北京市海淀区2017年高三二模数学理科试题(word版含答案)

北京市海淀区高三二模

数学（理科）2017.5

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1.若集合{2,0,1}A =-，{|1B x x =<-或0}x >，则A B =

A. {2}-

B. {1}

C. {2,1}-

D. {2,0,1}-

2.二项式62)x x

-（的展开式的第二项是

A.46x

B.46x -

C.412x

D. 412x -

3.已知实数,x y 满足10,30,3,x y x y y --≥??

+-≥??≤?

则2x y +的最小值为

A. 11

B.5

C.4

D. 2

4.圆2220x y y +-=与曲线=1y x -的公共点个数为 A ．4 B ．3C ．2

D.0

5.已知{}n a 为无穷等比数列，且公比1q >，记n S 为{}n a 的前n 项和，则下面结论正确的是 A. 32a a > B. 12+0a a > C.2{}n a 是递增数列 D. n S 存在最小值

6.已知()f x 是R 上的奇函数，则“120x x +=”是“12()()0f x f x +=”的 A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

7. 现有编号为①、②、③的三个三棱锥（底面水平放置），俯视图分别为图1、图2、图3，则至少存在．．．．一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是

A. ①

B.①②

C.②③

D.①②③

8.已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分

1

图 2图3

图

别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为1234,,,x x x x ，大圆盘上所写的实数分别记为1234,,,y y y y ,如图所示.将小圆盘逆时针旋转(1,2,3,4)i i =次，每次转动90?，记(1,2,3,4)

i T i =为转动i 次后各区域内两数乘积之和，例如112233441T x y x y x y x y =+++. 若1234++0x x x x +<，1234+++0y y y y <，则以下结论正确的是

A.1234,,,T T T T 中至少有一个为正数

B.1234,,,T T T T 中至少有一个为负数

C.1234,,,T T T T 中至多有一个为正数

D.1234,,,T T T T 中至多有一个为负数

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 9.在极坐标系中，极点到直线cos 1ρθ=的距离为. 10.已知复数1i

i

z -=

，则||z =____. 11.在ABC ?中，2A B =，23a b =，则cos B _______. 12.已知函数1()2x f x x =

-，则1()2

f ____(1)f （填“>”或“<”）；()f x 在区间1(,)1n n

n n -+上存在零点，

则正整数n =_____.

13.在四边形ABCD 中，2AB =. 若1

()2

DA CA CB =+，则AB ?DC =____.

14.已知椭圆G ：22

216x y b

+=(0b <<的两个焦点分别为1F 和2F ，短轴的两个端点分别为1B 和2B ，

点P 在椭圆G 上，且满足1212PB PB PF PF +=+. 当b 变化时，给出下列三个命题： ①点P 的轨迹关于y 轴对称；

②存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 仅有两个； ③||OP 的最小值为2，

其中，所有正确命题的序号是_____________．

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 15.（本小题满分13分）

已知函数3π3π()sin 2cos

cos2sin 55

f x x x =-. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期和对称轴的方程； （Ⅱ）求()f x 在区间π

[0,]2

上的最小值.

16.（本小题满分13分）

为了响应教育部颁布的《关于推进中小学生研学旅行的意见》,某校计划开设八门研学旅行课程，并对全校学生的选择意向进行调查(调查要求全员参与，每个学生必须从八门课程中选出唯一一门课程).本次调查结果整理成条形图如下.

上图中，已知课程,,,,A B C D E 为人文类课程，课程,,F G H 为自然科学类课程.为进一步研究学生选课意向，结合上面图表，采取分层抽样方法从全校抽取1%的学生作为研究样本组(以下简称“组M ”). (Ⅰ)在“组M ”中，选择人文类课程和自然科学类课程的人数各有多少？

(Ⅱ)为参加某地举办的自然科学营活动，从“组M ”所有选择自然科学类课程的同学中随机抽取4名

同学前往，其中选择课程F 或课程H 的同学参加本次活动，费用为每人1500元，选择课程G 的同学参加，费用为每人2000元.

