拉普拉斯算子

黎曼流形

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黎曼流形（Riemannian manifold）是一个微分流形，其中每点p的切空间都定义了点积，而且其数值随p平滑地改变。它容许我们定义弧线长度，角度，面积，体积，曲率，函数梯度及向量域的散度。

每个R n的平滑子流形可以导出黎曼度量: 把R n的点积都限制于切空间内。实际上，根据纳什嵌入定理, 所有黎曼流形都可以这样产生。

我们可以定义黎曼流形为和R n的平滑子流形是等距同构的度量空间,等距是指其内蕴度量(intrinsic metric)和上述从R n导出的度量是相同的。这对建立黎曼几何是很有用的。

黎曼流形可以定义为平滑流形，其中给出了一个切丛的正定二次形的光滑截面。它可产生度量空间：

如果γ : [a, b] → M是黎曼流形M中一段连续可微分的弧线，我们可以定义它的长度L(γ) 为

（注意：γ'(t) 是切空间M在γ(t)点的元素; ||·||是切空间的内积所得出的范数。)

使用这个长度的定义,每个连通的黎曼流形M很自然的成为一个度量空间（甚至是长度度量空间）：在x与y两点之间的距离d(x, y) 定义为：

d(x,y) = inf{ L(γ) : γ是连接x和y的一条光滑曲线}。

虽然黎曼流形通常是弯曲的，“直线”的概念依然存在:那就是测地线.

在黎曼流形中,测地线完备的概念，和拓扑完备及度量完备是等价的：每个完备性都可以推出其他的完备性，这就是Hopf-Rinow定理的内容.。

微分流形

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[] 可微流形的定义

设的自然数或者为，拓扑空间被称为是m维可微流形，如果，

1.为豪斯多夫空间

2.被m维坐标邻域所覆盖，换句话说，存在的m维坐标邻域族

，使得

3.满足的任意，坐标转换

为映射。

?当r = 0时，流形称为是拓扑流形；当时，流形称为是光滑流形。?拓扑空间

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?汉漢▼

?

?上图为三点集合{1,2,3}上四个拓扑的例子和两个反例。左下角的集合并不是个拓扑空间，因为缺少{2}和{3}的并集{2,3}；右下角的集合也不是个拓扑空间，因为缺少{1,2}和{2,3}的交集{2}。

?拓扑空间是一种数学结构，可以在上头形式化地定义出如收敛、连通、连续等概念。拓扑空间在现代数学的各个分支都有应用，是一个居于中心地位的、统一性的概念。拓扑空间有独立研究的价值，研究拓扑空间的数学分支称为拓扑学。

定义

拓扑空间是一个集合?X，和一个包含?X?的子集族?τ，其满足如下公理：

1.空集和?X?都属于?τ。

2.?τ?内任意个集合的并集都仍然会属于?τ。

3.?τ?内任意两个集合的交集也仍然会属于?τ。

满足上述公理的集族?τ?即称为?X?的拓扑。X?内的元素通常称做“点”，但它们其实可以是任意的元素。里面的“点”为函数的拓扑空间称为“函数空间”。τ?内的集合称为开集，而其在?X?内的补集则称为闭集。一个集合可能是开放的、封闭的、非开非闭或亦开亦闭。

[] 例子

1.X?=?,1,2,3,4-?和?X?内两个子集组成的集族?τ?=?{?,?X}?会形成一个平庸拓扑（简

体中文）／密著拓扑（繁体中文）。

2.X?=?,1,2,3,4-?和?X?内六个子集组成的集族?τ?=?,?,{2},{1,2},{2,3},{1,2,3},{1,2,3,4}}?

