0＜ x＜ 2，故选填 (0,2)．

20若 f ( x) ax3bx 2cx d(a 0) 在R增函数，则 a, b, c 的关系式为是_______________

答案： a0,且 b23ac解析： f ' ( x) 3ax22bx c 0恒成立，则

a 0

, a

0,且 b 2 3ac

4b 2 12ac

21．若函数 y=－ 4

x 3+bx 有三个单调区间，则 b 的取值范围是 ________．

答案： b>0 3

y ′ =－ 4x 2

+b ，若 y ′值有正、有负，则 b>0．

解析：

22.定义在 R 上的奇函数 f(x) 在［ -a,-b ］(a>b>0) 上是减函数且 f(-b)>0, 判断 F （ x ）=［ f(x) ］ 2 在［ b,a ］上的单调性并证明你的结论 .

解析：设 b ≤ x 1-x 2≥ -a.

∵ f(x) 在 ［ -a,-b ］ 上 是 减 函 数 , ∴ 0

则 f(x 2 )

∴ F(x) 在［ b,a ］上为增函数 .

23．设函数 f( x)＝ x 3－ 3ax 2＋ 3bx 的图象与直线 12x ＋ y － 1＝ 0 相切于点 (1，－ 11)．

(1) 求 a 、 b 的值； (2) 讨论函数 f(x)的单调性．

[解析 ]

(1) 求导得 f ′ (x)＝ 3x 2－ 6ax ＋ 3b.

由于 f(x)的图象与直线

12x ＋ y －1＝ 0 相切于点 (1，－ 11)，所以 f(1) ＝－ 11， f ′ (1)＝－

12，

1－ 3a ＋ 3b ＝－ 11 ，解得 a ＝ 1，b ＝－ 3.

即

3－ 6a ＋ 3b ＝－ 12

(2)由 a ＝ 1， b ＝－ 3 得 f ′ (x)＝ 3x 2－ 6ax ＋3b ＝ 3(x 2

－ 2x －3) ＝3(x ＋ 1)(x － 3)．

令 f ′ (x)>0，解得 x<－ 1 或 x>3；又令 f ′ (x)<0，解得－ 1

时， f(x)是增函数；

当 x ∈ (3，＋ ∞ )时， f(x)也是增函数； 当 x ∈ ( － 1,3) 时， f ( x ) 是减函数．

24．若函数 f (x)

1

x 3

1

ax 2

(a 1)x 1在区间 (1,4) 内为减函数，在区间 (6,

)

3

2

上为增函数，试求实数 a 的取值范围．

解： f ( x) x 2

ax a

1 (x 1)[x

( a 1)] ，

令 f ( x) 0 得 x 1 或 x a 1 ，

∴当 x (1,4) 时， f ( x) 0 ，当 x (6, ) 时， f ( x) 0 ，

∴ 4 a

1 6 ，∴ 5 a 7 ．

25.设函数 f(x)=x+

a (a>0).(1) 求函数在 （ 0，+∞） 上的单调区间， 并证明之；（ 2）若函数 f(x)

x

在［ a-2,+∞］上递增，求

a 的取值范围 .

解析：（ 1） f(x) 在 (0,+ ∞ )上的增区间为［ a ,+∞］，减区间为（ 0， a ） .

证明：∵ f ′ (x)=1-

a ,当 x ∈［

a ,+∞］时，

x 2

∴ f ′ (x)>0, 当

x ∈（ 0，

a ）时，

f ′ (x)<0.

即 f(x) 在［

a +∞］上单调递增，在（

0，

a ）上单调递减 .（或者用定义证）

（ 2 ）［ a-2,+ ∞ ］ 为 ［ a ， + ∞ ］ 的 子 区 间 ， 所 以 a-2 ≥

a

a-

a -2 ≥

( a +1)(

a -2) ≥ 0 a -2≥ 0

a ≥ 4.

b x

调区间．

解析：

可先由函数

y ＝ ax

与

y ＝－ bx 的单调性确

定

a 、

b 的取值范围，再根据

a 、

b 的

取值范围去确定

y ＝ ax 3＋ bx 2＋ 5 的单调区间．

[解 ]

∵ 函数

y ＝ax

与

b

y ＝－ x 在 (0，

＋

∞ )上都是减函数， ∴ a ＜0， b ＜ 0.

