中考数学专题讲解汇总

中考数学专题1 动态几何问题

第一部分 真题精讲

【例1】如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3AD =，5DC =，10BC =，梯形的高为4．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）．

（1）当MN AB ∥时，求t 的值；

（2）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．

【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M ，N 是在动，意味着BM,MC 以及DN,NC 都是变化的。但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC 长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。所以当题中设定MN//AB 时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。 【解析】 解：（1）由题意知，当M 、N 运动到t 秒时，如图①，过D 作DE AB ∥交BC 于E 点，则四边形ABED 是平行四边形．

A

B M C

N

E D

∵AB DE ∥，AB MN ∥．

∴DE MN ∥． （根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将MN 放在三角形内，将动态问题转化成平行时候的静态问题） ∴MC NC EC CD =． （这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键） ∴ 1021035t t -=-．解得5017

t =

． 【思路分析2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN=NC 即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN 这两种情况。在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。具体分类以后，就成为了较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解 【解析】

（2）分三种情况讨论：

① 当MN NC =时，如图②作NF BC ⊥交BC 于F ，则有2MC FC =即．（利用等腰三角形底边高也是底边中线的性质）

∵4

sin 5DF C CD ∠==，

∴3

cos 5

C ∠=，

∴310225

t t -=?， 解得258

t =

． A

B M C

N

F D

② 当MN MC =时，如图③，过M 作MH CD ⊥于H ． 则2CN CH =，

∴()3

21025

t t =-?．

∴6017

t =．

A

B M C

N H

D

③ 当MC CN =时， 则102t t -=． 10

3

t =．

综上所述，当258t =、6017

或10

3时，MNC △为等腰三角形．

【例2】在△ABC 中，∠ACB=45o．点D （与点B 、C 不重合）为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ．

（1）如果AB=AC ．如图①，且点D 在线段BC 上运动．试判断线段CF 与BD 之间的位置关系，并证明你的结论． （2）如果AB ≠AC ，如图②，且点D 在线段BC 上运动．（1）中结论是否成立，为什么？

（3）若正方形ADEF 的边DE 所在直线与线段CF 所在直线相交于点P ，设AC

＝，3=BC ，CD=x ，求线段CP 的长．（用含x 的式子表示）

【思路分析1】本题和上题有所不同，上一题会给出一个条件使得动点静止，而本题并未给出那个“静止点”，所以需要我们去分析由D 运动产生的变化图形当中，什么条件是不动的。由题我们发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递，就可以得解。 【解析】：

（1）结论：CF 与BD 位置关系是垂直；

证明如下： AB=AC ，∠ACB =45o，∴∠ABC=45o． 由正方形ADEF 得 AD=AF ，∵∠DAF=∠BAC =90o， ∴∠DAB=∠FAC ，∴△DAB ≌△FAC ， ∴∠ACF=∠ABD ． ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90o．即 CF ⊥BD ． 【思路分析2】这一问是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中构筑一个特殊的条件就行，于是我们和上题一样找AC 的垂线，就可以变成第一问的条件，然后一样求解。 （2）CF ⊥BD ．(1)中结论成立．

理由是：过点A 作AG ⊥AC 交BC 于点G ，∴AC=AG 可证：△GAD ≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45o ∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90o． 即CF ⊥BD 【思路分析3】这一问有点棘手，D 在BC 之间运动和它在BC 延长线上运动时的位置是不一样的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是4+X 还是4-X 。分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出CP. （3）过点A 作AQ ⊥BC 交CB 的延长线于点Q ， ①点D 在线段BC 上运动时，

