2019年资阳市高一数学下期末试题(带答案)

2019年资阳市高一数学下期末试题(带答案)

一、选择题

1．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =，2c =，2

cos 3

A =

，则b=

A

B

C ．2

D ．3

2．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S = A ．5

B ．7

C ．9

D ．11

3．已知{}n a 是公差为d 的等差数列，前n 项和是n S ，若9810S S S <<，则（ ） A ．0d >，170S > B ．0d <，170S < C ．0d >，180S <

D ．0d >，180S >

4．设集合{}1,2,4A =，{}

2

40B x x x m =-+=．若{}1A B ?=，则B =

( ) A ．{}1,3-

B ．{}1,0

C ．{}1,3

D ．{}1,5

5．已知集合{

}

22

(,)1A x y x y =+=，{}

(,)B x y y x ==，则A B I 中元素的个数为（ ） A ．3

B ．2

C ．1

D ．0

6．函数()23sin 23f x x π??

=-

???

的一个单调递增区间是 A ．713,1212ππ??

????

B ．7,1212ππ??

????

C ．,22ππ??-????

D ．5,66ππ??

-

???? 7．若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要

条件

8．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为

A

．

1

2

尺B

．

8

15

尺C．

16

29

尺D．

16

31

尺

9．已知函数

2

1(1)

()

2(1)

a

x x

f x x

x x x

?

++>

?

=?

?-+≤

?

在R上单调递增，则实数a的取值范围是A．[]0,1B．(]0,1C．[]1,1-D．(]1,1

-

10．记max{,,}

x y z表示,,

x y z中的最大者，设函数

{}

2

()max42,,3

f x x x x x

=-+---，若()1

f m<，则实数m的取值范围是（）A．(1,1)(3,4)

-U B．(1,3)

C．(1,4)

-D．(,1)(4,)

-∞-+∞

U

11．在正三棱柱111

ABC A B C

-中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则

1

BC与侧面1

ACC A所成角的大小为（）

A．30o B．45o C．60o D．90o

12．如图，在△ABC中,

1

3

AN NC

=

u u u v u u u v

,P是BN上的一点,若

2

9

AP m AB AC

??→??→??→

=+,则实数m的值为( )

A ．

B ．

C ．1

9

D．

二、填空题

13．设a＞0，b＞0，若3是3a与3b的等比中项，则

11

a b

+的最小值是__．

14．在ABC

?中，若

3

B

π

=，3

AC=，则2

AB BC

+的最大值为__________．15．已知三棱锥S ABC

-的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB，SA AC

=，SB BC

=，三棱锥S ABC

-的体积为9，则球O的表面积为______．

16．若三点

1

(2,3),(3,2),(,)

2

A B C m

--共线，则m的值为．

17．若函数()

6,2

3log,2

a

x x

f x

x x

-+≤

?

=?

+>

?

（0

a>且1

a≠）的值域是[)

4,+∞，则实数a的取值范围是__________．

18．已知定义在实数集R上的偶函数()

f x在区间(],0

-∞上是减函数,则不等式

()()

1ln

f f x

<的解集是________.

19．()()()()()

1tan11tan21tan31tan441tan45

?????

+++++

L=__________．20．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（?∞，0）上单调递增.若实数a满足f （2|a-1|）＞f（2

-），则a的取值范围是______.

三、解答题

21．已知不等式的解集为或.

（1）求；（2）解关于的不等式

22．ABC

V的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2cos(cos cos)

C a B b A c

+=.（1）求角C；（2）若7

c=，

33

ABC

S

?

=，求ABC

?的周长.

23．如图，在四棱锥P ABCD

-中，PA⊥平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点.

（1）求证：BD⊥平面PAC；

（2）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；

24．已知函数()()2

2

f x sin x cos x 23sin x cos x x R =--∈

（I ）求2f 3π?? ???

的值 （II ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.

25．已知数列{}n a 满足：()*

22,21,n n a S n a n N ==+∈

（1）设数列{}n b 满足()11n

n b n a =?+，求{}n b 的前n 项和n T ：

（2）证明数列{}n a 是等差数列，并求其通项公式； 26．已知函数()e cos x

f x x x =-．

（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2

上的最大值和最小值．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】 由余弦定理得，

解得（

舍去），故选D.