会形成另一个拓扑。

3.X?=??（整数集合）及集族?τ?等于所有的有限整数子集加上???自身不是一个拓扑，

因为（例如）所有不包含零的有限集合的并集是无限的，但不是???的全部，因此

不在?τ?内。

[] 拓扑之间的关系

同一个空间可以拥有不同的拓扑，有些是有用的，有些是平庸的，这些拓扑之间可以形成一种偏序关系。当拓扑的每一个开集都属于拓扑时，我们说拓扑比拓扑更细，或者说拓扑比拓扑更粗。

仅依赖于特定开集的存在而成立的结论，在更细的拓扑上依然成立；类似的，仅依赖于特定集合不是开集而成立的结论，在更粗的拓扑上也依然成立。

最粗的拓扑是由空集和全集两个元素构成的拓扑，最细的拓扑是离散拓扑，这两个拓扑都是平庸的。

在有些文献中，我们也用大小或者强弱来表示这里粗细的概念。

[] 连续映射

拓扑空间上的一个映射，如果它对于每个开集的原像都仍然是开集，那么我们称这个映射是连续的。这个定义符合我们关于连续映射不会出现破碎或者分离的直观印象。

同胚映射是一个连续的双射，并且它的逆映射也连续。两个拓扑空间之间存在同胚映射，则称这两个空间是同胚的。从拓扑学的观点上来讲，同胚的空间是等同的。

拓扑空间作为对象，连续映射作为态射，构成了拓扑空间范畴，它是数学中的一个基础性的范畴。试图通过不变量来对这个范畴进行分类的想法，激发和产生了整个领域的研究工作，包括同伦论、同调论和K-理论。

[] 等价定义

虽然利用开集来定义拓扑空间是最常见的定义方法，但我们仍然可以通过其他的多种方式来定义拓扑空间。这些不同的定义方式都是等价的。这些不同的拓扑空间的定义连同各自连续映射的定义，从范畴论的角度看，都定义了同一个范畴即拓扑空间范畴。

