初中数学三角形专题训练及例题解析

知识点梳理

考点一、三角形

1、三角形的定义 :由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形 .

2、三角形的分类 . ?????钝角三角形直角三角形锐角三角形???

???? (等边三角形等腰三角形不等边三角形 3、三角形的三边关系:

三角形任意两边之和大于第三边 , 任意两边之差小于第三边 .

4、三角形的重要线段

①三角形的中线:顶点与对边中点的连线 , 三条中线交点叫重心

②三角形的角平分线:内角平分线与对边相交 , 顶点和交点间的线段 , 三个角的角平分线的交点叫内心

③三角形的高:顶点向对边作垂线 , 顶点和垂足间的线段 . 三条高的交点叫垂心 (分锐角三角形 , 钝角三角形和直角三角形的交点的位置不同

5、三角形具有稳定性

6、三角形的内角和定理及性质

定理:三角形的内角和等于 180°.

推论 1:直角三角形的两个锐角互补。

推论 2:三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和。

推论 3:三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

7、多边形的外角和恒为 360°

8、多边形及多边形的对角线

①正多边形:各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形.

②凸凹多边形:画出多边形的任何一条边所在的直线,若整个图形都在这条直线的同一侧,这样的多边形称为凸多边形 ; ,若整个多边形不都在这条直线的同一侧,称这样的多边形为凹多边形。

③多边形的对角线的条数 :

A. 从 n 边形的一个顶点可以引(n-3条对角线,将多边形分成(n-2个三角形。

B.n 边形共有 2

3(-n n 条对角线。 9、边形的内角和公式及外角和

①多边形的内角和等于(n-2×180°(n≥ 3 。

②多边形的外角和等于 360°。

10、平面镶嵌及平面镶嵌的条件。

①平面镶嵌:用形状相同或不同的图形封闭平面,把平面的一部分既无缝隙,又不重叠三角形 (按角分三角形 (按边分

地全部覆盖。

②平面镶嵌的条件:有公共顶点、公共边;在一个顶点处各多边形的内角和为 360°。考点二、全等三角形

1、全等三角形的概念

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。。

2、三角形全等的判定

三角形全等的判定定理:

(1边角边定理:有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“边角边” 或“ SAS ”

(2角边角定理:有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角边角” 或“ ASA ”

(3边边边定理:有三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“边边边”或“ SSS ” 。直角三角形全等的判定:

对于特殊的直角三角形,判定它们全等时,还有 HL 定理(斜边、直角边定理 :有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“斜边、直角边”或“ HL ”

3、全等变换

只改变图形的位置,不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。

全等变换包括一下三种:

(1平移变换:把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。

(2对称变换:将图形沿某直线翻折 180°,这种变换叫做对称变换。

(3旋转变换:将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置,这种变换叫做旋转变换。考点三、等腰三角形

1、等腰三角形的性质

(1等腰三角形的性质定理及推论:

定理:等腰三角形的两个底角相等(简称:等边对等角

推论 1:等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。

推论 2:等边三角形的各个角都相等,并且每个角都等于 60°。

2、三角形中的中位线

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

(1三角形共有三条中位线,并且它们又重新构成一个新的三角形。

(2要会区别三角形中线与中位线。

三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半。

三角形中位线定理的作用:

位置关系:可以证明两条直线平行。

数量关系:可以证明线段的倍分关系。

常用结论:任一个三角形都有三条中位线,由此有:

结论 1:三条中位线组成一个三角形,其周长为原三角形周长的一半。

结论 2:三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。

结论 3:三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。

结论 4:三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。

结论 5:三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。

考点四、直角三角形

1、直角三角形的两个锐角互余

2、在直角三角形中, 30°角所对的直角边等于斜边的一半。

3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

4直角三角形两直角边 a , b 的平方和等于斜边 c 的平方,

即 222c b a =+

5、摄影定理

在直角三角形中,斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项,每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项

∠ ACB=90

BD AD CD ?=2

AB AD AC ?=2

CD ⊥ AB BD BC ?=2

6、常用关系式

由三角形面积公式可得:

AB ?CD=AC?BC

经典例题解析 :

例 1. 如图, BP 平分∠ FBC , CP 平分∠ ECB ,∠ A=40°求∠ BPC 的度数。

分析:可以利用三角形外角的性质及三角形的内角和求解。

解:∵∠ 1= 4(21∠+∠A 3(2

12∠+∠=∠A ∵ 21(180∠+∠-?=∠BPC ?=∠40A

∴ ((111804 322BPC A A ??∠=?-∠+∠+∠+∠????

