高三一轮复习-立体几何讲义(带答案)

个性化辅导授课教案

轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段在直观图

中长度为原来的一半.

【方法与技巧】

1．三视图的画法特征

“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．2．求空间几何体的侧面积、体积的思想与方法

(1)转化与化归思想：计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法．

(2)求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等体积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．【失误与防范】

1．画三视图应注意的问题

(1)若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．

(2)确定正视、侧视、俯视的方向，观察同一物体方向不同，所画的三视图也不同．

2．求空间几何体的表面积应注意的问题

(1)求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理．

(2)底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错.

【高频考点突破】

考点一空间几何体的结构特征[来源:Z。xx。https://www.360docs.net/doc/509796069.html,]

例1、给出下列命题：

①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；

②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；

③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；

④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．

其中正确命题的个数是()

A．0B．1C．2D．3

【解析】①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，如图(1)所示；③不一定．当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图(2)所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；④错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．

【答案】A

【方法技巧】解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧

(1)要想真正把握几何体的结构特征，必须多角度、全面地去分析，多观察实物，提高空间想象能力；[来源:https://www.360docs.net/doc/509796069.html,]

(2)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定；

(3)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．

考点二空间几何体的三视图与

例2、(1)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是()

(2)(2013年高考湖南卷)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于()

A．1 B.2 C.2－1

2 D.

2＋1

2

【答案】(1)D (2)C 考点三 几何体的直观图

例3、用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是( )

【解析】由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为2，所以原图形为平行四边形，位于y 轴上的对角线长为2 2.

【答案】A 【特别提醒】

利用斜二测画法时，注意原图与直观图中的“三变、三不变”即 “三变”????

?

坐标轴的夹角改变，与y 轴平行的线段的长度改变减半，

图形改变.

“三不变”????

?

平行性不变，与x 轴平行的线段长度不变，

相对位置不变.

【变式探究】

等腰梯形ABCD ，上底CD ＝1，腰AD ＝CB ＝2，下底AB ＝3，以下底所在直线为x 轴，则由斜二测画法画出的直观图A ′B ′C ′D ′的面积为________．

【解析】∵OE ＝

2

2－1＝1，∴O ′E ′＝

12，E ′F ＝2

4

. ∴直观图A ′B ′C ′D ′的面积为S ′＝12×(1＋3)×24＝2

2

.

【答案】

2 2

考点四空间几何体中的最值问题

例4、某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是()

A．8 B．6 2

C．10 D．8 2

【解析】由三视图，可知该几何体的四个面都是直角三角形，面积分别为6,62，8,10，所以面积最大的是10.

【答案】C

【变式探究】在如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面ABE，已知AB＝2，AE＝

BE＝3，且当规定主(正)视图方向垂直于平面ABCD时，该几何体的左(侧)视图的面积为

2

2.若M，N分别是线

段DE，CE上的动点，则AM＋MN＋NB的最小值为________．

【解析】由题意，可得左视图是一条直角边为2的直角三角形，所以其面积为12×2×BC ＝2

2，解得BC ＝

1.所以DE ＝CE ＝

2.所以△DCE 是边长为2的等边三角形，∠AED ＝∠BEC ＝30°.将△ADE ，△DCE ，△BCE 展开到同一平面上，如图所示，在平面△AEB 中，AE ＝BE ＝3，∠AEB ＝∠AED ＋∠DEC ＋∠BEC ＝120°，所以AB ＝

3.所以AM ＋MN ＋NB 的最小值是3.

【答案】3 （二）折叠问题 2.2折叠后的线面关系

【典例2】将图1中的等腰直角三角形ABC 沿斜边BC 的中线折起得到空间四边形ABCD (如图2)，则在空间四边形ABCD 中，AD 与BC 的位置关系是

( )

[来源学科网]

图1图2

A．相交且垂直B．相交但不垂直

C．异面且垂直D．异面但不垂直

【变式训练】将下面的平面图形（每个点都是正三角形的顶点或边的中点）沿虚线折成一个正四面体后，直线MN 与PQ是异面直线的是……………………………………………（）

A．①②B．②④C．①④D．①③【答案】C

【解析】

3.折叠后几何体的数字特征

折叠后几何体的数字特征包括线段长度、几何体的表面积与体积、空间角与距离等，设计问题综合、全面，也是高考命题的重点.解决此类问题的关键是准确确定折叠后几何体的结构特征以及平面图形折叠前后的数量关系之间的对应.

【典例3】（体积问题）如图所示，等腰ABC △的底边66AB =，高3CD =，

点E 是线段BD 上异于点B D ，的动点，点F 在BC 边上，且EF AB ⊥，现沿EF 将BEF △折起到PEF △的

P

E

D F B

C

A

位置，使PE AE ⊥，记BE x =，()V x 表示四棱锥P ACFE -的体积． （1）求()V x 的表达式；

[来源学科网]

（2）当x 为何值时，()V x 取得最大值？

【典

例4】（空间角问题）如左图,矩形ABCD 中,12AB =,6AD =,E 、F 分别为CD 、AB 边上的点,且

3DE =,4BF =,将BCE ?沿BE 折起至PBE ?位置(如右图所示),连结AP 、EF 、PF ,其中25PF =.

