高考数学基础教材(艺术生用)

第1节 常见不等式及其解法

1．一元一次不等式的解法

不等式ax ＞b (a ≠0)的解集为：当a ＞0时，解集为{x |x ＞b a }．当a ＜0时，解集为{x |x ＜b a

}．

Δ>0 Δ＝0 Δ<0

x 的情形，以便确定解集的形式．

解集是解的集合，故一元二次不等式的解集一定要写成集合或区间的形式！！

解不等式（高中我们能遇到的所有不等式）的通用步骤：①解方程②画图像③写解集 例1．解下列不等式：

(1)2x 2

＋7x ＋3＞0； (2)x 2

－4x －5≤0； (3)－4x 2

＋18x －814

≥0；

(4)－12x 2

＋3x －5＞0；

(5)－2x 2

＋3x －2＜0；

(6)已知关于x 的不等式x 2

＋ax ＋b ＜0的解集为{x |1＜x ＜2}，求关于x 的不等式bx 2

＋ax ＋1＞0的解集．

例2．解下列不等式： (1)x ＋23－x ≥0； (2)2x －1

3－4x

>1

1．已知集合P ＝{x |x 2

－x －2≤0}，Q ＝{x |log 2(x －1)≤1}，则(?R P )∩Q ＝( )

A ．[2,3]

B ．(－∞，1]∪[3，＋∞)

C ．(2,3]

D ．(－∞，－1]∪(3，＋∞)

2．设a >0，不等式－c

A ．1∶2∶3

B ．2∶1∶3

C ．3∶1∶2

D ．3∶2∶1 3．(2013·高考卷)下列选项中，使不等式x ＜1x

＜x 2

成立的x 的取值围是( )

A ．(－∞，－1)

B ．(－1,0)

C ．(0,1)

D ．(1，＋∞)

4．若不等式mx 2

＋2mx －4＜2x 2

＋4x 对任意x 均成立，则实数m 的取值围是( )

A ．(－2,2]

B ．(－2,2)

C ．(－∞，－2)∪[2，＋∞)

D ．(－∞，2] 5．解下列不等式

214x +≥

1213x <-<

6．解下列方程组

213211x y x y +=??-=?

221

4x y x y +=??+=?

22

112

y x x y =+??

?+=??

第2节 高考数学中的运算——对数运算

对数的概念 (1)对数的定义：

如果a x

＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数（真数必为正数）．当a ＝10时叫常用对数，记作x ＝lg N ；当a ＝e 时叫自然对数，记作x ＝ln N ．

(2)对数的常用关系式(a ，b ，c ，d 均大于0且不等于1)： ①log a 1＝0．

②log a a ＝1，m a m

a =log

③对数恒等式：a

log aN

＝N ．

④换底公式：log a b ＝log c b log c a ， 推广log a b ＝1

log b a

log a b ·log b c ·log c d ＝log a d ．

(3)对数的运算法则：如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： ①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ； ②log a M

N

＝log a M －log a N ； ③log a M n

＝n log a M (n ∈R)；

④log a m M n

＝n m

log a M=

1．化简下列各式： (1)1

4lg 23lg5lg 5

+-

(2)3

lg

lg 70lg 37+-

(3) 2

lg 2lg5lg 201+?-

(4) 25

941

log log 27log 12

3

2

35

-+

2（15．）计算：2

2

log 2

=________，24log 3log 32+=________．若，则________．

3．方程log (1－2x )＝1的解x ＝_________． 计算log [log (log 81)]＝_________．

4．有下列五个等式，其中a>0且a≠1，x>0 , y>0，其中正确的是 ． ①log ()log log a a a x y x y +=?， ②22

log ()2(log log )a a a x y x y -=-

③1

log log log 2

a

a a x x y =-， ④log log log ()a a a x y x y ?=?