由 y ＝ ax 3＋bx 2＋ 5 得 y ′＝ 3ax 2＋ 2bx.

2b

令 y ′ ＞0，得 3ax 2＋2bx ＞ 0，∴ － 3a ＜x ＜ 0.

2b

∴ 当 x ∈ － 3a ， 0 时，函数为增函数．

令 y ′ ＜0，即 3ax 2＋2bx ＜ 0，

2b

∴ x ＜－ 3a ，或 x ＞0.

2b

∴ 在

－ ∞ ，－ 3a ， (0，＋ ∞ )上时，函数为减函数．

27

设 a 0, f ( x)

a 是 R

1

2

f (x)

0 +

）

e x

上的偶函数，（ ）求 a 的值；（ ）证明

在（ ，

a

e x

上是增函数。

解：（ 1）依题意，对一切

x R ，有 f ( x)

f (x) ，即 e x

a 1 ae x

a e x

ae x

1

x

1

1

x

1

即 (a a )(e

e x

)

0 ，所以对一切 x

R,(a

a )(e e x ) 0 恒成立

由于 e

x 1

不恒为

1

0 ，即 a 2

1 ，又因为 a 0 ，所以 a 1

x

0，所以 a

e

a

（ 2）证明：由 f ( x)

e x

e x ，得

f ( x) e x e x e x (e 2 x 1)

当 x

(0, ) 时，有 e

x

(e 2 x

1)

0 ，此时 f ( x) 0 ，所以 f (x) 在（ 0， + ）内

是增函数

1

28．求证：方程 x － 2sinx ＝ 0 只有一个根

x ＝0.

1

[证明 ]

设 f(x)＝x － 2sinx ， x ∈ (－∞ ，＋ ∞ )，

1

则f′ (x)＝ 1－2cosx＞ 0，

∴ f(x)在 (－∞，＋∞ )上是单调递增函数．

而当 x＝ 0 时， f(x)＝ 0，

1

∴方程 x－2sinx＝ 0 有唯一的根x＝ 0.

29已知 f(x)= x2 +c,且 f ［ f(x)］ =f(x2+1)

(1)设 g(x)= f［ f(x)］ ,求 g(x)的解析式；

(2)设φ( x)=g(x)－λf(x),试问：是否存在实数λ,使φ (x)在(－∞,－1)内为减函数，且在

(－ 1， 0)内是增函数 .

解： (1)由题意得 f ［ f(x)］ =f(x2+c)=(x2+c)2+c

f(x2+1)=( x2+1) 2+c,∵ f［ f(x)］ =f(x2+1)

∴(x2+c)2+c=(x2+1) 2+c,

∴x2+c=x2+1, ∴ c=1

∴f( x)=x2+1,g(x)=f ［ f(x)］ =f(x2+1)=( x2+1)2 +1

(2) φ(x)=g(x)－λf(x)=x4+(2－λ )x2+(2－λ)

若满足条件的λ存在，则φ′(x)=4x3+2(2－λ )x

∵函数φ(x)在(－∞,－1)上是减函数，

∴当 x＜－ 1 时，φ′ (x)＜ 0

即4x3+2(2 －λ)x＜ 0 对于 x∈ (－∞ ,－ 1)恒成立

∴ 2(2－λ )＞－ 4x2,

∵ x＜－ 1,∴－ 4x2＜－ 4

∴ 2(2－λ )≥－ 4,解得λ≤ 4

又函数φ(x)在(－1,0)上是增函数∴

当－ 1＜ x＜ 0 时，φ′ (x)＞ 0

即4x2+2(2 －λ)x＞ 0 对于 x∈ (－ 1,0)恒成立

∴ 2(2－λ )＜－ 4x2,

∵－ 1＜ x＜ 0,∴－ 4＜ 4x2＜ 0

∴2(2－λ )≤－ 4,解得λ≥ 4

故当λ=4时，φ(x)在(－∞,－1)上是减函数，在( － 1,0) 上是增函数，即满足条件的λ存在.

