人教版初中数学八年级上册典型题思路分析-三角形章节

word版初中数学

初中数学典型题思路分析之三角形

一、重点及易错题型思路方法归纳

二、三角形的线段和角典型题

三、全等三角形典型题

四、全章复习巩固练习

一、重点及易错题型思路方法归纳

注：例题均为★★至★★★难度.

（一）解题知识要点

1.三角形三边的关系：要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．

2.三角形的重要线段：

（1）三角形的高：线段

要点诠释：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.

（2）三角形的中线：线段

要点诠释：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形.

（3）三角形的角平分线

要点诠释：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.

3.三角形的稳定性要点诠释：(1)三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．(2)三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．(3)四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形

的不稳定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜着钉一根木板，使它不变形． 4.多边形的定义要点诠释：多边形通常还以边数命名，多边形有 n 条边就叫做 n 边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.

5.正多边形要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形.

6.多边形的对角线要点诠释：(1)从n 边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将

多边形分成(n－2)个三角形；(2)n 边形共有条对角线．

7.全等三角形的判定与性质

\ 一般三角形直角三角形

判定边角边（SAS）

角边角（ASA）

角角边（AAS）

边边边（SSS）

两直角边对应相等一边

一锐角对应相等斜边、直

角边定理（HL）

性质对应边相等，对应角相等

（其他对应元素也相等，如对应边上的高相等）

注意判定三角形全等必须有一组对应边相等

8.全等三角形的证明思路

9.与角平分线有关的辅助线

在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.

10.全等三角形证明方法

全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法.

A.证明线段相等的方法：

(1)证明两条线段所在的两个三角形全等.

(2)利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等.

(3)等式性质.

B.证明角相等的方法：

(1)利用平行线的性质进行证明.

(2)证明两个角所在的两个三角形全等.

(3)利用角平分线的判定进行证明.

(4)同角（等角）的余角（补角）相等.

(5)对顶角相等.

C.证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法：

可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明.

D.辅助线的添加:

(1)作公共边可构造全等三角形； (2)

倍长中线法；

(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形； (4)利

用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形.

E.证明三角形全等的思维方法:

（1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件.

（2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件.

（3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质.

（二）典型例题类型

类型一、三角形的三边关系

例题1:一个三角形的三边长分别是3，2a-1，6,则整数a的值可能是 ( )．

A．2,3 B．3,4 C．2,3，4 D．3,4，5

【解题思路】直接利用三角形三边关系，得出a的取值范围.

【答案解析】解：∵一个三角形的三条边长分别为 3，2a-1，6,

∴

解得：2＜a＜5，整数a的值可能是 3,4，故选B.

【规律总结】判断有三条已知线段abc能否组成三角形： A.|a-

b|

B. 当三条线段中，较短的两条线段之和大于长线段时，能组成三角形，或当三条线段中

最短的线段大于其他两边只差时，能够组成三角形。

例题 2:已知a、b、c是三角形三边长，试化简：|b+c-a|+|b-c-a|+|c-a-b|﹣

|a-b+c|．

【答案解析】解：∵a、b、c是三角形三边长，

∴b+c-a＞0，b-c-a＜0，c-a-b＜0，a-b+c＞0，

∴|b+c-a|+|b-c-a|+|c-a-b|-|a-b+c|，

=b+c-a-b+c+a-c+a+b-a+b-c

=2b．

例题 3:如图，O是△ABC内一点，连接OB和OC．

(1)你能说明OB+OC＜AB+AC的理由吗?

(2)若AB＝5，AC＝6，BC＝7，你能写出OB+OC的取值范围吗?

【解题思路】我们需将线段AB,AC,OB.OC通过“等量代换”转化在同一个(或几个) 三角形中,然

后利用三角形三边关系定理来解决.那么怎样进行“等量代换”转化呢?因为题中AB、AC与OB、OC各自孤立而无联系,为打破这个僵局,可将BO延长与AC交于E(或将CO延长与AB交于F), 于

是它们之间便建立了密切的联系,并有等量可代了.

