高考数学第一轮复习专题训练
广州仲元中学高三数学专题训练测试系列(数列)
时间:120分钟 分值:150分
一、选择题(每小题5分,共60分)
1.已知等差数列{a n }满足a 2+a 4=4,a 3+a 5=10,则它的前10项的和S 10=
( )
A .138
B .135
C .95
D .23
解析:由a 2+a 4=4,a 3+a 5=10可得d =3,a 1=-4,所以S 10=-4×10+10×9
2
×3=95.
答案:C
2.若{a n }是公差为1的等差数列,则{a 2n -1+2a 2n }是
( )
A .公差为3的等差数列
B .公差为4的等差数列
C .公差为6的等差数列
D .公差为9的等差数列
解析:设{a n }的公差为d ,则d =1,设c n =a 2n -1+2a 2n ,则c n +1=a 2n +1+2a 2n +2,c n +1-c n =a 2n +1+2a 2n +2-a 2n -1-2a 2n =6d =6,选择C.
答案:C
3.在等差数列{a n }中,已知a 1=1
3
,a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=20,那么a 3等于
( )
A .4
B .5
C .6
D .7
解析:a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=5a 3=20,a 3=4. 答案:A
4.等差数列{a n }的公差d ≠0,a 1≠d ,若这个数列的前40项和是20m ,则m 等于( ) A .a 1+a 20 B .a 5+a 17 C .a 27+a 35 D .a 15+a 26 解析:S 40=40(a 1+a 40)2
=20(a 1+a 40)=20m ,
m =a 1+a 40=a 15+a 26. 答案:D
5.在等比数列{a n }中,若a 5+a 6=a (a ≠0),a 15+a 16=b ,则a 25+a 26的值是
( )
A.b
a B.
b 2
a 2 C.
b 2
a
D.b a 2 解析:记等比数列{a n }的公比为q ,依题意得a 15+a 16=a 5q 10+a 6q 10=(a 5+a 6)q 10,q 10=a 15+a 16a 5+a 6=b a
,a 25+a 26=a 5q 20+a 6q 20=(a 5+a 6)q 20
=a ×(b a )2=b 2
a ,选C.
答案:C
6.在等比数列{a n }中,若a 1+a 2+a 3+a 4=158,a 2a 3=-98,则1a 1+1a 2+1a 3+1
a 4
=( )
A.53
B.35
C .-53
D .-35
解析:依题意,设公比为q ,则q ≠1,因此???
?
?
a 1(1-q 4)1-q
=15
8 ①a 21
q 3
=-9
8
②,又1a 1,1a 2,1a 3,1
a 4
构
成以1a 1为首项,以1q 为公比的等比数列,所以1a 1+1a 2+1a 3+1a 4=1a 1
[1-(1q )4]1-
1q =(1-q 4)a 1q 3(1-q ),①÷②
得
(1-q 4)
a 1q 3(1-q )=-53,即1a 1+1a 2+1a 3+1a 4=-53,选择C.
