中考数学专题复习-数形结合思想

中考数学专题复习——数形结合思想 一、知识梳理

数形结合是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，使抽象思维和形象思维相结合，通过“以形助数”或“以数解形”可使复杂问题简单化，抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷，从而起到优化计算的目的。

华罗庚先生曾指出：“数与形本是相倚依，焉能分作两边飞；数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休。”这充分说明了数形结合在数学学习中的重要性，是中考数学的一个最重要数学思想。 二、典型例题

（一）在数与式中的应用

例1、实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简2

||a a b +-=_________。

（二）在方程、不等式中的应用 例2、已知关于x 的不等式组0

20

x a x ->??

->?的整数解共有2个，则a 的取值范围是____________。

例3、用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（ ）

A ．203210x y x y +-=??--=?

，

B ．2103210x y x y --=??--=?

，

C ．2103250

x y x y --=??

+-=?，

D ．20210

x y x y +-=??

--=?，

（三）在锐角三角函数中的应用

例4、画△ABC ，使cosA=2

1

，AB ＝2cm ，∠A 的对边可以在长为1cm 、2cm 、3cm 中任选，这样

的三角形可以画_______个。

（四）在函数中的应用

例5、如图为二次函数2

y ax bx c =++的图象，在下列说法中：

①0ac <；②方程20ax bx c ++=的根为11x =-，23x =； ③0a b c ++>；④当1x >时，y 随着x 的增大而增大． 正确的说法有 ．（请写出序号）

（五）在概率统计中的应用

例6、某报社为了解读者对本社一种报纸四个版面的喜欢情况，对读者作了一次问卷调查，要求读者选出自己最喜欢的一个版面，将所得数据整理后绘制成了如图所示的条形统计图：

a b

0 · P （1，1）

1 1

2 2

3 3 －1 －1

O

x y

x

y O

3 -1

⑴请写出从条形统计图中获得的一条信息；

⑵请根据条形统计图中的数据补全扇形统计图，并说明这两幅统计图各有什么⑶请你根据上述数据，对该报社提出一条合理的建议。

例７以ｘ为自变量的二次函数ｙ=-ｘ2+2ｘ+ｍ，它的图象与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A、B，点A在点B的左边，点O为坐标原点，（1）求这个二次函数的解析式及点A，点B的坐标，画出二次函数的图象；（2）在x轴上是否存在点Q，在位于x轴上方部分的抛物线上是否存在点P，使得以A，P，Q三点为顶点的三角形与△AOC相似（不包含全等）？若

存在，请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

三、综合训练

1、“数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点A所表示的数是

2”

，这种利用图形直观说明问题的方式体现的数学思想方法叫（

）

A．代入法 B．数形结合C．换元法D．分类讨论

2、某人从A地向B地打长途电话6分钟，按通话电话收费，3分钟以内收费2.4元，此后每加1分钟加收1元，则表示电话费y（元）与通话时间（分）之间的关系的图象正确的是（）

3、若M

1

1

,

2

y

??

-

?

??

，N

2

1

,

4

y

??

-

?

??

，P

3

1

,

2

y

??

?

??

三点都在函数(0)

k

y k

x

=<的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（）

A、y2＞y3＞y1

B、y2＞y1＞y3

C、y3＞y1＞y2

D、y3＞y2＞y1

A

1

-1 2

4、关于x的一元二次方程x2―x―n＝0没有实数根，则抛物线y＝x2―x―n的顶点在（）

A、第一象限

B、第二象限

C、第三象限

D、第四象限

5、如图，在平面直角坐标系中，∠AOB =150°，OA＝OB=2，

则点A、B的坐标分别是___________和___________。

6、如图，已知函数y x b

=+和3

y ax

=+的图象交点为P，

则不等式3

x b ax

+>+的解集为．

7、如图，为实数a、b在数轴上的位置，

化简222

()

a b a b

---。

思考题：

5、函数2

y x x m

=-+（m为常数）的图象如图，如果x a

=时，0

y<；

那么1

x a

=-时，函数值（）

A．0

y

<

>D．y m

=

2、如图1是一种带有黑白双色、边长是20cm的

正方形装饰瓷砖，用这样的四块瓷砖可以拼成如图2

的

图

案．已知制作图1这样的瓷砖，其黑、白两部分所用

材料的成本分别为0.02元/(cm2)和0.01元/(cm2)，那么制作这样一块瓷砖所用黑白材料的最低成本是_________元（π取3.14，结果精确到0.01元）