【考点】 余弦定理 【名师点睛】

本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b 的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！

2．A

解析：A 【解析】

1353333,1a a a a a ++===，5153355

()25522

S a a a a =

+=?==，选A.

3．D

解析：D 【解析】 【分析】

利用等差数列的通项公式求和公式可判断出数列{}n a 的单调性，并结合等差数列的求和公式可得出结论. 【详解】

9810S S S <，100a ∴>，0d >. 179017S a =<∴，()1891090S a a =+>.

故选：D. 【点睛】

本题考查利用等差数列的前n 项和判断数列的单调性以及不等式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

4．C

解析：C 【解析】

∵ 集合{}1

24A ，，=，{}

2

|40B x x x m =-+=，{}1A B ?= ∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =

∴{}{}

{}2

2

|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C

5．B

解析：B 【解析】

试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆

221x y +=与直线y x =相交于两点,22? ??，22??

-- ? ??

?，则A B I 中有2个元素.故选B.

【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.

6．A

解析：A 【解析】 【分析】

首先由诱导公式对函数的解析式进行恒等变形，然后求解其单调区间即可. 【详解】 函数的解析式即：

()223sin 23sin 233f x x x ππ???

?=-=-- ? ????

?，

其单调增区间满足：()23222232

k x k k Z π

π

πππ+≤-≤+∈， 解得：()713

1212

k x k k Z ππππ+

≤≤+∈， 令0k =可得函数的一个单调递增区间为713,1212ππ??

????

. 故选A . 【点睛】

本题主要考查诱导公式的应用，三角函数单调区间的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

7．B

解析：B 【解析】

若l m ⊥，因为m 垂直于平面α，则//l α或l α?；若//l α，又m 垂直于平面α，则

l m ⊥，所以“l m ⊥”是“//l α的必要不充分条件，故选B ．

考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系． 8．C

解析：C 【解析】

试题分析：将此问题转化为等差数列的问题，首项为

，

,求公差，，解得：

尺，故选C.

考点：等差数列

9．C

解析：C 【解析】

x ?1时,f (x )=?(x ?1)2+1?1， x >1时,()()21,10a a f x x f x x x

=+

+'=-…在(1,+∞)恒成立， 故a ?x 2在(1,+∞)恒成立， 故a ?1，

而1+a +1?1，即a ??1， 综上,a ∈[?1,1]， 本题选择C 选项.

点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．

10．A

解析：A 【解析】 【分析】

画出函数的图象，利用不等式，结合函数的图象求解即可． 【详解】

函数()f x 的图象如图，

直线1y =与曲线交点(1,1)A -，()1,1B ，()3,1C ，()4,1D ， 故()1f m <时，实数m 的取值范围是11m -<<或34m <<. 故选A. 【点睛】

本题考查函数与方程的综合运用，属于常考题型.

11．A

解析：A 【解析】 【分析】

由题意，取AC 的中点O ，连结1,BO C O ，求得1BC O ∠是1BC 与侧面11ACC A 所成的角，在1BC O ?中，即可求解． 【详解】

由题意，取AC 的中点O ，连结1,BO C O ,

因为正三棱柱111ABC A B C -2，底面三角形的边长为1， 所以1,BO AC BO AA ⊥⊥，

因为1AC AA A ?=，所以BO ⊥平面11ACC A ， 所以1BC O ∠是1BC 与侧面11ACC A 所成的角， 因为222113131()(2)()222

BO C O =-=

=+=，

所以11

3

3

2tan 332

BO BC O OC ∠===

， 所以0

130BC O ∠=，1BC 与侧面11ACC A 所成的角030．

【点睛】

本题主要考查了直线与平面所成的角的求解，其中解答中空间几何体的线面位置关系，得到1BC O ∠是1BC 与侧面11ACC A 所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及转化与化归思想，属于中档试题．

12．C

解析：C 【解析】 【分析】

先根据共线关系用基底AB AC

→→

，表示

AP

→

，再根据平面向量基本定理得方程组解得实数m

的值. 【详解】

如下图，∵,,B P N 三点共线，∴

，∴，即

,

∴

①,又∵13

AN NC =

u u u v

u u u

v ，∴，

∴28=99

AP m AB AC m AB AC →

→

→

→

→

=++②，

对比①，②，由平面向量基本定理可得：．

【点睛】

本题考查向量表示以及平面向量基本定理，考查基本分析求解能力.