答案:C
7.(2010·江西九校联考)设{a n }是等比数列,S n 是{a n }的前n 项和,对任意正整数n ,有
a n +2a n +1+a n +2=0,又a 1=2,则S 101=
( )
A .200
B .2
C .-2
D .0
解析:设等比数列{a n }的公比为q ,因为对任意正整数,有a n +2a n +1+a n +2=0,a n +2a n q +a n q 2=0,因为
a n ≠0,所以
1+2q +q 2=0,q =-1,S
101=
2×(1+1)
1+1
=2,选择B. 答案:B
8.(2010·西安八校二联)已知等比数列{a n }的公比q <0,其前n 项和为S n ,则a 9S 8与a 8S 9
的大小关系是
( )
A .a 9S 8>a 8S 9
B .a 9S 8 C .a 9S 8=a 8S 9 D .a 9S 8与a 8S 9的大小关系与a 1的值有关 解析:依题意得,a 9S 8-a 8S 9=a 1q 8·a 1(1-q 8)1-q -a 1q 7·a 1(1-q 9) 1-q =-a 21q 7 >0,因此a 9S 8>a 8S 9, 选A. 答案:A 9.已知等比数列{a n }的各项均为正数,数列{b n }满足b n =ln a n ,b 3=18,b 6=12,则数列{b n }前n 项和的最大值等于 ( ) A .126 B .130 C .132 D .134 解析:∵{a n }是各项不为0的正项等比数列, ∴b n =ln a n 是等差数列. 又∵b 3=18,b 6=12,∴b 1=22,d =-2, ∴S n =22n +n (n -1)2×(-2)=-n 2+23n , ∴(S n )max =-112+23×11=132. 答案:C 10.(2009·安徽蚌埠测验)数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000项等于( ) A .42 B .45 C .48 D .51 解析:将数列分段,第1段1个数,第2段2个数,…,第n 段n 个数,设a 1000=k ,则a 1000在第k 个数段,由于第k 个数段共有k 个数,则由题意k 应满足1+2+…+(k -1)<1000≤1+2+…+k ,解得k =45. 答案:B 11.(2010·湖北八校联考)在数列{a n }中,n ∈N *,若a n +2-a n +1 a n +1-a n =k (k 为常数),则称{a n }为 “等差比数列”.下列是对“等差比数列”的判断: ①k 不可能为0 ②等差数列一定是等差比数列 ③等比数列一定是等差比数列 ④等差比数列中可以有无数项为0 其中正确的判断是 ( ) A .①② B .②③ C .③④ D .①④ 解析:依题意,∵a n +2-a n +1a n +1-a n =k (n ∈N *),∴k ≠0,①正确,排除B ,C 选项,又由于公 差是0的等差数列不是等差比数列,②错误,排除A ,选择D. 答案:D 12.(2009·湖北高考)设x ∈R ,记不超过x 的最大整数为[x ],令{x }=x -[x ],则{5+1 2 },[ 5+12],5+12 ( ) A .是等差数列但不是等比数列 B .是等比数列但不是等差数列 C .既是等差数列又是等比数列 D .既不是等差数列也不是等比数列 解析:由题意,记a 1={ 5+12}=5+12-[5+12]=5+12-1=5-12,a 2=[5+1 2 ]=1,a 3=5+12,若为等差数列,则2a 2=a 1+a 3,不满足;若为等比数列,则(a 2)2=a 1a 3,有12= 5-1 2× 5+1 2 ,∴是等比数列但非等差数列,选B. 答案:B 二、填空题(每小题4分,共16分) 13.已知{a n }是等差数列,a 4+a 6=6,其前5项和S 5=10,则其公差d =__________. 解析:由a 4+a 6=6,得a 5=3,又S 5=5(a 1+a 5) 2 =10, ∴a 1=1.∴4d =a 5-a 1=2,d =1 2 . 答案:12 14.(2009·重庆一诊)已知数列{a n }是等比数列,且a 4·a 5·a 6·a 7·a 8·a 9·a 10=128,则a 15·a 2 a 10 = __________. 解析:设等比数列{a n }的公比为q ,则依题意得a 71·q 42=128,a 1·q 6=2,a 7=2,a 15·a 2 a 10 =a 2·q 5=a 7=2. 答案:2 15.把100个面包分给5个人,使每人所得的面包数成等差数列,且使较多的三份之和的1 3 等于较少的两份之和,则最少的一份面包个数是__________. 解析:设构成等差数列的五个数为a -2d ,a -d ,a ,a +d ,a +2d ,则??? ?? 5a =100 3(a +d )=3(2a -3d )解得????? a =20 d =5 , 则最少的一份为a -2d =10. 答案:10 16.