历年高考数学真题汇编专题23 矩阵与变换(解析版)
历年高考数学真题汇编
专题23 矩阵与变换
1、（2019年江苏卷）已知矩阵3122??
=????
A
（1）求A 2；
（2）求矩阵A 的特征值. 【分析】
(1)利用矩阵的乘法运算法则计算2A 的值即可；
(2)首先求得矩阵的特征多项式，然后利用特征多项式求解特征值即可. 【解析】（1）因为3122??=????
A ，
所以2
31312222????=????????
A
=3312311223222122?+??+????
??+??+???=115106??
??
??
． （2）矩阵A 的特征多项式为
23
1
()542
2
f λλλλλ--=
=-+--.
令()0f λ=，解得A 的特征值121,4λλ==. 2、（2018年江苏卷） 已知矩阵．
（1）求的逆矩阵
；
（2）若点P 在矩阵对应的变换作用下得到点
，求点P 的坐标．
【解析】分析：（1）根据逆矩阵公式可得结果；（2）根据矩阵变换列方程解得P 点坐标. 详解：（1）因为
，
，所以A 可逆，
从而 ．
（2）设P (x ，y )，则
，所以
，
因此，点P 的坐标为(3，–1)．
点睛：本题考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力. 3、（2017江苏卷）已知矩阵A ＝??????0110，B ＝????
??1002. (1) 求AB ；
(2) 若曲线C 1：x 28＋y 2
2＝1在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2，求C 2的方程．
规范解答：(1) 因为A ＝??????0110，B ＝????
??1002， 所以AB ＝??????0110??????1002＝????
??0210.
(2) 设Q (x 0，y 0)为曲线C 1上的任意一点，它在矩阵AB 对应的变换作用下变为P (x ，y )， 则??????0210??????x 0y 0＝??????x y ，即???
??
2y 0＝x ，x 0＝y ，所以?
????
x 0＝y ，y 0＝x 2.
因为点Q (x 0，y 0)在曲线C 1上，所以x 208＋y 20
2＝1，
从而y 28＋x 2
8
＝1，即x 2＋y 2＝8.
因此曲线C 1在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线C 2：x 2＋y 2＝8.
4、(2016年江苏卷)已知矩阵A ＝??????1 20－2，矩阵B 的逆矩阵B －1＝????????1－120 2，求矩阵AB .
规范解答 设B ＝??
??
??a b
c d
， 则B －1B ＝??
?
??
???1－120 2
??????a b
c d ＝????
??1001， 即?????
???a －12c b －12d 2c 2d ＝??????1001，
故????? a －1
2
c ＝1，b －12
d ＝0，2c ＝0，2d ＝1，
解得?????
a ＝1，
b ＝14，
c ＝0，
d ＝12
，所以B ＝??
??
??1
14
12 . 因此，AB ＝?????
?
1 20－2??
??
??1140
12＝??
??????1
540－1.
5、(2015年江苏卷)已知x ，y ∈R ，向量α＝????
?? 1－1是矩阵A ＝??
??
??
x
1y 0的属于特征值－2的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值． 规范解答 由已知，得Aα＝－2α，即??
????x 1y
0??????
1－1＝??????x －1 y ＝????
??－2 2，
则????? x －1＝－2，y ＝2，即?????
x ＝－1，y ＝2，
所以矩阵A ＝??????－1 1 2 0.
从而矩阵A 的特征多项式f (λ)＝(λ＋2)(λ－1)，令f (λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝－2，λ2＝1， 所以矩阵A 的另一个特征值为1.
一、 二阶矩阵与平面向量 (1) 矩阵的概念
在数学中，把形如??????13，??
????
2
31
5，????
??1，3， 42，0，－1这样的矩形数字(或字母)阵列称为矩阵，其中，同一横排中按原来次序排列的一行数(或字母)叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一列数(或字母)叫做矩阵的列，而组成矩阵的每一个数(或字母)称为矩阵的元素．
(2) 二阶矩阵与平面列向量的乘法 ① [a 11 a 12]??
??
??b 11b 21＝[a 11×b 11＋a 12×b 21]；
② ??????a 11 a 12a 21 a 22??????x 0y 0＝??????a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0.
二、. 几种常见的平面变换 (1) 当M ＝??
??
??1001时，则对应的变换是恒等变换．
(2) 由矩阵M ＝??
????k 001或M ＝????
??100k (k>0)确定的变换T M 称为(垂直)伸压变换．
(3) 反射变换是轴对称变换、中心对称变换的总称． (4) 当M ＝??
??
??
cosθ－sinθsinθ cosθ时，对应的变换叫旋转变换，即把平面图形(或点)逆时针旋转θ角度．
(5) 将一个平面图投影到某条直线(或某个点)的变换称为投影变换． (6) 由矩阵M ＝??
????1k 01或????
??10k 1确定的变换称为切变变换．
三、 线性变换的基本性质 (1) 设向量α＝??????x y ，则λα＝????
??λx λy . (2) 设向量α＝??????x 1y 1，β＝??????x 2y 2，则α＋β＝????
??x 1＋x 2y 1＋y 2. (3) A 是一个二阶矩阵，α、β是平面上任意两个向量，λ是任一实数，则A (λα)＝λA α，A (α＋β)＝Aα＋Aβ.
(4) 二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线变成直线(或一点)． 四、 二阶矩阵的乘法 (1) A ＝??
????a 1 b 1c 1 d 1，B ＝????
??a 2 b 2c 2 d 2， 则AB ＝????
??a 1a 2＋b 1c 2 a 1b 2＋b 1d 2c 1a 2＋d 1c 2 c 1b 2＋d 1d 2
(2) 矩阵乘法满足结合律(AB )C ＝A (BC )． 几种特殊的变换 反射变换：
M ＝????
??1 00－1：点的变换为(x ，y)→(x ，－y)，变换前后关于x 轴对称；
M ＝????
??
－10 01：点的变换为(x ，y)→(－x ，y)，变换前后关于y 轴对称；
M ＝??
??
??
－1 0 0－1：点的变换为(x ，y)→(－x ，－y)，变换前后关于原点对称；
M ＝??????0110：点的变换为(x ，y)→(y ，x)，变换前后关于直线y ＝x 对称． 投影变换：
M ＝??????1000：将坐标平面上的点垂直投影到x 轴上，点的变换为(x ，y)→(x ，0)； M ＝????
??0001：将坐标平面上的点垂直投影到y 轴上，点的变换为(x ，y)→(0，y)； M ＝????
??1010：将坐标平面上的点垂直于x 轴方向投影到y ＝x 上，点的变换为(x ，y)→(x ，x)；
M ＝??
??
??0101：将坐标平面上的点平行于x 轴方向投影到y ＝x 上，点的变换为(x ，y)→(y ，y)；
M ＝????
?