二、填空题

13．【解析】由已知是与的等比中项则则当且仅当时等号成立故答案为2【点睛】本题考查基本不等式的性质等比数列的性质其中熟练应用乘1法是解题的关键 解析：

【解析】

由已知0,0a b >>33a 与b 的等比中项，则2

3

3,1a b ab =?∴=

则

111111122ab a b ab a b a b a b ????

+=+?=+?=+≥= ? ?????

，当且仅当1a b ==时等号成立 故答案为2

【点睛】本题考查基本不等式的性质、等比数列的性质，其中熟练应用“乘1法”是解题的关键．

14．【解析】【分析】【详解】设最大值为考点：解三角形与三角函数化简点评：借助于正弦定理三角形内角和将边长用一内角表示转化为三角函数求最值只需将三角函数化简为的形式 解析：7【解析】 【分析】 【详解】 设

3

2

2sin 3sin 3AB BC A θθπθ====??- ???Q

22sin ,3AB πθ??∴=- ???

2sin BC θ=()222sin 4sin 273AB BC πθθθ???∴+=-+=+ ???

，最大值为7考点：解三角形与三角函数化简

点评：借助于正弦定理，三角形内角和将边长用一内角表示，转化为三角函数求最值，只需将三角函数化简为()22sin cos a b a b θθθ?+=

++的形式

15．36π【解析】三棱锥S ?ABC 的所有顶点都在球O 的球面上SC 是球O 的直径若平面SCA⊥平面SCBSA=ACSB=BC 三棱锥S ?ABC 的体积为9可知三角形SBC 与三角形SAC 都是等腰直角三角形设球的半

解析：36π 【解析】

三棱锥S?ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径， 若平面SCA ⊥平面SCB ，SA=AC ，SB=BC ，三棱锥S?ABC 的体积为9， 可知三角形SBC 与三角形SAC 都是等腰直角三角形，设球的半径为r ， 可得11

2932

r r r ????= ，解得r=3. 球O 的表面积为：2436r ππ= .

点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.

16．【解析】试题分析：依题意有即解得考点：三点共线 解析：

12

【解析】

试题分析：依题意有AB AC k k =，即

53

152

2

m --=

+，解得12m =. 考点：三点共线．

17．【解析】试题分析：由于函数的值域是故当时满足当时由所以所以所以实数的取值范围考点：对数函数的性质及函数的值域【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题解答时要牢记对数函数 解析：(]1,2

【解析】

试题分析：由于函数()()6,2

{0,13log ,2

a x x f x a a x x -+≤=>≠+>的值域是[)4,+∞，故当2

x ≤时，满足()64f x x =-≥，当2x >时，由()3log 4a f x x =+≥，所以log 1a x ≥，所以log 2112a a ≥?<<，所以实数a 的取值范围12a <≤. 考点：对数函数的性质及函数的值域.

【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题，解答时要牢记对数函数的单调性及对数函数的特殊点的应用是解答的关键，属于基础题，着重考查了分类讨论的思想方法的应用，本题的解答中，当2x >时，由()4f x ≥，得

log 1a x ≥，即log 21a ≥，即可求解实数a 的取值范围.

18．【解析】由定义在实数集上的偶函数在区间上是减函数可得函数在区间上是增函数所以由不等式得即或解得或即不等式的解集是;故答案为

解析：()10,e,e ∞??

?+ ???

【解析】

由定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间(]

,0-∞上是减函数,可得函数()f x 在区间

()0+∞，

上是增函数,所以由不等式()()1ln f f x <得ln 1x >,即ln 1x >或ln 1x <-,解得x e >或10e x <<

,即不等式()()1ln f f x <的解集是()10,e,e ∞??

?+ ???

;故答案为()10,e,e ∞??

?+ ???

