高中数学奥赛辅导
数列与递进 知识、方法、技能
数列是中学数学中一个重要的课题，也是数学竞赛中经常出现的问题.
所谓数列就是按一定次序排列的一列数.数列的一般形式是a 1, a 2, …,a n , …通常简记为{a n }.如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式.
从函数的角度看，数列可以看做是一个函数，定义域是自然数集或自然数集的一个有限子集，函数表达式就是数列的通项公式.
对于数列{a n }，把S n =a 1+a 2+…+a n 叫做数列{a n }的前n 项和，则有
??
?≥-==-).
2(),1(11
n S S n S a n n n I ．等差数列与等比数列 1．等差数列
（1）定义：.2
)(2
11++++==-n n n n n a a a d a a 或常量 （2）通项公式：a n =a 1+(n －1)d . （3）前n 项和公式：.2
)
1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+=
（4）等差中项：.2
21+++=
n n n a a a （5）任意两项：a n =a m +(n －m)d. （6）性质：
①公差为非零的等差数列的充要条件是通项公式为n 的一次函数；
②公差为非零的等差数列的充要条件是前n 项和公式为n 的不含常数项的二次函数； ③设{a n }是等差数列，如果m 、n 、p 、q ∈N*，且m+n=p+q ，那么a m +a n =a p +a q ;
④设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，则S m , S 2m －S m , S 3m －S 2m , …, S pm －S (p －1)m (m>1,p ≥3，m 、p ∈N*)仍成等差数列； ⑤设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，则}{
n
S n
是等差数列； ⑥设{a n }是等差数列，则{λa n +b}(λ,b 是常数)是等差数列；
⑦设{a n }与{b n }是等差数列，则{λ1a n +λ2b n }（λ1，λ2是常数）也是等差数列；
⑧设{a n }与{b n }是等差数列，且b n ∈N*，则{a bn }也是等差数列（即等差数列中等距离分
离出的子数列仍为等差数列）； ⑨设{a n }是等差数列，则{n
a C }（c>0, c ≠1）是等比数列.
2．等比数列 （1）定义：
n
n n n n n a a
a a q a a 1121),(++++==或常量 （2）通项公式：a n =a 1q n －1
.
（3）前n 项和公式：??
?
??≠--=--==).1(11)1().1(111
q q q a a q q a q na S n n n
（4）等比中项：.21++±=n n n a a a （5）任意两项：a n =a m q n －m
.
（6）无穷递缩等比数列各项和公式： S=
).1||0(1lim 1
1
<<-=
=∞
→+∞
=∑q q
a S a n n n n （7）性质：
①设{a n }是等比数列，如果m 、n 、p 、q ∈N*，且m+n=p+q ，那么a m ·a n =a p ·a q ；
②设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，则S m , S 2m －S m , S 3m －S 2m , …， S pm －S (p －1)m (m>1, p ≥3，m 、n ∈N*)仍为等比数列；
③设{a n }是等比数列，则{λa n }（λ是常数）、{m
n a }（m ∈Z*）仍成等比数列； ④设{a n }与{b n }是等比数列，则{a n ·b n }也是等比数列；
⑤设{a n }是等比数列，{b n }是等差数列，b n ∈Z*，则{a bn }是等比数列（即等比数列中等距离分离出的子数列仍为等比数列）；
⑥设{a n }是正项等比数列，则{log c a n }(c>0, c ≠1)是等差数列.
赛题精讲
例 1 设数列{a n }的前n 项和S n =2a n －1(n=1, 2,…)，数列{b n }满足b 1=3, b k+1=b k +a k (k=1,2，…)，求数列{b n }的前n 项之和.
（1996年全国数学联赛二试题1）
【思路分析】欲求数列{b n }前n 项和，需先求b n . 由a k =b k+1－b k , 知求a k 即可，利用 a k =S k －S k －1(k=2, 3, 4,…)可求出a k .
【略解】由S n =2a n －1和a 1=S 1=2a 1－1,得a 1=1, 又a n =S n －S n －1=2a n －2a n －1,即a n =2a n －1,因
此{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，则有a n =2n －1
.
由a k =b k+1－b k ，取k=1,2,…,n －1得
a 1=
b 2－b 1, a 2=b 3－b 2, a 3=b 4－b 3, …, a n －1=b n －b n －1,将上面n －1个等式相加，得b n －
b 1=a 1+a 2+…+a n . 即b n =b 1+a 1+a 2+…+a n =3+(1+2+22+…+2n －1)=2n －1
+2,所以数列{b n }的前n 项和为
S n ′=（2+1）+（2+2）+（2+22）+…+（2+2n －1）=2n+2n
－1.
【评述】求数列的前n 项和，一般情况必须先研究通项，才可确定求和的方法.
例2 求证：若三角形的三内角成等差数列，对应的三边成等比数列，则此三角形必是正三角形.
【思路分析】由△ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，知∠B=60°，三个角可设为60°
－d, 60°, 60°+d ，其中d 为常数；又由对应的三边a 、b 、c 成等比数列，知b 2
=ac ，或将
三边记为a 、aq 、aq 2
，其中q 为正常数，由此知要证此三角形为正三角形只须证明d=0或q=1或a=b=c.
【证】设△ABC 的三个内角为A 、B 、C 及其对边a 、b 、c ，依题意b 2
=ac, ∠B=60°.
【方法1】由余弦定理，得,,2
1
60cos 2cos 22222ac ac c a ac b c a B =-+==-+=
所以ο 整理得(a －c)2
=0因此a=c.
故△ABC 为正三角形.
【方法2】设a 、b 、c 三边依次为a 、aq 、aq 2
，由余弦定理有
cosB=2160cos 2)()(2
2222==??-+ο
aq
a aq aq a ,整理得q 4－2q 2+1=0,解得q=1, q=－1（舍去） 所以a=b=c,故此△ABC 为正三角形.
【方法3】因为b 2
=ac, 由正弦定理：
(2RsinB)2=2RsinA ·2RsinC （其中R 是△ABC 外接圆半径）即sin 2
B=sinA ·sinC ，把 B=60°代入得sinA ·sinC=
43，整理得21[cos(A －C)－cos(A+C)=4
3
，即cos(A －C)=1,所以A=C ，且∠B=60°，故此△ABC 为正三角形.
【方法4】将60°－d, 60°, 60°+d 代入sin 2
B=sinAsinC, 得sin(60°－d)·sin(60°+d)=
43，即21[cos(2d)－cos120°]= 4
3. 得cos2d=1, d=0°,所以∠A=∠B=∠C ，故△ABC 为正三角形.
【评述】方法1、2着眼于边，方法3、4着眼于角.