(ⅰ)设随机变量X 表示选出的4名同学中选择课程G 的人数，求随机变量X 的分布列； (ⅱ)设随机变量Y 表示选出的4名同学参加科学营的费用总和，求随机变量Y 的期望.

17.（本小题满分14分）

如图，三棱锥P ABC -，侧棱2PA =，底面三角形ABC 为正三角形，边长为2，顶点P 在平面ABC 上的射影为D ，有AD DB ⊥，且1DB =.

（Ⅰ）求证：//AC 平面PDB ；

（Ⅱ）求二面角P AB C --的余弦值；

（Ⅲ）线段PC 上是否存在点E 使得PC ⊥平面ABE ，如果存在，求CE

CP

的值；如果不存在，请说明理由.

18.（本小题满分14分）

已知动点M 到点(1,0)N 和直线l ：1x =-的距离相等.

A C

D

B

P

（Ⅰ）求动点M 的轨迹E 的方程；

（Ⅱ）已知不与l 垂直的直线'l 与曲线E 有唯一公共点A ，且与直线l 的交点为P ，以AP 为直径作圆C .判断点N 和圆C 的位置关系，并证明你的结论．

19.（本小题满分13分）

已知函数()e ax f x x =-.

（Ⅰ）若曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线l 与直线230x y ++=垂直，求a 的值； （Ⅱ）当1a ≠时，求证：存在实数0x 使0()1f x <.

20.（本小题满分13分）

对于无穷数列{}n a ，记{|,}j i T x x a a i j ==-<，若数列{}n a 满足：“存在t T ∈，使得只要m k a a t -=（*,m k ∈N 且m k >），必有11m k a a t ++-=”，则称数列{}n a 具有性质()P t .

（Ⅰ）若数列{}n a 满足2,2,25,3,n n n a n n ≤?=?-≥?

判断数列{}n a 是否具有性质(2)P ？是否具有性质(4)P ？

（Ⅱ）求证：“T 是有限集”是“数列{}n a 具有性质(0)P ”的必要不充分条件；

（Ⅲ）已知{}n a 是各项为正整数的数列，且{}n a 既具有性质(2)P ，又具有性质(5)P ，求证：存在整数N ，使得12,,,,,

N N N N k a a a a +++是等差数列.

北京市海淀区高三二模参考答案

数学（理科） 2017.5

一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）

二、填空题（本大题共6小题,每小题5分,有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）

三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15.（本小题满分13分） 解：

（Ⅰ）3π3π3π()sin 2cos

cos2sin sin(2)555

f x x x x =-=-- 所以()f x 的最小正周期2π

π2

T =

=， 因为sin y x =的对称轴方程为π

π,2

x k k =+

∈Z ， 令3ππ

2π,52x k k -

=+∈Z ， 得11π1π,202

x k k =+∈Z .

所以()f x 的对称轴方程为11π1

π,202x k k =+∈Z . 或者：()f x 的对称轴方程为3ππ22π52x k -

=+和3ππ

22π,52

x k k -=-+∈Z ， 即11ππ20x k =+和π

π,20

x k k =+∈Z . （Ⅱ）因为π

[0,]2

x ∈，

所以2[0,π]x ∈， 所以3π3π2π2[,]555x -

∈- 所以，当3ππ252x -

=-即π

20

x =

时， ()f x 在区间π

[0,]2

上的最小值为1-.

16.（本小题满分13分）

解：

(Ⅰ)选择人文类课程的人数为(100+200+400+200+300)?1%=12(人)；

选择自然科学类课程的人数为(300+200+300)?1%=8(人). (Ⅱ)(ⅰ)依题意，随机变量X 可取0，1，2.

4062483(0)14C C p X C ===；31

62484(1)7

C C p X C ===；

2262483

(2).14C C p X C === 故随机变量X 的分布列为

(ⅱ)法1：依题意，随机变量Y =2000X +1500(4)X -=6000+500X ， 所以随机变量Y 的数学期望为

E (Y )=6000+500E (X )

=6000+500(34301214714

?

