陈家璧版 光学信息技术原理及应用习题解答(3-4章)

第三章 习题

3.1 参看图3.5，在推导相干成像系统点扩散函数（3.35）式时，对于积分号前的相位因

子

???

?

???

????? ??+≈??????+2220202002exp )(2exp M y x d k j y x d k j i i

试问

（1）物平面上半径多大时，相位因子

??

????+)(2exp 20200y x d k j

相对于它在原点之值正好改变π弧度？

（2）设光瞳函数是一个半径为a 的圆，那么在物平面上相应h 的第一个零点的半径是多

少？

（3）由这些结果，设观察是在透镜光轴附近进行，那么a ，λ和d o 之间存在什么关系时可

以弃去相位因子

??

????+)(2exp 20200y x d k j 3.2 一个余弦型振幅光栅，复振幅透过率为 00002cos 2

1

21),(x f y x t π+=

放在图3.5所示的成像系统的物面上，用单色平面波倾斜照明，平面波的传播方向在x 0z 平面内，与z 轴夹角为θ。透镜焦距为f ，孔径为D 。

（1）求物体透射光场的频谱；

（2）使像平面出现条纹的最大θ角等于多少？求此时像面强度分布；

(3) 若θ采用上述极大值，使像面上出现条纹的最大光栅频率是多少？与θ=0时的截止频率比较，结论如何？

3.3光学传递函数在f x = f y =0处都等于1，这是为什么？光学传递函数的值可能大于1吗？如果光学系统真的实现了点物成点像，这时的光学传递函数怎样？

3.4当非相干成像系统的点扩散函数h I （x i ，y i ）成点对称时，则其光学传递函数是实函数。

3.5 非相干成像系统的出瞳是由大量随机分布的小圆孔组成。小圆孔的直径都为2a ，出瞳到像面的距离为d i ，光波长为λ，这种系统可用来实现非相干低通滤波。系统的截止频率近

似为多大？

3.6 试用场的观点证明在物的共轭面上得到物体的像 解：如图

设1∑是透过率函数为),(00y x t 的物平面，2∑是与1∑共轭的像平面，即有

f

d d i 1110＝+ 式中f 为透镜的焦距，设透镜无像差，成像过程分两步进行：

（1） 射到物面上的平面波在物体上发生衍射，结果形成入射到透镜上的光场l U ； （2） 这个入射到透镜上的光场经透镜作位相变换后，在透镜的后表面上形成衍射场'

l U ，

这个场传到像面上形成物体的像。

为了计算光场，我们用菲涅耳近似，透镜前表面的场为

??∞∞

-+-++=000

002

0200002

222dy dx d yy xx jk d y x jk y x t d λj d y x jk U i l )exp()exp(),()exp( 这里假定),(00y x t 只在物体孔径之内不为零，所以积分限变为∞±，此积分可以看成是函

数)exp(),(0

2

20002d y x jk y x t +的傅立叶变换，记为),(y x f f F ，其中

0d λy

f d λx f y x =

=

, 在紧靠透镜后表面处

)exp(),()