∵∠BCA=45o，可求出AQ= CQ=4．∴ DQ=4-x ，

易证△AQD ∽△DCP ，∴CP CD DQ AQ = ， ∴44CP x

x =-，

2

4

x CP x ∴=-+．

②点D 在线段BC 延长线上运动时，

∵∠BCA=45o，可求出AQ= CQ=4，∴ DQ=4+x ．

过A 作AC AG ⊥交CB 延长线于点G ，则ACF AGD ???．∴ CF ⊥BD ，

∴△AQD ∽△DCP ，∴CP CD DQ AQ

= ， ∴44CP x

x =+，

2

4

x CP x ∴=+．

【例3】已知如图，在梯形ABCD 中，24AD BC AD BC ==∥，，，点M 是AD 的中点，MBC △是等边三角形．

（1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形；

（2）动点P 、Q 分别在线段BC 和MC 上运动，且60MPQ =?∠保持不变．设PC x MQ y ==，，求y 与x 的

函数关系式；

（3）在（2）中，当y 取最小值时，判断PQC △的形状，并说明理由．

【思路分析1】本题有一点综合题的意味，但是对二次函数要求不算太高，重点还是在考察几何方面。第一问纯静态问题，自不必说，只要证两边的三角形全等就可以了。第二问和例1一样是双动点问题，所以就需要研究在P,Q 运动过程中什么东西是不变的。题目给定∠MPQ=60°，这个度数的意义在哪里？其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来.因为最终求两条线段的关系,所以我们很自然想到要通过相似三角形找比例

G A

B C D E

F A D C

B P

M Q 60

关系.怎么证相似三角形呢? 当然是利用角度咯.于是就有了思路. 【解析】

（1）证明：∵MBC △是等边三角形 ∴60MB MC MBC MCB ===?，∠∠ ∵M 是AD 中点 ∴AM MD = ∵AD BC ∥

∴60AMB MBC ==?∠∠， 60DMC MCB ==?∠∠ ∴AMB DMC △≌△ ∴AB DC =

∴梯形ABCD 是等腰梯形．

（2）解：在等边MBC △中，4MB MC BC ===，60MBC MCB ==?∠∠，

60MPQ =?∠

∴120BMP BPM BPM QPC +=+=?∠∠∠∠ (这个角度传递非常重要,大家要仔细揣摩) ∴BMP QPC =∠∠ ∴BMP CQP △∽△ ∴

PC CQ

BM BP

=

∵PC x MQ y ==， ∴44BP x QC y =-=-，

∴

444x y x -=

- ∴2

144y x x =-+ (设元以后得出比例关系,轻松化成二次函数的样子)

【思路分析2】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题。由第二问所得的二次函数，很轻易就可以求出当X 取对称轴的值时Y 有最小值。接下来就变成了“给定PC=2，求△PQC 形状”的问题了。由已知的BC=4，自然看出P 是中点，于是问题轻松求解。 （3）解： PQC △为直角三角形 ∵()2

1234

y x =

-+ ∴当y 取最小值时，2x PC ==

∴P 是BC 的中点，MP BC ⊥，而60MPQ =?∠， ∴30CPQ =?∠， ∴90PQC =?∠

以上三类题目都是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件，例如某边相等，某角固定

时，将动态问题化为静态问题去求解。如果没有特殊条件，那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的。当动的不是点，而是一些具体的图形时，思路是不是一样呢?接下来我们看另外两道题.

【例4】已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF BD ⊥交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG CG ，．

（1）直接写出线段EG 与CG 的数量关系；

（2）将图1中BEF ?绕B 点逆时针旋转45?，如图2所示，取DF 中点G ，连接EG CG ，，

． 你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．

（3）将图1中BEF ?绕B 点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？

（不要求证明）

图3

图2

图1

F

E

A

B

C

D

A

B

C

D

E

F

G

G

F

E

D C

B

A

【思路分析1】这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。从旋转45°到旋转任意角度，要求考生讨论其中的不动关系。第一问自不必说，两个共斜边的直角三角形的斜边中线自然相等。第二问将△BEF 旋转45°之后，很多考生就想不到思路了。事实上，本题的核心条件就是G 是中点，中点往往意味着一大票的全等关系，如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在。连接AG 之后，抛开其他条件，单看G 点所在的四边形ADFE ，我们会发现这是一个梯形，于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法，自然想到过G 点做AD,EF 的垂线。于是两个全等的三角形出现了。 （1）CG EG =

（2）（1）中结论没有发生变化，即CG EG =．

证明：连接AG ，过G 点作MN AD ⊥于M ，与EF 的延长线交于N 点． 在DAG ?与DCG ?中， ∵AD CD ADG CDG DG DG =∠=∠=，，，

