北京市西城区2017届高三数学上学期期末考试试题理

北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末试卷

高三数学（理科）

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题

目要求的一项．

1．已知集合{|02}A x x =<<，2

{|10}B x x =-≤，那么A B =U

（A ）{|01}x x <≤ （B ）{|12}x x -<≤ （C ）{|10}x x -<≤

（D ）{|12}x x <≤

2．下列函数中，定义域为R 的奇函数是

（A ）2

1y x =+

（B ）tan y x =

（C ）2x

y =

（D ）sin y x x =+

3．已知双曲线2

2

21(0)y x b b

-=>的一个焦点是(2,0)，则其渐近线的方程为

（A ）0x ±= （B 0y ±= （C ）30x y ±=

（D ）30x y ±=

4．在极坐标系中，过点(2,)6

P π且平行于极轴的直线的方程是

（A ）sin 1=ρθ （B ）sin =

ρθ

（C ）cos 1=ρθ

（D ）cos =ρθ5．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的四个

侧面的面积中最大的是 （A ）3

（B ）

（C ）6

（D ）

6．设,a b 是非零向量，且≠±a b ．则“||||=a b ”是“()()+⊥-a b a b ”的

（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件

（D ）既不充分也不必要条件

7．实数,x y 满足3,0,60.x x y x y ??

+??-+?

≤≥≥若z ax y =+的最大值为39a +，最小值为33a -，则a

的取值范围是 （A ）[1,0]- （B ）[0,1]

（C ）[1,1]-

（D ）(,1][1,)-∞-+∞U

8．在空间直角坐标系O xyz -中，正四面体P ABC -的顶点A ，B 分别在x 轴，y 轴上移动．若该正四面体的棱长是2，则||OP 的取值范围是 （A

）1] （B ）[1,3] （C

）1,2] （D

）1]

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9．复数1i

1i

+=-____．

10．设等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ．若11a =，34a =，则n a =____；6S =____．

11．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为____．

12．在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．若3c =，3

C π=

，sin 2sin B A =，则a =____．

13．设函数3,

0,()log ,,

x x a f x x x a =>??≤≤其中0a >．

① 若3a =，则[(9)]f f =____；

② 若函数()2y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是____．

14．10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1

分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，10名选手的得分各不相同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的4

5

．则第二名选手的得分是____．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）

已知函数2π

()sin(2)2cos 16

f x x x ωω=-+-(0)ω>的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求()f x 在区间7π

[0,]12

上的最大值和最小值．

16．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，90BAD ?

∠=，PA PD =，AB PA ⊥，2AD =，

1AB BC ==．

（Ⅰ）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；

（Ⅱ）若E 为PD 的中点，求证：//CE 平面PAB ； （Ⅲ）若DC 与平面PAB 所成的角为30?

，求四棱锥

P ABCD -的体积．

17．（本小题满分13分）

手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．

为了解A ，B 两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A ，B 两个型号的手机各7台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：

手机编号

1

2 3 4 5 6 7 A 型待机时间（h ） 120 125 122 124 124 123

123

B 型待机时间（h ） 118

123

127

120

124

a b

其中，a ，b 是正整数，且a b <．

（Ⅰ）该卖场有56台A 型手机，试估计其中待机时间不少于123小时的台数；

（Ⅱ）从A 型号被测试的7台手机中随机抽取4台，记待机时间大于123小时的台数为X ，求X

的分布列；

（Ⅲ）设A ，B 两个型号被测试手机待机时间的平均值相等，当B 型号被测试手机待机时间的方

差最小时，写出a ，b 的值（结论不要求证明）．

18．（本小题满分13分）

已知函数()ln sin (1)f x x a x =-?-，其中a ∈R ．

（Ⅰ）如果曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率是1-，求a 的值； （Ⅱ）如果()f x 在区间(0,1)上为增函数，求a 的取值范围．

19．（本小题满分14分）

已知直线:l x t =与椭圆22

:142

x y C +=相交于A ，B 两点，M 是椭圆C 上一点．

（Ⅰ）当1t =时，求△MAB 面积的最大值；

（Ⅱ）设直线MA 和MB 与x 轴分别相交于点E ，F ，O 为原点．证明：||||OE OF ?