(Ⅰ)求证:PF ⊥平面ABED ； (Ⅱ)求直线AP 与平面PEF 所成角的正弦值.

【典例5】如图，边长为2的正方形ABCD，E,F分别是AB,BC的中点，将△AED，△DCF分别沿DE,DF折起，使A,C两点重合于A'。

'⊥EF;

（1)求证：A D

'--的平面角的余弦值.

（2）求二面角A EF D

【总结】折叠问题分析求解两原则：

(1)折叠问题的探究须充分利用不变量和不变关系；

(2)折叠前后始终位于折线的同侧的几何量和位置关系保持不变。

二、空间几何体的表面积和体积

【考情解读】

1.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式． 【重点知识梳理】

1.柱、锥、台和球的表面积和体积

名称

几何体

表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S 表面积＝S 侧＋2S 底 V ＝Sh 锥体(棱锥和圆锥) S 表面积＝S 侧＋S 底 V ＝13

Sh

台体(棱台和圆台)

S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下

V ＝1

3

(S 上＋S 下＋S 上S 下)h

球

S ＝4πR 2

V ＝43

πR 3

【高频考点突破】 题型一 几何体的表面积

例1、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )

A ．180

B ．200

C ．220

D ．240

【解析】由三视图知该几何体是如图所示的四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1. S 四边形ABB 1A 1＝2×10＝20， S 四边形DCC 1D 1＝(3＋2＋3)×10＝80，

S 四边形ABCD ＝S 四边形A 1B 1C 1D 1＝12×(2＋8)×4＝20，

S 四边形AA 1D 1D ＝S 四边形BB 1C 1C ＝10×5＝50， ∴表面积＝20＋80＋2×20＋2×50＝240. 故选D. 【答案】D

【变式探究】四棱锥P －ABCD 的顶点P 在底面ABCD 中的投影恰好是点A ，其三视图如图所示，则四棱锥P －ABCD 的表面积为________．

【答案】(2＋2)a2

题型二几何体的体积

例2、(1)如图，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点．设三棱锥F－ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2＝________.

(2)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．

【答案】(1)1∶24(2)16π－16

【变式探究】

如图是一个几何体的三视图．若它的体积是33，则a＝________.[来源:Z*xx*https://www.360docs.net/doc/509796069.html,]

【解析】由三视图可知几何体为一个直三棱柱(如图)，底面三角形中边长为2的边上的高为a ，所以V ＝3×(

1

2×2×a )＝33，解得a ＝ 3.

【答案】 3

题型三 球的表面积与体积

例3、已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为________．

【答案】9

2

π

【变式探究】平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( ) A.6π B ．43π C ．46π

D ．63π

【解析】如图，设平面α截球O 所得圆的圆心为O 1，则|OO 1|＝2，|O 1A |＝1，∴球的半径R ＝|OA |＝2＋1＝ 3.

∴球的体积V ＝4

3πR 3＝43π.故选B.

[来源:https://www.360docs.net/doc/509796069.html,]

【答案】B

题型四 多面体与球有关的切、接问题

例4、如图所示，平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体ABCD ，使平面ABD ⊥平面BCD ，若四面体ABCD 的顶点在同一个球面上，则该球的体积为( )

A.

32π B ．3π C.2

3

π D ．2π

所

以该球的体积V ＝43π????3

23＝32

π.故选A.

【答案】A

【变式探究】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为9π

2

，则正方体的棱长为________．

三、空间点、直线、平面间的位置关系

【考情解读】

1.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解有关的可以作为推理依据的公理和定理；

2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题． 【重点知识梳理】

[来源:学科网]

1．平面的基本性质

(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． (2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．

(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． (4)公理2的三个推论

推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面． 2．空间中两直线的位置关系

答案(1)B(2)D

规律方法(1)公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据；公理3是证明三线共点或三点共线的依据．要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理．(2)画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定，作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快地确定交线的位置．

【变式探究】如图所示是正方体和正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形的序号是________．

解析可证①中的四边形PQRS为梯形；②中，如图所示，取A1A和BC的中点分别为M，N，可证明PMQNRS 为平面图形，且PMQNRS为正六边形；③中，可证四边形PQRS为平行四边形；④中，可证Q点所在棱与面PRS 平行，因此，P，Q，R，S四点不共面．

答案①②③

考点二空间两条直线的位置关系

【例2】如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，

①GH与EF平行；

②BD与MN为异面直线；

③GH与MN成60°角；

④DE与MN垂直．

以上四个命题中，正确命题的序号是________．

【变式探究】(1)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是()

A．MN与CC1垂直

B．MN与AC垂直

C．MN与BD平行

D．MN与A1B1平行

(2)在图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．