【答案解析】解：(1)如图，延长BO交AC于点E，根据三角形的三边关系可以得到，在△ABE中，AB+AE＞BE；

在△EOC中，OE+EC＞OC，

两不等式相加，得AB+AE+OE+EC＞BE+OC．由图

可知，AE+EC＝AC，BE＝OB+OE．

所以AB+AC+OE＞OB+OC+OE，即OB+OC＜AB+AC．

(2)因为OB+OC＞BC，所以OB+OC＞7．

又因为OB+OC＜AB+AC，所以OB+OC＜11，所以 7＜OB+OC＜11．

【规律总结】在证明线段和（或差)的不等式时,总是把各有关线段“等代转化”在一个或几个三角形中,然后利用三角形三边关系定理来解决.

类型二、三角形中的重要线段

例题 1:在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为 12cm和15cm两部分，求三

角形的各边长．

【解题思路】因为中线BD的端点D是AC边的中点，所以AD＝CD，造成两部分不等的原因是

BC边与AB、AC边不等，故应分类讨论．

此题我们重点注意分类讨论思想：BD把△ABC的周长分为 12cm和 15cm两部分，哪部分是 12cm，哪部分是 15cm，问题中没有交代，因此，必须进行分类讨论．

【答案解析】

解：如图(1)，设AB＝x，AD＝CD＝．

(1)若AB+AD＝12，即，所

以x＝8，

即AB＝AC＝8，则CD＝4．故BC＝15-4＝11．此时

AB+AC＞BC，所以三边长为 8，8，11．

(2)如图(2)，若AB+AD＝15，即，所以x＝

10．即AB＝AC＝10，则CD＝5．故BC＝12-5＝7．

显然此时三角形存在，所以三边长为 10，10，7．

综上所述此三角形的三边长分别为 8，8，11 或 10，10，7．

【规律总结】在证(解)题中,对可能出现的不同情况要采取分类讨论的方法予以解答,这对

学好数学是非常重要的，要养成这种严谨的学习习惯。

例题 2:有一块三角形优良品种试验田，现引进四个品种进行对比试验，需将这块土地分成

面积相等的四块，请你制定出两种以上的方案供选择.

【答案解析】方案 1：如图（1），在BC上取D、E、F，使BD=ED=EF=FC，连接AE、AD、AF．方案 2：如图(2)，分别取AB、BC、CA的中点D、E、F，连接DE、EF、DF．方案 3：如图(3)，取AB中点D，连接AD，再取AD的中点E，连接BE、CE．

方案 4：如图(4)，在 AB取点 D，使DC＝2BD，连接AD，再取AD的三等分点E、

F，连接CE、CF．

类型三、与三角形有关的角

例题:已知△ABC中，AE平分∠BAC

（1）如图 1，若AD⊥BC于点D，∠B=72°，∠C=36°，求∠DAE的度数；

（2）如图 2，P为AE上一个动点（P不与A、E重合，PF⊥BC于点F，若∠B＞∠C，则∠EPF=是否成立，并说明理由．

【解题思路】（1）利用三角形内角和定理和已知条件直接计算即可；

（2）成立，首先求出∠1 的度数，进而得到∠3 的度数，再根据∠EPF=180°﹣

∠2﹣∠3 计算即可．

【答案解析】证明：（1）如图 1，∵∠B=72°，∠C=36°，

∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=72°；又

∵AE平分∠BAC，

∴∠1==36°，

∴∠3=∠1+∠C=72°，

又∵AD⊥BC于D，

∴∠2=90°，

∴∠DAE=180°﹣∠2﹣∠3=18°．

（2）成立．

如图 2，∵AE平分∠BAC，

∴∠1===90°﹣，

∴∠3=∠1+∠C=90°﹣+，又

∵PF⊥BC于F，

∴∠2=90°，

∴∠EPF=180°﹣∠2﹣∠3=．

类型四、三角形的稳定性

例题 1:如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（四长四短）构成的几个连续的菱形（四条边都相等），每一个顶点处都有一个挂钩（连在轴上），不仅美观，而且实用，你知道它能收缩的原因和固定方法吗？

【解题思路】要使物体具有稳定性，应做成三角形，否则做成四边形、五边形等等.

【答案解析】

解：这种衣帽架能收缩是利用四边形的不稳定性，可以根据需要改变挂钩间的距

离。它的固定方法是：任选两个不在同一木条上的顶点固定就行了。

例题 2:如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条．那么要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条?使七边形木架不变形，至少要钉几根木条?使n边形木架不变形．又至少要钉多少根木条?

