几何光学基础教材介绍

几何光学基础

可见光，指那引起视觉的电磁波，这部分电磁波的波长范围约770-390纳米之间。光具有波粒二象性，它有时表现为波动，有时也表现为粒子（光子）的线形运动。几何光学就是以光的直线传播性质及光的反射和折射规律为基础，用数学方法研究光传播问题的学科。

几何光学研究的对象为光学仪器，研究一般光学仪器（透镜，凌镜，显微镜，望远镜，照相机）成像与消灭像差的问题，研究特种光学仪器（光谱仪，测距仪）的设计原理。本章仅就几何光学中光线及其传播规律问题做一介绍。

1.光线及光线的种类

在均匀介质中呈直线传播的光，就是光线。就光的传播而言在均匀介质中是呈直线传播的；从其本身而言，均匀均匀介质中的光为一直线。

自发光点发出许多光线，我们任意取围绕一个线传播的一束光线，这一束光线就叫光束。

1.散开光线。又称作发散光线

任何发光点发出光线都是发散的，这些光线总是表现在一定的空间，总是在一定的限度内表现为空间的物理现象，从发光点射向某一方向的光总是以发光点为顶点的锥体向外传播，沿锥体向外传播的光束称为散发光束，常称为发散光线。

人们为了便于理解，又把这立体图形简化为平面图形，但在理解知识的时

后，我们应该时时意设到，光是在空间意义上的光。

2.平行光线

由任何一点发出的光束，经过光学仪器后，光束中的光线的相对方

位改变为无相平行，成为平行光束，即平行光线。平行光线产生见

图1。

图1

通常所说的平行光线是就另外的意义而言，任何光源所发出的光线，如果光距越大，就越趋于平行，当光距无限大时，即可视为平行，这种光线就称为平行光线。在眼屈光学中，对光线的性质又作了人为的规定，并约定：5米及5米以外射来的光线，虽有发散性质，但同平行光线对眼生理光学的影响，差异实在微乎其微，故约定二者均为平行光线。那么，5米以内光源发出的光线即为发散光线。三．集合光线，又称会聚光线

光源发出的平行光线，由一凹面镜发射（图2）或一凸透镜屈析（图

3）而产生的光线，就称为集合光线。

图2

图3

几何光学的基本定律

直线传播定律，反射定律和折射定律是几何光学中的三个基本定律，是几何光学全部内容的基础，是眼屈光学的基础。临床上使用的各种眼科检查仪器都同透镜、反射镜、棱镜的应用密切相关。眼镜行业更是如此，可以说这一行业的工作，每时每刻都离不开光，每时每刻都离不开几何光学。离开光，离开几何光学就没有眼镜行业。更不会有眼镜行业的发展。所以，学习几何光学对眼镜行业的各类从业人员来说是十分重要的，掌握几何光学的基本理论是保持眼镜行业高质量。高标准服务的根本保证。

为了知识的科学性和一致性，人们对于光学中的距离、高度、角度的正负和光的方向作了规定，常用规则如下：

1．光线均假定从左向右而行

2．距离计算

(1)物距、像距、焦距、曲率半径都从折射面或反射面起计算；

(2)与入射交线方向一致为正，与入射光线方向相反为负

(3)焦物距(z)、焦像距(z'，)各从物侧主焦点像则主焦点起计算．正负号规则同前。3．高度计界

物像的高在主轴上方正立者为正，在主轴下方倒立者为负。

4。角度

从主轴或法线起测量其同光线的夹角，如为顺时针时为正．逆时针为负。

5．字母

点的位置用大写正体英文字母表示，如A、B、C、D、E、F等；屈光度、聚散度用大写斜体英文字母表示，如D、V；距离线段用小写斜体英文字母表示，如f，s、r等；而角的表示则用希腊字母表示，如。、P等。