=?+?-?=70401802

1180 例 2. 如图,求∠ A+∠ C+∠ 3+∠ F 的度数。

分析:由已知∠ B=30°,∠ G=80°,

∠ BDF=130°,利用四边形内角和,求出

∠ 3的度数,再计算要求的值。

解:∵四边形内角和为(4-2×180°=360°

∴∠ 3=360°-30°-80°-130°=120°

又∵∠ A ∠ C ∠ F 是三角形的内角

∴∠ A+∠ C+∠ F+∠ 3=180°+120°=300°

例 3.已知一个多边形的每个外角都是其相邻内角度数的 4

1,求这个多边形的边数。分析:每一个外角的度数都是其相邻内角度数的 4

1,而每个外角与其相邻的内角的度数之和为 180°。

解:设此多边形的外角为 x ,则内角的度数为 4x 418036*********x x x n +=?=?

?∴==?

则解得边数即这个多边形的边数为

例 4. 用正三角形、正方形和正六边形能否进行镶嵌?

分析:可以进行镶嵌的条件是:一个顶点处各个内角和为 360°

解:正三角形的内角为?60

正方形的内角为?90

正六边形的内角为?120

∴可以镶嵌。一个顶点处有 1个正三角形、 2个正方形和 1个正六边形。

例 5. 如图,在△ ABC 中,∠ ACB=60°,∠ BAC=75°, AD ⊥ BC 于 D , BE ⊥ AC 于 E , AD 与 BE 交于 H ,则∠ CHD=

解:在△ ABC 中,三边的高交于一点,所以 CF ⊥ AB ,

∵∠ BAC=75°,且 CF ⊥ AB ,∴∠ ACF=15°,

∵∠ ACB=60°,∴∠ BCF=45°

在△ CDH 中,三内角之和为 180°,

∴∠ CHD=45°,

故答案为∠ CHD=45°.

点评:考查三角形中,三条边的高交于一点,且内角和为 180°.

例 6. 如图, AD 、 AM 、 AH 分别△ ABC 的角平分线、中线和高.

(1因为 AD 是△ ABC 的角平分线,所以∠ =∠ = 1/2

∠ ;

(2因为 AM 是△ ABC 的中线,所以 = = ; (3因为 AH 是△ ABC 的高,所以∠ =∠ =90

°.

分析:(1根据三角形角平分线的定义知:角平分线平分该角;

(2 根据三角形的中线的定义知:中线平分该中线所在的线段;

(3根据三角形的高的定义知,高与高所在的直线垂直.

解答:解:(1∵ AD 是△ ABC 的角平分线,

∴∠ BAD=∠ CAD=1/2∠ BAC ;

(2∵ AM 是△ ABC 的中线,

∴ BM=CM=1/2BC;

(3∵ AH 是△ ABC 的高,∴ AH ⊥ BC ,

∴∠ AHB=∠ AHC=90°;

故答案是:(1 BAD 、 CAD 、 BAC ;(2 BM 、 CM 、 BC ;(3 AHB 、 AHC .

例 8. 如图, AP 平分∠ BAC 交 BC 于点 P , ∠ ABC=90°, 且 PB=3cm, AC=8cm,

则△ APC 的面积是 cm2.

解:∵ AP 平分∠ BAC 交 BC 于点 P ,∠ ABC=90°, PB=3cm,∴点 P 到

AC 的距离等于 3,

∵ AC=8cm,∴△ APC 的面积 =8×3÷2=12cm2.

例 9. 已知:点 P 是等边⊿ ABC 内的一点,∠ BPC =150°, PB =2, PC =3,求 P A 的长。分析:将⊿ BAP 绕点 B 顺时针方向旋转 60°至⊿ BCD ,即可证得⊿ BPD 为等边三角形, ⊿ PCD 为直角三角形。

解 :∵ BC =BA ,

∴将⊿ BAP 绕点 B 顺时针方向旋转 60°,使 BA 与 BC 重合,得⊿ BCD ,连结 PD 。∴ BD =BP =2, P A =DC 。∴⊿ BPD 是等边三角形。∴∠ BPD =60