∴DAG DCG ??≌． ∴AG CG =．

在DMG ?与FNG ?中， ∵DGM FGN FG DG MDG NFG ∠=∠=∠=∠，，， ∴DMG FNG ??≌． ∴MG NG =

在矩形AENM 中，AM EN =

在Rt AMG ?与Rt ENG ?中， ∵AM EN MG NG ==，，

∴AMG ENG ??≌． ∴AG EG =． ∴EG CG =

M N

图2

A

B

C

D

E

F

G

【思路分析2】第三问纯粹送分，不要求证明的话几乎所有人都会答出仍然成立。但是我们不应该止步于此。将这道题放在动态问题专题中也是出于此原因，如果△BEF 任意旋转，哪些量在变化，哪些量不变呢？如果题目要求证明，应该如何思考。建议有余力的同学自己研究一下，笔者在这里提供一个思路供参考：在△BEF 的旋转过程中，始终不变的依然是G 点是FD 的中点。可以延长一倍EG 到H ，从而构造一个和EFG 全等的三角形，利用BE=EF 这一条件将全等过渡。要想办法证明三角形ECH 是一个等腰直角三角形，就需要证明三角形EBC 和三角形CGH 全等，利用角度变换关系就可以得证了。 （3）（1）中的结论仍然成立．

G

图3

F

E

A

B

C

D

【例5】已知正方形ABCD 的边长为6cm ，点E 是射线BC 上的一个动点，连接AE 交射线DC 于点F ，将△ABE 沿直线AE 翻折，点B 落在点B′ 处．

（1）当

CE BE

=1 时，CF=______cm ， （2）当CE BE

=2 时，求sin∠DAB′ 的值；

（3）当CE

BE

= x 时（点C 与点E 不重合），请写出△ABE 翻折后与正方形ABCD 公共部分的面积y 与x 的关

系式，（只要写出结论，不要解题过程）．

【思路分析】动态问题未必只有点的平移，图形的旋转，翻折（就是轴对称）也是一大热点。这一题是朝阳卷的压轴题，第一问给出比例为1，第二问比例为2，第三问比例任意，所以也是一道很明显的从一般到特殊的递进式题目。同学们需要仔细把握翻折过程中哪些条件发生了变化，哪些条件没有发生变化。一般说来，翻折中，角，边都是不变的，所以轴对称图形也意味着大量全等或者相似关系，所以要利用这些来获得线段之间的比例

C

A

D

B

关系。尤其注意的是，本题中给定的比例都是有两重情况的，E 在BC 上和E 在延长线上都是可能的，所以需要大家分类讨论，不要遗漏。

【解析】

（1）CF= 6 cm ； （延长之后一眼看出，EAZY ） （2）① 如图1，当点E 在BC 上时，延长AB ′交DC 于点M ， ∵ AB ∥CF ，∴ △ABE ∽△FCE ，∴ FC

AB

CE BE =

． ∵

CE

BE

=2， ∴ CF=3． ∵ AB ∥CF ，∴∠BAE=∠F ．

又∠BAE=∠B ′ AE ， ∴ ∠B ′ AE=∠F ．∴ MA=MF ． 设MA=MF=k ，则MC=k -3，DM=9-k ． 在Rt △ADM 中，由勾股定理得： k 2

=(9-k)2

+62

， 解得 k=MA=132． ∴ DM=5

2

．（设元求解是这类题型中比较重要的方法） ∴ sin ∠DAB ′=

13

5

=AM DM ； ②如图2，当点E 在BC 延长线上时，延长AD 交B ′ E 于点N ， 同①可得NA=NE ．

设NA=NE=m ，则B ′ N=12-m ． 在Rt △AB ′ N 中，由勾股定理，得 m 2

=(12-m)2

+62

， 解得 m=AN=152． ∴ B ′ N=9

2

． ∴ sin ∠DAB ′=

5

3

='AN N B ． （3）①当点E 在BC 上时，y=18x

x 1

+；

（所求△A B ′ E 的面积即为△ABE 的面积，再由相似表示

出边长）

②当点E 在BC 延长线上时，y=

18x 18

x

-．

【总结】 通过以上五道例题，我们研究了动态几何问题当中点动，线动，乃至整体图形动这么几种可能的方式。动态几何问题往往作为压轴题来出,所以难度不言而喻,但是希望考生拿到题以后不要慌张,因为无论是题目以哪种形态出现，始终把握的都是在变化过程中那些不变的量。只要条分缕析,一个个将条件抽出来,将大问题化成若干个小问题去解决,就很轻松了.为更好的帮助考生,笔者总结这种问题的一般思路如下：