+?+?) =6500.

(ⅱ)法2：依题意，随机变量Y 可取6000，6500，7000. 所以随机变量Y 的分布列为

所以随机变量Y 的数学期望为 E (Y )=34360006500700014714

?

+?+? =6500.

17.（本小题满分14分） 解：

（Ⅰ）因为AD DB ⊥，且1DB =，2AB =，所以AD ， 所以60DBA ∠=.

因为ABC ?为正三角形，所以60CAB ∠=，

又由已知可知ACBD 为平面四边形，所以//DB AC . 因为AC ?平面

PDB ，DB ?平面PDB ， 所以//AC 平面PDB .

（Ⅱ）由点P 在平面ABC 上的射影为D 可得PD ⊥平面ACBD ，

所以PD DA ⊥，PD DB ⊥.

如图，建立空间直角坐标系，则由已知可知(1,0,0)B ，A ，

(0,0,1)P ，C .

平面ABC 的法向量(0,0,1)=n ，

设(,,)x y z =

m 为平面PAB 的一个法向量，则

由0,

BA BP ??=???=?

?m m

可得0,0,x x z ?-+=??-+=??

令1y =，则x z ==PAB 的一个法向量=m ，

x

z

y

A C

D

B

P

所以cos ,||||?<>=

==

m n m n m n

所以二面角P AB C --的余弦值为.

（Ⅲ）由（Ⅱ）可得(1,AB =u u u r ，1)PC =-u u u r

，

因为1)(1,10PC AB ?=-?=-≠u u u r u u u r

，

所以PC 与AB 不垂直，

所以在线段PC 上不存在点E 使得PC ⊥平面ABE .

18.（本小题满分14分） 解：

（Ⅰ）设动点(,)M x y ，

由抛物线定义可知点M 的轨迹E 是以(1,0)N 为焦点，直线l ：1x =-为准线的抛物线， 所以轨迹E 的方程为24y x =. （Ⅱ）法1：由题意可设直线':l x my n =+，

由2,4x my n y x =+???=??

可得2440y my n --=（*），

因为直线'l 与曲线E 有唯一公共点A ， 所以216160m n ?=+=，即2n m =-. 所以（*）可化简为22440y my m -+=， 所以2(,2)A m m ， 令1x =-得1(1,)n

P m

+--， 因为2n m =-，

所以221(1,2)(2,)22220n NA NP m m m n m

+?=-?--=-+--=u u u r u u u r

所以NA NP ⊥，

所以点N 在以P A 为直径的圆C 上. 法2：依题意可设直线':,(0)l y kx b k =+≠，

由2,4y kx b y x =+???=??

可得2222(2)0k x bk x b +-+=（*），

因为直线'l 与曲线E 有唯一公共点A ，且与直线l 的交点为P ，

所以0,0,k ≠???=?即0,1,

k bk ≠??=?

所以（*）可化简为2221

40k x x k

-+=， 所以212(

,)A k

k . 令1x =-得1

(1,)P k k

--，

因为22212122

(1,)(2,)220NA NP k k k k k k

-?=-?--=++-=u u u r u u u r ，

所以NA NP ⊥，

所以点N 在以P A 为直径的圆C 上.

19.（本小题满分13分） 解：

（Ⅰ）'()e 1ax f x a =-，

因为曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线与直线230x y ++=垂直， 所以切线l 的斜率为2， 所以'(0)2f =， 所以3a =.

（Ⅱ）法1：当0a ≤时，显然有(1)e 101a f <-≤<，即存在实数0x 使0()1f x <； 当0,1a a >≠时，由'()0f x =可得11ln x a a

=

，

所以在11(,ln )x a a ∈-∞时，'()0f x <，所以函数()f x 在11

(,ln )a a -∞上递减；

11(ln ,)x a a ∈+∞时，'()0f x >，所以函数()f x 在11

(ln ,)a a +∞上递增

所以11(ln )f a a =1

(1ln )a a

+是()f x 的极小值.