例3 各项都是正数的数列{a n }中，若前n 项的和S n 满足2S n =a n +n
a 1
,求此数列的通项公式.
【思路分析】 在S n 与a n 的混合型中，应整理成数列{S n }的递推式或数列{a n }的递推式，然后用递推关系式先求出S n ，再求a n ，或直接求a n .本题容易得到数列{S n }的递推式，利用a n =S n －S n －1先求出S n ，再求a n 即可.
【解】n ≥2时，将a n =S n －S n －1代入2S n =a n +
n a 1,得2S n =S n －S n －1+1
1--n n S S ,整理得
,1),2(111212==≥=--a S n S S n n 且所以数列}{2n S 是首项为1，公差为1的等差数列，
即),2(1,,1)1(112≥--=-==
=?-+=-n n n S S a n S n n S n n n n n 从而当n=1
时，由2S 1=a 1+
n
a 1
,得a 1=1也满足1--=n n a n . 故数列{a n }的通项公式为1--=
n n a n .
【评述】处理本例的思想方法，可用来求满足S n 与a n 混合型中的通项公式. 例4 设数列{a n }的前n 项和S n 与a n 的关系为S n =－ba n +1－
n
b )1(1
+，其中b 是与n 无
关的常数，且b ≠－1.（1）求a n 与a n －1的关系式；
（2）写出用n 与b 表示a n 的表达式.
【思路分析】利用S n =a n －a n －1(n ≥2)整理出数列{a n }的递推关系式求a n .
【解】（1）2
1111)1(1
)1(11b a b ba S a +=+-+-==得 当n ≥2时，a n =S n －S n －1= －b a n +1－
n
n n n n n b b
ba ba b ba b )
1(])1(11[)1(1111+++-=+-+--+---,整理得 ,4
1
,1)2((*)
)2()1(111
1==≥+++=
+-a b n b b
a b b a n n n 时当
,2
12111+-+=
n n n a a 两边同乘以2n ，
得2n a n =2n －1a n －1+21,可知数列{2n
a n }是以2a=21为首项，公差为21的等差数列.所以.2
,221)1(2121+==-+=n n n n
n a n n a 即
当b ≠1，b ≠－1时， 由（*）式得(1+b)n
a n =b(1+b)
n －1
a n －1+
b
b
+1 .)1(1,)1(.)1(1)1()1(1
11
11-----++=+=+++=+n n n n n n n n n n n b
b c c a b b c b b a b b a b b 则令有
从而数列{c n －c n －1}就是一个等比数列，n 取2，3，…，n 得
,
)1)(1()
1()1)(1(1)1()1(,
)1)(1(1)1111(11,
11
1),111(111,)1(1
,,)1(1
,)1(11
1112111211
12
2312+------+--=+--?+=?+=+--=+++++=+=+=++++=--+=-+=-+=
-n n n n n n n n n n n n
n n n n n n n b b b b b b b b b b c b b a b b b b b b b b c b a b b c b b b b c c n b b c c b
b c c b b c c 从而所以且个式子相加得上述K K K
故数列{a n }的通项公式为
???????±≠+--==+.
1)
1)(1()
1(,
1,21b b b b b b n a n n
n n
【评述】构造辅助数列是解由递推关系式给出数列求通项的一个基本方法，本例构造了
辅助数列{c n }、{c n －c n －1}，使数列{c n －c n －1}为等比数列，化未知为已知，从而使问题获解.
例5 n 2
(n ≥4)个正数排成n 行n 列 a 11 a 12 a 13 a 14…… a 1n a 21 a 22 a 23 a 24…… a 2n a 31 a 32 a 33 a 34…… a 3n a 41 a 42 a 43 a 44…… a 4n … … … … …… … a n1 a n2 a n3 a n4…… a nn
其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等，已知a 24=1, a 42=
81，a 43=16
3
,求a 11+a 22+a 33+…+a nn .（1990年全国高中数学联赛试题） 【思路分析】求和需要研究a 11和a kk ，又每列成等比数列且公比相等，只需要研究a 1k
和q,又每行成等差数列，需要求得a n 和第一行的公差d ，因而本题利用已知建立a n 、d 和q 之间关系，使问题获解.
【解】设第一行数列公差为d ，各列数列公比为q.因为2a 43=a 42+a 44, 所以a 44=2a 43－a 42=2×
163－81=4
1.又因为a 44=a 24·q 2=q 2
,所以q=21,于是有
???
????
=+=?==+=?=,
81)21)((,121)3(31131242111424d a q a a d a q a a
解此方程组，得d=
21,a 11=2
1. 对于任意的1≤k ≤n,有
.
2212,221122
11)
211(2
12
2121212121,2
332221,,
2
)21](21)1(21[])1([1332211111
32132332211111111n n nn n n n n n n n nn k k k k k kk n
a a a a n n n
S n S a a a a S k
k q d k a q a a --=++++--=---=-++++=++++=
++++==-+=-+=?=-++++---K K K K 故两式相减得则有
设
【评述】数列求和应先研究通项，通项c n =a n b n ，其中{a n }成等差为九列，{b n }为等比数
列，数列{c n }的求和用错项相减去.
例6 将正奇数集合{1，3，5，…}从小到大按第n 组有(2n －1)奇数进行分组：{1}, {3,5,7} , {9, 11, 13, 15, 17}, … （第1组）（第2组）（第3组）
问1991位于第几组中
（1991年全国高中数学联赛试题）
【思路分析】思路需要写出第n 组的第1个数和最后一个数，1991介于其中，而第n 组
中最后一个数是第（1+3+…+2n －1）=n 2个奇数为2n 2
－1.
【解】因为1+3+5+…+(2n －1)=n 2
所以前n 组共含有奇数n 2个，第n 组最后一个数即第n 2个奇数为2n 2
－1,第n 组第一个
数即第n －1组最后一个数后面的奇数为[2(n －1)2－1]+2=2(n －1)2
+1.由题意，有不等式
2(n －1)2+1≤1991≤2n 2
－1.
解得(n －1)2≤995且n 2
≥996，从而n ≤32且n ≥32， 故n=32，即1991位于第32组中.
【评述】应用待定的方法，假定位于第n 组中然后确定n 即可. 例7 设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 是前n 项和，证明
.log 2
log log 15.02
5.05.0++>+n n n S S S
（1995年全国高考题）
【思路分析】要证原结论成立，只需证S n S n+2<2
1+n S 成立，用等比数列前n 项和公式表示或建立S n 、S n+1、S n+2的关系，用比较法证之.
【证法1】设{a n }的公比为q,由题设知a 1>0, q>0.