第3节 高考数学中的运算——三角计算

一．任意角 1．角的概念

角可以看成平面一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．

2．角的表示

顶点：用O 表示；始边：用OA 表示，用语言可表示为起始位置； 终边：用OB 表示，用语言可表示为终止位置．

3．角的分类

（1）正角：按 方向旋转形成的角；加一个角按 方向旋转． （2）负角：按 方向旋转形成的角；减一个角按 方向旋转． （3）零角：射线没有作任何旋转，称为形成一个零角．

任意角大小比较： ，因此小于90°的角不一定是锐角…………

4．象限角

在直角坐标系中研究角时，当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合时，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．

5．终边相同的角

所有与角α终边相同的角，连同角α在，可构成一个集合S ＝{}β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z ，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．

二．弧度制

角度制

用度作为度量单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的1

360

弧度制 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧

度

以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制

2．任意角的弧度数与实数的对应关系

正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0． 3．角的弧度数的计算

如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝l

r

． 扇形的面积公式：

4．角度制与弧度制的换算 (1)角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝πrad≈0．01745 rad 1 rad ＝(180

)°≈57．30°

三．任意角的三角函数

1．任意角三角函数的定义

将角的顶点与原点O 重合，始边与直角坐标系x 轴非负半轴重合，角的终边上任意取一点P (x ，y )，则对应角的正弦值sin α＝

2

2y x y +，余弦值cos α＝

2

2y x x + ，正切值tan α＝

x

y

，常记22y x r +=． 由此定义，求任意角的三角函数值可按以下步骤完成：

常见特殊角三角函数值（利用两特殊直角三角形计算并记忆！）

2．三角函数值的符号

例1．根据下列条件求sin α，cos α，tan α．

(1)α＝－π

3

； (2)已知角α的终边经过点P (－3,4)．

(3)角α的终边经过点P (－4a,3a )(a ≠0)，则sin α＝________；

(4)已知角α的终边过点P (5，a )，且tan α＝－12

5

，求sin α＋cos α的值．

2．α是第二象限角，P (x ，5)是其终边上一点，且cos α＝

2

4

x ，则x 的值为( ) A ． 3

B ．± 3

C ．－ 3

D ．－ 2

3．如果点P (sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，那么角θ所在的象限是( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

4．若角α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在第________象限．

5．(2011·高考)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－25

5

，则y ＝________． 四．同角三角函数的基本关系

式子成立，如sin 22α＋cos 2

2α＝1，tan 3α＝sin 3αcos 3α

都是成立的．

2．两个公式常见变形（解题时可“知一求二”： ） sin 2

α＋cos 2

α＝1?sin 2

α＝1－cos 2

α?cos 2

α＝1－sin 2

α；

tan α＝

sin α

cos α

?sin α＝tan

α·cos α．

例1．已知tan α＝43，且α是第三象限角(1)求sin α，cos α的值；(2)求6sin α－2cos α

3sin α＋5cos α

的值．

例2．(1)已知sin α－cos α＝1

2

，求sin αcos α的值．

(2)已知0＜α＜π，sin α＋cos α＝1

5

，求tan α的值．

(3)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝10

2

求tan 2α．

(4)已知3tan sin 2=?αα，求αα44cos sin +的值．

五．三角函数的诱导公式

诱导公式填空

(1)公式一：sin(α＋2k π)＝ ， cos(α＋2k π)＝ ， tan(α＋2k π)＝

[k ∈Z]．

(2)公式二：sin(π＋α)＝ ， cos(π＋α)＝ ， tan(π＋α)

＝ ．

(3)公式三：sin(－α)＝ ， cos(－α)＝ ， tan(－α)＝ ．

(4)公式四：sin(π－α)＝ ， cos(π－α)＝ ，

tan(π－α)

＝ ．

(5)公式五：sin(π2－α)＝ ， cos(π2－α)＝ ， tan(π

2

－α)

＝ ．

(6)公式六：sin(π2＋α)＝ ， cos(π2＋α)＝ ， t an(π

2

－α)

＝ ． 口诀记法：“奇变偶不变，符号看象限”