exp('f

y x jk f f F d λj d y x jk U y x l 222200

22++=

这个被透镜孔径所限制的场，在孔径上发生衍射，在用菲涅耳近似，便可得到像面2∑上的光场

(t 0d

i d

??∞∞

-+-+'+=dxdy d yy xx jk f y x jk U d λj d y x jk y x U i

i

i l i i i

i i i i )exp()exp()exp(),(222

22

2

??∞∞

-+-++-++=dxdy

d yy xx jk d y x jk f y x jk d λj d y x jk f f F d λj d y x jk i

i

i i

y x i

i

i

i )e xp()e xp()e xp()e xp(),()e xp(22222

222002

22

2

??∞

∞

-+--+++=dxdy d yy xx jk f d d y x jk f f F d d λd y x jk i i i i y x i i i

i )exp()](exp[),()exp(1

112202202

2

2

由题设知，

01

110=-+f

d d i 并且假定透镜孔径外的场等于零，且忽略透镜孔径的限制，所以将上式中的积分限写成无穷，于是上述积分为

??∞

∞

-+-+-=dxdy d yy xx jk f f F d d λd y x jk y x U i i

i y x i i i

i i i i )exp(),()exp(),(02

2

22

??∞

∞

-+-+-=dxdy d λy y d λx x πj f f d λy

d λx F d d λd y x jk i i i i y x i i i

i )(exp(),,()exp(220002

2

2

注意

,,,0

000d λdy

df d λdx df d x d x y x i i ==-= 于是得 ??∞

∞

-+-+-=y x y x y x i i

i

i i i i df df yf xf πj f f F d d d y x jk y x U ))(exp(),(/)exp(),(220

2

2

2

2

002

2

022d y x jk y x t d y x jk d d i i i i ++-=exp(),()exp(

),()exp()exp(000

2

02022022y x t d y x jk d y x jk d d i i i i ++-=

再考虑到0x 和i x 之间的关系得到

),(i

i i i i i d d

y d d x t d d U 000--=

即得到像平面上倒立的，放大

d d i

倍的像。 3.7 试写出平移模糊系统，大气扰动系统的传递函数。

解：在照相系统的曝光期间，因线性平移使点变成小线段而造成图像模糊，这种系统称为平移模糊系统，它的线扩散函数为一矩形函数

)()(a

x

rect a x L 1=

其传递函数为 x

x x af πaf πf H )

sin()(=

对于大气扰动系统，设目标物为一细线，若没有大气扰动，则理想成像为一条细线。由于大气扰动，使在爆光期间内细线的像作随机晃动，按照概率理论，可以把晃动的线像用高斯函数描述。设晃动摆幅的均方根值为a ，细线的线扩散函数为

)exp()(22

221

a x a

πx L -=

对上式作傅立叶变换，就得到大气扰动系统的传递函数

)exp()(2

222x x f a πf H -=

3.8 有一光楔（即薄楔形棱镜），其折射率为n ，顶角α很小，当一束傍轴平行光入射其上时，出射光仍为平行光，只是光束方向向底边偏转了一角度（n-1）α，试根据这一事实，导出光束的位相变换函数t 。 解：如图所示，

设入射平行光与Z 轴成θ角入射，按傍轴条件，θ角很小，入射到光楔上的光场为

)exp()sin exp(θjkx A θjkx A U ≈=1

通过光楔后的出射光场为

()[]{}()[]{}αn θjkx A αn θjkx A U 112--≈--=exp sin exp

其中 –(n-1)α表示偏转是顺时针方向，即向底边偏转，又根据出射光场，入射光场和光楔变换函数三者的关系 12tU U = 有 ()[]{})exp(exp θjkx tA αn θjkx A =--1

于是有 ])(exp[αn jk t 1--=

第四章习题

4.1 若光波的波长宽度为λΔ，频率宽度为νΔ，试证明：

λ

λ

ν

ν

ΔΔ=

。设光波波长为

nm 8632=.λ，nm 8-10?2=λΔ，试计算它的频宽νΔ。若把光谱分布看成是矩形线型，

那么相干长度?=c l

证明：参阅苏显渝，李继陶《信息光学》P349，第4.1题答案。

42

1.510c λ

νλ??=

=?赫，32010()c c c

l ct m ν

==

=??

4.2 设迈克尔逊干涉仪所用的光源为nm 0589=1.λ，nm 6589=.2λ的钠双线，每一谱线的宽度为nm 010.。（1）试求光场的复自相干度的模。（2）当移动一臂时，可见到的条纹总数大约为多少？（3）可见度有几个变化周期？每个周期有多少条纹？ 答：参阅苏显渝，李继陶《信息光学》P349，第4.2题答案。

假设每一根谱线的线型为矩形，光源的归一化功率谱为 ()^

1212rect rect νννννδνδνδν?--?

????=

+ ? ?????????