（1）当q=1时，S n =na 1，从而
S n S n+2－21+n S =na 1(n+2)a 1－21a (n+1)2
=－2
1a <0.
（2）当q ≠1时，,1)
1(1q
q a S n n --=
.0)
1()1()1()1)(1(212
212122211
2<-=------=-+++-n n n n n n n q a q q a q q q a S S S 由①、②知.2
12++ 根据对数函数的单调性，得 .log 2 log log . log )(log 15.02 5.05.02 15.025.0++++>+>n n n n n n S S S S S S 即 【证法2】设{a n }的公比为q ，由题设知a 1>0, q>0. 因为S n+1+=a 1+qS n , S n+2=a 1+qS n+1, 所以S n S n+2－2 1+n S =S n (a 1+qS n+1)－(a 1+qS n )S n+1=a 1(S n －S n+1) =－a 1(S n+1－S n ) =－a 1a n+1<0. 即.2 12++ 【评述】明确需要证2 12++ 数列与递进 知识、方法、技能 数列是中学数学中一个重要的课题，也是数学竞赛中经常出现的问题. 所谓数列就是按一定次序排列的一列数.数列的一般形式是a 1, a 2, …,a n , …通常简记为{a n }.如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式. 从函数的角度看，数列可以看做是一个函数，定义域是自然数集或自然数集的一个有限子集，函数表达式就是数列的通项公式. 对于数列{a n }，把S n =a 1+a 2+…+a n 叫做数列{a n }的前n 项和，则有 ?? ?≥-==-). 2(),1(11 n S S n S a n n n I ．等差数列与等比数列 1．等差数列 （1）定义：.2 )(2 11++++==-n n n n n a a a d a a 或常量 （2）通项公式：a n =a 1+(n －1)d . （3）前n 项和公式：.2 ) 1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+= （4）等差中项：.2 21+++= n n n a a a （5）任意两项：a n =a m +(n －m)d. （6）性质： ①公差为非零的等差数列的充要条件是通项公式为n 的一次函数； ②公差为非零的等差数列的充要条件是前n 项和公式为n 的不含常数项的二次函数； ③设{a n }是等差数列，如果m 、n 、p 、q ∈N*，且m+n=p+q ，那么a m +a n =a p +a q ; ④设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，则S m , S 2m －S m , S 3m －S 2m , …, S pm －S (p －1)m (m>1,p ≥3，m 、p ∈N*)仍成等差数列； ⑤设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，则}{ n S n 是等差数列； ⑥设{a n }是等差数列，则{λa n +b}(λ,b 是常数)是等差数列； 集合（一） 内容综述： 本讲先介绍了以下一些重要的概念：集合、子集、两集合相等、真子集、并集、交集、相对补集，然后介绍了著名的容斥原理，接着介绍了以下几个定律：零律、分配律、排中律、吸收律、补交转换律、德·摩根律。 然后通过6道例题分析了一部分集合题目的解题方法与技巧，同学们应在熟悉以上定义、定理、定律的基础上仔细分析例题材解法，争取可以独立解决训练题。 要点讲解： §1．基本理论 除了课内知识外，我们补充以下知识 相对补集：称属于A而不属于B的全体元素，组成的集合为B对A的相对补集或差集，记作A-B。 容斥原理：以表示集合A中元素的数目，我们有 ，其中为n个集合称为A的阶。 n阶集合的全部子集数目为。 A，B，C为三个集合，就有下面的定律。 （1）分配律 （2）零律 （3）排中律 （4）吸收律 （5）补交转换律 （6）德·摩根律的相对形式 例题分析： 例1：对集合{1，2，…，n}及其每一个非空了集，定义一个唯一确定的“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后交替地减或加后继的数所得的结果，例 如，集合的“交替和”是9-6+4-2+1=6.的“交替和”是6-5=1，的交替和是2。那么，对于n=7。求所有子集的“交替和”的总和。 分析；n=7时，集合{7，6，5，4，3，2，1}的非空子集有个，虽然子集数 目有限，但是逐一计算各自的“交替和”再相加，计算量仍然巨大，但是，根据“交替和”的定义，容易看到集合{1，2，3，4，5，6，7}与{1，2，3，4，5，6}的“交替 和”是7；可以想到把一个不含7的集和A与的“交替和”之和应为7。那么，我们也就很容易解决这个问题了。 解：集合{1，2，3，4，5，6，7}的子集中，除去{7}外还有个非空子集合，把这个非空子集两两结组后分别计算每一组中“交替和”之和，结组原则是设 这是把结合为一组，显然，每组中，“交替和”之和应为7，共有组.所以,所有“交替和”之和应该为 。 初中数学竞赛辅导资料 第一讲数的整除 一、容提要： 如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除. 能被7整除的数的特征： ①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。 如 1001 100－2＝98（能被7整除） 又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除） 能被11整除的数的特征： ①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除 如 1001 100－1＝99（能11整除） 又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除） 二、例题 例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。 求x,y 解：x,y 都是0到9的整数，∵75y 能被9整除，∴y=6. ∵328＋92x ＝567，∴x=3 例2已知五位数x 1234能被12整除，求x 解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除， 当1＋2＋3＋4＋x 能被3整除时，x=2，5，8 当末两位4x能被4整除时，x＝0，4，8 ∴x＝8 例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数 解：五位数字都不相同的最小五位数是10234， 但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行 调整末两位数为30，41，52，63，均可， ∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。 