中考链接

１.(湖北中考)将不等式

??

?

?

?

-

≤

-

<

+

x

x

x

x

2

3

8

2

1

1

4

8

的解集在数轴上表示出来，正确的是(

x

y

O x1 x2

O

y

1

P

y=x+b

y=ax+3

图2

图1

2.(临沂中考)直线ｌ1:ｙ=ｋ1ｘ+ｂ与直线ｌ２:ｙ=ｋ２ｘ在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x+b＞k2x的解为（）

Ａ．ｘ>-1 B.<-1 C.ｘ<-2 D.ｘ无法确定

３.(威海中考)下列四个点中，有三个点在同一条直线上，不在这条直线上的

是( )

Ａ．(-３，-１) Ｂ．(１，１) Ｃ．(３，２) Ｄ．(４，

３)

４.(赤峰中考)如下图所示，半径为１的圆和边长为３

的正方形如下图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形

在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方

形，设穿过时间为t，正方形除去圆部分的面积为S（阴

影部分），则S与t的大致图象为（）

ＡＢＣＤ

5.(金华中考)如图在24个边长为１的小正三角形组成的网格中，以格点P为直角顶点作格点直角三角形（即顶点均在格点上的三角形），请你写出所有可能的直角三角形斜边的长．

6.在直角坐标系中，△ＡＢＣ的三个顶点的位置如图所示，现将

△ＡＢＣ

平移使点Ａ移至图中的点Ａ／的位置．

(１)在直角坐标系中，画出平移后所得的△Ａ／Ｂ／Ｃ／(其中Ｂ／，

Ｃ／分别是Ｂ，Ｃ的对应点)．

(２)计算：对应点的横坐标的差：

ｘA／-ｘA= ,ｘB/-ｘB= ,

ｘＣ／-ｘC＝；

对应点的枞坐标的差：ｙA/-ｙA= ,ｙB/-ｙB= ,Ｙc/- ｙC＝．

(３)从(２)的计算中，你发现了什么规律？请你把你发现的规律用文字表述出来．

(４)根据上述规律，若将△ＡＢＣ平移使得点Ａ移至Ａ""(2,-2),那么相应的点Ｂ""，Ｃ" "

(其中Ｂ""，Ｃ""分别是Ｂ，Ｃ的对应点）的坐标分别是 ， ．

7.(乐山中考)解不等式组???

??-≤-+>+3122145)1(3x x x x 并将解集在数轴上表示出来．

8.某公司推销一种产品，设x （件）是推销产品的数量，y （元）是推销费，如图表示了公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图解答下列问题： （1）求y l 与y 2的函数解析式；

（2）解释图中表示的两种方案是如何付推销费的； （3）如果你是推销员，应如何选择付费方案．

9.(德州中考)某公司专销产品A ，第一批产品A 上市40天内全部售完．该公司对第一批产品A 上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中图1中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系；图2中的折线表示的是每件产品A 的销售利润与上市时间的关系．

（1）试写出第一批产品A 的市场日销售量y 与上市时间t 的关系式；

（2）第一批产品A 上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？

10.(贵阳中考)甲、乙两人骑自行车前往A地，他们距A地的路程s（km）与行驶时间t（h）之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：

（1）甲、乙两人的速度各是多少？

（2）求出甲距A地的路程s与行驶时间t之间的函数关系式．

（3）在什么时间段内乙比甲离A地更近？