高三数学第一轮复习阶段性测试题8

阶段性测试题八(平面解析几何)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共60分)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。)

1．(2011·辽宁沈阳二中阶段检测)“a ＝2”是“直线2x ＋ay －1＝0与直线ax ＋2y －2＝0平行”的( )

A ．充要条件

B ．充分不必要条件

C ．必要不充分条件

D ．既不充分也不必要条件

[答案] B

[解析] 两直线平行的充要条件是2a ＝a 2≠－1－2，即两直线平行的充要条件是a ＝±2.故a

＝2是直线2x ＋ay －1＝0与直线ax ＋2y －2＝0平行的充分不必要条件．

[点评] 如果适合p 的集合是A ，适合q 的集合是B ，若A 是B 的真子集，则p 是q 的充分不必要条件，若A ＝B ，则p ，q 互为充要条件，若B 是A 的真子集，则p 是q 的必要不充分条件．

2．(2011·福州市期末)若双曲线x 2a 2－y 2

2＝1的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该

双曲线的离心率为( )

A. 5 B ．5 C. 2 D ．2

[答案] A

[解析] 焦点F (c,0)到渐近线y ＝b a

x 的距离为d ＝bc a 2＋b 2

＝2a ，两边平方并将b 2＝c 2

－a 2

代入得c 2

＝5a 2

，∵e ＝c a

>1，∴e ＝5，故选A.

3．(2011·黄冈期末)已知直线l 交椭圆4x 2

＋5y 2

＝80于M 、N 两点，椭圆与y 轴的正半轴交于B 点，若△BMN 的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l 的方程是( )

A ．6x －5y －28＝0

B ．6x ＋5y －28＝0

C ．5x ＋6y －28＝0

D ．5x －6y －28＝0

[答案] A

[解析] 由椭圆方程x 220＋y 2

16＝1知，点B (0,4)，右焦点F (2,0)，

∵F 为△BMN 的重心，∴直线BF 与MN 交点D 为MN 的中点，

∴BD →＝32

BF →

＝(3，－6)，

又B (0,4)，∴D (3，－2)，将D 点坐标代入选项检验排除B 、C 、D ，选A.

4．(2011·江西南昌调研)直线l 过抛物线y 2

＝2px (p >0)的焦点F ，且与抛物线交于A 、

B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线方程是( )

A ．y 2

＝12x B ．y 2

＝8x C ．y 2＝6x D ．y 2

＝4x

[答案] B

[解析] 设AB 中点为M ，A 、M 、B 在抛物线准线上的射影为A 1、M 1、B 1，则

2|MM 1|＝|AA 1|＋|BB 1|＝|AF |＋|BF |＝|AB |＝8， ∴|MM 1|＝4，又|MM 1|＝p

2＋2，∴p ＝4，

∴抛物线方程为y 2

＝8x .

5．(2011·福州市期末)定义：平面内横坐标为整数的点称为“左整点”．过函数y ＝9－x 2

图象上任意两个“左整点”作直线，则倾斜角大于45°的直线条数为( ) A ．10 B ．11 C ．12 D ．13

[答案] B

[解析] 依据“左整点”的定义知，函数y ＝9－x 2

的图象上共有七个左整点，如图过两个左整点作直线，倾斜角大于45°的直线有：AC ，AB ，BG ，CF ，CG ，DE ，DF ，DG ，EF ，

EG ，FG 共11条，故选B.

6．(文)(2011·巢湖质检)设双曲线y 2m －x 2

＝1的一个焦点为(0，－2)，则双曲线的离心

率为( )

A. 2 B ．2 C. 6 D ．2 2

[答案] A

[解析] 由条件知m ＋2＝4，∴m ＝2， ∴离心率e ＝

22＝ 2.

(理)(2011·山东潍坊一中期末)已知抛物线y 2

＝2px (p >0)与双曲线x 2a 2－y 2

2＝1有相同的

焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为( )

5＋1

B.3＋1

C.2＋1

22＋1

[答案] C

[解析] 由AF ⊥x 轴知点A 坐标为? ??

??p 2，p ，代入双曲线方程中得，p 24a 2－p 2

b 2＝1，∵双曲线与抛物线焦点相同，∴

c ＝p

2，即p ＝2c ，又b 2

＝c 2

－a 2

，∴4c 24a 2－4c

c 2－a

2＝1，

由e ＝c a

代入整数得，e 4－6e 2

＋1＝0， ∵e >1，∴e 2

＝3＋22，∴e ＝2＋1.