°。

∴∠ DPC =∠

BPC -∠ BPD =150

°-60°=90°。

∴ DC =P A =DC =。

例 10. 两个全等的含 30o, 60o角的三角板 ADE 和 ABC 如图所示放置, E , A , C 三点在一条直线上,连接 BD ,取 BD 的中点 M ,连结 ME , MC 。试判断△ EMC 是什么样的三角形,并说明理由。

分析:判断一个三角形的形状,可以结合所给出的图形作出假设,或许是等腰三角形。这样就可以转化为另一个问题:尝试去证明 EM =MC ,要证线段相等可以寻找全等三角形来解决,然而图中没有形状大小一样的两个三角形。这时思考的问题就可以转化为这样一个新问题:如何构造一对全等三角形?根据已知点 M 是直角三角形斜边

的中点,产生联想:直角三角形斜边上的中点是斜边的一半,得:MD =MB =MA 。连结M A 后,可以证明△ MDE ≌△ MAC 。

答:△ EMC 是等腰直角三角形。

证明:连接 AM ,由题意得,

DE =AC , AD =AB , ∠ DAE +∠ BAC =90o。∴∠ DAB =90o。∴△ DAB 为等腰直角三角形。

又∵ MD =MB ,

∴ MA =MD =MB , AM ⊥ DB ,∠ MAD =∠ M AB=45o。

∴∠ MDE =∠ MAC =105o,∠ DMA =90o。

∴△ MDE

≌△ MAC 。

∴∠ DME =∠ AMC , ME =MC 。

又∠ DME +∠ EMA =

90o,

∴∠ AMC +∠ EMA =90o。

∴ MC ⊥ EM 。

∴△ EMC 是等腰直角三角形。

说明:构造全等三角形是解决这个问题的关键,那么构造全等又如何进行的呢?对条件的充分认识和对知识点的联想可以找到添加辅助线的途径。构造过程中要不断地转化问题或转化思维的角度。会转化,善于转化,更能体现思维的灵活性。在问题中创设以三角板为情境也是考题的一个热点。

例 11. 如图, 等腰直角三角形 ABC 中, ∠ ACB =90°, AD 为腰 CB 上的中线, CE ⊥AD 交 AB 于 E .求证∠ CDA =∠ EDB .

提示: 作 CF ⊥ AB 于 F ,则∠ ACF =45°,

在△ ABC 中,∠ ACB =90°, CE ⊥ AD , 于是,由∠ ACG =∠ B =45°, AB =AC , 且易证∠ 1=∠ 2, 由此得△ AGC ≌△ CEB (ASA .

再由 CD =DB , CG =BE ,∠ GCD =∠ B , 又可得△ CGD ≌△ BED (SAS ,

则可证∠ CDA =∠ EDB .

例 12. 如图,△ ABC 中,∠ 1=∠ 2,∠ 3=∠ 4,∠ 5=∠ 6.∠ A =60°.求∠ ECF 、∠ FEC 的度数.

略解:因为∠ A =60°, 所以∠ 2+∠ 3=2

1(180°-60°=60°; 又因为 B 、 C 、 D 是直线, 所以∠ 4+∠ 5=90°;

于是∠ FEC

=∠ 2+∠ 3=60°,

∠ FCE =∠ 4+∠ 5=90°, ∠ FEC =60°.

例 13. 在 Rt △ ABC 中,∠ A =90°, CE 是角平分线,和高 AD 相交于 F ,作 FG ∥ BC 交 AB 于 G ,求证:AE =BG .

略解:作 EH ⊥ BC 于 H ,

由于 E 是角平分线上的点,可证 AE =EH ;

A B F

E C D

F C D H

且又由∠ AEC =∠ B +∠ ECB =∠ CAD +∠ ECA =∠ AFE

可证 AE =AF ,

于是由 AF =EH ,∠ AFG =∠ EHB =90°,∠ B =∠ AGF .

可得△ AFG ≌△ EHB ;

所以 AG =EB ,

即 AE +EG =BG +GE ,

所以 AE =BG .

反馈练习 1. 如图, AD 是△ ABC 的中线,如果△ ABC 的面积是 18cm 2,则△ ADC 的面

积是 cm2.

2. 如图,△ ABC 中,∠ ABC=∠ BAC=45°,点 P 在 AB 上, AD ⊥ CP , BE ⊥ CP ,

垂足分别为 D , E ,已知 DC=2,则 BE= .

3.(2009?宜宾已知:如图,四边形 ABCD 是菱形,过 AB 的中点 E 作 AC 的垂线 EF ,交AD 于点 M ,交 CD 的延长线于点 F .