?1212
1
212：将坐标平面上的点垂直于y ＝x 方向投影到y ＝x 上，点的变换为(x ，y)→
????x ＋y 2，x ＋y 2. 五、 逆变换与逆矩阵
(1) 对于二阶矩阵A 、B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵． (2) 若二阶矩阵A 、B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且(AB )－
1＝B －
1A －
1. (3) 利用行列式解二元一次方程组．
2. 特征值与特征向量
(1) 设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的属于特征值λ的一个特征向量．
(2) 从几何上看，特征向量的方向经变换矩阵A 的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ>0)，或者方向相反(λ<0)．特别地，当λ＝0时，特征向量就变换成零向量。
题型一、由矩阵变换求曲线的方程
由矩阵变换求曲线的方程一般式通过代换法求得，要分布设变换前与变换后的点坐标，用变换后的坐标变式变换前的坐标，然后代入变换前的方程即可。 例1、(2019宿迁市直学校期末） 已知矩阵M ＝??
??
??12a 1的一个特征值为λ＝3，其对应的一个特征向量为α
＝????
??11，求直线l 1：x ＋2y ＋1＝0在矩阵M 对应的变换作用下得到的曲线l 2的方程． 规范解答 解法1 由Mα＝λα得??????12a 1??????11＝3????
?
?11，
所以a ＝2，M ＝????
?
?1221.(2分)
设P 1(x 1，y 1)是直线l 1上任意一点，在矩阵M 对应的变换作用下得到点P 2(x 2，y 2)，且P 2在曲线l 2上． 由??????1221??????x 1y 1＝??????x 2y 2得?????x 2＝x 1＋2y 1，y 2＝2x 1＋y 1，
(4分) 所以???x 1＝－13x 2＋23
y 2，
y 1
＝23x 2
－1
3y 2
，
(6分)
代入直线l 1的方程得x 2＋1＝0，所以曲线l 2的方程为x ＋1＝0.(10分) 解法2 由Mα＝λα得??????12a 1??????11＝3??????11，所以a ＝2，M ＝????
??1221.(2分)
取直线l 1上两点P 1(－1，0)，P 2(1，－1)，由??
????1221
??????－10＝??????－1－2，??
????1221??????1－1＝????
??－11，(4分) 所以在矩阵M 对应的变换作用下P 1，P 2变换为Q 1(－1，－2)，Q 2(－1，1)在曲线l 2上，(6分) 又因为二阶矩阵把直线变为直线，所以曲线l 2就是经过点Q 1，Q 2的直线x ＝－1.(10分)
例2、(2016南京三模） 已知曲线C ：x 2＋2xy ＋2y 2＝1，矩阵A ＝所对应的变换T 把曲线C 变
成曲线C 1，求曲线C 1的方程.
思路分析 设变换T 把曲线C 上的任意点P (x ，y )变成曲线C 1上的点Q (x ′，y ′)，用x ′，y ′表示x ，y ，代入曲线C 的方程x 2＋2xy ＋2y 2＝1，则得关于x ′，y ′的方程，这就是曲线C 1的方程．
规范解答 设曲线C 上的任意一点P (x ，y )，P 在矩阵A ＝??????1210对应的变换下得到点Q (x ′，y ′)． 则??
????1210??????x y ＝????
??x ′y ′， 即x ＋2y ＝x ′，x ＝y ′，
所以x ＝y ′，y ＝x ′－y ′
2.(5分)
代入x 2＋2xy ＋2y 2＝1，得y ′2＋2y ′·
x ′－y ′2＋2???
?x ′－y ′22
＝1，即x ′2＋y ′2＝2， 所以曲线C 1的方程为x 2＋y 2＝2.(10分)
例3、(2019 南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港三调）已知a ，b ，c ，d ∈R ，矩阵A ＝??
??
?
?
a －20
b 的逆矩阵A －1
＝????
??1c d 1.若曲线C 在矩阵A 对应的变换作用下得到直线y ＝2x ＋1，求曲线C 的方程．
规范解答 由题意得，AA －1
＝??????1001，即??????a －20b ??????1c d 1＝??????a －2d ac －2bd b ＝????
??1001， 所以a ＝1，b ＝1，c ＝2，d ＝0， 即矩阵A ＝??
??
??
1－201.(5分)
设P (x ，y )为曲线C 上的任意一点，在矩阵A 对应的变换作用下变为点P ′(x ′，y ′)，
则??????x ′y ′＝??????1－201??????x y ，即?
??
??x ′＝x －2y ，y ′＝y .(8分) 由已知条件可知，P ′(x ′，y ′)满足y ＝2x ＋1，整理得2x －5y ＋1＝0， 所以曲线C 的方程为2x －5y ＋1＝0.(10分) 题型二 矩阵的特征值与特征向量
求矩阵的特征值与特征向量要注意格式和步棸。先求特征值然后再求特征向量。
例4、(2019 南京三模）已知矩阵M ＝????
??2112 (1) 求M 2；
(2) 求矩阵M 的特征值和特征向量．
规范解答 (1) M 2＝??
????2112 ??????2112＝????
??5445.(4分)
(2) 矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝????
??
λ－2－1－1λ－2＝(λ－1)(λ－3)．
令f (λ)＝0，解得M 的特征值为λ1＝1，λ2＝3.(6分)
①当λ＝1时，??????2112??????x y ＝??????x y ，得?
??
??x ＋y ＝0，x ＋y ＝0. 令x ＝1，则y ＝－1，于是矩阵M 的一个特征向量为????
??
1－1.(8分)
②当λ＝3时，??????2112??????x y ＝3??????x y ，得?
??
??x －y ＝0，x －y ＝0. 令x ＝1，则y ＝1，于是矩阵M 的一个特征向量为????
??11.
因此，矩阵M 的特征值为1，3，分别对应一个特征向量为?????? 1－1，??????
11.(10分)
例5.(2018南通、泰州一调）已知x ∈R ，向量??????01是矩阵A ＝??
??
??1
x 0
2的属于特征值λ的一个特征向量，求
λ与A －
1.
规范解答 由已知得??????1x 02??????01＝??????x 2＝λ????
??01，
所以?
????λ＝2，x ＝0.所以A ＝??
??
??
1002.(4分) 设A －1
＝????
??a b c d ， 则AA －1
＝??????1002??????a b c d ＝????
??1001， 即?????? a b 2c 2d ＝??????1001. 所以a ＝1，b ＝c ＝0，d ＝12
.
所以λ＝2，A －1＝?????
???10012.(10分)
例6、(2016苏州暑假测试）求矩阵M ＝??
??
??－1
4 2
6的特征值和特征向量．
. 规范解答 特征多项式f (λ)＝????
??