[] 闭集

利用德·摩根律，和上面定义中关于开集的公理相对偶的，我们引入下述关于闭集的公理。

集合X上的子集族，它们满足如下的公理：

?C1：空集和全集X都属于。

?C2：中的任意多个子集的交集仍然属于。

?C3：中的任意有限多个子集的并集仍然属于。

集族中的元素称为集合X上的闭集。我们也可以直接利用闭集来定义连续映射：映射f是连续的，当且仅当，f对任何闭集的原像也是闭集。

[] 邻域

我们考虑集合X上的一个映射，其中P(P(X))指集合X

的幂集的幂集。我们假设将X中的点x映射为X的子集族，即有

。

对任意的，如果上述的满足如下公理：

?N1：集族不空，并且中任何一个集合都包含点x。

?N2：集族中的一个集合N，如果有，则集合U也属于集族。

?N3：集族中任意两个集合的交集仍在中。

?N4：集族中的任意一个集合N，存在中的另一个集合U，使得U包含于N，且对于U中的任意点y，有U属于集族。

那么，我们称集族的元素为点x的邻域，而集族(即点x的所有邻域)称为点x的邻域系统。

可以直接利用邻域来定义出映射在某一点连续：映射是在点x是连

续的，当且仅当，对y点的任何一个邻域V，都存在x点的一个邻域U，使得。而连续映射即点点连续的映射。

类似的，拓扑也可以通过点和集合间的接近关系来定义。

[] 闭包运算

我们考虑集合X的幂集P(X)上的一元运算。

称为一个拓扑空间，当且仅当，运算c满足下述的库拉托夫斯基闭包公理：?K1：；

?K2：；

?K3：；

?K4：。

运算c被称为闭包运算，集合X上的闭集是闭包运算的不动点。

利用闭包运算也可以定义连续映射：映射f是连续的，当且仅当，对任意的集合A，成立。

[] 开核运算

我们还可以建立和闭包运算相对偶的开核运算，然后通过开核运算建立起拓扑空间。我们考虑集合X的幂集P(X)上的一元运算。运算o

满足下述的开核公理：

?I1：；

?I2：；

?I3：；

?I4：。

运算o被称为开核运算，集合X上的开集是开核运算的不动点。

和闭包运算相对偶，利用开核运算也可以定义连续映射：映射f是连续的，当且仅当，对任意的集合A，成立。

[] 网

网的目的在推广序列及极限，网的收性称作Moore-Smith收敛。其关键在于以有向集合代替自然数集。

空间X上的一个网是从有向集合A映至X的映射。

若存在，使得对每个x的邻域U都存在，使得

，则称网收敛至x。

几乎所有点集拓扑学的基本概念都能表述作网的收敛性，请参阅主条目网

[] 拓扑空间的例子

?实数集R构成一个拓扑空间：全体开区间构成其上的一组拓扑基，其上的拓扑就由这组基来生成。这意味着实数集R上的开集是一组开区间的并（开区间的数量可以

是无穷多个。从许多方面来说，实数集都是最基本的拓扑空间，并且它也指导着我

们获得对拓扑空间的许多直观理解；但是也存在许多“奇怪”的拓扑空间，它们有悖

于我们从实数集获得的直观理解。

?更一般的，n维欧几里得空间R n构成一个拓扑空间，其上的开集就由开球来生成。

?任何度量空间都可构成一个拓扑空间，如果其上的开集由开球来生成。这中情况包括了许多非常有用的无穷维空间，如泛函分析领域中的Banach空间和希尔伯特空间。

?任何局部域都自然地拥有一个拓扑，并且这个拓扑可以扩张成为这个域上的矢量空间。

?除了由全体开区间生成的拓扑之外，实数集还可以赋予另外一种拓扑—下限拓扑（lower limit topology）。这种拓扑的开集由下列点集构成—空集、全集和由全体半开

区间[a, b)生成的集合。这种拓扑严格地细于上面定义的欧几里得拓扑；在这种拓扑

空间中，一个点列收敛于一点，当且仅当，该点列在欧几里得拓扑中也收敛于这个

点。这样我们就给出了一个集合拥有不同拓扑的示例。

?流形都是一个拓扑空间。

?每一个单形都是一个拓扑空间。单形是一种在计算几何学中非常有用的凸集。在0、

1、2和3维空间中，相应的单形分别是点、线段、三角形和四面体。

?每一个单纯复形都是一个拓扑空间。一个单纯复形由许多单形构成。许多几何体都可以通过单纯复形—来建立模型，参见多胞形（Polytope）。

?扎里斯基拓扑是一种纯粹由代数来定义的的拓扑，这种拓扑建立在某个环的交换环谱之上或者某个代数簇之上。对R n或者C n来说，相应扎里斯基拓扑定义的闭集，就

是由全体多项式方程的解集合构成。

?线性图是一种能推广图的许多几何性质的拓扑空间。

?泛函分析中的许多算子集合可以获得一种特殊的拓扑，在这种拓扑空间中某一类函数序列收敛于零函数。

?任何集合都可以赋予离散拓扑。在离散拓扑中任何一个子集都是开集。在这种拓扑空间中，只有常数列或者网是收敛的。

?任何集合都可以赋予平庸拓扑。在平庸拓扑中只有空集和全集是开集。在这种拓扑空间中，任和一个序列或者网都收敛于任何一个点。这个例子告诉我们，一个序列或者网可能不会收敛于唯一的一个点。

?有限补拓扑。设X是一个集合。X的所有有限子集的补集加上空集，构成X上的一个拓扑。相应的拓扑空间称为有限补空间。T1拓扑。

?可数补拓扑。设X是一个集合。X的所有可数子集的补集加上空集，构成X上的一个拓扑。相应的拓扑空间称为可数补空间。

?如果Γ是一个序数，则集合*0, Γ+是一个拓扑空间，该拓扑可以由区间(a, b]生成，此处a和b是Γ的元素。

[] 拓扑空间的构造

?拓扑空间的任何一个子集都可以被赋予一个子空间拓扑，子空间拓扑中的开集是全空间上的开集和子空间的交。

?对任何非空的拓扑空间族，我们可以构造出这些拓扑空间的积上的拓扑，这种拓扑称为积拓扑。对于有限积来说，积空间上的开集可以由空间族中各个空间的开集的积生成出来。

?商拓扑可以被如下地定义出来：若X是一个拓扑空间，Y是一个集合，如果f : X→Y 是一个满射，那么Y获得一个拓扑；该拓扑的开集可如此定义，一个集合是开的，当且仅当它的逆像也是开的。可以利用f自然投影确定下X上的等价类，从而给出拓扑空间X上的一个等价关系。