. 19．【解析】【分析】根据式子中角度的规律可知变形有由此可以求解【详解】根据式子中角度的规律可知变形有所以故答案为：【点睛】本题主要考查两角和的正切公式的应用以及归纳推理的应用属于中档题 解析：232

【解析】 【分析】

根据式子中角度的规律，可知(

)

45045,045αβαβ+=?<

o o

，

tan tan tan 4511tan tan αβ

αβ

+=

=-o ，变形有()()1tan 1tan 2αβ++=，由此可以求解．

【详解】

根据式子中角度的规律，可知(

)

45045,045αβαβ+=?<

o o

，

tan tan tan 4511tan tan αβ

αβ

+=

=-o ，变形有()()tan 1tan 12αβ++=．所以

()()1tan11tan 442?

?

++=，()()1tan 21tan 432?

?

++=， L ，()()1tan 221tan 232?

?

++=，1tan 452+=o

，

()()()()()23

1tan11tan 21tan31tan 441tan 452

?????+++++=L ．

故答案为：232． 【点睛】

本题主要考查两角和的正切公式的应用以及归纳推理的应用，属于中档题．

20．【解析】【分析】【详解】由题意在上单调递减又是偶函数则不等式可化为则解得

解析：13

(,)22

【解析】 【分析】 【详解】

由题意()f x 在(0,)+∞上单调递减，又()f x 是偶函数， 则不等式1

(2

)(2)a f f ->-可化为1

(2

)(2)a f f ->，则122a -<，1

12

a -<

，解得1322

a <<． 三、解答题

21．（1）a ＝1，b ＝2；（2）①当c ＞2时，解集为{x |2＜x ＜c }；②当c ＜2时，解集为{x |c ＜x ＜2}；③当c ＝2时，解集为?． 【解析】 【分析】

（1）根据不等式ax 2﹣3x +6＞4的解集，利用根与系数的关系，求得a 、b 的值； （2）把不等式ax 2﹣（ac +b ）x +bc ＜0化为x 2﹣（2+c ）x +2c ＜0，讨论c 的取值，求出对应不等式的解集． 【详解】

（1）因为不等式ax 2﹣3x +6＞4的解集为{x |x ＜1，或x ＞b }， 所以1和b 是方程ax 2﹣3x +2＝0的两个实数根，且b ＞1；

由根与系数的关系，得，

解得a ＝1，b ＝2；

（2）所求不等式ax 2﹣（ac +b ）x +bc ＜0化为x 2﹣（2+c ）x +2c ＜0， 即（x ﹣2）（x ﹣c ）＜0；

①当c ＞2时，不等式（x ﹣2）（x ﹣c ）＜0的解集为{x |2＜x ＜c }； ②当c ＜2时，不等式（x ﹣2）（x ﹣c ）＜0的解集为{x |c ＜x ＜2}； ③当c ＝2时，不等式（x ﹣2）（x ﹣c ）＜0的解集为?． 【点睛】

本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了不等式与方程的关系，考查了分类讨论思想，是中档题． 22．（1）3

C π

=（2）57【解析】 【分析】

试题分析：（1）根据正弦定理把2cos (cos cos )C a B b A c +=化成

2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，利用和角公式可得1

cos ,2

C =

从而求得角C ；（2）根据三角形的面积和角C 的值求得6ab =，由余弦定理求得边a 得到ABC ?的周长. 试题解析：（1）由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=

12cos sin()sin cos 23

C A B C C C π∴+=?=

?=

（2）11sin 622ABC S ab C ab ab ?=

?=?= 又2222cos a b ab C c +-=Q

2213a b ∴+=，2

()255a b a b ∴+=?+=

ABC ?∴的周长为5考点：正余弦定理解三角形. 23．（1）见解析；（2）见解析； 【解析】 【分析】

（1）要证BD⊥平面PAC ，只需在平面PAC 上找到两条直线跟BD 垂直即证，显然

AC BD ⊥，从PA ⊥平面ABCD 中可证PA BD ⊥，即证. (2)要证明平面PAB⊥平面PAE,可证 A E ⊥平面PAB 即可. 【详解】

（1）证明：因为PA ⊥平面ABCD ,所以PA BD ⊥； 因为底面ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥;

因为PA AC A ?=,,PA AC ?平面PAC , 所以BD ⊥平面PAC .