第一、仔细读题，分析给定条件中那些量是运动的，哪些量是不动的。针对运动的量，要分析它是如何运动的，运动过程是否需要分段考虑，分类讨论。针对不动的量，要分析它们和动量之间可能有什么关系，如何建立这种关系。

第二、画出图形，进行分析，尤其在于找准运动过程中静止的那一瞬间题目间各个变量的关系。如果没有静止状态，通过比例，相等等关系建立变量间的函数关系来研究。

图

2

图1

第三、做题过程中时刻注意分类讨论，不同的情况下题目是否有不同的表现，很多同学丢分就丢在没有讨论，只是想当然看出了题目所给的那一种图示方式，没有想到另外的方式，如本讲例5当中的比例关系意味着两种不一样的状况，是否能想到就成了关键。

第二部分 发散思考

【思考1】已知：如图（1），射线//AM 射线BN ，AB 是它们的公垂线，点D 、C 分别在AM 、BN 上运动

（点D 与点A 不重合、点C 与点B 不重合），E 是AB 边上的动点（点E 与A 、B 不重合），在运动过程中始终保持EC DE ⊥，且a AB DE AD ==+． （1）求证：ADE ?∽BEC ?； （2）如图（2），当点E 为AB 边的中点时，求证：CD BC AD =+；

（3）设m AE =，请探究：BEC ?的周长是否与m 值有关？若有关，请用含有m 的代数式表示BEC ?的周

长；若无关，请说明理由．

第25题（1） 第25题（2）

【思路分析】本题动点较多，并且是以和的形式给出长度。思考较为不易，但是图中有多个直角三角形，所以很自然想到利用直角三角形的线段、角关系去分析。第三问计算周长，要将周长的三条线段分别转化在一类关系当中，看是否为定值，如果是关于M 的函数，那么就是有关，如果是一个定值，那么就无关，于是就可以得出结论了。

【思考2】 △ABC 是等边三角形，P 为平面内的一个动点，BP=BA ，若0?＜∠PBC ＜180°，

且∠PBC 平分线上的一点D 满足DB=DA ，

（1）当BP 与BA 重合时（如图1），∠BPD= °； （2）当BP 在∠ABC 的内部时（如图2），求∠BPD 的度数；

（3）当BP 在∠ABC 的外部时，请你直接写出∠BPD 的度数，并画出相应的图形．

【思路分析】本题中，和动点P 相关的动量有∠PBC ，以及D 点的位置，但是不动的量就是BD 是平分线并且DB=DA ，

从这几条出发，可以利用角度相等来找出相似、全等三角形。事实上，P 点的轨迹就是以B 为圆心，BA 为半径的一个圆，那D 点是什么呢？留给大家思考一下~

【思考3】如图：已知，四边形ABCD 中，AD//BC ， DC ⊥BC ，已知AB=5，BC=6，cosB=

35

． 点O 为BC 边上的一个动点，连结OD ，以O 为圆心，BO 为半径的⊙O 分别交边AB 于点P ，交线段OD 于点M ，交射线BC 于点N ，连结MN ．

（1）当BO=AD 时，求BP 的长；

（2）点O 运动的过程中，是否存在BP=MN 的情况？若存在，请求出当BO 为多长时BP=MN ；若不存在，请说明理由；

（3）在点O 运动的过程中，以点C 为圆心，CN 为半径作⊙C，请直接写出当⊙C 存在时，⊙O 与⊙C 的位置关系，以及相应的⊙C 半径CN 的取值范围。

【思路分析】这道题和其他题目不同点在于本题牵扯到了有关圆的动点问题。在和圆有关的问题当中，时刻不要忘记的就是圆的半径始终相等这一个隐藏的静态条件。本题第一问比较简单，等腰梯形中的计算问题。第二问则需要用设元的方法表示出MN 和BP ，从而讨论他们的数量关系。第三问的猜想一定要记得分类分情况讨论。

【思考4】在ABCD 中，过点C 作CE ⊥CD 交AD 于点E,将线段EC 绕点E 逆时针旋转90得到线段EF(如图1) （1）在图1中画图探究：

①当P 为射线CD 上任意一点（P 1不与C 重合）时，连结EP 1绕点E 逆时针旋转90 得到线段EC 1.判断直线FC 1与直线CD 的位置关系，并加以证明；

②当P 2为线段DC 的延长线上任意一点时，连结EP 2,将线段EP 2绕点E 逆时针旋转90得到线段EC 2.判断直线C 1C 2与直线CD 的位置关系，画出图形并直接写出你的结论. （2）若AD=6,tanB=

4

3

,AE=1,在①的条件下，设CP 1=x ，S 11P FC =y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.