练习一 1、分解质因数：（写成质因数为底的幂的连乘积） ①756②1859 ③1287 ④3276 ⑤10101 ⑥10296 987能被3整除，那么 a=_______________ 2、若四位数a x能被11整除，那么x＝__________ 3、若五位数1234 35m能被25整除 4、当m=_________时，5 9610能被7整除 5、当n=__________时，n 6、能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________ 7、能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最大四位数是_________。 8、8个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972 中，能被下列各数整除的有（填上编号）： 6________,8__________,9_________,11__________ 9、从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个，能被3整除 但不是5的倍数的共______个。 10、由1，2，3，4，5这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被3 整除的数共有几个？为什么？ 小学数学教学中学生的学习兴趣的培养策略课题实施方案 一、课题提出的背景和意义 1.课题提出的背景 教育心理学的研究表明“兴趣”是一种带有情感色彩的认识倾向它以认识和探索某种事物的需要为基础,是推动人们去认识事物,探求真理的一种重要动机,是孩子各种创造力,求知欲的原动力,只要孩子对某种事物发生兴趣,就会无止境的去追求、去实践、去发展。数学课堂在多数人看来就是一个1+1必须等于2的枯燥无味的教师说、学生听的课堂。因此，数学课堂要达到和其他孩子感兴趣的课堂一样，就需要我们教师结合实际生活激发学生的学习兴趣。 陶行知先生一向倡导"生活即教育"，在其生活教学理论中，"在生活里找教育，为生活而教育"的观念相当明确。张雪门先生提出的"行为课程"也以生活教育理论为指导，他认为"生活就是教育"，因此要重视学生生活本身的教育，实行教育生活化。数学是理性的、抽象的。生活却是感性的、具体的，生活中的具体事物只有在被抽象成数学符号时，才可能被称之为数学。数学问题源于生活，同时又服务于生活。华罗庚说过："宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变日用之繁，无处不用数学。"这是对数学与生活的精彩描述。 2.研究意义 《新课标》十分强调数学与现实生活的联系："数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具，能够帮助人们处理数据，进行计算、推理和证明。"通过教学使学生"认识到现实生活中蕴涵着大量的数学信息，数学在现实世界中有着广泛的应用；面对实际问题时，能主动尝试着从教学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略；面对新的数学知识时能主动地寻求其实际背景，并探索其应用价值。"因此，我们要在学校的数学活动中, 要打破数学与生活的隔阂，密切联系学生生活实际，从观察、寻找身边的数学入手，从熟悉的生活情景和感兴趣的事物出发，为他们提供观察、操作、实践探索的机会，使他们有更多的机会从周围熟悉的事物中学习数学，理解数学，激发学生认识和探索数学的兴趣，学会用数学知识、经验来解决生活中的问题，体会到数学就在身边，感受到数学的趣味和作用，体验到数学的魅力我们要确立"生活即课堂"的观念，让学生走出教室，在社会、生活这一大课堂中去体验具体的、可感的、鲜活的数学知识，从而达到主动地建构知识，形成概念。让学生在愉悦的数学情境中乐学，在兴趣中实践，并力致于学生实践与创新能力的培养。 二、课题的界定 1.小学数学教学主要指课堂教学、知识巩固以及课外的思维训练等。 2.培养学生学习数学的兴趣,是指在课堂上教师利用各种教学手段,使学生爱上数学课，以促进学生的发展，即新课标提出的“知识与能力、过程与方法、情感态度价值观 函数的基本性质 基础知识： 函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的. 关于函数的有关性质，这里不再赘述，请大家参阅高中数学教材及竞赛教材：陕西师范大学出版社 刘诗雄《高中数学竞赛辅导》、刘诗雄、罗增儒《高中数学竞赛解题指导》. 例题： 1. 已知f(x)＝8＋2x －x 2，如果g(x)＝f(2－x 2 )，那么g(x)( ) A.在区间(－2，0)上单调递增 B.在(0，2)上单调递增 C.在(－1，0)上单调递增 D.在(0，1)上单调递增 提示：可用图像，但是用特殊值较好一些.选C 2. 设f(x)是R 上的奇函数，且f(x ＋3)＝－f(x)，当0≤x≤ 23时，f(x)＝x ，则f(2003)＝( ) A.－1 B.0 C.1 D.2003 解：f(x ＋6)＝f(x ＋3＋3)＝－f(x ＋3)＝f(x) ∴ f(x)的周期为6 f(2003)＝f(6×335－1)＝f(－1)＝－f⑴＝－1 选A 3. 定义在实数集上的函数f(x)，对一切实数x 都有f(x ＋1)＝f(2－x)成立，若f(x)＝0仅有 101个不同的实数根，那么所有实数根的和为( ) A.150 B.2303 C.152 D.2 305 提示：由已知，函数f(x)的图象有对称轴x ＝ 23 于是这101个根的分布也关于该对称轴对称. 即有一个根就是23，其余100个根可分为50对，每一对的两根关于x ＝2 3对称 利用中点坐标公式，这100个根的和等于 23×100＝150 所有101个根的和为 23×101＝2303.选B 4. 实数x ，y 满足x 2＝2xsin(xy)－1，则x 1998＋6sin 5 y ＝______________. 解：如果x 、y 不是某些特殊值，则本题无法(快速)求解 注意到其形式类似于一元二次方程，可以采用配方法 (x －sin(xy))2＋cos 2(xy)＝0 ∴ x＝sin(xy) 且 cos(xy)＝0 ∴ x＝sin(xy)＝±1 ∴ siny＝1 xsin(xy)＝1 原式＝7 5. 已知x ＝9919+是方程x 4＋bx 2＋c ＝0的根，b ，c 为整数，则b ＋c ＝__________. 解：(逆向思考：什么样的方程有这样的根？) 由已知变形得x －9919= ∴ x 2－219x ＋19＝99 即 x 2－80＝219x 再平方得x 4－160x 2＋6400＝76x 2 即 x 4－236x 2＋6400＝0 ∴ b＝－236，c ＝6400 b ＋ c ＝6164 6. 已知f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)，f(x)＝0有实数根，且f(x)＝1在(0，1)内有两个实数根， 求证：a ＞4. 证法一：由已知条件可得 △＝b 2－4ac≥0 ① f⑴＝a ＋b ＋c ＞1 ② 奥林匹克数学的技巧（上篇） 有固定求解模式的问题不属于奥林匹克数学，通常的情况是，在一般思维规律的指导下，灵活运用数学基础知识去进行探索与尝试、选择与组合。这当中，经常使用一些方法和原理（如探索法，构造法，反证法，数学归纳法，以及抽屉原理，极端原理，容斥原理……），同时，也积累了一批生气勃勃、饶有趣味的奥林匹克技巧。在2-1曾经说过：“竞赛的技巧不是低层次的一招一式或妙手偶得的雕虫小技，它既是使用数学技巧的技巧，又是创造数学技巧的技巧，更确切点说，这是一种数学创造力，一种高思维层次，高智力水平的艺术，一种独立于史诗、音乐、绘画的数学美。” 