【答案解析】要使五边形木架不变形，至少要钉 2 根木条；使七边形木架不变形，

至少要钉 4 根木条；使n边形木架不变形，至少要钉(n-3)根木条．类型五、

巧引辅助线构造全等三角形

(1).倍长中线法

例题 1:已知，如图，△ABC 中，D 是BC 中点，DE⊥DF,试判断 BE＋CF 与EF 的大小关系，并证明你的结论.

【解题思路】有中点的时候作辅助线可考虑倍长中线法（或倍长过中点的线段）.因为 D 是BC 的中点，按倍长中线法，倍长过中点的线段 DF，使DG＝DF,证明△ EDG≌△EDF，△FDC≌△GDB，这样就把 BE、CF 与EF 线段转化到了△BEG 中，利用两边之和大于第三边可证.

【答案解析】BE＋CF＞EF；

证明：延长 FD 到 G，使 DG＝DF,连接 BG、EG

∵D 是 BC 中点

∴BD＝CD

又∵DE⊥DF

在△EDG 和△EDF 中

∴△EDG≌△EDF（SAS）

∴EG＝EF

在△FDC 与△GDB 中

∴△FDC≌△GDB(SAS)

∴CF＝BG

∵BG＋BE＞EG

∴BE＋CF＞EF

例题 2:已知：如图所示，CE、CB 分别是△ABC 与△ADC 的中线，且∠ACB＝∠ABC．求证：CD＝2CE．

【答案解析】证明：延长 CE 至 F 使 EF＝CE，连接 BF．

∵EC 为中线，

∴AE＝BE．

在△AEC 与△BEF 中，

∴△AEC≌△BEF（SAS）．

∴AC＝BF，∠A＝∠FBE．（全等三角形对应边、角相等）

又∵∠ACB＝∠ABC，∠DBC＝∠ACB＋∠A，∠FBC＝∠ABC＋∠A．

∴AC＝AB，∠DBC＝∠FBC．

∴AB＝BF．

又∵BC 为△ADC 的中线，

∴AB＝BD．即BF＝BD．

在△FCB 与△DCB 中，

∴△FCB≌△DCB（SAS）．

∴CF＝CD．即CD＝2CE．

(2).作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形

例题3:如图，AD 是的角平分线，H，G 分别在AC，AB 上，且HD＝BD. (1)求证：∠B 与∠AHD 互补；

(2)若∠B＋2∠DGA＝180°，请探究线段 AG 与线段 AH、HD 之间满足的等量关系，并加

以证明.

【答案解析】证明：（1）在 AB 上取一点 M, 使得 AM＝AH, 连接 DM.

∵∠CAD＝∠BAD, AD＝AD,

∴△AHD≌△AMD.

∴ HD＝MD, ∠AHD＝∠AMD.

∵ HD＝DB,

∴ DB＝ MD.

∴∠DMB＝∠B.

∵∠AMD＋∠DMB ＝180°,

∴∠AHD＋∠B＝180°. 即

∠B 与∠AHD 互补.

（2）由（1）∠AHD＝∠AMD, HD＝MD, ∠AHD＋∠B＝180°.

∵∠B＋2∠DGA ＝180°,

∴∠AHD＝2∠DGA.

∴∠AMD＝2∠DGM.

∵∠AMD＝∠DGM＋∠GDM.

∴ 2∠DGM＝∠DGM＋∠GDM.

∴∠DGM＝∠GDM.

∴ MD＝MG.

∴ HD＝ MG.

∵ AG＝ AM＋MG,

∴ AG＝ AH＋HD.