G (1)光场的复相干度为

^

1()()exp(2)1

sin ()exp(2)[1exp(2)]2

r j d c j j τνπντν

δντπντπντ∞==+??G

式中12ννν-=?，复相干度的模为

ντπδνττ?=cos )(sin )(c r

由于νδν? ，故第一个因子是τ的慢变化非周期函数，第二个因子是τ的快变化周期函数。相干时间由第一个因子决定，它的第一个零点出现在δντ1=c 的地方，c τ为相干时间，故相

干长度δλ

λδλλδντ2

2≈

===c

c l c c 。 （2）可见到的条纹总数589301

.05893===

=

δλλλ

c

l N （3）复相干度的模中第二个因子的变化周期ντ?=1，故 可见度的变化周期数601

.06==?=?==δλλδννττc n 每个周期内的条纹数98260

58930===n N

4.3假定气体激光器以N 个等强度的纵模振荡，其归一化功率谱密度可表示为

()()()()∑21-2

1--=+-1=N N n n N νννδνΔg ?

式中，νΔ是纵模间隔，ν为中心频率并假定N 为奇数。（1）证明复自相干度的模为 ()()()ντ

πντπτγΔΔsin sin N N =

(2)若3=N ，且ντΔ

10≤≤，画出()τγ与ντΔ的关系曲线。

答：参阅《统计光学（基本概念个习题）》P131。

证明（1），复相干度）（τγ与归一化功率谱密度即光源的光谱特性间具有下列关系：

()^

20

()j e d πντγτνν∞-=?G

将（4.3.1）式带入得到

()()()(1)220

(1)2

(1)222(1)(1)2(1)2222001

()111N j n N N j j n n n n n n n j j j n n n e d N

e e N e e e N πντπντπντπντπντπντγτδνννν

-∞

-=----?=-----?-?===

-+?=??=+-????

∑

?

∑∑∑

其中

()

∑

-=?+??--=

2

)1(0

22

/)1(2211N n j N j n

j e e e

ντ

πντπντπ ()

ντ

πντπντπ?-+?--=?---=

∑22/)1(22)1(0

211j N j N n n

j e e e

因而

(){[]()[][][][]}

)2e x p ()2e x p (2/2/)1(2e x p 2/)1(2e x p 2/12e x p 2/)1(2e x p )2e x p (1

ντπντπντπντπντπντπτνπτγ?--?-+?--+?--?-+-?-=

j j N j N j N j N j j N =ντ

πντπντππ?-+?--?-2cos 12/)1(2cos 2/)1(2cos 12N N e N j

=

ντ

πντπτνπ??-sin sin 12N e N j 复相干度的包络则为 ()()ντ

πντπτγτγ??=

=sin sin N N

（2），当N=3时， ()ντ

πντ

πτγ??=

sin 33sin

其ντγ?-曲线如图1所示。

图1 多模激光复相干度包络曲线（N=3）

4.4 在衍射实验中采用一个均匀非相干光源，波长550nm =λ，紧靠光源之前放置一个直径1mm 的小圆孔，若希望对远处直径为1mm 的圆孔产生近似相干的照明，求衍射孔径到光源的最小距离。

答：参阅《统计光学（基本概念个习题）》P160。

用做衍射实验的相干度应当用上题中提到的沃尔夫用的阈值，由理想值1下降到0.88为最大容许偏离值，因而相干面积直径与光源半径之间满足下列关系： 0.16z

d a

λ= 则

310.5

10 5.680.16550

0.16da z m λ?=

=?=?