?Vietoris拓扑

[] 拓扑空间的分类

依据点和集合分离的程度、大小、连通程度、紧性等，拓扑空间可以进行各种各样的分类。并且由于这些分类产生了许多不同的术语。

[] 分离性

详细资料请参照分离公理。有些术语在老的文献中采用了不同地定义方式，请参照分离公理的历史

[] 可数性

?可分的：空间是可分的，当它拥有一个可数的稠密子集。

?林德勒夫：空间是林德勒夫的，如果每一个开覆盖都有一个可数子覆盖。

?第一可数：空间是第一可数的，如果任何一个点都有一个可数的局部基。

?第二可数：空间是第二可数的，如果空间拥有一个可数的基。

第二可数空间总是可分的；第一可数空间总是林德勒夫的。

[] 连通性

?连通：空间X是连通，当且仅当它不是两个无交的非空开集的并。等价地，一个空间是连通的，当且仅当该空间的闭开集（既开又闭的集合）只有空集和全空间两者。

?局部连通：一个空间是局部连通的，当且仅当该空间的每个点都有一个特殊的局部基，这个局部基由连通集构成。

?完全不连通：空间是完全不连通的，当且仅当不存在多于一个点的连通子集。

?道路连通：空间X是道路连通的，当且仅当对空间的任意两点x和y，存在从x到y 道路p，也即，存在一个连续映射p: [0,1] →X，满足p（0）= x且p（1）= y。道路连通的空间总是连通的。

?局部道路连通：一个空间是局部道路连通的，当且仅当该空间的每个点都有一个特殊的局部基，这个局部基由道路连通集构成。一个局部道路连通空间是连通的，当

且仅当它是道路连通的。

?单连通：一个空间X是单连通的，当且仅当它是道路连通且每个连续映射

都与常数映射同伦。

?可缩：一个空间X是可缩的，当且仅当它同伦等价到一点。

?超连通：一个空间是超连通的，当且仅当任两个非空开集的交集非空。超连通蕴含连通。

?极连通：一个空间是极连通的，当且仅当任两个非空闭集的交集非空。极连通蕴含道路连通。

?平庸的：一个空间是平庸的，当且仅当其开集只有本身与空集。

[] 紧性

一个空间是紧的，当且仅当任何开覆盖都有有限的子覆盖，详细资料请参照紧集。[] 可度量化

可度量性意味着可赋予空间一个度量，使之给出该空间的拓扑。目前已有许多版本的度量化定理，其中最着名的是Urysohn度量化定理：一个第二可数的正则豪斯多夫空间可被度量化。由此可导出任何第二可数的流形皆可度量化。

[] 拥有代数结构的拓扑空间

对于任一类代数结构，我们都可以考虑其上的拓扑结构，并要求相关的代数运算是连续映射。例如，一个拓扑群G乃是一个拓扑空间配上连续映射

（群乘法）及（反元素），使之具备群结构。

同样地，可定义拓扑矢量空间为一个赋有拓扑结构的矢量空间，使得加法与纯量乘法是连续映射，这是泛函分析的主题；我们可以类似地定义拓扑环、拓扑域等等。

结合拓扑与代数结构，往往可以引出相当丰富而实用的理论，例如微分几何探究的主齐性空间。在代数数论及代数几何中，人们也常定义适当的拓扑结构以简化理论，并得到较简明的陈述；如数论中的局部域（一种拓扑域），伽罗瓦理论中考虑的Krull拓扑（一种特别的拓扑群），以及定义形式概形所不可少的I-进拓扑（一种拓扑环）等等。

[] 拥有序结构的拓扑空间

拓扑空间也可能拥有自然的序结构，例子包括：

?谱空间（spectral space）上的序结构。

?特殊化预序：定义。常见于计算机科学。

豪斯多夫空间

定义

两个点x 和y，由它们各自的邻域U 和V 来分离。

假设X是拓扑空间。设x和y是X中的点。我们称x和y可以“由邻域分离”，如果存在x的邻域U和y的领域V使得U和V是不相交的 (U∩ V = ?)。X是豪斯多夫空间如果任何两个X的独特的点可以由邻域分离。这是豪斯多夫空间也叫做T2空间和分离空间的原因。

X是预正则空间，如果任何两个拓扑可区分的点可以由邻域分离。预正则空间也叫做R1空间。

在这些条件之间的联系如下。拓扑空间是豪斯多夫空间，当且仅当它是预正则空间和柯尔莫果洛夫空间的二者(就是说独特的点是拓扑可区分的)。拓扑空间是预正则空间，当且仅当它的柯尔莫果洛夫商空间是豪斯多夫空间。