为定值．

20．（本小题满分13分）

数字1,2,3,,(2)n n L ≥的任意一个排列记作12(,,,)n a a a L ，设n S 为所有这样的排列构成的集

合．

集合12{(,,,)|n n n A a a a S =∈L 任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有}i j a i a j --≤；集合

12{(,,,)|n n n B a a a S =∈L 任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有}i j a i a j ++≤．

（Ⅰ）用列举法表示集合3A ，3B ； （Ⅱ）求集合n n A B I 的元素个数；

（Ⅲ）记集合n B 的元素个数为n b ．证明：数列{}n b 是等比数列．

北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末

高三数学（理科）参考答案及评分标准 2017.1

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1．B 2．D 3．B 4．A 5．C 6．C 7．C 8．A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．i 10．12n -；6311．3- 12．313．2；[4,9)14．16

注：第10，13题第一空2分，第二空3分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）因为2π

()sin(2)(2cos 1)6

f x x x ωω=-+-

ππ

(sin 2cos

cos 2sin )cos 266

x x x ωωω=-+[4分] 31

2cos 22

x x ωω=

+ π

sin(2)6

x ω=+，[6分]

所以()f x 的最小正周期2π

π2T ω==, 解得1ω=．[7分]

（Ⅱ）由（Ⅰ）得 π()sin(2)6

f x x =+．

因为7π12x ≤≤

0，所以ππ4π2663

x +≤≤．[9分] 所以，当ππ262x +

=，即π

6

x =时，()f x 取得最大值为1；[11分] 当π4π263x +=

，即7π12

x =时，()f x 取得最小值为3- [13分]

16．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）因为90BAD ∠=o ，所以AB AD ⊥，[1分]

又因为AB PA ⊥，

所以AB ⊥平面PAD ．[3分] 所以平面PAD ⊥平面ABCD ．[4分]

（Ⅱ）取PA 的中点F ，连接BF ，EF ．[5分] 因为E 为PD 的中点，所以//EF AD ，12EF AD =，

又因为//BC AD ，12BC AD =，

所以//BC EF ，BC EF =．

所以四边形BCEG 是平行四边形，//EC BF ．[7分]

又BF ?平面PAB ，CE ?平面PAB ， 所以//CE 平面PAB ．[8分] （Ⅲ）过P 作PO AD ⊥于O ，连接OC ．

因为PA PD =，所以O 为AD 中点，又因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD ．

如图建立空间直角坐标系O xyz -．[9分]

设PO a =．由题意得，(0,1,0)A ，(1,1,0)B ，(1,0,0)C ，(0,1,0)D -，(0,0,)P a ． 所以(1,0,0)AB ??→

=，(0,1,)PA a ??→

=-，(1,1,0)DC ??→

=． 设平面PCD 的法向量为(,,)x y z =n ，则

0,0,AB PA ??

→??

→??=????=?

n n 即0,

0.x y az =??-=? 令1z =，则y a =．所以(0,,1)a =n ．[11分] 因为DC 与平面PAB 所成角为30o ， 所以2|1

|cos ,|2

+12

||||

DC DC a DC ??→

??→

??→

???=

=

=

?o |n n n ， 解得1a =．[13分]

所以四棱锥P ABCD -的体积11121

113322

P ABCD ABCD V S PO -+=??=???=．[14分]

17．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）被检测的7台手机中有5台的待机时间不少于123小时，因此，估计56台A 型手机中有

5

56407

?

=台手机的待机时间不少于123小时．[3分] （Ⅱ）X 可能的取值为0,1,2,3．[4分]

4711(0)35

C P X ===；1334

4

7C C 12(1)35C P X ===； 22

3447C C 18(2)35C P X ===；34

4

7

C 4(3)35C P X ===．[8分] 所以，X 的分布列为：

X 0 1 2 3 P

135

1235

1835

435

[10分]

（Ⅲ）若A ，B 两个型号被测试手机的待机时间的平均值相等，当B 型号被测试手机的待机时间

的方差最小时，124a =，125b =．[13分]

18．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是(0,)+∞，[1分]

导函数为1

()cos(1)f x a x x

'=

-?-．[2分] 因为曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率是1-， 所以(1)1f '=-，即11a -=-，[3分] 所以2a =．[4分]