奥林匹克技巧是竞赛数学中一个生动而又活跃的组成部分。 2-7-1 构造 它的基本形式是：以已知条件为原料、以所求结论为方向，构造出一种新的数学形式，使得问题在这种形式下简捷解决。常见的有构造图形，构造方程，构造恒等式，构造函数，构造反例，构造抽屉，构造算法等。 例2-127 一位棋手参加11周（77天）的集训，每天至少下一盘棋，每周至多下12盘棋，证明这棋手必在连续几天内恰好下了21盘棋。 证明：用n a 表示这位棋手在第1天至第n 天（包括第n 天在内）所下的总盘数（1,2,77n =…），依题意 127711211132a a a ≤<<≤?=… 考虑154个数： 12771277,,,21,21,21a a a a a a +++…,?, 又由772113221153154a +≤+=<，即154个数中，每一个取值是从1到153的自然数，因而必有两个数取值相等，由于i j ≠时，i i a a ≠ 2121i j a a +≠+ 故只能是,21(771)i j a a i j +≥>≥满足 21i j a a =+ 这表明，从1i +天到j 天共下了21盘棋。 这个题目构造了一个抽屉原理的解题程序，并具体构造了154个“苹果”与153个“抽屉”，其困难、同时也是精妙之处就在于想到用抽屉原理。 例 2-128 已知,,x y z 为正数且()1xyz x y z ++=求表达式()()x y y z ++的最最小值。 解：构造一个△ABC ，其中三边长分别为a x y b y z c z x =+??=+??=+? ，则其面积为 1?= 另方面2()()2sin x y y z ab C ?++==≥ 故知，当且仅当∠C=90°时，取值得最小值2，亦即222()()()x y y z x z +++=+ 高中数学值得推荐的辅导书看完都上清华北大 很多同学进入高中后都会想要几本好的教辅书，下面是小编推荐的高中数学最好的辅导书，希望能对大家有所帮助。 ? ?高考数学最好的辅导书 1.《高中数学精编?代数》《高中数学精编解析 几何、立体几何》郑日锋浙江教育出版社这套书上世纪八十年代就已经风靡一时了，堪称经典。之前一直是四本，后来改成了两本，内容上也有更新，目前还是四校学生争先恐后刷掉的第一套书，可见其在高中教辅之中的地位。可作为同步教辅。2.《多功能题典?高中数学》(第三版)况亦军华东师范大学 出版社该书主编况亦军为上海中学数学教研组组长，各章编写者大多为华东师范大学第二附属中学的老师，可以保证该书品质。该书非常厚(1000页)，每个题目后配有详细解析，非常适合有一定基础之后再进行阅读，否则只看解析不动笔做容易造成眼高手低的状况。3.《高中五星级题库?数学(课改版)》《高中五星级题库难题解析数学(课改版)》(红皮)沈子兴上海科技教育出版社还有一套蓝皮的五星级题库不推荐给各位，因为那本书是全国教材的编写顺序，而红皮的是上海教材的编写顺序。该书为华师大二附中学生用于提高的教辅，部分五星题目达到高中联赛难度。4.《华东师大版一课一练》华东师 范大学出版社该书为部分中学同步教辅，号称改革开放以来最具影响力的300本书之一，经常遇到学生问到该书上的问题，如果学校要求做就做，不 要求做的话建议刷《精编》。5.《龙门专题高中数学》(12本专题+1思想方法)付荣强龙门书局高中教辅精五门之一(精编，五星级题库，龙门专题)，这是 高中常规体系教辅材料里面少有的分专题呈现的教辅，专题之间穿插很多，综合性强，不适合作为同步教辅，当然学习能力非常强的学生可用该书自学。 高中数学教师个人教学工作计划 高中数学教师个人教学工作计划【一】一、指导思想： 准确把握《教学大纲》和《考试大纲》的各项基本要求，立足于基础知识和基本技能的教学，注重渗透数学思想和方法。立足学生的实际，不断研究数学教学，改进教法，指导学法，奠定立足社会所需要的必备的基础知识、基本技能和基本能力，着力于培养学生的创新精神，运用数学的意识和能力，奠定他们终身学习的基础。 二、学生基本情况分析： 1、基本情况：高二（1）班和高二（4）班。这两个班的学生对数学学习各不相同。其中，高二（1）班为理科班数学学习兴趣较为浓厚。我觉得对于象我们地方性学校来说，这个班的数学成绩以及整体水平情况还算可以。分析原因：这个班的学生学习气氛浓厚，有良好的班风学风，有你追我干的竞争精神，同时有一批思维相当灵活的学生。 而高二（4）班是艺术班数学学习较为一般，有些学生自觉性差，自我控制能力弱，因此在教学中需时时提醒学生，培养其自觉性；有些学生对自己学习数学的信心不足，学习积极性和主动性不够，学习上只满足完成老师，同时，所学的数学基础知识薄弱，基本概念模糊不清，基本方法掌握得不够扎实，灵活运用知识分析问题、解决问题的能力差，只会模仿解决一些简单问题，不能举一反三，题目稍微有 点变化就束手无策。 三、教学目标 针对以上问题的出现，在本学期拟订以下目标和措施。其具体目标如下： 1、获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用。通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程。 2、提高空间想像、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。 3、提高数学的提出、分析和解决问题的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力。 4、提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。 四、教法分析： 1、选取与内容密切相关的，典型的，丰富的和学生熟悉的素材，用生动活泼的语言，创设能够体现数学的概念和结论，数学的思想和方法，以及数学应用的学习情境，使学生产生对数学的亲切感，以达到培养其兴趣的目的。 2、通过“观察”，“思考”，“探究”等栏目，引发学生的思考和探索活动，切实改进学生的学习方式。 3、在教学中强调类比，推广，特殊化，化归等数学思想方法， 高中数学竞赛资料 一、高中数学竞赛大纲 全国高中数学联赛 全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。 全国高中数学联赛加试 全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是： 1.平面几何 几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。几何不等式。几何极值问题。几何中的变换：对称、平移、旋转。圆的幂和根轴。面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。 2.代数 周期函数，带绝对值的函数。三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。 第二数学归纳法。平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。 复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。 n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。 函数迭代，简单的函数方程* 3.