我们了解了光学的符号规则，就为了解光学原理打下了一个基础，提供了方便。

一、光的直线传播定律

在均匀介质中，光沿直线传播。也可以表述为：在均匀介质中，光线是一直线。光的直线传播是我们日常生活和工作中司空见惯的现象。当我们看一本书，或看一个文件时，总要使我们的视线正对所要看的文字，这正说明光是沿直线传播的。人们在实际生活中运用这一规律的例子，也是不胜枚举的，如人们在门上通过门镜观察来访人；驾驶汽车的司机其正前方的挡风玻璃必定透明这些无不说明对这一规律的认同和应用。眼镜行业中透镜光心的移动，是遵循光线直线传播定律的鲜明实例，对镜架尺寸同顾客瞳孔距离不相适应的镜例来说；通过透镜光心向内或向外移动。使镜片的光学中心正好同顾客的视线相合，使顾客获得最佳矫正效果，这样做的原因正是基于光的直线传播规律。

二、光的反射定律

(一)光的反射

当一条光线投射到两种均匀介质的平面分界面上时，一般分成两条光线，一条由界面返回到原介质中，另一条由界面折入另一介质中。其中投射光线称为入射线；返回到原介质中的光线称为反射线；折入另一介质中的光线称为折射线。通过入射线与界面的交点（A）的直线(AN)，这条直线叫做法线。入射光线与法线所构成的平面称为入射面；法线与反射光线所构成的平面称为反射面：折射光线同法线所构成的平面称为折射面。入射光线同法线的夹角称为入射角(图l一6中的i )法线同反射光线和反射光线所构成的夹角称为反射角(图1-6中I' )；折射光线同法线所构成的夹角称为折射角(图1-6中的i )

(二)反射定律

(1)反射光线、入射光线、总是和法线处在同一平面上：入射光线分居于入射点界面法线的两侧。

(2)反射角等于入射角，i' ＝以图l一6)

(三)平面反射

光线投射于光滑平面(平面镜)产生的反射现象称为平面反射。

平面反射的成像法如图l一7所示。

通过作图法求像，当物点B位于光滑乎面之前，自B发出的入射光线与法线重合时，入射光线BN必然沿原路反射回来，其反射光线必是NB．B的像点必在这条线

上。该线是入射线，法线和反射线的重合线。从B发出的一条光线BE，以入射角i相交于平面EN于E，根据反射定律．

可以知道光将沿EG反射。当从G点进行观察，好象B在BF处，而BJ点正好是CE的延长线同法线BN的交点。因为BJ是由虚光线会聚而成，所以BJ是B 的虚像。三角形BEN和B，EN是全等的，这可以通过几何法证明，根据几何定理可知BN＝B'N。

从上可以看出平面反射成像规律如下：

(1)一对共轭的物点和像点必定位于过物点的平面法线

(2)物距与保炬相等；

(3)物与像等大。

(四)平面镜转动时，反射光线的变动

当反射面转动时，反射光也要发生方向位置的改变，如图l- 8所示，当反射平面EN转动EN／时，反射光线CG位移到EG，，EN和EN'的夹角，我们称为平面旋转角。其角度暂用α表示；EG和EG'的夹角．我们称之为反射光线旋转角，其角度用β表示，其数量可以表示为：β＝2α。，即反射光线旋转角度等于反射平面旋转角度的2倍。在验光工作中，特别是检影法验光时，都要求平面镜不宜转动过快，检查者和被捡眼的良好配合．道理正在于此。操作过快、配合不佳，由于反射光线的变动影响检查者的观测，常导致检查结果的不准确。

三、光的折射定律

(一)光的折射

当光线投射在两种均匀介质(n和n')的分界面(A)上时，必有一部分光线透过界面(A)折入另一介质(n')中，这部分光线(AG)就称做拆射光线。光通过密度不同的介质时。光线必然发生传播方向的改变，这种现象就叫做光的折射或屈光。

入射光线(BA)与界面交于A，过A点引垂直于界面的直线(AN)，这条线叫做法线，入射光线和法线的夹角，叫入射角(图l- 9中的i)。AG为光线透过界面而发生屈折后的光线，这条线叫做折射光线，它与法线的夹角叫折射角(图l一9中的i')。入射光线和折射光线的夹角叫做偏向角(图1-9中的S)

图1-9 光折射

(二)折射定律

(1)入射光线与折射光线、法线同处在一个平面上；

(2)入射光线和折射光线位于法线两侧；

(3)simi／simi'＝n'／n，即：入射角的正弦值与折射角的正弦值的比，同第一介质折射率与第二介质折射率的比成反比。

(三)影响折射的因素

1．介质密度

当光线由光疏介质进入光密介质时(即n'＞n时)．折射光线向法线偏移，折射角

小于入射角(即i'＜i，图1-10中(a)当光线由光密介质进入光疏介质时(即当n'＜n 时)．折射光线向背离法线方向偏移，折射角大于入射角(即i'＞i，图1一l0中(b))。

2.入射角

折射程度的强弱同光线的入射角有关，入射角越大，光线的屈折程度越强，入射角越小，光线的屈折程度越弱.