（2）证明：因为底面ABCD 是菱形且60ABC ∠=?，所以ACD ?为正三角形，所以

AE CD ⊥,

因为//AB CD ,所以AE AB ⊥；

因为PA ⊥平面ABCD ，AE ?平面ABCD , 所以AE PA ⊥； 因为PA AB A ?= 所以AE ⊥平面PAB ，

AE ?平面PAE ,所以平面PAB ⊥平面PAE . 【点睛】

本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立体几何中的探索问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

24．（I ）2；（II ）()f x 的最小正周期是π，2+k +k k 63Z ππ

ππ??

∈????

，.

【分析】

（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的值．

（Ⅱ）直接利用函数的关系式，求出函数的周期和单调区间． 【详解】

（Ⅰ）f （x ）＝sin 2x ﹣cos 2x 23-sin x cos x ， ＝﹣cos2x 3-sin2x ，

＝﹣226sin x π?

?+ ??

?， 则f （

23π）＝﹣2sin （

436

ππ

+）＝2， （Ⅱ）因为()2sin(2)6

f x x π

=-+

． 所以()f x 的最小正周期是π． 由正弦函数的性质得

3222,2

6

2

k x k k Z π

π

π

ππ+≤+

≤

+∈， 解得

2,6

3

k x k k Z π

π

ππ+≤≤

+∈， 所以，()f x 的单调递增区间是2[,

]63

k k k ππ

+π+π∈Z ，． 【点睛】

本题主要考查了三角函数的化简，以及函数

的性质，是高考中的常考知

识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即

，然后利用三角函数

的性质求解．

25．（1）()1

122n n T n +=-?+（2）证明见解析,n a n =

【解析】 【分析】

（1）令n =1，即可求出11a =，计算出2n

n b n =?，利用错位相减求出n T 。

（2）利用公式11,1

,2

n n n S n a S S n -=?=?

-≥? 化简即可得证。再利用11a =，22,a =求出公差，即可写出通项公式。 【详解】

解：()1在()21n n S n a =+中，令1n =，得11a =，所以2n

n b n =?

12312+22+223++n n n T =????L ，①

21342=12+22+32+1)+(2+2n n n n n T +-?????L ，②

①-②得2

1

3

11

12+12+122(12)12++2

=212

n n n

n n n n T ++-?-?-?-=-???L

化简得()1

12

2n n T n +=-?+

()2由()21n n S n a =+得：()()()112112n n S n a n --=-+≥，两式相减整理得： ()()12110n n n a n a ----+=

从而有()1110n n n a na +--+=，相减得：()()()1111210n n n n a n a n a +--+---=

即112n n n a a a +-+=

故数列{}n a 为等差数列，又22a =，故公差1,n d a n =∴= 【点睛】

本题主要考查利用错位相减法求等差乘等比数列的前n 项的和，属于基础题。 26．(Ⅰ)1y =；（Ⅱ）最大值1；最小值2

π-. 【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式

()()()000y f f x ￠-=-中即可；（Ⅱ）设()()h x f x ='，求()h x '，根据()0h x '<确

定函数()h x 的单调性，根据单调性求函数的最大值为()00h =，从而可以知道

()()0h x f x '=<恒成立，所以函数

()f x 是单调递减函数，再根据单调性求最值.

试题解析：（Ⅰ）因为()e cos x

f x x x =-，所以()()()e cos sin 1,00x

f x x x f -''=-=.

又因为()01f =，所以曲线()y f x =在点()()

0,0f 处的切线方程为1y =. （Ⅱ）设()()e

cos sin 1x

h x x x =--，则

()()e cos sin sin cos 2e sin x x h x x x x x x =--=-'-.

当π0,2x ??∈ ???

时，()0h x '<， 所以()h x 在区间π0,2

?????

?

上单调递减.

所以对任意π0,

2x ??

∈ ??

?有()()00h x h <=，即()0f x '<. 所以函数()f x 在区间π0,2

??????

上单调递减.

因此()f x 在区间π0,2?

?????

上的最大值为()01f =，最小值为22f ππ

??=- ???.

【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点

的是需要两次求导数，因为通过()f x '不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设()()h x f x ='，再求()h x '，一般这时就可求得函数()h x '的零点，或是

()0h x '>(()0h x '<)恒成立，这样就能知道函数()h x 的单调性，再根据单调性求其最

值，从而判断()y f x =的单调性，最后求得结果.