λ＋1 －4－2 λ－6＝(λ＋1)(λ－6)－8＝λ2－5λ－14＝(λ－7)(λ＋2)，
由f (λ)＝0，解得λ1＝7，λ2＝－2.(3分)
将λ1＝7代入特征方程组，得?
????
8x －4y ＝0，－2x ＋y ＝0，即y ＝2x ，可取??????12为属于特征值λ1＝7的一个特征向量．(6
分)
同理，λ2＝－2时，特征方程组是?????
－x －4y ＝0，－2x －8y ＝0，
即x ＝－4y ，所以可取??????
4－1为属于特征值λ2＝－2
的一个特征向量．(8分)
综上所述，矩阵M ＝??
????
－1
4 2
6有两个特征值λ1＝7，λ2＝－2.属于λ1＝7的一个特征向量为???
???12，属于λ2
＝－2的一个特征向量为??
??
??
4－1.(10分) 题型三 矩阵运算及逆矩阵
(1) 对于二阶矩阵A 、B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵． (2) 若二阶矩阵A 、B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且(AB )－
1＝B －
1A －
1. (3) 利用行列式解二元一次方程组． 例7、(2019 苏锡常镇调查）已知矩阵A ＝??
??
??210
a ，其逆矩阵A －1＝?????
?b c 01，求A 2.
规范解答 因为AA －
1＝?
?
????1001，则有??
????2
10a ??????b c 01＝????
??1001，(2分) 即a ＝1，b ＝12，c ＝－12，则A ＝??????2101，(5分) 则A 2＝
??????2101??????2101＝????
??4301.(10分)
例8、(2018苏州期末）已知矩阵M ＝??
??
??
1 22
1，向量β＝???
???17，求M 4β.
. 思路分析 若矩阵M 的特征值为λ1，λ2，对应的特征向量为α1，α2，且β＝m α1＋n α2，则M 4β＝m M 4α1
＋n M 4α2＝mλ41α1＋nλ42α2
. 解法1(公式法) 矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝????
??
λ－1－2
－2λ－1
＝(λ－1)2－4＝(λ－3)(λ＋1)．(2分) 令f (λ)＝0，得特征值λ1＝3，λ2＝－1.
属于λ1＝3的一个特征向量为α1＝??????11，属于λ2＝－1的一个特征向量为α2＝????
?? 1－1.(5分)
设β＝m α1＋n α2，易得m ＝4，n ＝－3，即β＝4α1－3α2，(7分)
所以M 4β＝4M 4α1－3M
4
α2＝4λ4
1α1－3λ42α2＝324
??????11－3?????? 1－1＝????
??321327.(10分)
解法2(直接法) 因为M 4＝(M 2)2，所以也可直接硬解． 因为M 2＝??????1221??????1221＝????
??5445， 所以M 4＝
??????5445??????5445＝??????41404041，(7分) 所以
M 4β＝
??????41404041??????17＝????
??321327.(10分) 易错警示 矩阵M ＝??
????a b c d ，若将M 的特征多项式f (λ)＝????
??λ－a －b －c λ－d 误写为??????
λ－a b c λ－d ，虽
然不影响特征值的结果，但是由此算得的对应特征向量不正确． 例9、(2018扬州期末）下得到点N (3，5)，求矩阵A 的逆矩阵A －
1.
规范解答 因为A ??????11＝??????35，即??????2x 3y ??????11＝??????35，即?????2＋x ＝3，3＋y ＝5，解得?
????x ＝1，y ＝2，所以A ＝?????
?2132.(5分)
解法1(定义法) 设A －
1＝??
????a b c d ，则AA －1＝??????2132??????a b c d ＝??????
1
00
1，即?????2a ＋c ＝1，
3a ＋2c ＝0，2b ＋d ＝0，
3b ＋2d ＝1，
(7分) 解得?????a ＝2，
b ＝－1，
c ＝－3，
d ＝2，所以A
－1
＝????
??
2－1－32.(10分)
1、(2019 盐城市2019届高三第三次模拟考试）直线l ：2x －y －3＝0在矩阵M ＝????
??
－1041所对应的变换
T M 下得到直线l ′，求l ′的方程．
规范解答 在直线l 上点取A (1，－1)，
??????－1041 ??????1－1＝????
??－13，故A (1，－1)在矩阵M 的变换下得到A ′(－1，3)，(4分) 再在直线l 上取点B (2，1)，
??????－1041 ??????21＝????
??－29，在矩阵M 的变换下得到B ′(－2，9)，(8分) 连结A ′B ′，可得直线l ′：6x ＋y ＋3＝0.(10分
)
2、(2018南京三模）已知矩阵A ＝??????1201，B ＝??????2001，若直线l ：x －y ＋2＝0在矩阵AB 对应的变换作用下得到直线l 1，求直线l 1的方程．
思路分析 设直线l 上任意一点P(x ，y)在矩阵AB 对应的变换作用下得到直线l 1上的点Q (x ′，y ′)，用x ′，y ′表示x ，y .由关于x ，y 的方程转化为关于x ′，y ′的方程．
规范解答 首先，AB ＝??????1 20
1??????2 00 1＝????
??2 20
1.(4分)
设直线l 上任意一点P (x ，y )在矩阵AB 对应的变换作用下得到直线l 1上的点Q (x ′，y ′)，
则??????x ′y ′＝??????2 20
1??????
x y ，即?
??
??x ′＝2x ＋2y ，
y ′＝y ，(6分) 得?????x ＝12x ′－y ′，y ＝y ′.因为x －y ＋2＝0，所以1
2
x ′－y ′－y ′＋2＝0，即x ′－4y ′＋4＝0.
所以直线l 1的方程是x －4y ＋4＝0.(10分)
3、(2018苏北四市二模）已知矩阵A ＝????
?? 10－11，B ＝??????1203，C ＝AB .
(1) 求矩阵C ；
(2) 若直线l 1：x ＋y ＝0在矩阵C 对应的变换作用下得到另一直线l 2，求l 2的方程． 规范解答 (1) C ＝AB ＝??
???? 10－1
1??????1203
＝
????
??
12－1
1
.(4分) (2) 设直线l 1：x ＋y ＝0上任意一点(x ，y )在矩阵C 对应的变换作用下得到点(x ′，y ′)，则[]x ′y ′＝
????
?? 12－11[]xy ， 其坐标变换公式为{x ′＝x ＋2y ，y ′＝－x ＋y .(6分)
由此得?
??x ＝x ′－2y ′3，y ＝x ′＋y ′
3，
代入x ＋y ＝0得2x ′－y ′
3＝0，即2x ′－y ′＝0，
所以直线l 2的方程为2x －y ＝0.(10分)
4、(2017南京学情调研）已知矩阵A ＝????
??2－21－3，B ＝??????
1 00－1，设M ＝AB .
(1) 求矩阵M ； (2) 求矩阵M 的特征值． 规范解答 (1) M ＝AB ＝??