（1）当入射角为零时，光线垂直地投射到二个介质的界面时，进入另一介质的光线并不改变原来的方向，折射将不发生.

(2)折射角的极限值为90 ．即拆射角只能小于或等于90 ，其数学表达式为：

i'≤90 。当折射角等于90 时，相应的入射角叫做临界角。入射光线以大于临界角的角度，投射于界面，其光线不能透过界面进入第二介质，而是被全部反射回原介质中去，这种现象就叫做光的全反射。

界面，其光线不能透过界面进入第二介质，而是被全部反射回原介质中去，这种现象就叫做光的全反射。

球面反射

球面(单球面)既是一个简单的光学构造，又是组成许多光学仪器的基本部件。单球面镜只是一个圆球面的一部分．球面镜的曲率半径即为该圆球面的球半径，圆球的中心就是作为该球面一部分的球面镜的曲率中心，球面镜只有参照光轴．任何通过曲率中心达到球面的直线都可以作为球面镜的参照光轴。直线与球面的交点称为反射镜的顶点，球面镜曲率中心和顶点的连线就称作球面镜的轴，如图1一11中所示：BAC为一球面．

O为曲率中心，A为顶点．

OA为球面(BAC)的轴。

图1-11 凸球面镜

一般光学系统成象的基础是光在球面上的反射和折射。为了了解一般光系统的成象规律，我们先就球面的反射做一讨论。

平行于球面轴的光线投射到镜面时，必然发生反射，对于凹面镜，反射光线将向主轴上一点会聚(图1-12)，凹面镜从顶点(A)到主焦点(F')的方向和反射光线行进方向一致；对于凸面镜，反射光线将成为发散光线而背离主轴，反射光线的反向延长线必同主光轴交于一点F'，其项点(A)到主焦点(F')的方向和反射光线的行进方向相反。

图1-12 凹透镜、主焦点[F')和焦点距(f')

一、符号规则

假定光线自左向右行进．计算中有关长度和角度符号规定如下：

(一)点的位置的确定

确定主光轴上点的位置时。1．从顶点(图1-12和图1一13中的A)算起；

2．顶点右方距离的数值为正，顶点左方距离的数值为负；

3．轴外一点到轴的距离。在主光轴上方时数值为正，反之则为负。

图1-13 凸面镜：主焦点(F')

二)角度的确定'

确定光线方向和主光轴(或球面法线)的夹角时，1．从主光轴(或球面法线)算起；2．按顺时针方向旋转的角．其数值为正．按逆时针方向旋转的角，其数值为负；3．计算主光轴与法线夹角时，从主光轴算起。

图1-14符号规则示意

符号规则的应用，参见图l-14。在标记线段或角度时，一般用英文小写字母，字母只可以表示数值的绝对值。如其值为正时，字母表示其值；如其值为负时，字母只表示其数值的绝对值，其字母前必须加负号(如-r,-u)

反射定律不仅适用平面，也适用于单球面镜，其原因在于：将球面无限地切割。切割的次数越多，切割下来的部分，就越趋向于平面，无限地切割下来，我们就可以获得球面极小的一部分，它和平面的差异极小，就可以把这极小的部分视为平面镜。