数列{a n }中,a 1=3,a n -a n a n +1=1(n =1,2,…),A n 表示数列{a n }的前n 项之积,则A 2005=__________. 解析:可求出a 1=3,a 2=23,a 3=-12,a 4=3,a 5=23,a 6=-1 2,…,数列{a n }每3项重 复一次,可以理解为周期数列,由2005=668×3+1且a 1×a 2×a 3=-1,则 A 2005=(a 1×a 2×a 3)…(a 2002×a 2003×a 2004)×a 2005 =(a 1×a 2×a 3)668a 1=3. 答案:3 三、解答题(本大题共6个小题,共计74分,写出必要的文字说明、计算步骤,只写最后结果不得分) 17.(12分)S n 是无穷等比数列{a n }的前n 项和,公比q ≠1,已知1是12S 2和1 3 S 3的等差中项, 6是2S 2和3S 3的等比中项. (1)求S 2和S 3的值; (2)求此数列的通项公式; (3)求此数列的各项和S . 解:(1)由题意知????? 12S 2+13S 3=2 2S 2· 3S 3=36, 解得S 2=2,S 3=3. (2)????? a 1+a 1q =2 a 1+a 1q +a 1q 2 =3 , 解得????? a 1=4q =-12 或??? ?? a 1=1q =1(舍去). ∴a n =4·(-1 2)n -1. (3)∵|q |=|-12|=12<1.∴S =41-(-12 ) =8 3 . 18.(12分)已知函数f (x )=x 3x +1 ,数列{a n }满足a 1=1,a n +1=f (a n )(n ∈N *). (1)求证:数列{1 a n }是等差数列; (2)记S n (x )=x a 1+x 2 a 2 +…+eq \f(x n ,a n ),求S n (x ). (1)证明:∵a n +1=f (a n ),∴a n +1=a n 3a n +1 . ∴1a n +1=1a n +3,即1a n +1-1a n =3. ∴{1a n }是以1 a 1=1为首项,3为公差的等差数列. ∴1 a n =1+3(n -1)=3n -2. (2)解:S n (x )=x +4x 2+7x 3+…+(3n -2)x n ,① 当x =1时,S n (x )=1+4+7+…+(3n -2)=n (1+3n -2)2=n (3n -1) 2. 当x ≠1时,xS n (x )=x 2+4x 3+…+(3n -5)x n +(3n -2)x n +1,② ①-②,得(1-x )S n (x )=x +3x 2+3x 3+…+3x n -(3n -2)x n +1=3(x +x 2+…+x n )-2x -(3n -2)x n +1=3x (1-x n ) 1-x -2x -(3n -2)x n +1, S n (x )=3x -3x n +1(1-x )2-2x +(3n -2)x n +1 1-x . 19.(12分)(2010·东城一模)已知递增的等比数列{a n }满足a 2+a 3+a 4=28,且a 3+2是a 2、 a 4的等差中项. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)若b n =log 2a n +1,S n 是数列{b n }的前n 项和,求使S n >42+4n 成立的n 的最小值. 解:(1)设等比数列{a n }的公比为q ,依题意有2(a 3+2)=a 2+a 4,① 又a 2+a 3+a 4=28,将①代入得a 3=8.所以a 2+a 4=20.于是有????? a 1q +a 1q 3=20, a 1q 2=8, 解得 ??? ?? a 1=2, q =2,或????? a 1=32,q =12. 又{a n }是递增的,故a 1=2,q =2. 所以a n =2n . (2)b n =log 22n +1=n +1,S n =n 2+3n 2 . 故由题意可得n 2+3n 2>42+4n ,解得n >12或n <-7.又n ∈N *,所以满足条件的n 的最小值 为13. 20.(12分)商学院为推进后勤社会化改革,与桃园新区商定:由该区向建设银行贷款500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳一千人的学生公寓,工程于2002年初动工,年底竣工并交付使用,公寓管理处采用收费还建行贷款(年利率5%,按复利计算),公寓所收费用除去物业管理费和水电费18万元,其余部分全部在年底还建行贷款. (1)若公寓收费标准定为每生每年800元,问到哪一年可偿还建行全部贷款? (2)若公寓管理处要在2010年底把贷款全部还清,则每生每年的最低收费标准是多少元?(精确到元)(参考数据:lg1.7343=0.2391,lg1.05=0.0212,1.058=1.4774) 解:依题意,公寓2002年底建成,2003年开始使用. (1)设公寓投入使用后n 年可偿还全部贷款,则公寓每年收费总额为1000×800元=800000元=80万元,扣除18万元,可偿还贷款62万元. 