§9.2空间直线 异面直线间距离的一个简明公式_334

异面直线间距离的一个简明公式

本文先给出两条异面直线间的距离公式，然后指出其在解题中的应用.

定理 如图1，异面直线AB ，CD 分别在二面角α—AC —β的面α和β内，二面角α—AC —β的大小为θ，AC =l ，∠ACD =x ，∠BAC =y .那么异面直线AB 与CD 间的距离

d =.cos ctg ctg 2ctg ctg sin sin 222θθθ

y x y x l +++

证：如图1，过点D 作平面α的垂线DF ，F 为垂足.在平面α内，过点F 作FG ⊥AB 于G ，FE ⊥AC 于E ，连结DE ，DG .

则∠DEF =θ，且（DG ）min =d .

设DF =t ，在Rt △DFE 中，EF =t ctg θ.

在Rt △DEC 中，EC =DE ctg x =t csc θ·ctg x .

∴AE =AC -EC =l -t csc θctg x .

图1 图2 在四边形AEFG 中（图2），过点F 作AE 的平行线交AG 于M ，过点M 作MN ⊥AE 于N .则

MF =NE =AE -AN =.ctg ctg ctg csc ctg )ctg csc (y t x t l y EF x t l θ-θ-=-θ-

在Rt △MGF 中，FG =.sin )ctg ctg ctg csc (sin y y t x t l y MF θ-θ-=

所以在22222]sin )ctg ctg ctg csc [(,Rt y y t x t l t DF GF GD DGF θ-θ-+=+=?中 .sin )cos ctg sin sin ctg (sin 2])cos ctg sin sin ctg (1[2222y l t y y x y l t y y x +θ+θ

?-θ+θ+= 根据二次函数的极值公式可得

)4/()4()(2min 2a b ac GD -=

])cos ctg csc sin ctg (1[4)]cos ctg csc sin ctg (sin 2[])cos ctg csc sin ctg (1[4sin ])cos ctg csc sin ctg (1[422

2222y y x y y x y l y y x y l y y x θ+θ+θ+θ-θ+θ+θ+θ+

.cos ctg ctg 2ctg ctg sin sin .cos ctg ctg 2ctg ctg sin sin ]

cos ctg ctg 2cos ctg ctg )ctg 1(/[sin sin )cos ctg ctg (sin sin 1sin )cos ctg csc sin ctg (1sin 22222222222222222222222θθθθ

θθθθθθθθ

θy x y x l d y x y x l y x y x y l y x y y l y y y x y l +++=+++=++++=++=++=故例 2.已知

正方形ABCD 和正方形ADD 1A 1所在平面互相垂直，AB =a ，求异面直线DB 与AD 1的距离.

解：由已知及定理得,,90,451a l BDA AD D y x =?=θ?=∠=∠==

.3/345ctg 45ctg 90sin 90sin 222a a d =?+?+??

=所以

图3

例3.已知圆锥的轴截面为等边△AVB ，AC 为∠VAB 的平分线，点D 在底面

圆周上，且∠ABD =30°，底面圆的直径AB =2R .求异面直线AC 与BD 的距离.

解：由已知得x =y =30°，θ=90°，l =2R .

由定理可得d =.7

7230ctg 2190sin 22R R =?+?

两条异面直线的距离问题，之所以一直被人们所关注，是因为其公垂线段不易作出，其长更不易求出.由于任意两条异面直线，均可视为某个二面角的两个平面内的二直线，这就使定理具有广阔的应用范围，而定理的本身，结构整齐、 图4

简明，因此它成为解决两条异面直线间距离问题的有力武器.