A B C D O P

M N A B C D （备用图）

【思路分析】本题是去年中考原题，虽不是压轴，但动点动线一起考出来，难倒了不少同学。事实上就在于如何把握这个旋转90°的条件。旋转90°自然就是垂直关系，于是又出现了一堆直角三角形，于是证角，证线就手到擒来了。第二问一样是利用平行关系建立函数式，但是实际过程中很多同学依然忘记分类讨论的思想，漏掉了很多种情况，失分非常可惜。建议大家仔细研究这道中考原题，按照上面总结的一般思路去拆分条件，步步为营的去解答。

第三部分 思考题解析 【思考1解析】

（1）证明：∵ EC DE ⊥，∴ ?=∠90DEC ．∴ ?=∠+∠90BEC AED ． 又∵ ?=∠=∠90B A ，∴ ?=∠+∠90EDA AED ． ∴ EDA BEC ∠=∠．∴ ADE ?∽BEC ?． （2）证明：如图，过点E 作EF BC //，交CD 于点F ， ∵ E 是AB 的中点，容易证明)(2

1

BC AD EF +=

． 在DEC Rt ?中，∵ CF DF =，∴ CD EF 2

1

=

． ∴

)(21BC AD +CD 2

1

=． ∴ CD BC AD =+．

（3）解：AED ?的周长DE AD AE ++=m a +=，m a BE -=． 设x AD =，则x a DE -=．

∵ ?=∠90A ，∴ 2

22AD AE DE +=．即2

2

2

2

2x m x ax a +=+-．

∴ a

m a x 22

2-=．

由（1）知ADE ?∽BEC ?，

∴ 的周长的周长BEC ??ADE BE AD =m a a m a --=22

2a

m a 2+=． ∴ BEC ?的周长?+=

m

a a

2ADE ?的周长a 2=． 第25题

∴ BEC ?的周长与m 值无关．

【思考2答案】

解：（1）∠BPD= 30 °； （2）如图8，连结CD ．

解一：∵ 点D 在∠PBC 的平分线上，

∴ ∠1=∠2．

∵ △ABC 是等边三角形， ∴ BA=BC=AC ，∠ACB= 60°． ∵ BP=BA ， ∴ BP=BC ． ∵ BD= BD ， ∴ △PBD ≌△CBD ． ∴ ∠BPD=∠3．

∵ DB=DA ，BC=AC ，CD=CD ， ∴ △BCD ≌△ACD ． ∴ 13

4302

ACB ∠=∠=∠=?． ∴ ∠BPD =30°． 解二：∵ △ABC 是等边三角形，

∴ BA =BC=AC ． ∵ DB=DA ，

∴ CD 垂直平分AB ． ∴

134302

ACB ∠=∠=∠=?． ∵ BP=BA ， ∴ BP=BC ．

∵ 点D 在∠PBC 的平分线上，

∴ △PBD 与△CBD 关于BD 所在直线对称． ∴ ∠BPD=∠3． ∴ ∠BPD =30°． （3）∠BPD= 30°或 150° ． 图形见图9、图10．

【思考3解析】

解：（1）过点A 作AE⊥BC,在Rt△ABE 中，由AB=5，cosB=

3

5

得BE=3． ∵CD⊥BC，AD//BC ，BC=6，

∴AD=EC=BC－BE=3．

当BO=AD=3时， 在⊙O 中，过点O 作OH⊥AB,则BH=HP

∵

cos BH B BO =,∴BH=39

355?=． ∴BP=18

5

．

（2）不存在BP=MN 的情况-

假设BP=MN 成立，

∵BP 和MN 为⊙O 的弦，则必有∠BOP=∠DOC. 过P 作PQ⊥BC，过点O 作OH⊥AB,

∵CD⊥BC，则有△PQO∽△DOC - 设BO=x ，则PO=x,由

3cos 5BH B x ==，得BH=3

5

x , ∴BP=2BH=

6

5

x . ∴BQ=BP×cosB=1825x ，PQ=24

25x ．

∴OQ=187

2525

x x x -=．

∵△PQO∽△DOC，∴PQ DC OQ OC =即24

4257625x x

x =

-，得296x =． 当296x =

时，BP=65x =29

5

＞5=AB ，与点P 应在边AB 上不符， ∴不存在BP=MN 的情况.