初等数论 同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。 4.组合问题 圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。组合计数，组合几何。抽屉原理。容斥原理。极端原理。图论问题。集合的划分。覆盖。平面凸集、凸包及应用*。 注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。 二、初中数学竞赛大纲 1、数 整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。 2、代数式 综合除法、余式定理；因式分解；拆项、添项、配方、待定系数法；对称式和轮换对称式；整式、分工、根式的恒等变形；恒等式的证明。 3、方程和不等式 含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的解法，一元二次方程根的分布；含绝对值的一元一次方程、一元二次方程的解法；含字母系数的一元一次不等式的解法，一元二次不等式的解法；含绝对值的一元一次不等式；简单的多元方程组；简单的不定方程（组）。 4、函数 二次函数在给定区间上的最值，简单分工函数的最值；含字母系数的二次函数。 5、几何 三角形中的边角之间的不等关系；面积及等积变换；三角形中的边角之间的不等关系；面积及等积变换；三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质；相似形的概念和性质；圆，四点共圆，圆幂定理；四种命题及其关系。 6、逻辑推理问题 抽屉原理及其简单应用；简单的组合问题简单的逻辑推理问题，反证法； 你知道数学竞赛怎么学 点击：248次，时间：2016-11-12 14:08:55 搞竞赛要找好苗子，首先他是热情的，勤奋的，其次是有抱负的，不畏艰难的；当然不能是临时抱佛脚的。冰冻三尺，非一日之寒。应该从高一前的暑假就开始不停的学习、训练。细细地说来，注意事项还有很多。 1、学习进度方面 要在高一开学之前的那个暑假里把整个高中的数学内容全部学完，并在高一上学期应该完成像高三一样的两轮复习，基础太重要了，第一试占了150分，不可小视。然后，就是竞赛内容了，不要以为看几本竞赛书就可以了，因为那些书上讲得太粗略；这时候，对老师的要求就更高。老师不但要对竞赛内容非常熟悉，还要不断地总结重要的思想方法，使学生能够灵活运用。 2、入门书单 首先如果要涉猎竞赛，最基本的高中课程是一切的基础。接下来的书就是建立在此基础上的。我们最先做的当然是补全差距:课标大纲和竞赛大纲之间的差距。 1）《新编中学数学解题方法全书》，即基础衔接书。 2）《奥数教程》 经典奥数蓝皮书。优点是与课本知识联系紧密，适合你在第一遍学习高中数学知识的同时同步提高，帮助你打下坚实的基础，以讲解为主，以测试为辅。(与《培优教程》二选一即可，小编认为《培优》稍难，但很散，推荐《奥数教程》。) 3、提高书单 1）《奥赛小丛书》 专而精，很多专题非常精彩，难度涵盖联赛和冬令营，读起来也容易让同学们感兴趣。如果仅以省级国一为目标，其中概率、几何不等式可以不看，图论、组合几何、数论编的不错，集合变换、三角与几何虽然写的很好但不实用；其它的如函数、集合还好，可以看看。这套书中代数只有两本不等式，而且很不实用，不推荐。至于数学归纳法里面题很经典，不过很综合，可以放在该套书后面看。对于这套书要尽快看完，里面题要自己做，可能比较辛苦。总的来说这套书值得一看，要尽早开始看。 2）《奥赛经典》 内容比较全面，例题选取也比较新，难度也较高，适合着眼于联赛二试和冬令营的同学们；代数部分可以做为《奥赛小丛书》的补充。几何还可以，但定理可以只记最基本的，拓展的可以不记。组合，数论有时间可以看看,不过很多都和小丛书重复，没时间就算了。 3）《命题人讲座》 适合系统学习，冲刺冬令营，但没必要每本都做，挑其中较好的做便可。如《解析几何》、《函数迭代与函数方程》、《数列与数学归纳法》、《组合问题》、《三角函数与复数》、《向量与立体几何》、《初等数论》。 其中《初等数论》是目前数论方面非常系统、难度较高的一本书，很多学生读后也感觉受益匪浅。数论方面当然不能不提两位先生，一位是潘承彪教授，一位是余红兵教授，潘老师的《初等数论》是我们读书时的必读教材，也是大学里的教材，不仅仅局限于竞赛范畴；余老师关于数论的小册子《数学竞赛中的数论问题》，非常经典！ 另外华罗庚的《数论导引》则非常优秀，适合看完《初等数论》后再深化学习。此外非常值得推荐的是《哈代数论》，值得永世珍藏。 4）《数学竞赛研究教程(套装上下册)》 本书是参加数学竞赛的教练员和选手的必备用书。国内数学竞赛研究方面的权威参考书。 5）关于几何 《初等数学复习及研究平面几何》、《初等数学复习及研究立体几何》。有助于深化系统自己的几何基础。 6)关于组合 推荐单樽老师的《组合几何》《趣味图论》，以上均为上面提到过的数学奥赛辅导丛书的书，那一个系列基本上都非常出色，适合永世珍藏。 编号：TQC/K460 高中数学教师研修工作计 划完整版 According to the characteristics of different time periods, the specific implementation plan is put forward. At the same time, considering the cost, according to their own choice of appropriate way, in order to achieve low cost and achieve good results. 【适用制定规则/统一目标/规范行为/增强沟通等场景】 编写：________________________ 审核：________________________ 时间：________________________ 部门：________________________ 高中数学教师研修工作计划完整版 下载说明：本计划资料适合用于根据不同时间段的特点，推出各项具体执行方案。主要特点是细致、周密，操作性强和不乏灵活性，同时考虑费用支出事项，根据自身力量选择合适的方式，以实现较低费用取得良好效果。可直接应用日常文档制作，也可以根据实际需要对其进行修改。 根据《20xx年广东省中小学骨干教师 “三位一体”省级培训实施方案》的指示 精神，20xx年11月4日至20xx年11 月23日，我非常荣幸地参加了东莞一中特 级教师孟胜奇老师工作室的省级骨干教师 跟岗学习培训。在这的20天里。我将和来 自高要、东莞、深圳市的骨干老师一同交 流学习，在孟老师的指导下，通过课题研 究、课型研究、教学实践、专题研究、双 向听评课、案例分析、课例开发、专题研 讨、问题解决、论文写作等等形式，促进 学高中数学竞赛辅导计 划 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】 2016年高中数学竞赛辅导计划 为搞好2016年全国数学联赛备考工作，并以此为契机，培养我校学生数学学习的积极性，进一步提高我校的办学品位，特举办本届高中数学联赛辅导班。 一、指导思想： 以科学发展观、新课程理论为指导；以提高学生学习数学、应用数学的兴趣，提高学生的数学素养为宗旨；坚持以生为本、有利于学生的终生发展的原则，立足实际、因材施教，开展数学竞赛辅导班工作。 二、目标要求 1、适当拓宽学生数学知识视野，注重渗透一些常用的数学思想方法、加深对数学本质的认识。 