课外延伸题：

30．方程 x3－ 3x+c=0 在［ 0，1］上至多有 _______个实数根

答案： 1解析．设f（ x） =x3－ 3x+c，则 f （ x） =3x2－ 3=3（ x2－ 1）．

当x∈（ 0， 1）时， f （ x） <0 恒成

立．∴ f（ x）在（ 0， 1）上单调递减．

∴ f（ x）的图象与 x 轴最多有一个交点．

因此方程 x3－ 3x+c=0 在［ 0，1）上至多有一实根．

31．若函数 f( x)＝ x3－ 3x＋ a 有三个不同的零点，则实数 a 的取值范围是 ________．答案：－ 2

令 f′ (x)＝ 0，得 x＝－ 1 或 x＝ 1.

∴ f(x)在 (－∞，－ 1)和 (1，＋∞ )上递增，在 (－ 1,1)上递减，

f(－ 1)>0 ∴

， ∴ －2

f(1)<0

32.(2010 湖北黄冈中学模拟， 19)已知定义域为［ 0，1］的函数 f(x) 同时满足：①对于任意的 x ∈［ 0， 1］，总有 f(x) ≥ 0;② f(1)=1; ③若 x 1≥ 0,x 2≥ 0,x 1+x 2≤ 1,则有 f(x 1+x 2 )≥ f(x 1)+f(x 2).(1) 求 f(0) 的值；（2）求 f(x) 的最大值 .

解析： (1)对于条件③，令

x 1=x 2=0 得 f(0) ≤ 0，又由条件①知 f(0) ≥ 0，故 f(0)=0.

(2)设 0≤ x

≤ 1,则 x -x ∈ (0,1)，

1 2

2

1

∴ f(x 2)-f(x 1)=f ［ (x 2-x 1)+x 1］ -f(x 1)=f(x 2-x 1)+f(x 1)-f(x 1)=f(x 2-x 1)≥ 0.

即 f(x 2 )≥f(x 1),故 f(x) 在［ 0， 1］上是单调递增，从而 f(x) 的最大值是 f(1)=1.

x

-1) 2

+(

n

≤ 2.(1)讨论函数 f(x) 的单调

33.已知函数 f(x)=(

-1) 2

的定义域为［ m,n) 且 1≤ m

性； m

x

（ 2）证明：对任意 x 1 、 x 2∈［ m,n ］ ,不等式 |f(x 1)-f(x 2)|<1 恒成立 .

（ 1）解析：解法一：∵

f(x)=(

x 2 +

n 2 x 2

n 2

2x 2n

-1) ( -1) =

x

2

+2,

m

x

m

2

m x

∴

f

′

2x

2n 2 2 2n

2

2

(x)= m

2

x

3

m

x

2

m 2 x 3

· (x 4

-m 2n 2

-mx 3

+m 2

nx)= m 2 x 3

(x 2

-mx+mn)(x+ mn )(x-

mn ).

∵ 1≤ m ≤ x

2

3 >0,x 2

-mx+mn=x(x-m)+mn>0,x+

mn >0.

2

x

m 令 f ′ (x)=0, 得 x=

mn ，

①当 x ∈［ m, mn ］时， f ′ (x)<0;

②当 x ∈［

mn ， n ］时， f ′ (x)>0.

∴ f(x) 在［ m, mn ］内为减函数，在［ mn ，n ）为内增函数 .

解法二：由题设可得

x n 2 2n

+1.

f(x)= （

-1 ） -

m x

m

令 t=

x n

.

m x

∵ 1≤ m

x n ≥ 2,

n

∴ t=

x >2.

m

m

令 t ′ =

1 n =0,得 x= mn .

m

x 2

mn ,n)时， t ′ >0.∴ t= x

n

在［ m,

当 x ∈［ m,

mn ］,t ′<0; 当 x ∈ ( mn ］内是减

2n

m x

函数，在［

mn ， n ］内是增函数 .∵函数 y=(t-1) 2- +1 在［ 1， +∞］上是增函数，∴函

m

数 f(x) 在［ m,

mn ］内是减函数，在［ mn ， n ］内是增函数 .

（ 2）证明：由（ 1）可知， f(x) 在［ m,n ］上的最小值为

f( n

-1)2

,最大值为

mn )=2(

m

f(m)=(

n 2 .

-1)

m

对任意 x 1、 x 2∈［ m,n ］ ,|f(x 1)-f(x 2)|≤ (

n

-1) 2

-2(

n -1)2

=( n )2

-4 · n

+4 n -1. 令

m

m m m

m

n ,h(u)=u 4-4u 2+4u-1.

u=

m

∵

1 ≤ m

2, ∴ 1<

n ≤ 2, 即

1

≤

2 . ∵

h ′

m

5 1 5 1

(u)=4u 3

-8u+4=4(u-1)(u-

)(u+

2

)>0,

2

∴ h(u) 在 (1, 2 )上是增函数 .∴ h(u) ≤ h( 2 )=4-8+4 2 -1=4 2 -5<1.

∴不等式 |f(x 1)-f(x 2 )|<1 恒成立 .

高考链接题：

34． (2009 ·东文，广 8)函数 f(x)＝ (x － 3)e x 的单调递增区间是 (

)

A ． (－∞， 2)

B ． (0,3)

C ． (1,4)

D ． (2，＋∞ )

[答案 ] D

[ 解析 ] 考查导数的简单应用．

f ′ (x)＝ (x － 3)′ e x ＋ (x － 3)(e x ) ′ ＝(x － 2)e x ，令 f ′ (x)>0，解得 x>2，故选 D.

35． (2010 ·课标全国文新

)设函数 f(x)＝ x(e x － 1)－ ax 2.

1

(1) 若 a ＝ 2，求 f(x)的单调区间；

(2) 若当 x ≥ 0 时 f(x)≥ 0，求 a 的取值范围．

[解析 ]

1 x

1 2 (1) a ＝ 时， f(x)＝ x(e

－ 1)－ x ，

2

2

f ′ (x)＝ e x －1＋ xe x － x ＝ (e x － 1)(x ＋ 1)．

当 x ∈ (－∞ ，－1) 时，f ′ (x)>0；当 x ∈ (－ 1,0)时，f ′ (x)<0 ；当 x ∈ (0，＋∞ )时，f ′ (x)>0.

故 f(x)在 (－ ∞ ，－ 1]，[0，＋ ∞ )上单调递增，在 [－1,0] 上单调递减．

(2)f(x)＝ x(e x － 1－ ax)．

令 g(x)＝ e x － 1－ax ，则 g ′ (x)＝ e x － a.

若 a ≤ 1，则当 x ∈ (0，＋ ∞ )时， g ′ (x)>0， g(x)为增函数，而 g(0) ＝0，从而当 x ≥ 0 时

g(x)≥ 0，即 f(x)≥ 0.

当 a>1，则当 x ∈ (0，ln a)时， g ′ (x)<0 ，g(x) 为减函数，而 g(0) ＝ 0，从而当 x ∈ (0，ln a)

时 g(x)<0 ，即 f(x)<0.

综合得 a 的取值范围为(－∞， 1]．

36.（ 2009 江西）设函数 f (x)e x x

（ 1）求函数 f (x) 的单调区间；

（ 2）若 k0，求不等式 f '(x)k(1 x) f ( x)0 的解集．

解： (1) f ' ( x)1

2 e x 1 e x x2

1

e x,由

f ' ( x) 0 ,得x1 x x x

因为当 x0 时,f'( x)0 ；当0x 1 时, f ' ( x) 0 ；当x 1 时,f'(x)0 ；所以 f ( x) 的单调增区间是: [1,) ；单调减区间是 :(,0) ，(0,1] .

(2)由f '

( x)k (1 x) f (x)

x1kx kx2x( x1)(kx1)x

0 ,

x2e x2e

得： ( x 1)(kx 1) 0 .

故：当0k 1时,解集是：{ x 1x 1

} ；

当 k 1 时，解集是：

k ；

当 k 1 时,解集是：{ x 1

x 1} k