（3）情况一：⊙O 与⊙C 相外切，此时，0＜CN ＜6；------7分 情况二：⊙O 与⊙C 相内切，此时，0＜CN≤

7

3

.-------8分

【思考4解析】

A

B

C

D

O

P

M

N

Q H

解：（1）①直线1FG 与直线CD 的位置关系为互相垂直． 证明：如图1，设直线1FG 与直线CD 的交点为H ．

∵线段1EC EP 、分别绕点E 逆时针旋转90°依次得到线段1EF EG 、，

∴111190PEG CEF EG EP EF EC ∠=∠===°，，． ∵1190G EF PEF ∠=-∠°，11

90PEC PEF ∠=-∠°， ∴11G EF PEC ∠=∠． ∴11G EF PEC △≌△． ∴11G FE PCE ∠=∠． ∵EC CD ⊥，

∴1

90PCE ∠=°， ∴190G FE ∠=°． ∴90EFH ∠=°．

∴90FHC ∠=°． ∴1FG CD ⊥．

②按题目要求所画图形见图1，直线12G G 与直线CD 的位置关系为互相垂直． （2）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴B ADC ∠=∠．

∵461tan 3

AD AE B ===

，，， ∴4

5tan tan 3

DE EBC B =∠==，．

可得4CE =．

由（1）可得四边形EFCH 为正方形． ∴4CH CE ==．

①如图2，当1P 点在线段CH 的延长线上时，

∵111

4FG CP x PH x ===-，， ∴11

111(4)

22

P FG x x S FG PH -=??=△． ∴2

12(4)2

y x x x =->．

②如图3，当1P 点在线段CH 上（不与C H 、

F

D

C

B

A E

图1 G 2

G 1

P 1

H P 2

∵111

4FG CP x PH x ===-，， ∴1111

1(4)

22

P FG x x S FG PH -=?=△． ∴2

12(04)2

y x x x =-

+<<． ③当1P 点与H 点重合时，即4x =时，11PFG △不存在．

综上所述，y 与x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围是2

12(4)2

y x x x =

->或21

2(04)2

y x x x =-+<<．

中考数学专题2 多种函数交叉综合问题

【例1】将直线4=y x 沿y 轴向下平移后，得到的直线与x 轴交于点904??

???

，A ，与双曲线(0)=>k y x x 交于点B ．

⑴求直线AB 的解析式；

⑵若点B 的纵标为m ，求k 的值（用含有m 的式子表示）．

【思路分析】这种平移一个一次函数与反比例函数交与某一点的题目非常常见，一模中有多套题都是这样考法。题目一般不难，设元以后计算就可以了。本题先设平移后的直线，然后联立即可。比较简单,看看就行. 【解析】将直线x y 4=沿y 轴向下平移后经过x 轴上点A （0,4

9

），

设直线AB 的解析式为b x y +=4．

则04

9

4=+?

b ． 解得9-=b ．

∴直线AB 的解析式为94-=x y ．

图3

（2）设点B 的坐标为(),B x m ，

∵直线AB 经过点B ， ∴94-=B x m ．

∴4

9

+=

m x B ． ∴B 点的坐标为9,4m m +??

???