就通常情况下而言，单心光束(近似)理想成象有两个条件必须得到满足：

(1)物铀离主光轴很近，即物点与主光轴的距离应远小于球面曲率半径；

(2)物点投向镜面的光线与主光轴的夹角很小--夹角的正弦可用度本身代替。

满足第一个条件的物，称为近轴物；满足第二个条件的光线，称为近轴光线。近铀物和近轴光线是物点单心光束经球面镜反射和折射后相交(会聚)一点的近轴条件。

如图l - 15点P位于主光轴上，近轴光线PA经球面镜反射与主光轴PO交于P，。i为入射角，一i为反射角，r为球面曲率半径。

图1-15 近轴条件成像

根据反射定律可知-i'＝i Ac为三角形APP'的角平分线，故AP／AP'＝cP／cp'。近轴条件下，-u和-u'的值很小，差异也很小，故可认为AP＝OP，AP'=OP'。因为OP＝-S．OP'＝ -S'，曲率半径为-r,所以可得：-s／-S'＝[(-s)-( - r)]/[(-r) - (-s')]，化简得：1／S'+1／S＝2／r，(物象公式)。

上式为近轴条件下主光轴上一点的球面镜成象公式。由此式可知，反射光线同主光轴相交于一点(P')的点的位置，只取决于物点P的位置．从物点(P)发出的光线经反射后都经过P'点，该点为物点(P)的理想像。图中P点到球面顶点(o)的距离称为物距；从理想象点(P')到球面顶点的距离称为象距。按符号规则的规定．物点在球面左方时，s＜o有两种情况：

(1)S'＜O：反射光线将聚于球面左方一点(P')，象为实象。(凹面镜)

(2)S'＞()：反射光线的反向延长线将相交于球面右方一点(P')，象为虚像。(凸面镜)。

若使s＝-∞，即将物置于主光铀上的无限远处时，物点发出的光则为同主光轴平行的平行光线，平行光线经球面镜反射和主光轴相交于一点(象点)，这一点就称为交点；用F来表示；这一点到球面顶点的距离(OA)称为焦距，用f来表示(如图1一16).根据球面成象公式及s＝-∞ ，可得f＝r／2，那么球面成象公式又可以表述为：1／S'+l／S=1／f。当物置放于P'点时，其象在P，这是光的可逆性原理所决定，P与P'互为共点，PA与P'A互为共扼光线，焦点的共扼点为主光轴上的无穷远点。

图1一]6 凹球面镜成像

前面我们讨论了位于主光轴上物点成象的问题，下面我们再讨论轴物的成象问题。

图1 - 17中P为主光轴上的一物点，P'为P的像点。以球面镜曲率中心为轴，使主光轴旋转很小的角度(φ)，P点位移到Q点，P'点位移到Q'点，毫无疑问：Q'是Q的象。可见，近轴物点(Q)与其象点(Q')的坐标同样可以满足球面成象公式(即物象公式)。由于旋转象(田)很小，Q则为近轴物，圆弧PQ，P'Q可分别用垂直于主光轴上P及P'的垂线代替，由此可以得出；近轴条件下．垂直于主光轴一侧的物成象于主光轴的另一侧，象垂直于主光轴。物侧平面称为物平面；象侧乎面称为象平面，两者互为共扼面，共扼面的位置由物象公式而定。

图1-17近轴物点凹面镜成像

(二)象的放大

图1-18中的PQ为垂直于主光轴(PO)的近轴物．设其高为y，P'Q'为PQ的像，其高为y'。y'与y之比，即象离与物象之比称为象的横向放大率，简称象的放大率，用β表示，β＝y'／y i＝y／(-s)，( - i')＝( y')／(-S')，因为(-i)＝i，故象的放大率又可以表述为；β＝s'/ -s．即象放大率的绝对值等于S'与S的比值，S决定于S'，故此β的数值只取决于S值的大小。

象和物是相似的．垂宜于主光轴一点垂线上的各点，象的放大宰相同根据β值的状况可以判断象的性质；

(1) 象的大小│β│＞1时，象是放大的，│β│＜1时，象是缩小的。

(2)象的正倒β＞o时，象是正立的；β〈0时，象的形态是倒立的。

物象公式不但适用于凹面镜，也同样适用于凸面镜，就凸面镜而言，其曲率半径(r)为正值，f也为正值，F在镜面右方，为虚焦点。对凸面镜来说，f＞0，S＜o，根据物象公式(1／S'+1／S＝l／f)知S'为正值，而且1β1<1，因此不论物体放在镜前何处，都只能从镜中获得缩小的正立虚象。