[] 等价

对于拓扑空间X，以下论述等价：

?X是豪斯多夫空间。

?是积空间的闭集。

?X中极限是唯一的(就是序列、网和滤子收敛于最多一个点)。

?所有包含在X中的单元素集合都等于包含它的所有闭邻域的交集。

?对角的Δ = ,(x,x) | x∈X} 作为乘积空间X × X的子集是闭集。

[] 例子和反例

在数学分析所遇到的几乎所有空间都是豪斯多夫空间；最重要的实数是豪斯多夫空间。更一般的说，所有度量空间都是豪斯多夫空间。事实上，在分析中用到的很多空间，比如拓扑群和拓扑流形在其定义中明确的声明了豪斯多夫条件。

最简单的是T1空间而非 T2空间的拓扑的例子是余有限空间。

伪度量空间典型的不是豪斯多夫空间，但是它们是预正则的，并且它们在分析中通常只用于构造豪斯多夫gauge空间。实际上，在分析家处理非豪斯多夫空间的时候，它至少要是预正则的，他们简单的把它替代为是豪斯多夫空间的它的柯尔莫果洛夫商空间。

相反的，在抽象代数和代数几何更经常见到非预正则空间，特别是作为在代数簇或交换环谱上的扎里斯基拓扑。他们还出现在直觉逻辑的模型论中: 所有完全Heyting代数都是某个拓扑空间的开集的代数，但是这个空间不需要是预正则的，更少见豪斯多夫空间。

[] 性质

豪斯多夫空间的子空间和乘积是豪斯多夫空间，[1]但是豪斯多夫空间的商空间

不必须是豪斯多夫空间。事实上，所有拓扑空间都可以实现为某个豪斯多夫空间的商。

豪斯多夫空间是T1空间，这意味着所有单元素集合是闭集。类似的，预正则空间是R0空间。

豪斯多夫空间另一个美好的性质是紧致集合总是闭集。[2]这对于非豪斯多夫空间就可能失效(例如有其失效的 T1空间的例子)。

豪斯多夫空间的定义声称点可以由邻域分离。它蕴涵了表象上更强的东西: 在豪斯多夫空间中所有成对的不相交的紧致集合都可以由邻域分离。[3]这是紧致集合经常表现得如同点的一般规则的一个例子。

紧致性条件与预正则一起经常蕴涵了更强的分离公理。例如，任何局部紧致预正则空间都是完全正则空间。紧致预正则空间是正规空间，意味着它们满足乌雷松引理和蒂茨扩张定理，并且有服从局部有限开覆盖的单位划分。这些陈述的豪斯多夫版本是: 所有局部紧致豪斯多夫空间是吉洪诺夫空间，而所有紧致豪斯多夫空间是正规豪斯多夫空间。

下列结果是关于来或到豪斯多夫空间的映射(连续函数和其他)的技术上的性质。

设f : X→ Y是连续函数并假定Y是豪斯多夫空间。则f的图象

是X× Y的闭子集。

设f : X→ Y是函数并设是作为X× X的子空间的它的核。

?如果f是连续函数并且Y是豪斯多夫空间则ker(f) 闭集。

?如果f是开满射而ker(f) 是闭集则Y豪斯多夫空间。

?如果f是连续开满射(就是开商映射)，则Y是豪斯多夫空间，当且仅当ker(f) 是闭集。

如果f,g : X→ Y是连续映射而Y是豪斯多夫空间，则均衡子

在X是闭集。可得出如果Y是豪斯多夫空间而f和g一致于X的稠密子集，则f = g。换句话说，到豪斯多夫空间的连续函数确定自它们在稠密子集上的值。

设f : X→ Y是闭满射使得f?1(y) 对于所有y∈ Y是紧致的。则如果X是豪斯多夫空间则Y也是。

设f : X→ Y是商映射带有X是紧致豪斯多夫空间。则下列是等价的

?Y是豪斯多夫空间

?f是闭映射

?ker(f) 是闭集

[] 预正则性和正则性

所有正则空间都是预正则空间，也都是豪斯多夫空间。有很多拓扑空间的结果对正则空间和豪斯多夫空间二者都成立。多数时候这些结果对于所有预正则空间

也成立；它们对正则空间和豪斯多夫空间要分开列出，因为预正则空间的概念要来得更晚。在另一方面，这些对于正则性为真的结果一般不适用于非正则豪斯多夫空间。

有很多情况拓扑空间的其他条件(比如仿紧致性或局部紧致性) 也蕴涵正则性，

如果它满足预正则性的话。这种条件经常有两个版本: 正则版本和豪斯多夫版本。尽管豪斯多夫空间一般不是正则性的，局部紧致的豪斯多夫空间是正则性的，因为任何豪斯多夫空间都是预正则性的。因此从特定角度来看，在有关这些情况