，

∵点B 在双曲线k

y x

=()0x >上， ∴4

9+=

m k

m ． ∴4

92m m k +=．

【例2】如图，一次函数1y kx b =+的图象与反比例函数2m

y x

=的图象相交于A 、B 两点． （1）求出这两个函数的解析式；

（2）结合函数的图象回答：当自变量x 的取值范围满足什么条件时，12y y <

【思路分析】第一问直接看图写出A ，B 点的坐标（-6,-2）(4,3)，直接代入反比例函数中求m ，建立二元一次方程组求k,b 。继而求出解析式。第二问通过图像可以直接得出结论。本题虽然简单，但是事实上却有很多变化。比如不给图像，直接给出解析式求12y y <的区间，考生是否依然能反映到用图像来看区间。数形结合是初中数学当中非常重要的一个思想，希望大家要活用这方面的意识去解题。 【解析】

解：（1）由图象知反比例函数2m

y x

=的图象经过点B (4，3)， ∴34

m

=

． ∴m =12． - ∴反比例函数解析式为212

y x

=

． 由图象知一次函数1y kx b =+的图象经过点A (－6，－2) ， B (4，3)，

∴624 3.k b k b -+=-??+=?， 解得121k b ?

=???=?，．

--

∴一次函数解析式为11

12

y x =

+． （2）当0

【例3】已知：如图，正比例函数y ax =的图象与反比例函数k

y x

=

的图象交于点()32A ，．

（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；

（2）根据图象回答，在第一象限内，当x 取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？

（3）()M m n ，是反比例函数图象上的一动点，其中03m <<，过点M 作直线MB x ∥轴，交y 轴于点B ；过点

A 作直线AC y ∥轴交x 轴于点C ，交直线M

B 于点D ．当四边形OADM 的面积为6时，请判断线段BM 与DM 的大小关系，并说明理由．

【思路分析】第一问由于给出了一个定点，所以直接代点即可求出表达式。第二问则是利用图像去分析两个函数的大小关系，考生需要对坐标系有直观的认识。第三问略有难度，一方面需要分析给出四边形OADM 的面积是何用意,另一方面也要去看BM,DM 和图中图形面积有何关系.视野放开就发现四边形其实就是整个矩形减去两个三角形的剩余部分,直接求出矩形面积即可.部分同学会太在意四边形的面积如何求解而没能拉出来看,从而没有想到思路,失分可惜. 【解析】

解：（1）将()3,2分别代入y ax =中k

y x

=，

得23a =，23

k

=，

∴2

3

a =，6k =．

∴反比例函数的表达式为：6

y x =；

正比例函数的表达式为2

3

y a =．

（2）观察图象得，在第一象限内，当03x <<时， 反比例函数的值大于正比例函数的值．

（3）BM DM =．

理由：∵6

n m

=，

∴1

32

m n ??=，即3BMO S =△．

∵AC OC ⊥，

∴1

3232

AOC S =??=△．

∴33612OCDB S =++=．（很巧妙的利用了和的关系求出矩形面积）

∴12

43BO ==．

∴63

2

BM BO ==．

∴3

32

DM BM BM =-==

【例4】已知：y ax =与3

b y x

+=两个函数图象交点为()P m n ，

，且m n <，m n 、是关于x 的一元二次方程()2

2730kx k x k +-++=的两个不等实根，其中k 为非负整数． （1）求k 的值； （2）求a b 、的值；

（3）如果()0y c c =≠与函数y ax =和3b y x +=

交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），线段3

2

AB =，求c 的值． 【思路分析】本题看似有一个一元二次方程，但是本质上依然是正反比例函数交点的问题。第一问直接用判别式

求出k 的范围，加上非负整数这一条件得出k 的具体取值。代入方程即可求出m ，n ，继而求得解析式。注意题中已经给定m

2

AB =构建方程即可。

【解析】（1）()()2

27430k k k ?=--+> 4940

k <

∵k 为非负整数，∴01k =，

∵()22730kx k x k +-++=为一元二次方程 ∴1k =

(2)把1k =代入方程得2540x x -+=, 解得1214x x ==， ∵m n < ∴14m n ==，

把14m n ==，代入y ax =与3

b y x

+= 可得41a b ==，

(3)把y c =代入4y x =与4y x

=

可得4c A c ?? ???，

，4B c c ??

???