依题意有62[1+(1+5%)+(1+5%)2+…+(1+5%)n -1]≥500(1+5%)n +1. 化简得62(1.05n -1)≥25×1.05n +1, ∴1.05n ≥1.7343. 两边取对数整理得n ≥lg1.7343lg1.05=0.2391 0.0212=11.28,∴取n =12(年). ∴到2014年底可全部还清贷款. (2)设每生每年的最低收费标准为x 元, ∵到2010年底公寓共使用了8年, 依题意有(1000x 10000-18)[1+(1+5%)+(1+5%)2+…+(1+5%)7]≥500(1+5%)9. 化简得(0.1x -18)1.058-1 1.05-1≥500×1.059. ∴x ≥10(18+25×1.059 1.058-1) =10(18+25×1.05×1.4774 1.4774-1) =10×(18+81.2)=992(元) 故每生每年的最低收费标准为992元. 21.(12分)若公比为c 的等比数列{a n }的首项a 1=1,且a n =a n -1+a n -2 2 (n =3,4,…). (1)求c 的值. (2)求数列{na n }的前n 项和S n . 解:(1)由题设,当n ≥3时,a n =c 2a n -2, a n -1=ca n -2,a n =a n -1+a n -22=1+c 2a n -2, ∴c 2= 1+c 2 . 解得c =1或c =-1 2 . (2)当c =1时{a n }是一个常数数列,a n =1. 此时S n =1+2+3+…+n =n (n +1) 2 . 当c =-12时,a n =(-1 2 )n -1(n ∈N *). 此时S n =1+2(-12)+3(-12)2+…+n (-1 2 )n -1.① -12S n =-12+2(-12)2+3(-12)3+…+(n -1)(-12)n -1+n (-1 2 )n .② ①-②,得(1+12)S n =1+(-12)+(-12)2+…+(-12)n -1-n (-12)n =1-(-12)n 1+ 12-n (-1 2 )n . ∴S n =1 9[4-(-1)n 3n +22n - 1]. 22.(14分)(2009·陕西高考)(理)已知数列{x n }满足x 1=12,x n +1=11+x n ,n ∈N *. (1)猜想数列{x 2n }的单调性,并证明你的结论; (2)证明:|x n +1-x n |≤16(25 )n - 1. (文)已知数列{a n }满足a 1=1,a 2=2,a n +2=a n +a n +1 2 ,n ∈N *. (1)令b n =a n +1-a n ,证明:{b n }是等比数列; (2)求{a n }的通项公式. 解:(理)(1)由x 1=12及x n +1=1 1+x n 得x 2=23,x 4=58,x 6=13 21. 由x 2>x 4>x 6猜想,数列{x 2n }是递减数列. 下面用数学归纳法证明: ①当n =1时,已证命题成立. ②假设当n =k 时命题成立,即x 2k >x 2k +2, 易知x n >0,那么x 2k +2-x 2k +4 =11+x 2k +1-1 1+x 2k +3=x 2k +3-x 2k +1(1+x 2k +1)(1+x 2k +3) =x 2k -x 2k +2 (1+x 2k )(1+x 2k +1)(1+x 2k +2)(1+x 2k +3) >0,即x 2(k +1)>x 2(k +1)+2, 也就是说,当n =k +1时命题也成立.结合①和②知,命题成立. (2)当n =1时,|x n +1-x n |=|x 2-x 1|=1 6,结论成立; 当n ≥2时,易知0 ∴1+x n -1<2,x n =11+x n -1>1 2 , ∴(1+x n )(1+x n -1)=(1+1 1+x n -1 )(1+x n -1) =2+x n -1≥5 2 , ∴|x n +1-x n |=|11+x n -11+x n -1|=|x n -x n -1|(1+x n )(1+x n -1)≤25 |x n -x n -1|≤(25)2|x n -1-x n -2|≤…≤(2 5)n -1|x 2-x 1 |=16(25 )n -1. (文)(1)b 1=a 2-a 1=1,当n ≥2时,b n =a n +1-a n =a n -1+a n 2-a n =-12(a n -a n -1)=-1 2 b n -1, ∴{b n }是以1为首项,-1 2 为公比的等比数列. (2)由(1)知b n =a n +1-a n =(-1 2 )n -1, 当n ≥2时,a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n -1)=1+1+(-12)+…+(-1 2 )n -2 =1+1-(-12)n -1 1-(-12 ) =1+23[1-(-12)n -1]=53-23(-12)n -1,当n =1时,53-23(-1 2)1-1=1=a 1. ∴a n =53-23(-1 2)n -1(n ∈N *). 2020高考数学专题复习----立体几何专题