2、注重培养学生良好的思维品质，提高学生的探究知识及运用数学知识和数学思想方法分析、解决问题的能力。 3、注意培养学生的应用意识、创新意识、协作意识，培养学生良好的科学态度。 4、使学生在探究知识，解决问题的过程中，感受数学文化的博大精深和数学方法的巨大创造力，感受数学的魅力，增强对数学的向往感；从而激发学生学习数学的热情。培养学生不畏困难、敢于攀登科学高峰的勇气。 5、力争在2016年高中数学联赛中至少有两人次取得省级三等以上的奖项，在本市同层次学校中名列前茅，为学校争光。 三、管理措施： 1、依据全国数学联赛考试大纲，结合近几年数学联赛试题特点，根据教学进度和学生认知结构特点，精心选择、合理安排教学内容，循序渐进，逐步提高。 2、精心准备，讲究实效。认真编写讲义（或教案），上课前一周将讲义制好并分发给学生。认真上好每一节辅导课，使学生真正学有所得。 3、以集体讲解与学生自主学习和小组合作学习相结合的学习形式组织学习，充分调动学生学习的积极性，保障学生的主体地位。 4、精编课后巩固练习与强化，及时检查、及时批改、及时反馈，确保质量。 5、制定辅导班班规，严格考勤制度。 6、争取学校有关领导、班主任及数学教师的支持，确保后勤保障。 五、学生选拔：先由学生本人自愿报名，经家长同意后，由有关班主任、任课教师协商并推荐人选，通过选拔考试择优录取50名。 六、辅导教师： 七、活动时间： 八、活动地点： 注： 1、若有特殊情况须作临时调整，则另行通知。 2、本计划有不周之处或未尽事宜，将在执行过程中进行不断完善。 年月日2016年高中数学联赛辅导课安排表 高中数学奥林匹克竞赛 奥数学林匹克竞竞～竞称奥数。年和年～竞竞竞始在列格勒宁和莫斯科竞竞中竞竞～学数学19341935 并冠以数学奥林匹克的名～称年在布加勒斯特竞竞第一届国数学奥竞竞竞竞林匹克。竞竞竞竞国数学奥1959 林匹克作竞一竞竞性竞事～由竞国国数学教育竞家命竞。 我的高中竞竞分三竞,每年国数学月中旬的全竞竞～次年一月的国;冬令竞,～次年三10CMO月竞始的家国集竞竞的竞竞竞拔。与 “全高中竞竞国数学”;竞竞于年,～承竞方式初中竞竞相同～每年与月竞行～分竞一竞和198110二竞～在竞竞竞竞中取得竞成竞的全竞异国名生有竞格加由中主竞的“学参国数学会中林国数学奥90 匹克;,竞全中生冬令竞”;每年元月,。国学数学CMO 全竞竞分竞一竞、加竞国数学(即称俗的“二竞”)。各省自己竞竞的“初竞”、个份“初竞”、“竞竞”等等～都不是正式的全竞竞名及程序。国称一竞 全高中竞竞的一竞竞竞大竞～完全按照全日制中《大竞》中所竞定的要求国数学学数学教学教学 和容～高考所竞定的知竞范竞和方法～在方法的要求上略有提高～其中率和内即概微竞分初步 不考。 二竞 平面何几 基本要求,掌握初中竞竞大竞所定的所有容。确内 竞充要求,面竞和周竞方法。 几个重要定理,梅涅竞斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。 几个重要的极竞,到三角形三竞点距之和最小的点离——竞竞点。到三角形三竞点距的离平方 和最小的点重心。三角形到三竞距之竞最大的点重心。——内离—— 几何不等式。 竞竞的等周竞竞。了解下述定理, 在周竞一定的竞形的集合中～正竞形的面竞最大。n n 在周竞一定的竞竞竞曲竞的集合中～竞的面竞最大。 在面竞一定的竞形的集合中～正竞形的周竞最小。nn 在面竞一定的竞竞竞曲竞的集合中～竞的周竞最小。 几运何中的竞,反射、平移、旋竞。 竞数方法、向量方法。* 平面凸集、凸包及竞用。 代数 在一竞大竞的基竞上外要求的容,另内 周期函数与周期～竞竞竞竞的函的竞像。数三倍角公式～三角形的一些竞竞的恒等式～三角不 等式。 第二竞竞法。竞竞～一竞、二竞竞竞～数学特征方程法。 函迭代～求数次迭代～竞竞的函方程数。n** 个竞元的平均不等式～柯西不等式～排序不等式及竞用。n 竞的指形式～数数欧拉公式～美弗定理棣～竞位根～竞位根的竞用。竞排列～有重竞的排列竞合。竞竞的与竞合恒等式。 数列与递进 知识、方法、技能 数列是中学数学中一个重要的课题，也是数学竞赛中经常出现的问题. 所谓数列就是按一定次序排列的一列数.数列的一般形式是a 1, a 2, …,a n , …通常简记为{a n }.如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式. 从函数的角度看，数列可以看做是一个函数，定义域是自然数集或自然数集的一个有限子集，函数表达式就是数列的通项公式. 对于数列{a n }，把S n =a 1+a 2+…+a n 叫做数列{a n }的前n 项和，则有 ???≥-==-).2(),1(11n S S n S a n n n I ．等差数列与等比数列 1．等差数列 （1）定义：.2)(211++++= =-n n n n n a a a d a a 或常量 （2）通项公式：a n =a 1+(n －1)d . （3）前n 项和公式：.2 )1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+= （4）等差中项：.2 21+++=n n n a a a （5）任意两项：a n =a m +(n －m)d. （6）性质： ①公差为非零的等差数列的充要条件是通项公式为n 的一次函数； ②公差为非零的等差数列的充要条件是前n 项和公式为n 的不含常数项的二次函数； ③设{a n }是等差数列，如果m 、n 、p 、q ∈N*，且m+n=p+q ，那么a m +a n =a p +a q ; ④设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，则S m , S 2m －S m , S 3m －S 2m , …, S pm －S (p －1)m (m>1,p ≥3，m 、p ∈N*)仍成等差数列； ⑤设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，则}{n S n 是等差数列； ⑥设{a n }是等差数列，则{λa n +b}(λ,b 是常数)是等差数列； 高中数学竞赛基本知识集锦 一、三角函数 常用公式 由于是讲竞赛，这里就不再重复过于基础的东西，例如六种三角函数之间的转换，两角和与差的三角函数，二倍角公式等等。但是由于现在的教材中常用公式删得太多，有些还是不能不写。先从最基础的开始（这些必须熟练掌握）： 半角公式 α αααααα cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12tan +=-=+-±= 积化和差 ()()[]βαβαβα-++=sin sin 2 1cos sin ()()[]βαβαβα--+=sin sin 2 1sin cos ()()[]βαβαβα-++=cos cos 2 1cos cos ()()[]βαβαβα--+-=cos cos 2 1sin sin 和差化积 2 cos 2sin 2sin sin βαβ αβα-+=+ 2 sin 2cos 2sin sin βαβαβα-+=- 2 cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+ 2 sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+-=- 万能公式 α αα2tan 1tan 22sin += α αα22tan 1tan 12cos +-= α αα2tan 1tan 22tan -= 三倍角公式 ()()αααααα+-=-= 60sin sin 60sin 4sin 4sin 33sin 3 ()() αααααα+-=-= 60cos cos 60cos 4cos 3cos 43cos 3 二、某些特殊角的三角函数值 三、三角函数求值 给出一个复杂的式子，要求化简。