7．(2011·烟台调研)与椭圆x 2

4＋y 2

＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是( )

A.x 2

4－y 2

＝1 B.x 2

2－y 2

＝1 C.x 23－y 23＝1 D ．x 2

－y 2

＝1

[答案] B

[解析] 椭圆的焦点F 1(－3，0)，F 2(3，0)，由双曲线定义知2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝2＋3

＋1－2－3

＋1＝8＋43

－8－43＝22，

∴a ＝2，∴b 2

＝c 2

－a 2

＝1，

∴双曲线方程为x 2

－y 2

＝1.

8．(文)(2011·辽宁沈阳二中检测)椭圆x 2

＋y 2

＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在椭圆上，

MF 1→·MF 2→

＝0，则M 到y 轴的距离为( )

A.23

3 B.26

C.33

D. 3

[答案] B

[分析] 条件MF 1→·MF 2→

＝0，说明点M 在以线段F 1F 2为直径的圆上，点M 又在椭圆上，通过方程组可求得点M 的坐标，即可求出点M 到y 轴的距离．

[解析] 椭圆的焦点坐标是(±3，0)，点M 在以线段F 1F 2为直径的圆上，该圆的方程是x 2

＋y 2

＝3，即y 2

＝3－x 2

，代入椭圆得x 2

4＋3－x 2＝1，解得x 2

＝83，即|x |＝263

，此即点M

到y 轴的距离．

[点评] 满足MF →·MB →

＝0(其中A ，B 是平面上两个不同的定点)的动点M 的轨迹是以线段

AB 为直径的圆．

(理)(2011·山东实验中学期末)已知双曲线的两个焦点为F 1(－10，0)，F 2(10，0)，

M 是此双曲线上的一点，且MF 1→·MF 2→＝0，|MF 1→|·|MF 2→

|＝2，则该双曲线的方程是( )

A.x 2

9－y 2

＝1 B ．x 2

－y 2

9＝1

C.x 23－y 27＝1

D.x 27－y 2

＝1 [答案] A

[解析] 由条件知，MF 1→⊥MF 2→，∴|MF 1→|2＋|MF 2→|2＝|F 1F 2→|2＝(210)2

＝40， (|MF 1→|－|MF 2→|)2＝|MF 1→|2＋|MF 2→|2－2|MF 1→|·|MF 2→|＝40－2|MF 1→|·|MF 2→

|＝36， ∴||MF 1|－|MF 2||＝6＝2a ，∴a ＝3，

又c ＝10，∴b 2

＝c 2

－a 2

＝1，∴双曲线方程为x 2

－y 2

＝1.

9．(2011·宁波市期末)设双曲线C ：x 2a 2－y 2

2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，O 为坐标原点．若

以F 为圆心，FO 为半径的圆与双曲线C 的一条渐近线交于点A (不同于O 点)，则△OAF 的面积为( )

A ．ab

B ．bc

C ．ac D.a 2b c

[答案] A

[解析] 由条件知，|FA |＝|FO |＝c ，即△OAF 为等腰三角形，F (c,0)到渐近线y ＝b a

x 的距离为b ，∴OA ＝2a ，

∴S △OAF ＝1

×2a ×b ＝ab .

10．(2011·北京朝阳区期末)已知圆的方程为x 2

＋y 2

－2x ＋6y ＋8＝0，那么下列直线中经过圆心的直线方程为( )

A ．2x －y ＋1＝0

B ．2x ＋y ＋1＝0

C ．2x －y －1＝0

D ．2x ＋y －1＝0

[答案] B

[解析] 将圆心(1，－3)坐标代入直线方程检验知选B.

11．(文)(2011·江西南昌调研)设圆C 的圆心在双曲线x 2a 2－y 2

＝1(a >0)的右焦点上，且

与此双曲线的渐近线相切，若圆C 被直线l ：x －3y ＝0截得的弦长等于2，则a ＝( )

A.14

B. 6

C. 2 D ．2

[答案] C

[解析] 由条件知，圆心C (a 2

＋2，0)，C 到渐近线y ＝

x 的距离为d ＝

a 2＋2

2＋a

＝2为⊙C 的半径，又截得弦长为2，∴圆心C 到直线l ：x －3y ＝0的距离a 2＋2

＝1，

∴a 2

＝2，∵a >0，∴a ＝ 2.