，，由32AB =，可得4342c c -=

解得1228c c ==-，，经检验1228c c ==-，为方程的根。 ∴1228c c ==-，

【例5】

已知：如图，一次函数y m =

+

与反比例函数y 的图象在第一象限的交点为(1)A n ，． （1）求m 与n 的值；

（2）设一次函数的图像与x 轴交于点B ，连接OA ，求BAO ∠的度数．

【思路分析】如果一道题单纯考正反比例函数是不会太难的，所以在中考中经常会综合一些其他方面的知识点。比如本题求角度就牵扯到了勾股定理和特定角的三角函数方面，需要考生思维转换要迅速。第一问比较简单，不说了。第二问先求出A,B 具体点以后本题就变化成了一道三角形内线段角的计算问题，利用勾股定理发现OB=OA,从而∠BAO=∠ABO,然后求出∠BAO 即可。 解：（1）∵点(1,)A n

在双曲线y 上，

∴n =

又∵A

在直线y x m =+上，

∴ m =

. （2）过点A 作AM ⊥x 轴于点M .

∵ 直线y =

与x 轴交于点B ，

0+=. 解得 2x =-. ∴ 点B 的坐标为-20（，）. ∴ 2OB =.

∵点A

的坐标为，

∴1AM OM ==.

在Rt△AOM 中，90AMO ∠=?, ∴

tan AM

AOM OM

∠=

∴60AOM ∠=?.- 由勾股定理，得 2OA =. ∴.OA OB = ∴OBA BAO ∠=∠.

∴1

302

BAO AOM ∠=∠=?.-

【总结】中考中有关一次函数与反比例函数的问题一般都是成对出现的。无非也就一下这么几个考点：1、给交点求解析式；2，y 的比较，3，夹杂进其他几何问题。除了注意计算方面的问题以外，还需要考生对数形结合，分类讨论的思想掌握熟练。例如y 的比较这种问题，纯用代数方式通常需要去解一个一元二次不等式，但是如果用图像去做就会比较简单了。总体来说这类问题不难，做好细节就可以取得全分。

第二部分 发散思考

【思考1】如图，A 、B 两点在函数()0m

y x x

=

>的图象上. （1）求m 的值及直线AB 的解析式；

（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点.请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数。

【思路分析】由于已经给出了点，第一问没有难度。第二问在于要分析有哪些格点在双曲线的边界上，哪些格点在其中。保险起见直接用1-6的整数挨个去试，由于数量较少，所以可以很明显看出。

【思考2】如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m

y x

=的图象交()3,1(2)A B n -、，于两点，直线AB 分别交x 轴、y 轴于D C 、两点．

（1）求上述反比例函数和一次函数的解析式；

（2）求AD

CD

的值．

【思路分析】第一问一样是用代点以及列二元一次方程组去求解析式。第二问看到比例关系，考生需要第一时间想到是否可以用相似三角形去分析。但是图中并未直接给出可能的三角形，所以需要从A 引一条垂线来构成一对相似三角形，从而求解。

【思考3】已知：关于x 的一元二次方程kx 2

+（2k －3)x+k －3 = 0有两个不相等实数根（k<0）． （I ）用含k 的式子表示方程的两实数根；

（II ）设方程的两实数根分别是1x ，2x （其中21x x >），若一次函数y=(3k －1)x+b 与反比例函数y =

x

b

的图像都经过点（x 1，kx 2），求一次函数与反比例函数的解析式． 【思路分析】本题是一道多种函数交叉的典型例题，一方面要解方程，另一方面还要求函数解析式。第一问求根，直接求根公式去做。第二问通过代点可以建立一个比较繁琐的二元一次方程组，认真计算就可以。

【思考4】如图，反比例函数8

y x

=

的图象过矩形OABC 的顶点B ，OA 、0C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA ：0C=2：1．

（1）设矩形OABC 的对角线交于点E ，求出E 点的坐标； （2）若直线2y x m =+平分矩形OABC 面积，求m 的值

【思路分析】本题看似麻烦，夹杂了一次函数与反比例函数以及图形问题。但是实际上画出图，通过比例可以很轻易发现B 点的横纵坐标关系，巧妙设点就可以轻松求解。第二问更不是难题，平分面积意味着一定过B 点，代入即可。

第三部分 思考题解析 【思考1解析】

（1）由图象可知，函数m

y x

=（0x >）的图象经过点(16)A ，， 可得6m =．

设直线AB 的解析式为y kx b =+．

∵(1

6)A ，，(61)B ，两点在函数y kx b =+的图象上， ∴66 1.k b k b +=??

+=?， 解得17.

k b =??=?，

∴直线AB 的解析式为7y x =-+．

（2）图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数是 3 ．