这样的题目经常考，而且一般化出来都是一个具体值。要熟练应用上面的常用式子，个人认为和差化积、积化和差是竞赛中最常用的，如果看到一些不常用的角，应当考虑用和差化积、积化和差，一般情况下直接使用不了的时候，可以考虑先乘一个三角函数，然后利用积化和差化简，最后再把这个三角函数除下去 举个例子 求值：7 6cos 74cos 72cos πππ++ 提示：乘以72sin 2π，化简后再除下去。 求值：??-?+?80sin 40sin 50cos 10cos 22 来个复杂的 设n 为正整数，求证n n n i n i 21212sin 1+=+∏=π 另外这个题目也可以用复数的知识来解决，在复数的那一章节里再讲 四、三角不等式证明 最常用的公式一般就是：x 为锐角，则x x x tan sin <<；还有就是正余弦的有界性。 例 求证：x 为锐角，sinx+tanx<2x 设12π ≥≥≥z y x ，且2π =++z y x ，求乘积z y x cos sin cos 的最大值和最小值。 注：这个题目比较难 江苏考生必看！哪些教辅适合江苏高考数学 高中孩子的时间紧，精力有限，市面上教辅繁多，所以选择一两本合适的教辅就非常重要了，能让孩子把有限的时间花在“刀刃”上，那如何来选择适合江苏考生的数学资料呢？主要考虑如下五个方面： 1、要有针对性：现在市面上的教辅主要分为4个版本：人教版（最多），苏教版（江 苏），北师大版（陕西），未说明版（通用），我们选择时候一定要看清楚是苏教版， 少数的通用版本也可以选择。 2、书不在多,在于适用和实用，不要盲目贪多，精选一到两本，一般一本基础的概念解 析教辅作为初学，一本拔高练习题集作为复习就够了。 3、出版时间和版次,一般选择在两年内出版,江苏高考每年都有变化和新题，教辅资料 一定要注意更新迭代，不然跟不上时代，其中重版的次数越多,说明越完善。 4、对书的质量的判断侧重例题和习题，不侧重答案讲解。应选择带重点题型例题讲解 的辅导书，其他带有详细答案的，不一定就是好的辅导书。 5、切忌盲目选择，不要被书的名目所迷惑。也不要被书店的店员推荐所误导，因为那 个店员可能就是某出版社的促销员。 讲完以上的方法，具体哪些辅导书值得我们选择呢？下面就给大家梳理下市面上常见教辅： 1、《重难点手册》 说明：总结重难点为题比较到位，比较针对性，但不适合初学者，用于复习时候补 漏拔高。 2、《江苏数学5年经典》 说明：优点是大部分都是江苏题型，比较有针对性，和小题狂做都属于恩波教育，南京本地的出版商，其中的一位主编是金陵中学的资深教师。属于题集形式，适合 用来复习。恩波教育的其他书籍如：《小题狂做》，《大题精做》，《优化38+2》等等 都是很好的江苏本地选择，就不一一介绍了。 高级中学数学教师工作计划 (最新版) The work plan is the idea and arrangement of the work to be carried out, such as proposing tasks, indicators, completion time and steps and methods. ( 工作计划) 部门：_______________________ 姓名：_______________________ 日期：_______________________ 本文档文字可以自由修改 高级中学数学教师工作计划(最新版)说明：本文适用于工作计划，工作计划就是对即将开展的工作的设想和安排，如提出任务、指标、完成时间和步骤方法，提前预防同类错误问题再次出现，工作计划对提升工作效率有很大提升。下载后可直接打印使用。 高级中学数学教师工作计划 一、指导思想 准确把握《xx大纲》和《xx大纲》的各项基本要求，立足于基础知识和基本技能的教学，注重渗透数学思想和方法。立足学生的实际，不断研究数学教学，改进教法，指导学法，奠定立足社会所需要的必备的基础知识、基本技能和基本能力，着力于培养学生的创新精神，运用数学的意识和能力，奠定他们终身学习的基础。 二、学生基本情况分析 1、基本情况：高二xx班和高二xx班。这两个班的学生对数学学习各不相同。其中，高二xx班为理科班数学学习兴趣较为浓厚。我觉得对于象我们地方性学校来说，这个班的数学成绩 以及整体水平情况还算可以。分析原因：这个班的学生学习气氛浓厚，有良好的班风学风，有你追我干的竞争精神，同时有一批思维相当灵活的学生。 而高二xx班是艺术班数学学习较为一般，有些学生自觉性差，自我控制能力弱，因此在教学中需时时提醒学生，培养其自觉性；有些学生对自己学习数学的信心不足，学习积极性和主动性不够，学习上只满足完成老师，同时，所学的数学基础知识薄弱，基本概念模糊不清，基本方法掌握得不够扎实，灵活运用知识分析问题、解决问题的能力差，只会模仿解决一些简单问题，不能举一反三，题目稍微有点变化就束手无策。 三、教学目标 针对以上问题的出现，在本学期拟订以下目标和措施。其具体目标如下： 1、获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作 - 1 - 一、利用同类项的定义构造： 例1：已知m n m n b a --31999 1和1079999+-m n a b 是同类项，则.________22=+n m 二、利用二元一次方程的定义构造： 例2：若243724953=+--++n m n m y x 是二元一次方程，则n m 的值等于________. 三、利用方程组的解的定义构造： 例3：若???==12y x 是方程组???=+=-5 213by ax y ax 的解，求b a 、的值. 四、利用相反数的性质构造： 例4：已知a 的相反数是12+b ，b 的相反数是13+a ，则.________22=+b a 五、利用非负数性质构造： 例5：如果实数y x ,满足()022=++-y x x ，那么.________=y x 六、利用多项式恒等性质构造： 例6：已知多项式682322 2-+--+y x y xy x 可以分解为()()n y x m y x +-++22的形式，那么.________1 123=++n m 七、利用一次方程的解的特征构造： 例7：已知关于x 的方程()()()15133+=++-x x b x a 有无穷多个解，那么.________________,==b a 八、取特殊值构造： 例8：设b ax x x ++-2 32除以()()12+-x x 所得的余式为12+x ，那么.________________,==b a 九、弱化某些未知数构造： 例9：若,073, 0452=-+=++z y x z y x 则.________=-+z y x 十、利用新运算的定义构造： 例10：对于实数y x ,定义一种新运算*：,c by ax y x ++=*其中c b a 、、为常数，等式右边是通常的加法与乘法运算. 已知：,2874, 1553=*=*那么.________11=*(推荐)高中数学奥赛辅导
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