(1则 AM DM;

(2若 DF=2,则菱形 ABCD 的周长为 .

5.如图,一块长方体砖宽 AN=5cm,长 ND=10cm, CD 上的点 B 距地面的高 BD=8cm,地面上 A 处的一只蚂蚁到 B 处吃食,需要爬行的最短路径是 cm.

6、已知:如图, P 是正方形 ABCD 内点,∠ PAD =∠ PDA =150.

求证:△ PBC 是正三角形.

7、已知:P 是边长为 1的正方形 ABCD 内的一点,求

PA +PB +PC 的最小值.

A C

三角形中作辅助线的常用方法举例

常见辅助线的作法有以下几种:

1 遇到等腰三角形, 可作底边上的高, 利用“三线合一” 的性质解题, 思维模式是全等变换中的“对折” .

2 遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全

等变换中的“旋转” .

3 遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换中

的“对折” ,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.

4 过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻

转折叠”

5 截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,是

之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.

特殊方法:在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形面积的知识解答.

一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时,若直接证不出来,可连接两点或延长某边构成三角形,使结论中出现的线段在一个或几个三角形中,再运用三角形三边的不等关系证明,如:

例 1:已知如图 1-1:D 、 E 为△ ABC 内两点 , 求证 :AB+AC >BD +DE +CE.

证明:(法一将 DE 两边延长分别交 AB 、 AC 于 M 、 N ,

在△ AMN 中, AM +AN > MD+DE +NE; (1

在△ BDM 中, MB +MD >BD ; (2

在△ CEN 中, CN +NE >CE ; (3

由(1+(2+(3得:

AM+AN +MB +MD +CN +NE >MD +DE +NE +BD +CE

∴ AB +AC >BD +DE +EC

(法二: 如图 1-2, 延长 BD 交 AC于 F ,延长 CE 交 BF 于 G ,

在△ ABF 和△ GFC 和△ GDE 中有:

AB+AF > BD+DG +GF (三角形两边之和大于第三边 (1

GF+FC >GE +CE (同上………………………………(2

DG+GE >DE (同上……………………………………(3

由(1+(2+(3得:

AB+AF +GF +FC +DG +GE >BD +DG +GF +GE +CE +DE

∴ AB +AC >BD +DE +EC 。

B C N M 11-图 A B C E

21-图

二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时,可连接两点或延长某边,构造三角形,使求证的大角在某个三角形的外角的位置上,小角处于这个三角形的内角位置上,再利用外角定理:

2-1:已知 D 为△ ABC 内的任一点,求证:∠ BDC >∠ BAC 。

因为∠ BDC 与∠ BAC 不在同一个三角形中,没有直接的联系,可适当添加辅助线构造新的三 BDC 处于在外角的位置, ∠ BAC 处于在内角的位置;

证法一 :延长 BD 交 AC 于点 E ,这时∠ BDC 是△ EDC 的外角,

∴∠ BDC >∠ DEC , 同理∠ DEC >∠ BAC , ∴∠ BDC >∠ BAC

证法二:连接 AD ,并延长交 BC 于 F

∵∠ BDF 是△ ABD 的外角

∴∠ BDF >∠ BAD ,同理,∠ CDF >∠ CAD

∴∠ BDF +∠ CDF >∠ BAD +∠ CAD

即:∠ BDC >∠ BAC 。

注意:利用三角形外角定理证明不等关系时,通常将大角放在某三角形的外角位置上,小角放在这个三角形的内角位置上,再利用不等式性质证明。

三、有角平分线时,通常在角的两边截取相等的线段,构造全等三角形,如 :

3-1:已知 AD 为△ ABC 的中线,且∠ 1=∠ 2, ∠ 3=∠ 4, 求证:BE +CF >EF 。

BE +CF >EF ,可利用三角形三边关系定理证明,须把 BE , CF , EF 移到同一个三角形1=∠ 2,∠ 3=∠ 4,可在角的两边截取相等的线段,利用三角形全等对应边相等,把 EN , FN , EF 移到同一个三角形中。

证明:在 DA 上截取 DN =DB , 连接 NE , NF , 则 DN =DC ,

在△ DBE 和△ DNE 中:

∵

∠

(

公共边

已知

辅助线的作法

∴△ DBE ≌△ DNE (SAS

∴ BE =NE (全等三角形对应边相等

同理可得:CF =NF

在△ EFN 中 EN +FN >EF (三角形两边之和大于第三边

∴ BE +CF >EF 。

注意:当证题有角平分线时,常可考虑在角的两边截取相等的线段,构造全等三角形,然后用全等三角形的性质得到对应元素相等。

四、有以线段中点为端点的线段时,常延长加倍此线段,构造全等三角形。

例如:如图 4-1:AD 为△ ABC 的中线,且∠ 1=∠ 2,∠ 3=∠ 4,求证:BE +CF >EF

证明 :延长 ED 至 M ,使 DM=DE,连接

CM , MF 。在△ BDE 和△ CDM 中,

∵

∠

(

辅助线的作法

对顶角相等

中点的定义

CDM

∴△ BDE ≌△ CDM (SAS

又∵∠ 1=∠ 2,∠ 3=∠ 4 (已知

∠ 1+∠ 2+∠ 3+∠ 4=180°(平角的定义

∴∠ 3+∠ 2=90°

即 :∠ EDF =90°

∴∠ FDM =∠ EDF =90°

在△ EDF 和△ MDF 中∵

∠

(

公共边

已证

辅助线的作法

FDM

EDF

B C

图

E F

图

E F

∴△EDF≌△MDF （SAS）∴EF＝MF （全等三角形对应边相等）∵在△CMF 中，CF＋CM＞MF（三角形两边之和大于第三边）∴BE＋CF＞EF 注：上题也可加倍 FD，证法同上。注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。五、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。例如：如图 5-1：AD 为△ABC 的中线，求证：AB＋AC＞2AD。分析：要证 AB＋AC＞2AD，由图想到： AB＋BD＞

AD,AC＋CD＞AD，所以有 AB＋AC＋ BD＋CD＞AD＋ AD＝2AD，左边比要证结论多 BD＋CD，故不能直接证出此题，而由 2AD 想到要构造 2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。证明：延长 AD 至 E，使

DE=AD，连接 BE，则 AE＝2AD A ∵AD 为△ABC 的中线（已知）∴BD＝CD （中线定义）在△ACD 和△EBD 中 BD CD (已证ADC EDB(对顶角相等 AD ED(辅助线的作法 B D C ∴△ACD≌△EBD （SAS）∴BE ＝CA（全等三角形对应边相等）∵在△ABE 中有：AB＋BE＞AE（三角形两边之和大于第三边）∴AB＋AC＞2AD。（常延长中线加倍，构造全等三角形）练习：已知△ABC，AD 是 BC 边上的中线，分别以 AB E 边各向形外作等腰直角三角形，如图 5-2，求证 EF＝2AD。 E 图5 1 边、AC 边为直角六、截长补短法作辅助线。例如：已知如图 6-1：在△ABC 中，AB＞AC，∠1＝∠点。求证：AB－AC＞PB－PC。分析：要证：AB－AC＞PB－PC，想到利用三角形三边为欲证的是线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想 B －AC，故可在 AB 上截取AN 等于 AC，得 AB－AC＝BN，再 PN，又在△PNB 中，PB－PN＜BN，即：AB－AC＞PB－PC。证明：（截长法）在 AB 上截取 AN＝AC 连接 PN , 在

△APN 和△APC 中 A F 2，P 为 AD 上任一 D C 图5 2 关系定理证之，因到构造第三边 AB 连接 PN，则 PC＝ AN AC(辅助线的作法∵ 1 2(已知 AP AP(公共边∴△APN≌△APC （SAS）∴PC＝PN （全等三角形对应边相等）∵在△BPN 中，有 PB－PN＜BN （三角形两边之差小于第三边）

∴BP－PC＜AB－AC 证明：（补短法）延长 AC 至 M，使 AM＝AB，连接 PM，A 在△ABP 和△AMP 中 2 1 AB AM (辅助线的作法∵ P 1 2(已知 N AP AP(公共边 D ∴△ABP≌△AMP （SAS） C M 第 11 页 B 图6

∴PB＝PM （全等三角形对应边相等）又∵在△PCM 中有：CM＞PM－PC(三角形两边之差小于第三边∴AB－AC＞PB－PC。七、延长已知边构造三角形：例如：如图 7-1：已知 AC＝BD，AD⊥AC 于 A ，BC⊥BD 于 B，求证：AD＝BC 分析：欲证 AD＝BC，先证分别含有 AD，BC 的三角形全等，有几种方案：

