中考数学数学二次根式的专项培优练习题(及答案

一、选择题

1．下列运算中，正确的是 ( ) A ．53－23=3 B ．22×32=6 C ．33÷3=3

D ．23＋32=55

2．下列各式计算正确的是（ ）

A ．6

23

212

6()b a b a b a

---?=

B ．（3xy ）2÷（xy ）=3xy

C ．23a a a +=

D ．2x ?3x 5=6x 6

3．下列运算中，正确的是( ) A ．1333??

+

? ??

=3 B ．(12-7)÷3=-1 C ．32÷

1

22

=2 D ．(2+3)×3=63+

4．对于已知三角形的三条边长分别为a ,b ,c ，求其面积的问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式：

()()()S p p a p b p c =---，其中2

a b c

p ++=

,若一个三角形的三边长分别为2,3,4，则其面积（ ） A ．3154 B ．3152

C ．352

D ．

354

5．已知，那么满足上述条件的整数的个数是（ ）.

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

6．“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：

23(23)(23)

74323(23)(23)

+++==+--+3535+-3535x =+-3535+>-，故0x >，由

22(3535)35352(35)(35)2x =+-=-+-=，解得2x 35352+-=32

63363332

-++结果为（ ） A ．536+B ．56+

C ．56

D ．536-

7．下列计算正确的是（ ）

A ．

B

C ．

D ．3+

8．a 的值是（ ） A ．2

B ．-1

C ．3

D ．-1或3 9．下列运算正确的是（ ）

A =

B 2=

C =

D 9=

10．下列根式中是最简二次根式的是（ ）

A B C D 二、填空题

11．2==________．

12．设a ﹣b=2b ﹣c=2a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣ac ﹣bc=_____． 13．已知

x =

，a 是x 的整数部分，b 是x 的小数部分，则a-b=_______

14．若6x ，小数部分为y ，则(2x y 的值是___.

15．已知|a ﹣2007=a ，则a ﹣20072的值是_____．

16．若a 、b 为实数，且b +4，则a+b ＝_____．

17_____．

18．化简：＝_____．

19．如果0xy >．

20．已知2x =243x x --的值为_______．

三、解答题

21．先阅读材料，再回答问题：

因为

)

1

11=1

=；因为1=，所以

=1== （1

= ，= ； （2

???+的值．

【答案】（12）9 【分析】

（1）仿照例子，由

1+=

的值；由

1+=1

的值；

（2）根据（1）中的规律可将每个二次根式分母有理化，可转化为实数的加减法运算，再寻求规律可得答案． 【详解】

解：（1）因为

1-=

；

因为

1=1

（2

???+

1=+???

1=

1019=-=．

【点睛】

本题考查了分母有理化，分子分母都乘以分母这两个数的差进行分母有理化是解题关键．

22．计算： 21)3)(3--

【答案】. 【解析】 【分析】

先运用完全平方公式、平方差公式进行化简，然后进行计算. 【详解】

解：原式22

22]-4

【点睛】

本题主要考查了二次根式的化简；特别是灵活运用全平方公式、平方差公式是解答本题的关键.

23．观察下列等式：

1

==；

==

== 回答下列问题：

（1

（2）计算：

【答案】（1（2）9 【分析】

（1）根据已知的31

=-n=22代入即可

求解；（2）先利用上题的规律将每一个分数化为两个二次根式的差的形式，再计算即可． 【详解】

解：（1

=

（2+

99+

=1100++-

=1 =10-1 =9.

24．计算下列各题

（1）?÷ ?

（2）2-

【答案】(1)1;(2)． 【分析】

(1)先把二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算即可； (2)利用完全平方公式和平方差公式展开，然后再进行合并即可. 【详解】

(1)原式

=1；

(2)原式+2)

． 【点睛】

本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键.

25．先化简，再求值：24224x x

x x x x ??÷- ?---??

，其中2x =．

【答案】2

2

x x +-，1 【分析】

先把分式化简，然后将x 、y 的值代入化简后的式子求值即可． 【详解】 原式(2)(2)22(2)2

x x x x x x x x +-+=

?=---，

当2x =时，原式1

=

=.

【点睛】

本题考查了分式的化简求值这一知识点，把分式化到最简是解题的关键．

26．在一个边长为（cm 的正方形的内部挖去一个长为（）cm ，

cm 的矩形，求剩余部分图形的面积．

【答案】 【解析】

试题分析：用大正方形的面积减去长方形的面积即可求出剩余部分的面积．

试题解析：剩余部分的面积为：（2﹣（）

=（）﹣（﹣）

=（cm 2）． 考点：二次根式的应用

27．先化简，再求值：2443

(1)11

m m m m m -+÷----，其中2m =.

【答案】2

2

m

m

-

+

1．

【解析】

分析：先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将m的值代入计算可得．

详解：原式=

2

2

1 m

m

-

-

（）

÷（

3

1

m-

﹣

21

1

m

m

-

-

）

=

2

2

1 m

m

-

-

（）

÷

2 4

1

m m

-

-

=

2

2

1 m

m

-

-

（）

?

1

22

m

m m

-

-+-（）（）

=﹣

2

2 m

m

-+

=2

2

m

m -+

当m

﹣2时，原式=

=

=﹣1+

=1．

点睛：本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．

28．计算

（1

）

)(

1

2

1

1

2

-?--

??

（2

）已知：

11

,

22

x y

==，求22

x xy y

++的值．

【答案】（1）28

-；（2）17．

【分析】

（1）先利用完全平方公式和平方差公式计算二次根式的乘法、负指数幂运算，再计算二次根式的加减法即可得；

（2）先求出x y

+和xy的值，再利用完全平方公式进行化简求值即可得．

【详解】

（1

）原式(

)(

(

22

1

31

2

??

=?+--

??

??

，

(()1

475452

=?+---

230=+

28=-；

（2）

(

1119,2

2

x y ==

，

11

2

2

x y ∴+=

+

=，

()111

191122

24

xy =

?

=?-=，

则()2

22x xy y x y xy ++=+-，

2

2=

-，

192=-， 17=． 【点睛】

本题考查了二次根式的混合运算、完全平方公式和平方差公式等知识点，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．C 解析：C 【分析】

根据二次根式的加减法对A 、D 进行判断；根据二次根式的乘法法则对B 进行判断；根据二次根式的除法法则对C 进行判断． 【详解】

A 、A 选项错误；

B 、×=12，所以B 选项错误；

C 、3，所以C 选项正确；

D 、，不能合并，所以D 选项错误； 故选：C ． 【点睛】

本题考查了二次根式的混合运算，正确掌握运算法则是解题关键．

2．D

解析：D 【分析】

依据单项式乘以单项式、单项式除以单项式以及二次根式的加法法则对各项分别计算出结果，再进行判断即可得到结果． 【详解】

A. 23

215

2

6()b a b a b a

---?=，故选项A 错误；

B. （3xy ）2÷（xy ）=9xy ，故选项B 错误；

C 错误； D. 2x ?3x 5=6x 6，正确． 故选：

D ． 【点睛】

此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

3．D

解析：D 【分析】

根据二次根式的加减乘除法则逐项判断即可得． 【详解】

A 314=+=，此项错误

B 、23

==-

，此项错误

C 2428

===?=，此项错误

D 、3=，此项正确

故选：D ． 【点睛】

本题考查了二次根式的加减乘除运算，熟记二次根式的运算法则是解题关键．

4．A

解析：A 【分析】

根据公式解答即可． 【详解】

根据题意，若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则2+349

=222

a b c p +++=

= ∴其面积为

9999

9531315

()()()(2)(3)(4)22222222S p p a p b p c =---=

?-?-?-=???=

故选：A ． 【点睛】

本题考查二次根式的应用、数学常识等知识，难度较难，掌握相关知识是解题关键．

5．C

解析：C 【解析】 【分析】

利用分母有理化进行计算即可. 【详解】 由原式得：

所以，因为

，

,

所以.

故选：C 【点睛】

此题考查解一元一次不等式的整数解，解题关键在于分母有理化.

6．D

解析：D 【分析】

633633-+32

32

-+进行化简，然后再进行合并即

可. 【详解】

设633633x =-+633633-<+ ∴0x <，

∴26332(633)(633)633x =--++， ∴212236x =-?=， ∴6x = ∵

32

52632

-=-+， ∴原式5266=-536=- 故选D ． 【点睛】

本题考查了二次根式的混合运算，涉及了分母有理化等方法，弄清题意，理解和掌握题中介绍的方法是解题的关键.

7．C

解析：C

【解析】

分析：根据二次根式的四则混合运算法则，二次根式的性质与化简逐项进行分析解答即可．

详解：A．=，故本选项错误；

B．不是同类二次根式，不能进行合并，故本选项错误；

C．正确；

D．不是同类二次根式，不能进行合并，故本选项错误．

故选C．

点睛：本题主要考查二次根式的化简，二次根式的四则运算法则，解题的关键是正确根据相关法则逐项进行分析解答．

8．C

解析：C

【分析】

根据同类二次根式的性质即可求出答案．

【详解】

由题意可知：a2-3=2a

∴解得：a=3或a=-1

当a=-1时，该二次根式无意义，

故a=3

故选C．

【点睛】

本题考查二次根式的概念，解题的关键是熟练正确理解最简二次根式以及同类二次根式的概念.

9．C

解析：C

【分析】

根据二次根式的减法法则对A进行判断；根据二次根式的加法法则对B进行判断；根据二次根式的乘法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．

【详解】

解：A=，所以A选项错误；

B=B选项错误；

C=C选项正确；

D3

=，所以D选项错误．

故选：C．

【点睛】

本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的

乘除运算，再合并即可．

10．B

解析：B

【分析】

根据最简二次根式的条件：①根号下不含能开得尽方的因数或因式；②根号下不含分母，据此逐项判断即可．

【详解】

解：A、被开方数含分母，故A不符合题意；

B、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．，故B符合题意；

C被开方数含能开得尽方的因数或因式，故C不符合题意；

D、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D不符合题意；

故选：B．

【点睛】

本题考查了最简二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式的两个条件．

二、填空题

11．【解析】

【分析】

用换元法代替两个带根号的式子，得出m、n的关系式，解方程组求m、n的值即可．

【详解】

设m＝，n＝，

那么m?n＝2①，

m2＋n2＝()2＋()2＝34②．

由①得，m＝2

解析：13

【解析】

【分析】

用换元法代替两个带根号的式子，得出m、n的关系式，解方程组求m、n的值即可．【详解】

设m n

那么m?n＝2①，

m2＋n2＝2＋2＝34②．

由①得，m＝2＋n③，

将③代入②得：n2＋2n?15＝0，

解得：n＝?5（舍去）或n＝3，

因此可得出，m ＝5，n ＝3（m≥0，n≥0）．

n ＋2m ＝13． 【点睛】

此题考查二次根式的减法，本题通过观察，根号里面未知数的系数为相反数，可通过换元法求解．

12．15 【解析】

根据题意，由a ﹣b=2+，b ﹣c=2﹣，两式相加得，得到a ﹣c=4，然后根据配方法，把式子各项变为：a2+b2+c2﹣ab ﹣bc ﹣ac=====15. 故答案为：15.

解析：15 【解析】

根据题意，由a ﹣b ﹣c=2，两式相加得，得到a ﹣c=4，然后根据配方法，把式子各项变为：a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣bc ﹣

ac=2222222222a b c ab ac bc ++﹣﹣﹣=2222222222a ab b b bc c a ac c +++++﹣﹣﹣=

222()()()2a b b c a c -+-+-=15.

故答案为：15.

13．【分析】

先把x 分母有理化求出x= ，求出a 、b 的值，再代入求出结果即可． 【详解】 ∵ ∴ ∴ ∴ 【点睛】

本题考查了分母有理化和估算无理数的大小的应用，解此题的关键是求a 、b 的值．

解析：6【分析】

先把x 分母有理化求出2 ，求出a 、b 的值，再代入求出结果即可． 【详解】

2

x =

== ∵

23<

<

∴425<

<

∴4,242a b ==

-=

∴42)6a b -=-=【点睛】

本题考查了分母有理化和估算无理数的大小的应用，解此题的关键是求a 、b 的值．

14．3 【分析】

先估算,再估算,根据6－的整数部分为x,小数部分为y,可得: x=2, y=,然后再代入计算即可求解. 【详解】 因为, 所以,

因为6－的整数部分为x,小数部分为y, 所以x=2,

解析：3 【分析】

先估算34<<,再估算263<<,根据6x ,小数部分为y ,可

得: x =2, y=4然后再代入计算即可求解. 【详解】

因为34<,

所以263<-<,

因为6x ,小数部分为y ,

所以x =2, y=4-,

所以(2x y =(4416133=-=,

故答案为:3. 【点睛】

本题主要考查无理数整数部分和小数部分,解决本题的关键是要熟练掌握无理数估算方法和无理数整数和小数部分的求解方法.

15．2008 【解析】

分析：本题首先能够根据二次根式的被开方数为非负数的条件，得到a 的取值范

围；再根据a 的取值范围，化简去掉绝对值；最后进行整理变形． 详解：∵|a ﹣2007|+=a ，∴a≥2008，

解析：2008 【解析】

分析：本题首先能够根据二次根式的被开方数为非负数的条件，得到a 的取值范围；再根据a 的取值范围，化简去掉绝对值；最后进行整理变形．

详解：∵|a ﹣2007=a ，∴a ≥2008，∴a ﹣2007=a ，

=2007，两边同平方，得：a ﹣2008=20072，∴a ﹣20072=2008．

故答案为：2008．

点睛：解决此题的关键是能够得到a 的取值范围，从而化简绝对值并变形．

16．5或3 【分析】

根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出a 的值，b 的值，根据有理数的加法，可得答案． 【详解】

由被开方数是非负数，得 ，

解得a ＝1，或a ＝﹣

解析：5或3 【分析】

根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出a 的值，b 的值，根据有理数的加法，可得答案． 【详解】

由被开方数是非负数，得

22

10

10

a a ?-≥?-≥?， 解得a ＝1，或a ＝﹣1，

b ＝4， 当a ＝1时，a +b ＝1+4＝5， 当a ＝﹣1时，a +b ＝﹣1+4＝3， 故答案为5或3． 【点睛】

本题考查了函数表达式有意义的条件，当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

17．6 【分析】

利用二次根式乘除法法则进行计算即可．

＝

＝

＝6，

故答案为6．

【点睛】

本题考查了二次根式的乘除法，熟练运用二次根式的乘除法法则是解题的关键．

解析：6

【分析】

==进行计算即可．

【详解】

＝6，

故答案为6．

【点睛】

本题考查了二次根式的乘除法，熟练运用二次根式的乘除法法则是解题的关键．18．【分析】

直接合并同类二次根式即可．

【详解】

解：．

故答案为

【点睛】

合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变．

解析：

【分析】

直接合并同类二次根式即可．

【详解】

解：=．

故答案为

合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变．

19．【分析】

由，且，即知，，据此根据二次根式的性质化简可得． 【详解】 ∵，且，即， ∴，， ∴，

故答案为：． 【点睛】

本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．

解析：-【分析】

由0xy >，且2

0xy -≥，即?0y xy -≥知0x <，0y <，据此根据二次根式的性质化简可得． 【详解】

∵0xy >，且20xy -≥，即?0y xy -≥， ∴0x <，0y <，

=

=-

故答案为：- 【点睛】

本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．

20．-4 【分析】

把代入计算即可求解． 【详解】 解：当时， =-4

故答案为：-4 【点睛】

本题考查了求代数式的值，二次根式混合运算，本题直接代入求值即可，能正确进行二次根式的混合运算是解题

解析：-4 【分析】

把2x =243x x --计算即可求解． 【详解】

解：当2x =

243x x --

((2

2423=---

4383=--+

=-4 故答案为：-4 【点睛】

本题考查了求代数式的值，二次根式混合运算，本题直接代入求值即可，能正确进行二次根式的混合运算是解题关键．

三、解答题 21．无 22．无 23．无 24．无 25．无 26．无 27．无 28．无