????2－21－3??????1 00－1＝????
??
2213.(5分)
(2) 矩阵M 的特征多项式为 f (λ)＝??
??
??
λ－2－2－1λ－3
＝(λ－2)(λ－3)－2＝λ2－5λ＋4， 令f (λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝4， 所以矩阵M 的特征值为1和4.(10分)
5、(2017苏州暑假测试）已知α＝??????21)为矩阵A ＝?????? 1a －14属于λ的一个特征向量，求实数a ，λ的值及A 2.
规范解答 由条件可知?????? 1a －14??????21＝λ????
??
21，
所以?????
2＋a ＝2λ，－2＋4＝λ，
解得a ＝λ＝2.(5分)
因此A ＝????
?? 12－14，
所以A 2＝
?????? 12－14?????? 12－14＝????
??
－110－514.(10分)
6、(2017苏锡常镇调研）已知二阶矩阵M 有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e 1＝??????11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)．
(1) 求矩阵M ；
(2) 求矩阵M 的另一个特征值．
规范解答 (1) 设M ＝??????a b c d ，M ??????11＝8??????11＝??????a ＋b c ＋d ，M ??????－1 2＝??????－2 4＝????
??－a ＋2b －c ＋2d ，(3分)
所以????? a ＋b ＝8，c ＋d ＝8，－a ＋2b ＝－2，
－c ＋2d ＝4，
解得?????
a ＝6，
b ＝2，
c ＝4，
d ＝4，
即M ＝??
??
??62
44
.(5分) (2) 令特征多项式f (λ)＝????
??
λ－6－2－4λ－4＝(λ－6)(λ－4)－8＝0，(8分)
解得λ1＝8，λ2＝2.
所以矩阵M 的另一个特征值为2.(10分) 7、(2018南京学情调研）设二阶矩阵A ＝??
??
??1234
. (1) 求A －
1；
(2) 若曲线C 在矩阵A 对应的变换作用下得到曲线C ′：6x 2－y 2＝1，求曲线C 的方程．
规范解答 (1) 根据逆矩阵公式，可得A －1＝?????
?
??－2 1 32－12.(4分) (2) 设曲线C 上任意一点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下得到点P ′(x ′，y ′)， 则??????x ′y ′＝??????1234??????x y ＝????
??x ＋2y 3x ＋4y ， 所以?????x ′＝x ＋2y ，y ′＝3x ＋4y .
(8分)
因为(x ′，y ′)在曲线C ′上，所以6x ′2－y ′2＝1，代入得6(x ＋2y )2－(3x ＋4y )2＝1，化简得8y 2－3x 2＝1， 所以曲线C 的方程为8y 2－3x 2＝1.(10分)
8、（2016南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调）在平面直角坐标系xOy 中，设点A (－1,2)在矩阵M ＝
????
??
－1
0 0 1对应的变换作用下得到点A ′，将点B (3,4)绕点A ′逆时针旋转90°
得到点B ′，求点B ′的坐标． B. 规范解答 设B ′(x ，y )， 依题意，由??
????－1 0 0 1??????－1 2＝????
??
12，得A ′(1,2)．(4分) 则A ′B →＝(2,2)，A ′B ′→
＝(x －1，y －2)． 记旋转矩阵N ??
??
??
0 －11 0，(6分)
则??????0 －11 0??????22＝??????x －1y －2，即??????－2 2＝??????
x －1y －2，解得?
??
??
x ＝－1，y ＝4， 所以点B ′的坐标为(－1,4)．(10分)
9、(2017扬州期末） 已知a ，b ∈R ，若点M (1，－2)在矩阵A ＝??????a 1b 4对应的变换作用下得到点N (2，－
7)，求矩阵A 的特征值．
规范解答 由题意得??????a 1b 4?????? 1－2＝?????? 2－7，即????? a －2＝2，b －8＝－7，解得?
????
a ＝4，
b ＝1，所以A ＝?????
?4114，(5分)
所以矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝????
??λ－4－1－1λ－4＝λ2
－8λ＋15.
令f (λ)＝0，解得λ＝5或λ＝3，即矩阵A 的特征值为5和3.(10分) 10、(2018镇江期末）已知矩阵M ＝??
??
??2 a b
1，其中a ，b 均为实数，若点A (3，－1)在矩阵M 的变换作
用下得到点B (3，5)，求矩阵M 的特征值．
规范解答 由题意，??????2a b 1?????? 3－1＝????
??35， 即?????6－a ＝3，3b －1＝5，(3分) 解得?
????a ＝3，b ＝2，所以M ＝??
??
??
2321.(5分) 令f (λ)＝(λ－2)(λ－1)－6＝0，(7分) 解得λ＝－1或λ＝4，(9分)
所以矩阵M 的特征值为－1和4.(10分)
11、(2017南京、盐城二模）设a ，b ∈R ，若直线l ：ax ＋y －7＝0在矩阵A ＝????
??
30－1b 对应的变换作用下，
得到的直线为l ′：9x ＋y －91＝0，求实数a ，b 的值．
思路分析 设矩阵A 对应的变换把直线l 上的任意点P (x ，y )变成直线l ′上的点P 1(x 1，y 1)，将x 1，y 1用x ，y 表示．由9x 1＋y 1－91＝0，得x ，y 的方程，此方程也是l 的方程．
规范解答 设矩阵A 对应的变换把直线l 上的任意点P (x ，y )变成直线l ′上的点P 1(x 1，y 1)，
则?????? 30－1b ??????x y ＝??????
x 1y 1，即?
????
3x ＝x 1，－x ＋by ＝y 1.(4分) 因为9x 1＋y 1－91＝0，所以27x ＋(－x ＋by )－91＝0，即26x ＋by －91＝0.(8分) 因为直线l 的方程也为ax ＋y －7＝0，所以26a ＝b 1＝－91－7，解得a ＝2，b ＝13.(10分)
12、(2018无锡期末）已知矩阵A ＝??????
3 4a
b ，若矩阵A 属于特征值λ1的一个特征向量为α1＝????
??
1－2，属于特征值λ2的一个特征向量为α2＝????
??
2－3.求矩阵A .
规范解答 由矩阵A 属于特征值λ1的一个特征向量为α1＝????
??
1－2，可得
??????34a b ?????? 1－2＝λ1?????
? 1－2，即?
????3－8＝λ1，a －2b ＝－2λ1，(2分) 得a －2b ＝10，(4分)
由矩阵A 属于特征值λ2的一个特征向量为α2＝????
?? 2－3，
可得??????34a b ?????? 2－3＝λ2?????? 2－3，即???
??6－12＝2λ2，2a －3b ＝－3λ2，
(6分) 得2a －3b ＝9，(8分)
解得?????a ＝－12，b ＝－11，
即A ＝??
??
??