例．已知f (α)＝cos π2＋α·cos 2π－α·sin －α＋

3π2

sin －π－α·sin 3π

2

＋α

．

(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且cos(α－3π2)＝1

5

，求f (α)的值．

1．已知sin(α－π4)＝13，则cos(π

4

＋α)的值等于( )

A ．22

3

B ．－23

3

C ．1

3

D ．－13

2．填正负号：)32sin(__)23sin(

ππ

-=-x x ，)32cos(__)23cos(ππ-=-x x ，)3

tan(__)3tan(π

π-=-x x 第4节 正余弦定理

解三角形：一般地，三角形的三个角A,B,C 和它们的三条对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角

形的几个元素求其它元素的过程叫作解三角形．

2．三角形面积公式

设△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，所对的三个角分别为A 、B 、C ，其面积为S ．

(1)S ＝12ah (h 为BC 边上的高)；(2)S ＝12absin C ＝12bcsin A ＝1

2

acsinB （一般根据角选公式）

重点考法：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式．若转化为边边关系，一般通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；若转化为角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出角的关系，从而判断出三角形的形状。此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论，因此sin(A+B)= ，cos(A+B)= .

重要结论1：在△ABC 中，若cos cos a A b B =，则三角形的形状为：

结论2：在△ABC 中求证：cos cos a B b A c +=；cos cos c B b C a +=； cos cos a C c A b +=． 结论3：在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A >B ?a >b ?sin A >sin B ．

【基础练习】 1．在△ABC 中，A ＝60°，B ＝75°，a ＝10，则c 等于( )．

A ．5 2

B ．10 2

C ．106

3

D ．5 6

sin A cos B

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．90°

3．(2011·联考)在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A 等于( )．

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．75°

4．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝1

3

，则△ABC 的面积为( )．

A ．3 3

B ．2 3

C ．4 3

D ． 3

5．已知△ABC 三边满足a 2

＋b 2

＝c 2

－3ab ，则此三角形的最大角为________． 6．在△ABC 中，a ．b ．c 分别是角A ．B ．C 的对边，且cos B cos C ＝－b

2a ＋c ；

(1)求角B 的大小； (2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．

7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，满足S ＝34

(a 2＋b 2－c 2

)．(1)求角C 的大小；(2)求sin A ＋sin B 的最大值．

第5节 数列

数列的概念

定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列。数列中的每一个数叫做这个数列的项．a 1称为数列{a n }的第1项(或称为首项)，a 2称为第2项，…，a n 称为第n 项．

数列的表示：数列的一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n …简记为{a n }． [化解疑难]

1．数列的定义中要把握两个关键词：“一定顺序”与“一列数”．也就是说构成数列的元素是“数”，并且这些数是按照“一定顺序”排列着的，即确定的数在确定的位置．

2．项a n 与序号n 是不同的，数列的项是这个数列中的一个确定的数，而序号是指项在数列中的位次． 3．{a n }与a n 是不同概念：{a n }表示数列a 1，a 2，a 3，…，a n ，…；而a n 表示数列{a n }中的第n 项．

无穷数列 项数无限的数列

按项的变化趋势

递增数列

从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列

常数列 各项相等的数列

摆动数列

从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列

如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么就把这个公式叫做这个数列的通项公式。求通项公式即求第n 项的表达式。

数列的前n 项和及与通项公式的关系

(1)S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ； (2)a n ＝?

??

??