（3）.利用截长(或补短)法作构造全等三角形

例题 4:如图，△ABC 中，AB=AC，点 P 是三角形右外一点，且∠APB=∠ABC．

（1）如图 1，若∠BAC=60°，点 P 恰巧在∠ABC 的平分线上，PA=2，求PB 的长；

（2）如图 2，若∠BAC=60°，探究 PA，PB，PC 的数量关系，并证明；

（3）如图 3，若∠BAC=120°，请直接写出 PA，PB，PC 的数量关系．

【解题思路】截长补短作辅助线构造全等三角形是解题的关键．

（1）AB=AC，∠BAC=60°，证得△ABC 是等边三角形，∠APB=∠ABC，得到∠ APB=60°，又点 P 恰巧在∠ABC 的平分线上，得到∠ABP=30°，得到直角三角形，利用直角三角形的性质解出结果．

（2）在BP 上截取 PD，使 PD=PA，连结 AD，得到△ADP 是等边三角形，再通过三角形全等证得结论．

（3）以A 为圆心，以 AP 的长为半径画弧交 BP 于D，连接 AD，过点 A 作AF

⊥BP 交 BP 于 F，得到等腰三角形，然后通过三角形全等证得结论．

【答案解析】（1）∵AB=AC，∠BAC=60°，

∴△ABC 是等边三角形，∠APB=∠ABC，

∴∠APB=60°，

又∵点 P 恰巧在∠ABC 的平分线上，

∴∠PAB=90°，

∴BP=2AP，

∵AP=2，

∴BP=4；

（2）结论：PA+PC=PB．

证明：如图 1，在 BP 上截取 PD，使 PD=PA，连结 AD，

∴△ADP 是等边三角形，

∴∠DAP=60°，

∴∠1=∠2，PA=PD，在△

ABD 与△ACP 中，

，

∴△ABD≌△ACP，

∴PC=BD，

∴PA+PC=PB；

（3）结论：PA+PC=PB．

证明：如图 2，以 A 为圆心，以 AP 的长为半径画弧交 BP 于D，连接 AD，过点 A 作AF⊥BP 交BP 于F，

∴AP=AD，

∵∠BAC=120°，

∴∠ABC=30°，

∴∠APB=30°，

∴∠DAP=120°，

∴∠1=∠2，

在△ABD 与△ACP 中，

，

∴△ABD≌△ACP，

∴BD=PC，

∵AF⊥PD，

∴PF=AP，

∴PD= AP，

∴PA+PC=PB．

例题 5:如图，AD 是△ABC 的角平分线，AB＞AC,求证：AB－AC＞BD－DC

【答案解析】证明：在 AB 上截取 AE＝AC,连结 DE

∵AD 是△ABC 的角平分线，

∴∠BAD＝∠CAD

在△AED 与△ACD 中

∴△AED≌△ADC（SAS）

∴DE＝DC

在△BED 中，BE＞BD－DC 即

AB－AE＞BD－DC

∴AB－AC＞BD－DC

（4）在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段

例题 6:如图，已知∠BAC=90°，AD⊥BC 于点 D，∠1=∠2，EF∥BC 交AC 于点F．试说明AE=CF．

【解题思路】已知角平分线，构造全等三角形，综合利用角平分线的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定等知识点．作 EH⊥AB 于H，作 FG⊥BC 于G，根据角平分线的性质可得EH=ED，再证 ED=FG，则 EH=FG，通过证明△AEH

≌△CFG 即可．

【答案解析】作 EH⊥AB 于 H，作 FG⊥BC 于 G，

∵∠1=∠2，AD⊥BC，

∴EH=ED（角平分线的性质）

∵EF∥BC，AD⊥BC，FG⊥BC，

∴四边形 EFGD 是矩形，

∴ED=FG，

∴EH=FG，

∵∠BAD+∠CAD=90°，∠C+∠CAD=90°，

∴∠BAD=∠C，

又∵∠AHE=∠FGC=90°，

∴△AEH≌△CFG（AAS）

∴AE=CF．

例题7:如图所示，在△ABC 中，AC=BC，∠ACB=90°，D 是AC 上一点，且AE 垂直BD 的延长线于E，，求证：BD 是∠ABC 的平分线．

【解题思路】如果由题目已知无法直接得到三角形全等，不妨试着添加辅助线构造出三角形全等的条件，使问题得以解决．平时练习中多积累一些辅助线的添加

方法.