△ADC 与△BCD，△AOD 与△ BOC，△ABD 与△BAC，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。证明：分别延长 DA，CB，它们的延长交于 E 点， E ∵AD⊥AC BC⊥BD （已知）∴∠CAE＝∠DBE ＝90°（垂直的定义）在△DBE 与△CAE 中 E

E (公共角∵DBE CAE(已证 B A BD AC(已知 O

∴△DBE≌△CAE （AAS）∴ED＝EC EB＝EA （全等三角形对应边相等）∴ED －EA＝EC－EB D C 图7 1 即：AD＝BC。（当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。）八、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。例如：如图 8-1：AB∥CD，AD∥BC 求证：AB=CD。分析：图为四边形，我们只学了三角形的有关知识，必须把它转化为三角形来解决。证明：连接 AC（或 BD）∵AB∥CD AD∥BC （已知）∴∠1＝∠2，∠3＝∠4 （两直线平行，内错角相等）在△ABC 与△CDA 中 A D 3 1 2(已证

1 ∵ AC CA(公共边 3 4(已证

2 4 ∴△ABC≌△CDA （ASA）

C B 图8 1 ∴AB＝CD（全等三角形对应边相等）九、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。例如：如图 9-1：在 Rt△ABC 中，AB＝AC，∠BAC ＝90°，∠1＝∠2，CE⊥B

D 的延长于

E 。求证：BD ＝2CE 分析：要证 BD＝

2CE，想到要构造线段 2CE，同时 CE 与∠ABC 的平分线垂直，想到要将其延长。 F 证明：分别延长 BA，CE 交于点 F。∵BE⊥CF （已知） E A ∴∠BEF＝∠BEC＝90°（垂直的定义）在△BEF 与△BEC 中， D 1 2(已知 1 ∵

BE BE(公共边 2 BEF BEC(已证 B C ∴△ BEF ≌△ BEC

（ ASA）∴ CE=FE= 等）∵∠BAC=90° BE⊥CF （已知）∴∠BAC＝∠CAF＝90°∠1＋∠BDA＝90°∠1＋∠BFC＝90° 1 CF （全 2 图9 1 等三角形对应边相第 12 页

∴∠BDA＝∠BFC 在△ABD 与△ACF 中BAC CAF (已证BDA BFC(已证 AB＝AC(已知∴△ABD≌△ACF （AAS）∴BD＝CF （全等三角形对应边相等）∴BD＝2CE 十、连接已知点，构造全等三角形。例如：已知：如图 10-1；AC、BD 相交于 O 点，且 AB＝DC，AC＝BD，求证：∠A＝

∠D。分析：要证∠A＝∠D，可证它们所在的三角形△ABO 和△DCO 全等，而只有 AB＝DC 和对顶角两个条件，差一个条件，，难以证其全等，只有另寻其它的三角形全等，由 AB＝DC，AC＝BD，若连接 BC，则△ABC 和△DCB 全等，所以，证得∠A＝∠D。证明：连接 BC，在△ABC 和△DCB 中 D A AB

DC(已知 O ∵ AC DB(已知 BC CB (公共边∴△ABC≌△DCB (SSS B C ∴∠A＝∠D (全等三角形对应边相等十一、取线段中点构造全等三有形。图 10 1 例如：如图 11-1：AB＝DC，∠A＝∠D 求证：∠ABC＝∠DCB。分析：由 AB＝DC，∠A＝∠D，想到如取 AD 的中点 N，连接 NB，NC，再由SAS 公理有△ABN≌△DCN，故 BN＝CN，∠ABN＝∠DCN。下面只需证∠NBC ＝∠NCB，再取 BC 的中点 M，连接 MN，则由 SSS 公理有△NBM ≌△NCM，所以∠NBC＝∠NCB。问题得证。证明：取 AD，BC 的中点 N、M，连接 NB，NM，NC。则 AN=DN，BM=CM，在△ABN 和△DCN 中∵ AN DN (辅助线的作法∴△ABN≌△DCN （SAS） A D (已知 AB DC (已知

∴∠ABN＝∠DCN NB＝NC （全等三角形对应边、角相等）在△NBM 与△NCM 中 N D A NB＝NC (已证∵ BM＝CM (辅助线的作法 NM＝NM (公共边∴△NMB≌△NCM，(SSS ∴∠NBC＝∠NCB （全等三角形对应角 B 相等）

∴∠ M C NBC＋∠ABN ＝∠NCB＋∠DCN 图 11 1 即∠ABC＝∠DCB。第 13 页