S 1n ＝1

S n －S n －1n ≥2

（该式对任意数列都成立）

等差数列的定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，

这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示．递推公式表示：+

+∈=-N n d a a n n ,1即为等差数列．

等差中项

如果三个数a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．这三个数满足的关系式是 ．反之，当 时，A 是a 与b 的等差中项．

等差数列的有关公式

1．通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m)d ． 【累加法可得】 2．前n 项和公式（解题时要注意把项数n 数清楚！）

已知

条件 首项a 1，公差d

首项a 1，末项a n

选用公式

S n ＝na 1＋n n －1

2

d

S n ＝n a 1＋a n

2

提示：在d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数，一次项系数为d ；S n 是关于n 的二次函数，二次项系数为d

2

，且

常数项为0．

等差数列的性质

1．若m ，n ，p ，q ∈N *

，且m ＋n ＝p ＋q ，{a n }为等差数列，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ．

2．等差数列{a n }的前n 项之和可以写成S n ＝d

2n 2

＋）

（d a 21

1-n ＝An 2

＋Bn ，当d ≠0时它表示二次函数且没有常数项．

等比数列的有关概念

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n

＝q (n ∈N *

，q 为非零常数)．

等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，

等比数列的有关公式及性质 (1)通项公式：a n ＝a 1q

n －1

＝a m q

n －m

(2)前n 项和公式：S n ＝q

q a n --1)

1(1（1≠q ）

特别说明：①等比数列的前n 项和S n 是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用．②在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形导致解题失误，例如：若a 3＝32，S 3＝9

2

，求a 1和公比q ．

重要性质：在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ＝2r (m ，n ，p ，q ，r ∈N *

)，则2

··m n p q r a a a a a ＝＝，特别

地，a 1a n ＝a 2a n －1＝a 3a n －2＝…

考法示例

例1．(1){a n }为等差数列，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450．求a 2＋a 8＝ ．

(2)设数列{a n }，{b n }都是等差数列．若a 1＋b 1＝7，a 3＋b 3＝21，则a 5＋b 5＝ ． 例2．已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若a 1＝1

2，S 2＝a 3，则a 2＝__________；S n ＝________．

练习：已知数列{a n }为等差数列，按要求完成下面两题；

(1)a 1＝56，a 15＝－3

2

，S n ＝－5，求n 和d ；

(2)a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d ．

例3.已知数列{a n }的前n 项和S n =2n 2

+n-1，求{a n }的通项公式．

例4．等比数列{a n }中，(1)a 4＝2，a 7＝8，求a n ；(2)a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9求S n ．

练习1．设等差数列{a n }的公差d 不为0，a 1＝9d ，若a k 是a 1与a 2k 的等比中项，求k 的值．

例5．等比数列{a n }满足：a 1＋a 6＝11，a 3·a 4＝32

9，且公比q ∈(0,1)；

(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若该数列前n 项和S n ＝21，求n 的值．

第6节 数列求和基本方法练习

数列求和方法总结

一．公式法：如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等差．等比数列的前n 项和公式，注意等比数列公比q 的取值情况要分q ＝1或q ≠1，另外一定要数清楚有多少项！！！

二．非等差、等比数列求和的常用方法

1．分组转化求和法：若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减．分组转化法求和的常见类型：

(1)若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和． (2)通项公式为a n ＝???

?

?

b n ，n 为奇数

c n ，n 为偶数

的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和．

2．错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这

个数列的前n 项和即可用此法来求，等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的．用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．

3．裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和，一般以分式为主，注意到以下两点：

(1)利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项．将通项裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．

(2)常见的拆项公式有：①若{a n }为等差数列，公差为d ，则1a n ·a n ＋1＝1d (1a n －1

a n ＋1

)；

②1n n ＋k ＝1k )1(n k n -； 12n －12n ＋1＝12)121121(+--n n ．③1n ＋1＋n ＝n ＋1－n

1．公式法与分组求和法

例1．(1)数列{c n }：112，214，31

8

，…，试求{c n }的前n 项和；

2．错位相减法

例2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2

＋n ，n ∈N *

，数列{b n }满足a n ＝4log 2b n ＋3，n ∈N *

．

(1)求a n ，b n ； (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n ．

3．裂项相消法

例3．等差数列{a n}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{a n}的前n项和为S n；

(1)求a n及S n； (2)令b n＝1

a2n－1

(n∈N*)，求数列{b n}的前n项和T n．