球面反射规律及象的类型

一、球面反射规律

反射定律既适用于平面镜，也适用于球面镜，球面镜的反射规律有如下四点：

(1)平行于主光轴的近轴入射光线，经球面反射后，其反射光线通过主焦点；

(2)过主焦点的入射光线，经球面反射后，其反射光线和主光轴平行：

(3)通过或指向球面曲率中心的入射光线，在投射到球面后．其反射光线沿原方向返回；

(4)过反射镜顶点的入射光线，其反射光线位于以主光轴为法线的另一侧，反射角等于入射角。

二、球面镜成像

图l-19是通过几何作图法．显示凹球面镜的成象原理。物体(AB)垂直主光轴(XX')于一点(B)，由物体一端(A点)引四条入射光线：

(1)平行于主光轴(xx')的入射光线(AP )，投射干镜面(MN)于P ，其反射光线(P R )必过主焦点(F)；

(2)过主焦点(F)的入射光线(AP )投射于镜面(MN)于P ，其反射光线(P R )必与主光轴(XX')平行，并与P R ，相交于A ；

(3)过曲率中心(c)的入射光线(AP )投射于镜面(MN)于P ，其反射光线(P R )沿原入射光路(AP )返回．并通过A'点。

(4)由A点引投射于镜面顶点的入射光线(AP )，其反射光线(P R )必以主光轴为法线，并依反射角(i')等于入射角(i)的规律反射，其反射线(P R )过A'点。

通过以上方法可以看出，求物点A的像点A'，至少需耍两条线，也可以说上述四条反射光线(P R 、P R 、P R 、P R )只要任选两条就能求出像点。通过几何作图法，同样可以求出物点B的像点B'。连接A'和B'两个像点，A'B'就是物体AB的像。

图l一20示凸面镜成像原理。从图中可以看出：凸面镜的反射光线呈发散状态而不能相交于一点，其反射光线的反向延长线相交于球面右侧一点，该点(A')就是物点(A)的像点，同理B'是B的像点，A'B'物体AB的像，此像是虚像。

三，像的类型

(一)凹面镜

(1)实物时．像的性质取决于实物与主焦点的位置关系；

①当实物在主焦点(F')之外时，像是倒置的实像，像与物在镜的同侧。物在球面曲率中心之外，像小于物(图1 -21)；若在球面曲率中心之内，像大于物(参看图l一26，注意光线方向相反)；物恰恰在球面曲率中心时，像与物相等。

②当实物在主焦点(F')之内时，像是放大的、直立的虚像。像与物分别居于凹面镜的两侧(图l一22)。

(2)当虚物在任何距离处时，其像总是直立的、缩小的实像，像与虚物不在球面镜同侧，而是分别居于两侧(图1-23)。

图I一23 凹面镶、虚物在任何距离处

(二)凸面镜

(1)虚物时，其像的性质同样取决于虚物与球面曲率中心的位置关系；

①当虚物位于主焦点F'之外，其像是倒置的虚像，虚物与像均位于镜面右侧。当虚物位于球面曲率中心之外时，其像小于物(图1-24)；当虚物位于球面曲率中心之内时，其像大于物(参图看1-23，光线方向应不同)；虚物若在球面曲率中心时，虚物与像的大小相等。

图1-24凸面镜、虚物在F'之外

②当虚物在主焦点F'之内时，其像是直立的、放大的实像，实像与虚物分居于球面两侧(图1-25).

图1-25 凸面镜、虚物在F'之内

(2)当实物位于任何距离之外，其像为直立的。缩小的虚像.像与物分别处于球面的两边(图l一26)。

图1-26 凸面镜、实物在任何距离处

球面折射

入射光线垂直地投射一块平板玻璃，光线穿过玻璃．并保持方向不变。当入射光线以小于临界角的角度投射到乎板玻璃时，进入玻璃的光线．将改变

它原来的方向，并沿新方向继续前进(图1-27)。

图1-28所显示的是置于空气中平板玻璃对光的折射效果的图示。当光线投射到置于空气中乎板玻璃(A A )时，将发生像的前移，像移动距离，约等于平板玻璃厚度(t)的三分之一．这种现象称为平行。