即光源小孔与衍射小孔之间最小相距5.68m 才能在衍射实验中较好地满足相干照明的要求。

4.5 用迈克尔逊测星干涉仪测量距离地面1光年(约1016

m) 的一颗星的直径.当反射镜1M 与2

M 之间距离调到6m 时,干涉条纹消失.若平均波长550nm =λ，求这颗星的直径。 答：km km d λD

αD φ69

1310?121=10

?6550

?22110=221==...，

4.6 在杨氏双孔干涉实验中(图4.17),用缝宽为a 的准单色非相干缝光源照明,其均匀分布的辐

射光强为0I ，中心波长nm 600=λ.(1)写出距照明狭缝z 处的间距为d 的双孔1Q 和2Q （不考虑孔的大小）之间的复相干因子表达式。（2）若mm d m z mm a 3=1=10=,,.，求观察屏上的杨氏干涉条纹的对比度。（3）若z 和d 仍然取上述值，要求观察屏上干涉条纹的对比度为0.41, 缝光源的宽度应为多少?(4)若缝光源用两个相距为a 的准单色点光源代替, 如何表达1Q 和2Q 两点之间的复相干因子?

答：根据范西特-泽尼克定理，当光源本身线度以及观察区域线度都比二者距离z 小得多时，观察区域上复相干因子正比于光源强度分布的归一化傅里叶变换。本题的条件能够满足这个要求。因而有

()()[]

()()()()0

≠00=?

?

?

??=0?

??

????? ??=

????????????2-??? ????????2-??????2-??? ??=??

? ??

??????+2-??? ??=????????∞

∞-0=∞

∞-11

∞∞

-∞

∞-1111∞

∞-∞

∞

-1

111ΔηΔηz λΔξψδλΔηδz λΔξψΔηλπΔηλπΔξλπψΔηΔξλπ

ψΔηΛξμΔη当当a sinc j exp z a sinc j exp dy y z j exp dx a x rect dy y z j exp dx x z j exp a x rect j exp dxdy a x rect I dy dx y x z j exp a x rect I j exp 111010, (4.75) 式中()()[]

()212221212222-2=+-+2=ρρηξηξψz

k z k ，而1ρ和2ρ分别为1Q 和2Q 两点到光轴的距离。

（2）当mm d m z mm a 3=1=10=,,.，有

()()6370=?

?

? ?????10=??? ??=03..,33-101100.63z λΔξψμsinc a sinc j exp

观察屏上的杨氏干涉条纹的对比度为0.637。

（1）若z 和d 仍然取上述值，观察屏上干涉条纹的对比度为0.41, 缝光源的宽度应为

mm 1330=3

10?1???=

3

.-3100.60.667a （2）若缝光源用两个相距为a 的准单色点光源代替, 1Q 和2Q 两点之间的复相干因子可以表

达为两个复指数函数之和，因而随着1Q 和2Q 两点之间的距离按照余弦函数方式变化。 4.7一准单色光源照明与其相距为z 的平面上任意两点1P 和2P ，试问在傍轴条件下这两点之间的复相干因子幅值为多大？

答：参阅《统计光学（基本概念个习题）》P165。

解：首先建立如图4.19的坐标系，光源位于ξ-η坐标原点，ξ-η与x-y 两平面间距为z ，P 1与P 2两点坐标分别为(x 1,y 1)与(x 2,y 2)，并满足如下近轴条件：

z

做为准单色点光源，其光源可表示为

0(,)(,)I I ξηδξη=

其中δ为狄拉克函数。直接利用范西特-泽尼克定理计算复相干系数如下：

120

22222211(,)

2(,)exp ()(,)exp ()j j P P a e I j x y d d z I d d e j x y x y z ψ

ψ

μδξηξηξηλδξηξη

πλ∞

--∞∞

-∞-??

?+?????

==??=+--????????

因为12(,)1P P μ=，由点光源发出的准单色是完全相干的，或者说x-y 面上的相干面积趋于无

限大

4.8在图4-18所示的记录全息图的光路中,非相干光源的强度在直径为b 的圆孔内是均匀的。

?10=β。为使物体漫反射光与反射镜的参考光在H 面上的复相干因子12μ不小于0.88,光源

前所加的小孔的最大允许直径是多少（600nm =λ）？ 答：小孔的最大允许直径mm mm βλb 3-3-10?11=10?175

06

0?320=?320=

.....。

图4.18（题4.8图）