（Ⅱ）因为()f x 在区间(0,1)上为增函数，

所以对于任意(0,1)x ∈，都有1

()cos(1)0f x a x x

'=-?-≥．[6分] 因为(0,1)x ∈时，cos(1)0x ->，

所以11()cos(1)0cos(1)

f x a x a x x x '=

-?-??-≤≥．[8分]

令()cos(1)g x x x =?-，所以()cos(1)sin (1)g x x x x '=--?-．[10分] 因为(0,1)x ∈时，sin (1)0x -<，

所以(0,1)x ∈时，()0g x '>，()g x 在区间(0,1)上单调递增， 所以()(1)1g x g <=．[12分] 所以1a ≤．

即a 的取值范围是(,1]-∞．[13分]

19．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）将1x =代入22142

x y +=，

解得2

y =±

，所以||AB =[2分] 当M 为椭圆C 的顶点()2,0-时，M 到直线1x =的距离取得最大值3，[4分]

所以△MAB

面积的最大值是

2

．[5分] （Ⅱ）设,A B 两点坐标分别为(),A t n ，(),B t n -，从而2224t n +=．[6分]

设()00,M x y ，则有2

2

0024x y +=，0x t ≠，0y n ≠±．[7分]

直线MA 的方程为00()y n

y n x t x t

--=

--，[8分] 令0y =，得000ty nx x y n -=

-，从而00

0ty nx OE y n

-=-．[9分]

直线MB 的方程为00()y n

y n x t x t

++=

--，[10分] 令0y =，得000ty nx x y n +=

+，从而00

0ty nx OF y n

+=+．[11分]

所以000000=ty nx ty nx OE OF y n y n -+??-+222200

2

2

0=t y n x y n --

()()2

2

22

0022

4242=

n y n y y n

----[13分]

22022

044=y n y n -- =4．

所以OE OF ?为定值．[14分]

20．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）3{(1,2,3)}A =，3{(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(3,2,1)}B =．[3分] （Ⅱ）考虑集合n A 中的元素123(,,,,)n a a a a L ．

由已知，对任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有i j a i a j --≤， 所以()()i j a i i a j j -+<-+， 所以i j a a <．

由,i j 的任意性可知，123(,,,,)n a a a a L 是1,2,3,,n L 的单调递增排列， 所以{(1,2,3,,)}n A n =L ．[5分]

又因为当k a k =*(k ∈N ，1)k n ≤≤时，对任意整数,,1i j i j n <≤≤， 都有i j a i a j ++≤．

所以(1,2,3,,)n n B ∈L ，所以n n A B ?．[7分] 所以集合n n A B I 的元素个数为1．[8分]

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，0n b ≠．

因为2{(1,2),(2,1)}B =，所以22b =．

当3n ≥时，考虑n B 中的元素123(,,,,)n a a a a L ．

（1）假设k a n =(1)k n <≤．由已知，1(1)k k a k a k ++++≤，

所以1(1)1k k a a k k n ++-+=-≥， 又因为11k a n +-≤，所以11k a n +=-．

依此类推，若k a n =，则11k a n +=-，22k a n +=-，…，n a k =．

① 若1k =，则满足条件的1,2,3,,n L 的排列123(,,,,)n a a a a L 有1个． ② 若2k =，则2a n =，31a n =-，42a n =-，…，2n a =．

所以11a =．

此时满足条件的1,2,3,,n L 的排列123(,,,,)n a a a a L 有1个．

③ 若2k n <<，

只要1231(,,,)k a a a a -L 是1,2,3,,1k -L 的满足条件的一个排列，就可以相应得到1,2,3,,n L 的一

个满足条件的排列．

此时，满足条件的1,2,3,,n L 的排列123(,,,,)n a a a a L 有1k b -个．[10分]

（2）假设n a n =，只需1231(,,,)n a a a a -L 是1,2,3,,1n -L 的满足条件的排列，此时满足条件的

1,2,3,,n L 的排列123(,,,,)n a a a a L 有1n b -个．

综上23111n n b b b b -=+++++L ，3n ≥． 因为3221142b b b =++==，

且当4n ≥时，23211(11)2n n n n b b b b b b ---=++++++=L ，[12分] 所以对任意*n ∈N ，3n ≥，都有

1

2n

n b b -=． 所以{}n b 成等比数列．[13分]