的时候它实际是预正则性的，而非正则性的。但是，定义仍依据正则性来措辞，因为这些条件比预正则性更周知。

更详细细节请参见分离公理的历史。

[] 变体

术语“豪斯多夫”、“分离”和“预正则”还可以用于在拓扑空间上的变体如一致空间、柯西空间和收敛空间。在所有这些例子中统一的概念特征是网或滤子(在它们存在的时候)的极限是唯一的（对于分离空间）或在拓扑同构意义下唯一的(对于预正则空间)。

这显现出一致空间和更一般的柯西空间总是预正则的，所有在这些情况下豪斯多夫条件简约为 T0条件。还有完备性在其中有意义的空间，豪斯多夫性在这些情况下是完备性的自然伙伴。特别是，一个空间是完备的，当且仅当所有柯西网有至少一个极限，而一个空间是豪斯多夫的，当且仅当所有柯西网都有最多一个极限(因为只有柯西网可以首先有极限)。

切空间

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切空间（英文：tangent space）是在某一点所有的切向量组成的线性空间。向量（切向量）存在多种定义。直观的讲，如果所研究的流形是一个三维空间中的曲面，则在每一点的切向量，就是和该曲面相切的向量，切空间就是和该曲面相切的平面。通常情形下，因为所有流形可以嵌入欧几里得空间，切空间也可以理解为在该点和流形相切的欧几里得空间的仿射子空间。切空间更好的定义不依赖于这种嵌入，例如，切向量可以定义为通过该点的曲线的等价类，或者是对光滑函数在该点的在某个方向上的求导。但所有这些定义都是等价的。

等距同构

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在数学中，等距同构是指在度量空间之间保持距离关系的同构。几何学中的对应概念是全等变换。

等距同构经常用于将一个空间嵌入到另一空间的构造中。例如，测度空间M的完备化即涉及从M到M'的等距同构，这里M'是M上柯西序列所构成的空间关于“距离为零”的等价关系的商集。这样，原空间M就等距同构到完备的度量空间的一个稠密子空间并且通常用这一空间来指代原空间M。其它的嵌入构造表明

每一度量空间都等距同构到某一赋范线性空间的一个闭子集以及每一完备度量

空间都等距同构到某一巴拿赫空间的一个闭子集。

一个希尔伯特空间上的等距、满射的线性算子被称为酉算子。

目录

[隐藏]

? 1 定义

? 2 例子

? 3 线性等距同构

? 4 参见

? 5 参考来源

[] 定义

设X, Y是两个度量空间，其中的距离分别是d X和d Y。一个映射f : X→ Y被称为“保距映射”，如果对任意的a,b∈ X，都有

保距映射一定是单射。任意两个度量空间之间的等距同构都必然是一个拓扑嵌入。

等距同构是一一对应的保距映射，有时也被称为全局等距同构。还有一种定义是路径等距同构，指保持所有曲线长度的映射（不一定是一一对应的）。

如果两个度量空间之间存在一个等距同构，就称它们两个为等距同构的。所有从一个度量空间到另一个的等距同构关于映射的复合运算组成一个群，称为等距同构群。

[] 例子

?所有度量空间到自身的恒等映射都是等距同构。

?在欧几里得空间中，平移变换、旋转变换、反射变换以及它们的复合都是等距同构。

?内积空间C n上的线性等距同构是所有的酉变换[1]。

[] 线性等距同构

在赋范向量空间之间可以定义线性等距同构：所有保持范数的线性映射：

线性等距同构一定是保距映射，因此如果是满射，就是（全局）等距同构。

根据马祖-玉兰定理，系数域为实数的赋范向量空间上的等距同构一定是仿射变换。

纳什嵌入定理

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汉漢▼

纳什嵌入定理(Nash embedding theorem)：，以约翰·福布斯·纳什命名，指出每个黎曼流形可以等距嵌入到欧几里得空间R n。

“等距”表示“保持曲线长度”。因此，该结果表明每个黎曼流形可以看作是欧几里得空间的子流形。第一个定理适用于C1-光滑嵌入，第二个用于解析或C k, 3 ≤ k≤ ∞的情形。两个定理非常不同；第一个有很简单的证明但并不直观，而第二个非常具有技术性但其结论并不让人吃惊。