由函数()e ax f x x =-可得(0)1f =， 由1a ≠可得11

ln 0a a

≠，

所以11

(ln )(0)1f f a a

<=，

综上，若1a ≠，存在实数0x 使0()1f x <.

（Ⅱ）法2：当0a ≤时，显然有(1)e 101a f <-≤<，即存在实数0x 使0()1f x <；

当0,1a a >≠时，由'()0f x =可得11ln x a a

=，

所以在11(,ln )x a a ∈-∞时，'()0f x <，所以函数()f x 在11(,ln )a a -∞上递减；

11(ln ,)x a a ∈+∞时，'()0f x >，所以函数()f x 在11

(ln ,)a a

+∞上递增.

所以11(ln )f a a =1ln a a

+是()f x 的极小值. 设1ln ()x g x +=，则2

ln '()(0)x g x x -=>,令'()0g x =，得1x =

所以当1x ≠时()(1)1g x g <=， 所以11

(ln )1f a a

<，

综上，若1a ≠，存在实数0x 使0()1f x <.

20.（本小题满分13分）

解：

（Ⅰ）数列{}n a 不具有性质(2)P ；

具有性质(4)P .

（Ⅱ）（不充分性）对于周期数列1,1,2,2,1,1,2,2,L ，{1,0,1}T =-是有限集，

但是由于21320,1a a a a -=-=， 所以不具有性质(0)P ；

（必要性）因为数列{}n a 具有性质(0)P ，

所以一定存在一组最小的*,m k ∈N 且m k >，满足0m k a a -=，即m k a a =

由性质(0)P 的含义可得11222112,,,,,m k m k m k m m k m a a a a a a a a ++++----====L L

所以数列{}n a 中，从第k 项开始的各项呈现周期性规律：11,,,k k m a a a +-L 为一个周期中的各项， 所以数列{}n a 中最多有1m -个不同的项，

所以T 最多有2

1m C -个元素，即T 是有限集.

（Ⅲ）因为数列{}n a 具有性质(2)P ，数列{}n a 具有性质(5)P ，

所以存在*','M N ∈N ，使得''2M p M a a +-=，''5N q N a a +-=，其中,p q 分别是满足上述关系式的最小的

正整数，

由性质(2),(5)P P 的含义可得k ?∈N ，''''2,5M p k M k N q k N k a a a a ++++++-=-=， 若''M N <，则取''k N M =-，可得''2N p N a a +-=； 若''M N >，则取''k M N =-，可得''5M q M a a +-=.

记max{','}M M N =，则对于M a ，有2M p M a a +-=，5M q M a a +-=，显然p q ≠，

由性质(2),(5)P P 的含义可得k ?∈N ，2,5M p k M k N q k N k a a a a ++++++-=-=， 所以(1)(1)(2)()()()2M qp M M qp M q p M q p M q p M p M a a a a a a a a q +++-+-+-+-=-+-++-=L

(1)(1)(2)()()()5M qp M M pq M p q M p q M p q M q M a a a a a a a a p +++-+-+-+-=-+-++-=L

所以25M qp M M a a q a p +=+=+. 所以25q p =，

又,p q 是满足2M p M a a +-=，5M q M a a +-=的最小的正整数， 所以5,2q p ==，

252,5M M M M a a a a ++-=-=，

所以k ?∈N ，252,5M k M k M k M k a a a a ++++++-=-=，

所以k ?∈N ，22(1)22M k M k M a a a k ++-=+==+L ，55(1)55M k M k M a a a k ++-=+==+L ， 取5N M =+，则k ?∈N ，

所以，若k 是偶数，则N k N a a k +=+；

若k 是奇数，则5(5)5(5)5(5)N k N k N N N a a a k a k a k +++-+==+-=++-=+，

所以k ?∈N ，N k N a a k +=+

所以12,,,,,N N N N k a a a a +++是公差为1的等差数列.