(理)(2011·辽宁沈阳二中阶段检测)直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2

＝4相交于M ，

N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( )

A.????

??－34，0 B.?

????－∞，－34∪[0，＋∞) C.???

??－

33，33 D.????

??－23，0

[答案] A

[解析] 由条件知，圆心(3,2)到直线y ＝kx ＋3的距离不大于1，∴|3k －2＋3|

1＋k 2

≤1，解之得－3

≤k ≤0.

12．(2011·辽宁沈阳二中检测)已知曲线C ：y ＝2x 2

，点A (0，－2)及点B (3，a )，从点

A 观察点

B ，要使视线不被曲线

C 挡住，则实数a 的取值范围是( )

A ．(4，＋∞)

B ．(－∞，4]

C ．(10，＋∞)

D ．(－∞，10]

[答案] D

[解析] 过点A (0，－2)作曲线C ：y ＝2x 2

的切线，设方程为y ＝kx －2，代入y ＝2x 2

得， 2x 2

－kx ＋2＝0，令Δ＝k 2

－16＝0得k ＝±4，当k ＝4时，切线为l ，

∵B 点在直线x ＝3上运动，直线y ＝4x －2与x ＝3的交点为M (3,10)，当点B (3，a )满足a ≤10时，视线不被曲线C 挡住，故选D.

第Ⅱ卷(非选择题共90分)

二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．(2011·广东高州市长坡中学期末)若方程x 24－k ＋y 2

6＋k ＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，

则k 的取值范围是________．

[答案] (－6，－1)

[解析] 由题意知，4－k >6＋k >0，∴－6

14．(文)(2011·浙江宁波八校联考)已知F 1、F 2是双曲线的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形，MF 1的中点A 在双曲线上，则双曲线的离心率是________．

[答案]

3＋1

[解析] 由条件知，|F 1F 2|＝2c ，|AF 1|＝c ， ∴|AF 2|＝3c ，

由双曲线定义知，|AF 2|－|AF 1|＝2a ， ∴3c －c ＝2a ，∴e ＝c a

＝

3－1

＝3＋1. (理)(2011·重庆南开中学期末)设双曲线x 2

－y 2

＝1的左右焦点分别为F 1、F 2，P 是直线

x ＝4上的动点，若∠F 1PF 2＝θ，则θ的最大值为________．

[答案] 30°

[解析] F 1(－2,0)、F 2(2,0)，不妨设P (4，y )，y >0，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，设

∠F 1PM ＝β，∠F 2PM ＝α，则θ＝β－α，∴tan θ＝tan(β－α)＝tan β－tan α

1＋tan βtan α＝

6y －

2y 1＋6y ·

＝

y ＋12y

≤4212＝33，∴θ≤30°. 15．(文)(2011·黑龙江哈六中期末)设抛物线y 2

＝8x 的焦点为F ，过点F 作直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点E 到y 轴的距离为3，则AB 的长为________．

[答案] 10

[解析] 2p ＝8，∴p

2＝2，∴E 到抛物线准线的距离为5，∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝2×5

＝10.

(理)(2011·辽宁大连联考)已知抛物线“y 2

＝4x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，N

为抛物线上的一点，且满足|NF |＝

|MN |”，则∠NMF ＝________. [答案]

π6

[解析] 设N 在准线上射影为A ，由抛物线的定义与条件知，|NA |＝|NF |＝

32|MN |，∴∠AMN ＝π3，从而∠NMF ＝π6

16．(文)(2011·湖南长沙一中月考)直线l ：x －y ＝0与椭圆x 2

2＋y 2

＝1相交A 、B 两点，

点C 是椭圆上的动点，则△ABC 面积的最大值为________．

[答案]

[解析] 设与l 平行的直线方程为x －y ＋a ＝0，当此直线与椭圆的切点为C 时，△ABC 的面积最大，将y ＝x ＋a 代入x 2

2＋y 2＝0中整理得，3x 2＋4ax ＋2(a 2－1)＝0，由Δ＝16a 2

－

24(a 2

－1)＝0得，a ＝±3，两平行直线x －y ＝0与x －y ＋3＝0的距离d ＝6

，将y ＝x 代入x 2

2＋y 2

＝1中得，x 1＝－63，x 2＝63

，

∴|AB |＝1＋1|

63－(－63)|＝43

， ∴S △ABC ＝12|AB |·d ＝12×433×6

＝ 2.