34－12－11.(10分)
近五年高考数学(理科)立体几何题目汇总
高考真题集锦（立体几何部分） 1.(2016.理1）如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ） A 20π B24π C28π D.32π 2. βα，是两个平面，m,n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果m ⊥n,m ⊥α，n ∥β，那么βα⊥； （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n. （3）如果αβα?m ，∥那么m ∥β。 （4）如果m ∥n,βα∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.（2016年理1）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是π328，则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，α//平面11D CB ，?α平面ABCD =m ， ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为（ ） A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.（2016年理1）如图，在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF=2FD ，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .（12分） （Ⅰ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （Ⅱ）求二面角E-BC-A 的余弦值.
6. (2015年理1）圆柱被一个平面截取一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积是16+20π，则r=（ ） A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点，BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明：平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为（） 9.如图，长方体1111D C B A ABCD -中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，点E ，F 分别在1111C D B A ， 上，411==F D E A ，过点E,F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。 （1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E,F 分别在AD,CD 上，AE=CF=45 ，EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置，OD ’=10 （1）证明：D ’H ⊥平面ABCD （2）求二面角B-D ’A-C 的正弦值
历年高考数学真题(全国卷整理版)43964
参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 24S R π= 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 33 4 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 ()(1)(0,1,2,)k k n k n n P k C p p k n -=-=… 普通高等学校招生全国统一考试 一、选择题 1、 复数 131i i -++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A ＝，B ＝{1，m} ,A B ＝A, 则m= A 0 B 0或3 C 1 D 1或3 3 椭圆的中心在原点，焦距为 4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为 A 216x +212y =1 B 212x +28y =1 C 28x +24y =1 D 212x +24 y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 D 1 （5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项和为 (A) 100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101 100 （6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若 a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则 (A) （B ） (C) (D)
（7）已知α为第二象限角，sinα＋sinβ =，则cos2α= (A) （B ） (C) (D) （8）已知F1、F2为双曲线C：x2-y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则cos∠F1PF2= (A)1 4（B） 3 5 (C) 3 4 (D) 4 5 （9）已知x=lnπ，y=log52， 1 2 z=e，则 (A)x＜y＜z （B）z＜x＜y (C)z＜y＜x (D)y＜z＜x (10) 已知函数y＝x2-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c＝ （A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或1 （11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有 （A）12种（B）18种（C）24种（D）36种 （12）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝7 3。动点P从 E出发沿直线喜爱那个F运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为 （A）16（B）14（C）12(D)10 二。填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上。 （注意：在试题卷上作答无效） （13）若x，y 满足约束条件则z=3x-y的最小值为_________。 （14）当函数取得最大值时，x=___________。 （15）若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为_________。 （16）三菱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等， BAA1=CAA1=50° 则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为____________。 三.解答题： （17）（本小题满分10分）（注意：在试卷上作答无效） △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A-C）＋cosB=1，a=2c，求c。
2018年高考数学试题分类汇编-向量
1 2018高考数学试题分类汇编—向量 一、填空题 1.（北京理6改）设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的_________条件（从“充分而不必要”、“必要而不充分条件”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中选择） 1.充分必要 2.（北京文9）设向量a =（1,0），b =（?1,m ）,若()m ⊥-a a b ，则m =_________. 2．-1 3.（全国卷I 理6改）在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = _________. （用,AB AC 表示） 3．3144 AB AC - 4.（全国卷II 理4）已知向量a ，b 满足||1=a ，1?=-a b ，则(2)?-=a a b _________. 4．3 5.（全国卷III 理13．已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a+b ，则λ=________． 5. 12 6.（天津理8)如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=?，1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ?uu u r uu u r 的最小值为_________. 6. 2116 7.（天津文8）在如图的平面图形中，已知 1.2,120OM ON MON ==∠= ,2,2,BM MA CN NA == 则· BC OM 的值为_________. 7.6- 8.（浙江9）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π 3，向量b 满足b 2?4e · b +3=0，则|a ?b |的最小值是_________. 8.3?1 9.（上海8）.在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A -，(2,0)B ，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF = ，则AE BF ? 的最小值为_________. 9.-3
历年高考真题(数学文化)
历年高考真题（数学文化） 1.（2019湖北·理）常用小石子在沙滩上摆成各种形状研究数， 如他们研究过图1中的1， 3， 6， 10， …， 由于这些数能表示成三角形， 将其称为三角形数；类似地， 称图2中的1， 4， 9， 16…这样的数为正方形数， 下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ） A.289 B.1024 C.1225 D.1378 2.（2019湖北·文）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子， 自上而下各节的容积成等差数列， 上面4节的容积共3升， 下面3节的容积共4升， 则第5节的容积为 A ．1升 B ．6667升 C ．4447升 D ．3337 升 3.（2019湖北·理）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子， 自上而下各节的容积成等差数列， 上面4节的容积共3升， 下面3节的容积共4升， 则第5节的容积为 升. 4.（2019?湖北）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数， 以十六乘之， 九而一， 所得开立方除之， 即立圆径， “开立圆术”相当于给出了已知球的体 积V ， 求其直径d 的一个近似公式 3 916V d ≈.人们还用过一些类似的近似公式．根据π =3.14159…..判断， 下列近似公式中最精确的一个是（ ） A. 3 916V d ≈ B.32V d ≈ C.3157300V d ≈ D.31121V d ≈ 5.（2019?湖北）在平面直角坐标系中， 若点P （x ， y ）的坐标x ， y 均为整数， 则称点P 为格点．若一个多边形的顶点全是格点， 则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S ， 其内部的格点数记为N ， 边界上的格点数记为L ．例如图中△ABC 是格点三角形， 对应的S=1， N=0， L=4． （Ⅰ）图中格点四边形DEFG 对应的S ， N ， L 分别是________； （Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为c bL aN S ++=其中a ， b ， c 为常数．若某格点多边形对应的N=71， L=18， 则S=________（用数值作答）． 6.（2019?湖北）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土， 这是我国现存最早的有系统的数学典籍， 其中记载有求“囷盖”的术：置如其周， 令相乘也， 又以高乘之， 三十六成一， 该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ， 计算其体积
高考数学19个专题分章节大汇编