【答案解析】证明：延长 AE 和 BC，交于点 F，

∵AC⊥BC，BE⊥AE，∠ADE=∠BDC（对顶角相等），

∴∠EAD+∠ADE=∠CBD+∠BDC．即∠EAD=∠CBD．在 Rt

△ACF 和 Rt△BCD 中．

所以 Rt△ACF≌Rt△BCD（ASA）．

则 AF=BD（全等三角形对应边相等）．

∵AE=BD，∴AE=AF，即

AE=EF．

在 Rt△BEA 和 Rt△BEF 中，

则 Rt△BEA≌Rt△BEF（SAS）．

所以∠ABE=∠FBE（全等三角形对应角相等），即

BD 是∠ABC 的平分线．

类型六、全等三角形动态型问题

例题:在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线经过顶点 C，过 A，B 两点分别作的垂线AE，BF，垂足分别为 E，F.

（1）如图 1 当直线不与底边 AB 相交时，求证：EF＝AE＋BF.

（2）将直线绕点 C 顺时针旋转，使与底边 AB 相交于点 D，请你探究直线

在如下位置时，EF、AE、BF 之间的关系，①AD＞BD；②AD＝BD；③ AD＜BD.

【答案解析】证明：（1）∵AE⊥，BF⊥，∴∠AEC＝∠CFB＝90°，∠1＋∠2＝90°

∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠3＝90°

∴∠1＝∠3。

∵在△ACE 和△CBF 中，

∴△ACE≌△CBF（AAS）

∴AE＝CF，CE＝BF

∵EF＝CE＋CF，∴EF＝AE＋BF。

（2）①EF＝AE－BF，理由如下：

∵AE⊥，BF⊥，

∴∠AEC＝∠CFB＝90°，∠1＋∠2＝90°

∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3。

∵在△ACE 和△CBF 中

∴△ACE≌△CBF（AAS）

∴AE＝CF，CE＝BF

∵EF＝CF－CE，∴EF＝AE―BF。

②EF＝AE―BF

③EF＝BF―AE

证明同①.

【解题规律】解决动态几何问题时要善于抓住以下几点：

(1)变化前的结论及说理过程对变化后的结论及说理过程起着至关重要的作用；

(2)图形在变化过程中，哪些关系发生了变化，哪些关系没有发生变化；原来的线段

之间、角之间的位置与数量关系是否还存在是解题的关键；

(3)几种变化图形之间，证明思路存在内在联系，都可模仿与借鉴原有的结论与过程，其结论有时变化，有时不发生变化. 例

题 2:【问题情境】

如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是线段 BG 上的动点，AE⊥EF，EF 交正方形外角∠DCG 的

平分线 CF 于点 F．

【探究展示】

（1）如图 1，若点 E 是BC 的中点，证明：∠BAE+∠EFC=∠DCF．

（2）如图 2，若点 E 是BC 的上的任意一点（B、C 除外），∠BAE+∠EFC=∠DCF是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．

【拓展延伸】

（3）如图 3，若点 E 是BC 延长线（C 除外）上的任意一点，求证：AE=EF．

【答案解析】（1）证明：取 AB 的中点 M，连结 EM，如图 1：

∵M 是 AB 的中点，E 是 BC 的中点，

∴在正方形 ABCD 中，AM=EC，

∵CF 是∠DCG 的平分线，

∴∠BCF=135°，

∴∠AME=∠ECF=135°，

∵∠MAE=∠CEF=45°，

在△AME 与△ECF 中，

，

∴△AME≌△ECF（SAS），

∴∠BAE+∠EFC=∠FCG=∠DCF；

（2）证明：取 AB 上的任意一点使得 AM=EC，连结 EM，如图 2：

∵AE⊥EF，AB⊥BC，

∴∠BAE+∠BEA=90°，∠BEA+∠CEF=90°，

∴∠MAE=∠CEF，

∵AM=EC，

∴在正方形 ABCD 中，BM=BE，

∴∠AME=∠ECF=135°，

在△AME 与△ECF 中，

，

∴△AME≌△ECF（SAS），

∴∠BAE+∠EFC=∠FCG=∠DCF；

（3）证明：取 AB 延长线上的一点 M 使得 AM=CE，如图 3：

∵AM=CE，AB⊥BC，

∴∠AME=45°，

∴∠ECF=AME=45°，

∵AD∥BE，

∴∠DAE=∠BEA，

∵MA⊥AD，AE⊥EF，

∴∠MAE=∠CEF，

在△AME 与△ECF 中，

，

∴△AME≌△ECF（SAS），

∴AE=EF．