(理)(2011·湖北荆门调研)已知P 为椭圆C ：x 225＋y 2

16＝1上的任意一点，F 为椭圆C 的

右焦点，M 的坐标为(1,3)，则|PM |＋|PF |的最小值为________．

[答案] 5

[解析] 如图，连结F 1M ，设直线F 1M 与C 交于P ，P ′是C 上任一点，则有

|PF 1|＋|PF |＝|P ′F 1|＋|P ′F |，即|PM |＋|MF 1|＋|PF |＝|P ′F 1|＋|P ′F |， ∵|P ′F 1|≤|P ′M |＋|MF 1|，

∴|PM |＋|PF |≤|P ′M |＋|P ′F |，故P 点是使|PM |＋|PF |取最小值的点，又M (1,3)，F 1(－3,0)，∴|MF 1|＝5，

∴|PM |＋|PF |＝|PF 1|＋|PF |－|MF 1|＝2×5－5＝5.

三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分12分)(2011·山东潍坊一中期末)已知椭圆x 2a 2＋y 2b

2＝1(a >b >0)的两个焦

点为F 1，F 2，椭圆上一点M ?

????263

，33满足MF 1→·MF 2→

＝0. (1)求椭圆的方程；

(2)若直线L ：y ＝kx ＋2与椭圆恒有不同交点A 、B ，且OA →·OB →

>1(O 为坐标原点)，求k 的取值范围．

[解析] (1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，

MF 1→

＝? ?

???－c －

263，－33，MF 2→＝?

????

c －263，－33， ∵MF 1→·MF 2→＝0，∴－c 2

＋? ????2632＋? ??

??332＝0，

∴c 2

＝3，∴a 2

－b 2

＝3① 又点M 在椭圆上，∴83a 2＋13b

2＝1② ①代入②得

83a 2＋1

a 2

－3

＝1，

整理得，a 4

－6a 2

＋8＝0，∴a 2

＝2或a 2

＝4， ∵a 2

>3，∴a 2

＝4，b 2

＝1， ∴椭圆方程为x 2

＋y 2

＝1.

(2)由???

x 2

4＋y 2＝1

y ＝kx ＋2

，

消去y 解得? ??

??14＋k 2x 2

＋22kx ＋1＝0，

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

则OA →·OB →

＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(1＋k 2

)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝6－4k

1＋4k

2>1，

∴k 2<58，又由Δ＝k 2－14>0得k 2>1

4，

∴14

，－12∪? ????12，104. 18．(本小题满分12分)(2010·湖北文)已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点

F (1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1.

(1)求曲线C 的方程；

(2)是否存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有FA →·FB →

<0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．

[解析] (1)设P (x ，y )是曲线C 上任意一点，那么点P (x ，y )满足：

x －1

＋y 2

－

x ＝1(x >0)

化简得y 2

＝4x (x >0)

(2)设过点M (m,0)(m >0)的直线l 与曲线C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．设l 的方程为x ＝ty ＋m ，

由???

x ＝ty ＋m y 2

＝4x

得y 2

－4ty －4m ＝0，

此时Δ＝16(t 2

＋m )>0.

于是?

y 1＋y 2＝4t y 1·y 2＝－4m ①

又FA →＝(x 1－1，y 1)，FB →

＝(x 2－1，y 2) FA →

·FB →

<0?(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1·x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2<0②

又x ＝y 2

，于是不等式②等价于

y 214

·y 22

4＋y 1y 2－(y 214＋y 22

)＋1<0

y 1y 2

＋y 1y 2－14

[(y 1＋y 2)2

－2y 1y 2]＋1<0③

由①式，不等式③等价于m 2

－6m ＋1<4t 2

④

对任意实数t,4t 2

的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于m 2

－6m ＋1<0，即3－22

由此可知，存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任意一直线，都有FA →·FB →

<0，且m 的取值范围是(3－22，3＋22)．

19．(本小题满分12分)(2011·巢湖市质检)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为2

，