高考理科数学试题分类汇编：1集合 一、选择题 1 . （普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））已知全集{}1,2,3,4U =, 集合{}=12A ， ,{}=23B ，,则()=U A B e( ) A. {}134， ， B. {}34， C. {}3 D. {}4 【答案】D 2 . （普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知集合 {}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤= ，则 A. ()01， B. (]02， C. ()1,2 D. (]12， 【答案】D 3 . （普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ?= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [2,2] (D) [-2,1] 【答案】D 4 . （普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））设S,T,是R 的两个非空子集,如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足:(){()|};()i T f x x S ii =∈ 对任意 12,,x x S ∈当12x x <时,恒有12()()f x f x <,那么称这两个集合“保序同构”. 以下集合 对不是“保序同构”的是( ) A. *,A N B N == B. {|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或 C. {|01},A x x B R =<<= D. ,A Z B Q == 【答案】D 5 . （高考上海卷（理））设常数a R ∈,集合{|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-,若A B R ?=,则a 的取值范围为( ) (A) (,2)-∞ (B) (,2]-∞ (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞ 【答案】B. 6 . （普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知集合A ={0,1,2},则集合B ={} ,x y x A y A -∈∈中元素的个数是
新课标数学历年高考试题汇总及详细答案解析
2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科（新课标卷Ⅱ） 第Ⅰ卷 一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ?=( ) A. ｛1｝ B. ｛2｝ C. ｛0，1｝ D. ｛1，2｝ 【答案】D 把M=｛0,1,2}中的数,代入不等式,023-2≤+x x 经检验x=1,2满足。所以选D. 2.设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =（ ） A. - 5 B. 5 C. - 4+ i D. - 4 - i 【答案】B . ,5-4-1-∴,2-,2212211B z z i z z z i z 故选关于虚轴对称，与==+=∴+=Θ 3.设向量a,b 满足|a+b |a-b ，则a ?b = ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】A . ,1,62-102∴,6|-|,10||2 222A b a 故选联立方程解得，==+=++==+Θ 4.钝角三角形ABC 的面积是12 ，AB=1， ，则AC=( ) A. 5 B. C. 2 D. 1 【答案】B
. .5,cos 2-4 3π ∴ΔABC 4π .43π,4π∴, 22 sin ∴21sin 1221sin 21222ΔABC B b B ac c a b B B B B B B ac S 故选解得，使用余弦定理，符合题意，舍去。 为等腰直角三角形，不时，经计算当或=+======???==Θ 5.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ） A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45 【答案】 A . ,8.0,75.06.0,A p p p 故选解得则据题有优良的概率为则随后一个空气质量也设某天空气质量优良，=?= 6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ） A. 1727 B. 59 C. 1027 D. 13 【答案】 C ..27 10 π54π34-π54π.342π944.2342π. 546π96321C v v 故选积之比削掉部分的体积与原体体积，高为径为，右半部为大圆柱，半，高为小圆柱，半径加工后的零件，左半部体积，，高加工前的零件半径为== ∴=?+?=∴=?=∴πΘΘ
历年高考数学真题(全国卷整理版)
历年高考数学真题(全国卷整理版)
参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 ()()() P A B P A P B +=+ 2 4S R π= 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =g g 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 3 3 4 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 ()(1)(0,1,2,)k k n k n n P k C p p k n -=-=… 普通高等学校招生全国统一考试 一、 选择题 1、 复数131i i -++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A ＝{1.3. m }，B ＝{1，m} ,A U B ＝ A, 则m= A 0或 3 B 0或 3 C 1或3 D 1或3 3 椭圆的中心在原点，焦距为 4 一条准线为
x=-4 ，则该椭圆的方程为 A 216x +212y =1 B 212 x +28 y =1 C 28 x +24 y =1 D 212 x +24 y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=22 E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B 3 C 2 D 1 （5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项和为 (A)100101 (B) 99 101 (C) 99100 (D) 101100 （6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若 a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则 (A) （B ） (C) (D) （7）已知α为第二象限角，sin α＋sin β3则cos2α= (A) 5 （B ） 5 (C) 5 5（8）已知F1、F2为双曲线C ：x 2-y 2=2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF1|=|2PF2|，则cos ∠F1PF2=
高考数学试题分类汇编 算法初步
高考数学试题分类汇编算法初步 1.（天津理3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 2.（全国新课标理3）执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是 （A）120 （B） 720 （C） 1440 （D） 5040 【答案】B 3.（辽宁理6）执行右面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的P 是 （A）8 （B）5 （C）3 （D）2 【答案】C
4. （北京理4）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 A ．-3 B ．-12 C ．13 D ．2 【答案】D 5.（陕西理8）右图中， 1x ，2x ，3x 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，P 为该题的最终得分。当126,9.x x ==p=8．5时，3x 等于 A ．11 B ．10 C ．8 D ．7 【答案】C 6.（浙江理12）若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k 的值是 。 【答案】5
Read a，b If a >b Then m←a Else m←b End If 7.（江苏4）根据如图所示的伪代码，当输入a，b分别为2，3时，最后输出的m的值是 【答案】3 8.（福建理11）运行如图所示的程序，输出的结果是_______。 【答案】3 9.（安徽理11）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 . 【答案】15 10.（湖南理13）若执行如图3所示的框图，输入1 1 x= ，23 2,3,2 x x x ==-= , 则输出的数等于。 【答案】 2 3
11.（江西理13）下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是 【答案】10 12.（山东理13）执行右图所示的程序框图，输入l=2，m=3，n=5，则输出的y的值是【答案】68
(完整版)高中数学三角函数历年高考题汇编(附答案)
三角函数历年高考题汇编 一.选择题1、（2009）函数 22cos 14y x π? ?=-- ?? ?是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为 2π的奇函数 D ．最小正周期为2 π 的偶函数 2、（2008）已知函数 2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2π 的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2 π 的偶函数 3.（2009浙江文）已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．． 是（ ） 4.(2009山东卷文)将函数 sin 2y x =的图象向左平移 4 π 个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 A. 22cos y x = B. 2 2sin y x = C.)4 2sin(1π++=x y D. cos 2y x = 5.（2009江西卷文）函数()(13)cos f x x x =的最小正周期为 A ．2π B ． 32π C ．π D ． 2 π 6.（2009全国卷Ⅰ文）如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4( ,0)3 π 中心对称，那么φ的最小值为 A. 6π B.4π C. 3π D. 2π 7.（2008海南、宁夏文科卷）函数 ()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ） A. －3，1 B. －2，2 C. －3， 3 2 D. －2， 32 8.（2007海南、宁夏）函数 πsin 23y x ??=- ???在区间ππ2?? -???? ，的简图是（ ）
天津市近五年高考数学真题分类汇总
天津市近五年高考数学试题分类汇总 [2011 ?天津卷]i是虚数单位，复数1 3i 1 i = C. 1 2i A. 2 i B. 2 i 【答案】A. 1 3i 【解析】'3i(1 3i)(1 i) 42i2 i. 1 i(1 i)(1 i)2 【2010】(1) i是虚数单位，复数 1 3i( 1 2i (A)1 + i(B)5+ 5i (C)-5-5i(D)-1 —i 5i 【2009,1】i是虚数单位，5=( ) 2 i (A) 1+2i(B) -1-2i(C) 1-2i 选择题1:—复数 【考点定位】本小题考查复数的运算，基础 题。) D. 1 2i (D) -1+2i 解析：旦5^ 2 i 5 1 2i，故选择D o 【2008 】 1. ?3 i是虚数单位i i 1() i是虚数单位，i1 (A) 1 (B) 1(C) i(D) i A 【2007】 2i3 1.i是虚数单位，——() 1 i A.1i B.1 i C.1 【答 案】 C 【分 析】2i32i3(1 i)2i(1 i)i 1，故选C 1i (1 i)(1 i)2 D. 1 i 2 (1)i 3 1,i 4 i,i1 复数运算技巧： 4n i 1,i 4n 1 4n 2 i,i 4n 3 hi n n 1n 2n 3 ■ i■ i■ i■ i0 复数概念、复数运算、共轭复数、复数几何意义。 (2)(1 i)2 2i
i i A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 .1 i i,r _ i ⑷设 -1+凋 3 2 1, — 2 3 , 0 2 , 选择题 2: 充要条件与命题 [2011 ? 天津卷］设x,y R,则 2 2 “x 2 且 y 2 ”是“ x y 4 的 充分而不必要条件 A . B .必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D .即不充分也不必要条件 【答案 】A 【解 析 】当x 2且y 2时， 「疋有x y 4 ；反过来当 【2010】(3)命题“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是 (A) 若f(x)是偶函数，则f(-x)是偶函数 (B) 若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数 (C) 若f(-x)是奇函数，贝U f(x)是奇函数 (D) 若f(-x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数 B 【2009】(3)命题“存在x 0 R , 2x0 0”的否定是 (A )不存在 x 0 R, 2x0 >0 (B )存在 X 。R, 2x0 0 (C )对任意的x R, 2x 0 (D )对任意的x R, 2x >0 【考点定位】本小考查四种命题的改写，基础题。 解析：由题否定即“不存在 x 0 R ，使2x0 0”，故选择D o 【2007 】3." —"是"ta n 2cos — "的 3 2 x 2 y 2 4，不一定有x 2且y 2，例如x 4, y 0也可以，故选A 【2008】(4)设 a,b 是两条直线, 是两个平面，则a b 的一个充分条件是 C (A) a , b 〃 ， (C) a ,b , // (B) a ,b , // (D) a ,b 〃 ,
2011到2016历年高考数学真题
参考公式：如 果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P(A B ) P(A)P(B) S 4R2 如果事件A、B相互独立，那么P(A B)P(A)P(B) 其中R表示球的半径球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么V 3 4 R3 n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径 P(k)C n k n p k(1p)n k(k 0,1,2,…n) 2012年普通高等学校招生全国统一考试 一、选择题 1、复数 13i 1i = A2+I B2-I C1+2i D1-2i 2、已知集合A＝{1.3.m}，B＝{1，m},A B＝A,则m= A0或3B0 或3C1或3D1或3 3椭圆的中心在原点，焦距为4一条准线为x=-4，则该椭圆的方程为x2y2x2y2 A+=1 B+=1 1612128 x2y2x2y2 C+=1D+=1 84124 4已知正四棱柱ABCD-A B C D中，AB=2，CC= 11111与平面BED的距离为22E为CC的中点，则直线AC 1 1 A2B3C2D1 （5）已知等差数列{a}的前n项和为S，a =5，S=15，则数列 n n55 的前100项和为 (A)100 101 (B) 99 101 (C) 99101 (D) 100100 （6）△ABC中，AB边的高为CD，若a·b=0，|a|=1，|b|=2，则
(A) （B ） (C) (D) 3 （7）已知α 为第二象限角，sin α ＋sin β = ，则 cos2α = (A) - 5 3 （B ） - 5 5 5 9 9 3 （8）已知 F1、F2 为双曲线 C ：x 2-y 2=2 的左、右焦点，点 P 在 C 上，|PF1|=|2PF2|，则 cos ∠F1PF2= 1 3 3 4 (A) 4 （B ） 5 (C) 4 (D) 5 1 （9）已知 x=ln π ，y=log52， ，则 (A)x ＜y ＜z （B ）z ＜x ＜y (C)z ＜y ＜x (D)y ＜z ＜x (10) 已知函数 y ＝x 2-3x+c 的图像与 x 恰有两个公共点，则 c ＝ （A ）-2 或 2 （B ）-9 或 3 （C ）-1 或 1 （D ）-3 或 1 （11）将字母 a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同， 则不同的排列方法共有 （A ）12 种（B ）18 种（C ）24 种（D ）36 种 7 （12）正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 在边 AB 上，点 F 在边 BC 上，AE ＝BF ＝ 。动点 P 从 E 出发沿直线喜爱那个 F 运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入 射角，当点 P 第一次碰到 E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为 （A ）16（B ）14（C ）12(D)10 二。填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上。 （注意：在试题卷上作答无效） （13）若 x ，y 满足约束条件 （14）当函数 则 z=3x-y 的最小值为_________。 取得最大值时，x=___________。 （15）若 的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等，则该展开式中 的系数为 _________。 （16）三菱柱 ABC-A1B1C1 中，底面边长和侧棱长都相等， BAA1=CAA1=50° 则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为____________。 三.解答题： （17）（本小题满分 10 分）（注意：在试卷上作答无效） △ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，已知 cos （A-C ）＋cosB=1，a=2c ，求 c 。 3 (C) (D) z=e 2 3
2018年高考数学立体几何试题汇编
2018年全国一卷（文科）：9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．217 B ．25 C ．3 D ．2 18．如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM =?∠，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点 D 的位置，且AB DA ⊥． （1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ； （2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且2 3 BP DQ DA == ，求三棱锥Q ABP -的体积． 全国1卷理科 理科第7小题同文科第9小题 18. 如图，四边形ABCD 为正方形，,E F 分别为,AD BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点 P 的位置，且PF BF ⊥.（1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； （2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值. 全国2卷理科： 9．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为
A ．1 B ． 5 C ． 5 D ． 2 20．如图，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点． （1）证明：PO ⊥平面ABC ； （2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30?，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值． 全国3卷理科 3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 19．（12分） 如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点． （1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ； （2）当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值． 2018年江苏理科：
历年全国卷高考数学真题汇编解析版定稿版
历年全国卷高考数学真 题汇编解析版精编 W O R D版 IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】
全国卷历年高考真题汇编 三角 1（2017全国I 卷9题）已知曲线1:cos C y x =，22π:sin 23C y x ?? =+ ??? ，则下面结论正确的是（） A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π 6 个单位长度，得到曲线2C B ．把1 C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12 个单位长度，得到曲线2C C ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6 个单位长度，得到曲线2C D ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12 个单位长度，得到曲线2C 【答案】 D 【解析】 1:cos C y x =，22π:sin 23??=+ ??? C y x 【解析】 首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理． 【解析】 πππ cos cos sin 222 ???? ==+-=+ ? ?? ? ? ? y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω，
【解析】 即112 πππsin sin 2sin 2224??????=+???????? ?→=+=+ ? ? ?????? ?C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来 【解析】 2ππsin 2sin 233? ?? ??? →=+=+ ? ???? ?y x x ． 【解析】 注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π 4+x 平移至π3 +x ， 【解析】 根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上 π12，即再向左平移π12 2 （2017全国I 卷17题）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的 面积为2 3sin a A ． （1）求sin sin B C ； （2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长． 【解析】 本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应 用. 【解析】 （1）∵ABC △面积2 3sin a S A =.且1sin 2S bc A = 【解析】 ∴21 sin 3sin 2 a bc A A = 【解析】 ∴223sin 2 a bc A = 【解析】 ∵由正弦定理得223sin sin sin sin 2 A B C A =，
历年高考数学试题分类汇编
2008年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距 离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 4 1 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和 22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点 的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞)
历年全国卷高考数学真题大全解析版
全国卷历年高考真题汇编 三角 1（2017全国I 卷9题）已知曲线1:cos C y x =，22π:sin 23C y x ? ? =+ ?? ? ，则下面结论正确的是（） A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6 个单位长度，得到曲线2C B ．把1 C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π 12 个单位长度，得到曲线2C C ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2C D ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π 12 个单位长度，得到曲线2C 【答案】D 【解析】1:cos C y x =，22π:sin 23? ?=+ ?? ?C y x 【解析】首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理． 【解析】πππcos cos sin 222??? ?==+-=+ ? ???? ?y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω， 【解析】即112 πππsin sin 2sin 2224??????=+???????? ?→=+=+ ? ? ?????? ?C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来 【解析】2ππsin 2sin 233??? ??? →=+=+ ? ???? ?y x x ． 【解析】注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+ x 平移至π 3 +x ， 【解析】根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π 12 2 （2017全国I 卷17题）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的 面积为2 3sin a A ． （1）求sin sin B C ； （2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长． 【解析】本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用. 【解析】（1）∵ABC △面积2 3sin a S A =.且1sin 2S bc A = 【解析】∴ 21 sin 3sin 2 a bc A A = 【解析】∴22 3sin 2 a bc A =