C1定理发表于1954年，C k定理发表于1956年，解析的情形则发表于1966年，都由纳什给出。其深入发展见h-原则。

[] 纳什-科伊伯定理(Nash-Kuiper theorem ,C1嵌入定理)

定理令(M,g)为一黎曼流形而为一个短的光滑嵌入（或浸入(immersion)）到欧几里得空间, 。则对于任意ε > 0存在嵌入(或浸入)满足

(i) C1-光滑,

(ii) 等距，也即对于在点的切空间任何两个向量，我

们有.

(iii) ε-接近f, i.e. : | f(x) ? fε(x) | < ε对于所有。

特别的是，因为它从惠特尼嵌入定理（Whitney embedding theorem）得出，任何m-维黎曼流形可以有一个等距C1-嵌入到2m-维欧几里得空间。定理最初由纳

什在条件而不是下证明，尔后被尼古拉·科伊伯(Nicolaas Kuiper)推广，用的是一个相对简单的技巧。

定理有很多反直观的暗示。例如，可以得出任何闭可定向曲面可以C1嵌入到在欧几里得三维空间中的任意小球(根据高斯公式,不存在这样的C2-嵌入)。[] C k嵌入定理

技术性的陈述如下: 若M为一给定m-维黎曼流形 (解析或属于C k类, 3 ≤ k≤ ∞), 则存在n (n = m2 + 5m + 3 就可以)和一个单射f : M -> R n (也是解析的或者属于C k类)使得对于M的所有点p，导数 d f p是一个线性映射从切空间 T p M 到\R n，和给定在T p M上的内积和\R n的标准内积在如下意义下兼容: < u, v > = d f p(u) · d f p(v)

对于T p M中的所有向量u, v。这是偏微分方程(PDE)的不定系统。

纳什嵌入定理是全局系统，因为整个流形嵌入到了\R n。局部嵌入定理要简单得多，可以通过隐函数定理证明。这里给出的全局嵌入定理的证明依赖于纳什对隐函数定理的极大推广版本，Nash-Moser定理和带后处理(postconditioning)的牛顿法(见参考)。纳什解决嵌入问题的基本思想是采用牛顿法来证明该PDE系统有解。标准的牛顿法应用于该系统时不收敛，所以纳什利用光滑化算子来保证牛

顿循环收敛。这个改变了的牛顿法成为带后处理的牛顿法。平滑算子由卷积定义。该平滑算子保证了循环的趋向于一个根，使得它可以用来作为存在性定理。通过证明PDE系统存在一个根就证明了黎曼流形的等距嵌入的存在性。有一个更老的循环称为Kantovorich循环，它是只用牛顿方法的存在性定理(所以不用平滑算子)。

黎曼几何

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（重定向自黎曼幾何）

微分几何中，黎曼几何研究具有黎曼度量的光滑流形，即流形切空间上二次形式的选择。它特别关注于角度、弧线长度及体积。把每个微小部分加起来而得出整体的数量。

19世纪，波恩哈德·黎曼把这个概念加以推广。

两个非欧几里得几何的特例是：球面几何和双曲几何。

任意平滑流形容许黎曼度量及这个额外结构帮助解决微分拓扑问题。它成为伪黎曼流形复杂结构的入门。其中大部分都是广义相对论的四维研究对象。

研究黎曼几何先要熟悉以下主题：

1.度量张量

2.黎曼流形

3.列维-奇维塔联络

4.曲率

5.曲率张量

黎曼几何古典理论

以下是部分的黎曼几何古典理论。

[] 一般理论

1.高斯-博内定理：紧致2 维黎曼流形上高斯曲率的积分等于2πχ(M) 这里的χ(M) 记

作M的欧拉示性数。

2.纳什嵌入定理(两个)被称为黎曼几何的基础理论。他们表明每个黎曼流形可以是嵌

入欧几里得空间R n.