高考数学真题分类汇编集合专题(基础题)
高考数学真题分类汇编集合专题（基础题） 一、单选题 1.集合M={x|1＜x+1≤3}，N={x|x2﹣2x﹣3＞0}，则（?R M）∩（?R N）等于（） A. （﹣1，3） B. （﹣1，0）∪（2，3） C. （﹣1，0]∪[2，3） D. [﹣1，0]∪（2，3] 2.已知R是实数集，M={x| ＜1}，N={y|y= +1}，N∩?R M=（） A. （1，2） B. [0，2] C. ? D. [1，2] 3.已知集合，，若，则实数的值为（） A. 1 B. C. 2 D. 4.已知集合，，则等于（） A. B. C. D. 5.已知集合A={x|x＞0}，函数的定义域为集合B，则A∩B=（） A. [3，+∞） B. [2，3] C. （0，2]∪[3，+∞） D. （0，2] 6.已知集合，，则（） A. B. C. D. 7.已知集合A={x|x2﹣x+4＞x+12}，B={x|2x﹣1＜8}，则A∩（?R B）=（） A. {x|x≥4} B. {x|x＞4} C. {x|x≥﹣2} D. {x|x＜﹣2或x≥4} 8.已知Ｍ＝｛ｘ｜ｘ2－2x－3>0｝，Ｎ＝｛x｜ｘ2＋ax+b≤0｝，若M∪N＝R，Ｍ∩Ｎ＝（3，4],则a+b＝（） A. 7 B. －1 C. 1 D. －7 9.已知集合A={2，4}，B={2，3，4}，，则C中元素个数是（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题 10.集合，，则的子集个数是________． 答案 一、单选题 1.D 2.D 3. A 4. C 5.B 6. D 7.B 8. D 9.B 二、填空题 10. 2 第1 页共1 页
历年高考数学圆锥曲线试题汇总
高考数学试题分类详解——圆锥曲线 一、选择题 1.设双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( C ) （A （B ）2 （C （D 2.已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3F A F B =,则||AF = (A). (B). 2 (D). 3 3.过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线 的交点分别为,B C ．若1 2 AB BC =，则双曲线的离心率是 ( ) A B C D 4.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴， 直 线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ ） A B ．2 C ．13 D ．12 5.点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2 y x =于,A B 两点，且 |||PA AB =，则称点P 为“ 点”，那么下列结论中正确的是 （ ） A ．直线l 上的所有点都是“点” B ．直线l 上仅有有限个点是“点” C ．直线l 上的所有点都不是“ 点” D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“ 点” 6.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2 +1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为 ( ). A. 4 5 B. 5 C. 25 D.5 7.设斜率为2的直线l 过抛物线2 (0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)
高考数学试题分类汇编个专题
2017年高考数学试题分类汇编及答案解析（22个专题）目录 专题一 集合 ............................................................................................................................................................................... 1 专题二 函数 ............................................................................................................................................................................... 6 专题三 三角函数...................................................................................................................................................................... 21 专题四 解三角形...................................................................................................................................................................... 32 专题五 平面向量...................................................................................................................................................................... 40 专题六 数列 ............................................................................................................................................................................. 48 专题七 不等式 ......................................................................................................................................................................... 68 专题八 复数 ............................................................................................................................................................................. 80 专题九 导数及其应用 .............................................................................................................................................................. 84 专题十 算法初步.................................................................................................................................................................... 111 专题十一 常用逻辑用语 ........................................................................................................................................................ 120 专题十二 推理与证明 ............................................................................................................................................................ 122 专题十三 概率统计 ................................................................................................................................................................ 126 专题十四 空间向量、空间几何体、立体几何 .................................................................................................................... 149 专题十五 点、线、面的位置关系 ........................................................................................................................................ 185 专题十六 平面几何初步 ........................................................................................................................................................ 186 专题十七 圆锥曲线与方程 .................................................................................................................................................... 191 专题十八 计数原理 .............................................................................................................................................................. 217 专题十九 几何证明选讲 ...................................................................................................................................................... 220 专题二十 不等式选讲 .......................................................................................................................................................... 225 专题二十一 矩阵与变换 ........................................................................................................................................................ 229 专题二十二 坐标系与参数方程 .. (230) 专题一 集合 1.（15年北京文科）若集合{}52x x A =-<<，{} 33x x B =-<<，则A B =I （ ） A ．{} 32x x -<< B ．{} 52x x -<< C ．{} 33x x -<< D ．{} 53x x -<< 【答案】A 考点：集合的交集运算. 2.(15年广东理科) 若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=，{|(4)(1)0}N x x x =--=，则M N =I A ．? B ．{}1,4-- C ．{}0 D ．{}1,4