[] 理论

在所有以下定理中，我们用空间的局部行为(通常用曲率假设表述)来推出空间的整体结构的一些信息，包括流形的拓扑类型和"足够大"距离的点间的关系。

[] 受限截面曲率

1.1/4-受限球定理.若M是完备n-维黎曼流形，其界面曲率严格限制于1和4之间，

则M同胚于n-球。

1.Cheeger's 有限定理.给定常数C和D，只有有限个(微分同胚的流形算作一个)紧n-

维黎曼流形，其截面曲率并且直径。

1.Gromov的几乎平坦流形.存在一个εn > 0 使得如果一个n-维黎曼流形其度量的截面

曲率且直径，则其有限覆盖微分同胚于一个零流形.

[] 正曲率

[] 正截面曲率

1.灵魂定理若M是一个不紧的完备正曲率n-维黎曼流形，则它微分同胚于R n.

2.Gromov的贝蒂数定理有一个常数C=C(n)使得若M是一个由正截面曲率的紧连通

n-维黎曼流形，则它的贝蒂数之和不超过C.

[] 正里奇曲率

1.Myers定理.若一个紧黎曼流形有正Ricci曲率则它的基本群有限。

1.分裂定理.若一个完备的n-维黎曼流形有非负Ricci曲率和一条直线(在任何区间上

的距离都极小的测地线)则它等度同胚于一条实直线和一个有非负Ricci曲率的完备(n-1)-维黎曼流形的直积。

1.Bishop's 不等式.半径为r的球在一个有正Ricci曲率的完备n-维黎曼流形中的体积

不超过欧几里得空间中同样半径的球的体积。

1.Gromov's紧致性定理.所有正Ricci曲率且直径不超过D的黎曼流形在

Gromov-Hausdorff度量下是仿紧的。

[] 数量曲率

1.n-维环不存在有正数量曲率的度量。

1.若一个紧n-维黎曼流形的单射半径，则数量曲率的平均值不超过n(n-1)。[] 负曲率

[] 负截面曲率

1.任何有非正截面曲率的单连通黎曼流形的两点有唯一的测地线连接。

1.若M是一个有负截面曲率的完备黎曼流形，则基本群的任何可交换子群同构于整数

群Z。

1.设V*是一-rank2的紧致不可约局部对称空间，设V是一截面曲率的紧

致黎曼流形，若vol(V) = vol(V* )，且π1(V) = π(V* )，则V与V*等距。

[] 负里奇曲率

1.任何有负里奇曲率的紧黎曼流形有一个离散的等距同胚群。

2.任何光滑流形可以加入有负里奇曲率的黎曼度量。

度量空间

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在数学中，度量空间是一个集合，在其中可以定义在这个集合的元素之间的距离（叫做度量）的概念。

度量空间中最符合我们对于现实直观理解的是三维欧几里得空间。事实上，“度量”的概念就是对从欧几里得距离的四个周知的性质引发的欧几里得度量的推广。欧几里得度量定义了在两个点之间的距离为连接它们的直线的长度。

空间的几何性质依赖于所选择的度量，通过使用不同的度量我们可以构造有趣的非欧几里得几何，比如在广义相对论中用到的几何。

度量空间还引发拓扑性质如开集和闭集，这导致了对更抽象的拓扑空间的研究。目录

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[] 历史

莫里斯·弗雷歇在1906年于著作《Sur quelques points du calcul fonctionnel》, Rendic. Circ. Mat. Palermo 22(1906) 1–74 中介入了度量空间。

[] 定义

度量空间是元组 (M,d)，这里的M是集合而d是在M上的度量(metric)，就是函数

使得

1.d(x, y) ≥ 0 (非负性)

2.d(x, y) = 0 当且仅当x = y (不可区分者的同一性)

3.d(x, y) = d(y, x) (对称性)

4.d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (三角不等式)。

函数d也叫做“距离函数”或简单的叫做“距离”。经常对度量空间省略d而只写M，如果在上下文中可明确使用了什么度量。不要求第二、第三或第四个条件分别导致伪度量空间、准度量空间或半度量空间的概念。

第一个条件实际上可以从其他三个得出: