中考数学几何探究题
几何探究题
类型一动点问题
1.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，边长AB=6，对角线AC、BD交于点O，线段AD上有一动点P，过点P作PH⊥BC于点H，交直线CD于点Q，连接OQ，设线段PD=m．
(1)求线段PH的长度；
(2)设△DPQ的面积为S，求S与m之间的关系式；
(3)在运动过程中是否存在点P，使△OPQ的面积与△CQH的面积相等，若存在，请求出满足条件m的值；若不存在，请说明理由．
第1题图
解:(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴BC∥AD，AB=AD=CD=6，∵∠BAD=120°，
∴∠ADC=60°，
∴△ACD是等边三角形，
如解图，过点C作CG⊥AD于G，在Rt△CDG中，∠CDG=60°，CD=6，
∴DG=3，CG=33，
∵BC∥AD，PH⊥BC，CG⊥AD，
∴四边形CHPG是矩形，∴PH=CG=33，
第1题解图
(2)在Rt△PDQ中，∠PDQ=60°，DP=m，∴PQ=3m，
∴S=S △PDQ=1
2DP·PQ=
1
2
m×3m=
3
2
m2，（0＜m≤6）
(3)存在，理由：
∵△DPQ的面积与△CQH的面积相等，
点Q在线段CD上，AD∥BC，
∴△CHQ∽△DPQ，
∴△DPQ的面积与△CQH的面积相等时，只有△CHQ≌△DPQ，
∴CQ=DQ=1
2
CD=3，
在Rt△PQD中，∠PDQ=60°，DQ=3，∴DP=3
2
，
即：m=3
2
时，△DPQ的面积与△CQH的面积相等．
2.已知：D，E是Rt△ABC斜边AB上点，满足∠DCE=45°．
（1）如图①，当AC=1，BC=3，且点D与A重合时，求线段BE的长；
（2）如图②，当△ABC是等腰直角三角形时，求证：AD2+BE2=DE2；
（3）如图③，当AC=3，BC=4时，设AD=x，BE=y，求y关于x的函数关系式，并求x的取值范围.
图①图②图③
第2题图
（1）解：如解图①，∵∠ACB=90°，BC=3，AC=1，
∴AB=2，过B作BF∥AC交CE的延长线于F，
∴∠F=∠ACE，
∵∠BCA =90°，∠DCE =45°， ∴∠BCE =∠DCE ， ∴∠BCE =∠F ， ∴BF =BC =3， ∵△BEF ∽△AEC ， ∴
3BE BF
AE AC
==， ∴BE =3-3；
图① 图② 图③ 第2题解图 (2)证明：如解图②，过点A 作AF ⊥AB ，使AF =BE ，连接DF ，CF ， ∵在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°， ∴∠CAB =∠B =45°， ∴∠F AC =45°， ∴△CAF ≌△CBE （SAS ）， ∴CF =CE ， ∠ACF =∠BCE ， ∵∠ACB =90°，∠DCE =45°，
∴∠ACD +∠BCE =∠ACB -∠DCE =90°-45°=45°， ∵∠ACF =∠BCE ， ∴∠ACD +∠ACF =45°， 即∠DCF =45°，
∴∠DCF =∠DCE ， 又∵CD =CD ， ∴△CDF ≌△CDE （SAS ），
∴DF =DE ，
∵在Rt △ADF 中，AD 2+AF 2=DF 2， ∴AD 2+BE 2=DE 2；
(3)解：如解图③，作△BCE ≌△FCE ，△GCD ≌△ACD ，延长DG 交EF 于H ， ∵∠HFG =∠B ，∠HGF =∠CGD =∠A ，∠A +∠B =90°， ∴∠DHF =90°， ∵FG =CF-CG=BC-AC =1，∠B =∠F ，
∴HF =
45，HG =3
5， ∵EH 2+HD 2=ED 2， ∴(y -45)2+(x +3
5)2=(5-x -y )2，
∴y =6028215x x --（0≤x ≤157）．
3. 如图①，直线AM ⊥AN ，AB 平分∠MAN ，过点B 作BC ⊥BA 交AN 于点C ；动点 E 、D 同时从A 点出发，其中动点E 以2m/s 的速度沿射线AN 方向运动，动点D 以1m/s 的速度沿射线AM 方向运动；已知AC =6cm ，设动点D ，E 的运动时间为t ． （1）试求∠ACB 的度数；
（2）当点D 在射线AM 上运动时满足S △ADB ：S △BEC =2：3，试求点D ，E 的运动时间t 的值； （3）动点D 在射线AM 上运动，点E 在射线AN 上运动过程中，是否存在某个时间t ，使得△ADB 与△BEC 全等？若存在，请求出时间t 的值；若不存在，请说出理由．
第3题图
解：（1）如解图①中， ∵AM ⊥AN ， ∴∠MAN =90°，
∵AB 平分∠MAN ， ∴∠BAC =45°， ∵CB ⊥AB ，
∴∠ABC =90°,∠ACB =45°；
图① 图②
第3题解图
(2)如解图 中，作BH ⊥AC 于H ，BG ⊥AM 于G ． ∵BA 平分∠MAN ， ∴BG =BH ，
∵S △ADB ：S △BEC =2:3，AD =t ，AE =2t ，
∴
12?t ?BG ：12?（6-2t ）?BH =2:3， ∴t =127s ． ∴当t =12
7
s 时，满足S △ADB ：S △BEC =2:3．
(3)存在．∵BA =BC ，∠BAD =∠BCE =45°， ∴当AD =EC 时，△ADB ≌△CEB ， ∴t =6-2t ， ∴t =2s ， ∴满足条件的t 的值为2s ． 类型二 平移变换问题
1.如图，△ABC 中AB =AC ，点D 从点B 出发沿射线BA 移动，同时，点E 从点C 出发沿线段AC 的延长线移动，已点知D 、E 移动的速度相同，DE 与直线BC 相交于点F ．
（1）如图1，当点D 在线段AB 上时，过点D 作AC 的平行线交BC 于点G ，连接CD 、GE ，判定四边形CDGE 的形状，并证明你的结论；
（2）过点D 作直线BC 的垂线垂足为M ，当点D 、E 在移动的过程中，线段BM 、MF 、CF 有何
数量关系？请直接写出你的结论．
第1题图备用图
解：（1）四边形CDGE是平行四边形．理由如下：如解图①：∵D、E移动的速度相同，
∴BD=CE，
∵DG∥AE，
∴∠DGB=∠ACB，∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B=∠DGB，
∴BD=GD=CE，
又∵DG∥CE，
∴四边形CDGE是平行四边形；
第1题解图
（2）BM+CF=MF；理由如下：如解图②，
由(1)得：BD=GD=CE，∵DM⊥BC，
∴BM=GM，
∵DG∥AE，
∴GF =CF ，
∴BM +CF =GM +GF =MF ．
2.两个全等的直角三角形ABC 和DEF 重叠在一起，其中∠A =60°，AC =1，固定△ABC 不动，将△DEF 进行如下操作：
如图①，△DEF 沿线段AB 向右平移（即D 点在线段AB 内移动），连接DC 、CF 、FB ，四边形CDBF 的形 状在不断变化，但它的面积不变化，请求出其面积．
(2)猜想论证 如图②，当D 点移到AB 的中点时，请你猜想四边形CDBF 的形状，并说明理由． (3)拓展研究 如图③，△DEF 的D 点固定在AB 的中点，然后绕D 点按顺时针方向旋转△DEF ，使DF 落在AB 的边上，此 时F 点恰好与B 点重合，连接AE ，求sin α的值.
第2题图
解：（1）如解图 ，∵△DEF 沿线段AB 向右平移（即D 点在线段AB 内移动）， ∴CF =AD ，AC =DF ，
∴四边形ACFD 为平行四边形， ∴AD ∥CF ，
∴S △DCF =S △BCF =S △ACD ，
∴S 四边形CDBF =S △CDB +S △BCF =S △CDB +S △ACD =S △ACB ， 在Rt △ACB 中，∵∠A =60°， ∴BC =3AC =3，
∴S △ABC = 1
2
×1×3=32，
∴S 四边形CDBF =
3
2
； (2)四边形CDBF 为菱形．理由如下： 如解图②，∵点D 为斜边AB 的中点， ∴DC =DA =DB ，∵CF ∥AD ，CF =AD ， ∴CF =BD ，CF ∥DB ，
∴四边形CDBF 为平行四边形， 而DC =DB ， ∴四边形CDBF 为菱形；
第2题解图
(3)作DH ⊥AE 于H ，如解图③， 在Rt △ACB 中，∵∠A =60°， ∴AB =2AC =2， ∵点D 为AB 的中点， ∴AD =BD =
1
2
AB =1， ∵绕D 点按顺时针方向旋转△DEF ，使DF 落在AB 边上，此时F 点恰好与B 点重合， ∴∠EFD =90°，EB =
3，DE =AB =2，
在Rt △ABE 中，2222(3)27AE BE AB =
+=+=，
∵11
22
DH AB AD EB =, ∴1321
77
DH ?==，
在Rt △EDH 中，sin α=
21
14
DH DE =. 3.在正方形ABCD 中，动点E,F 分别从D,C 两点同时出发，以相同的速度在直线DC ，CB 上移动．
(1)如图①，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的关系，并说明理由；
(2)如图②，当点E,F分别移动到边DC,CB的延长线上时，连接AE和DF,(1)中的结论还成立吗？（请直接回答“是”或“否”，不须证明）
(3)如图③，当E,F分别在CD,BC的延长线上移动时，连接AE和DF，(1)的结论还成立吗？请说明理由；
(4)如图④，当E,F分别在DC,CB上移动时，连接AE和DF交于点P．由于点E,F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD=2,试求出线段CP的最小值．
第3题图
解：(1)AE=DF,AE⊥DF.
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC,∠ADC=∠C=90°，
∵DE=CF,
∴△ADE≌△DCF，
∴AE=DF,∠DAE=∠CDF,
由于∠CDF+∠ADF=90°，
∴∠DAE+∠ADF=90°，
∴AE⊥DF；
(2)是；
(3)成立.
理由：由(1)同理可证，AE=DF，∠DAE=∠CDF,
如解图①，延长FD交AE于点G，则∠CDF+∠ADG=90°，
第3题解图①
∴∠ADG+∠DAE=90°，
∴AE⊥DF.
(4)画出草图如解图②，
由于点P在运动中保持∠APD=90°，
∴点P的路径是一段以AD为直径的弧，
设AD的中点为O，连接OC，交弧于点P，此时CP的长度最小，
在Rt△ODC中，OC=2222
+=+=,
CD OD
215
∴CP=OC-OP=51-.
第3题解图①
类型三折叠问题
1.将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中，O为原点，C在x轴上，OA=6，OC=10．
(1)如图①，在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使点O落在AB边上的D点，求E点的坐标；
(2)如图②，在OA、OC边上选取适当的点E'、F，将△E'OF沿E'F折叠，使O点落在AB边上D'点，过D'作D'G∥OA交E'F于T点，交OC于G点，设T的坐标为（x，y），求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
(3)在(2)的条件下，若OG=23，求△D'TF的面积．（直接写出结果即可）
第1题图
解：(1)∵将△EOC沿EC折叠，使O点落在AB边上的D点，
∴DC=OC=10．在Rt△BCD中，∵∠B=90°，BC=OA=6，DC=10，
∴BD= 22
=8．
DC BC
在Rt△AED中，∵∠DAE=90°，AD=2，DE=OE，AE=6-OE，
，
∴DE2=AD2+AE 2，即OE2=22+（6-OE）2，解得OE=10
3
∴E点的坐标为（0，10
）；
3
(2)∵将△E'OF沿E'F折叠，使O点落在AB边上D'点，
∴∠D'E'F=∠OE'F，D'E'=OE'，
∵D'G∥AO，
∴∠OE'F=∠D'TE'，
∴∠D'E'F=∠D'TE'，
∴D'T=D'E'=OE'，
∴TG=AE',
∵T（x，y），
∴AD'=x，TG=AE'=y，D'T=D'E'=OE'=6-y．
在Rt △AD'E'中，∵∠D'AE'=90°， ∴AD'2+AE'2=D'E'2，即x 2+y 2=（6-y ）2， 整理，得y =112
-
x 2
+3； 由（1）可得AD'=OG =2时，x 最小，从而x ≥2， 当E'F 恰好平分∠OAB 时，AD'最大即x 最大，
此时G 点与F 点重合，四边形AOFD'为正方形，即x 最大为6，从而x ≤6， 故自变量x 的取值范围是2≤x ≤6， ∴y 与x 之间的函数关系式为y =112
-
x 2
+3（2≤x ≤6）
.
第1题解图
(3)∵T 的坐标为（x ，y ），y =112
-x 2
+3，OG =23， ∴GT =y =1
12
-
×12+3=2，AD'=OG =23， ∴E'D'=AD'2+AE'2=4, ∴sin ∠3=
'1
''2
AE E D =, ∴∠3=30°，
∴D'T =6-2=4， 作FM ⊥AB 于M ，则FM =BC =6，∠FMD'=90°=∠A ， ∴∠1+∠2=90°， 由折叠的性质得：∠ED'F =∠AOC =90°， ∴∠1+∠3=90°， ∴∠2=∠3， ∴△D'MF ∽△EAD'，
∴''''
D F FM
E D AD = ，即
'6''4D F E D ==32，
设E'O=ED'=x，则AE' =6-x，
在Rt△AD'E'中，由勾股定理得：(23)2+（6-x）2=x2，解得：x=4，∴OF=D'F=43，∴GF=OF-OG=23，
∴△D'TF的面积=1
2D'T?GF=
1
2
×4×23=43．
2.如图,在四边形ABCD中,∠D=∠BCD=90°，∠B=60°，AB=6，AD=9，点E是CD上的一个动点（E 不与D重合）过点E作EF∥AC，交AD于点F(当E运动到C时,,EF与AC重合），把△DEF沿着EF对折，点D的对应点是点G，设DE=x，△GEF与四边形ABCD重叠部分的面积为y.
(1)求CD的长及∠1的度数;
(2)若点G恰好在BC上,求此时x的值;
(3)求y与x之间的函数关系式,并求x为何值时,y的值最大? 最大值是多少?
第2题图
解：(1)如解图①，过点A作AH⊥BC于点H，
∵在Rt△AHB中，AB=6，∠B=60°，
∴AH=AB·si n B=6×3
2
=33，
∵∠D=∠BCD=90°，
∴四边形AHCD为矩形，
∴CD=AH=33,
第2题解图①
∵tan ∠CAD =
333
93
CD AD ==, ∴∠CAD =30°， ∵EF ∥AC ， ∴∠1=∠CAD =30°；
(2)若点G 恰好在BC 上，如解图②， 由对折的对称性可知Rt △FGE ≌Rt △FDE ，
∴GE =DE =x ，由(1)知，∠1=30°，∴∠FEG =∠FED =60°， ∴∠GEC =60°，
∵△CEG 是直角三角形， ∴∠EGC =30°， ∴在Rt △CEG 中，11
22
EC EG x =
=， 由DE +EC =CD 得1
332
x x +=， ∴x =2
3；
第2题解图② (3)分两组情况讨论：
①当0 DF , ∴333 x DF x = =， 第2题解图③ ∴2 113322 2 EDF y S DE DF x x x == == ， ∵ 3 0,2 >对称轴为y 轴， ∴当0 23 (23)632 ?=； ②当23x <≤33时，如解图④， 第2题解图④ 设FG ,EG 分别交BC 于点M 、N ， ∵DE =x ， ∴EC =33x -，NE =2(33x -)， ∴NG =GE -NE =2(33)363x x x --=-， 又∵∠MNG =∠ENC =30°，∠G =90°， ∴MG =NG ·tan 30°= 3 (363)3 x -， ∴21133(363)(363)(363)2236 MNG S NG MG x x x = =-?-=-， EGF MNG y S S ?∴=- =2233(363)26 x x -- =2318183x x - +- =2 3(33)93x --+， ∵6 393<， ∴综上所述，当33x =时，y 有最大值，且y 的最大值为93. 3.如图,四边形ABCD 是矩形纸片,AB =2,对折矩形纸片ABCD ,使AD 与BC 重合,折痕为 EF ,展开后再过点B 折叠矩形纸片,使点A 落在EF 上的点N 处,折痕BM 与EF 相交于点Q ,再次展开,连接BN ,MN ,延长MN 交BC 于点G . (1)求AM 的长; (2)判断△BMG 的形状，并说明理由； (3)若点P 为线段BM 上一动点，H 是BN 的中点，当PN 等于多少时，△PNH 的周长最 小? 并求出最小值.(计算结果保留根号) 第3题图 解：(1)如解图，连接AN ， ∵EF 垂直平分AB ,∴AN =BN , 根据折叠的性质，可得AB =BN ,∠ABM =∠NBM , ∴AN =AB =BN , ∴△ABN 为等边三角形， ∴∠ABN =60°， ∴∠ABM =∠NBM =30°， ∴在Rt△ABM中，AM=AB·tan30°=323 2 ?=； 33 第3题解图 (2)△BMG为等边三角形. 理由如下： ∵∠ABM=∠MBN=30°，∠BNM=∠BAM=90°， ∴∠BMG=90°-∠MBN=90°-30°=60°, ∠MBG=∠ABG -∠ABM=90°-30°=60°， ∴∠BGM=180°-60°-60°=60°， ∴∠MBG=∠BMG=∠BGM=60°， ∴△BMG为等边三角形； (3)∵A与N关于BM对称， ∴PA=PN， ∴PN+PH=P A+PH,即当AH与BM交于P时，△PHN的周长最小. ∵∠GBN=∠ABG -∠ABN=90°-60°=30°,EN∥BC, ∴∠ENB=∠NBG=30°. ∵∠MBN=30°， ∴∠QBN=∠QNB， ∴QB=QN， ∴点Q，点A均在线段BN的垂直平分线上， ∵点H是BN的中点， ∴点A,Q,H在一条直线上，即点P与点Q重合时，△PHB的周长最小，此时PN+PH=AH=AB×sin∠ABH=2×sin60°=3. 又BN=AB =2，∴NH =1. ∴△PNH 的周长最小值为1+3. 类型四 旋转变换问题 1.如图①，在△ABC 和△ADE 中，AB =AC ，AD =AE ，∠BAC =∠DAE ，连接B D ，CE ，BD 和CE 相交于点F ，若△ABC 不动，将△ADE 绕点A 任意旋转一个角度． （1）求证：△BAD ≌△CAE ． （2）如图①，若∠BAC =∠DAE =90°，判断线段BD 与CE 的关系，并说明理由； （3）如图②，若∠BAC =∠DAE =60°，求∠BFC 的度数； （4）如图③，若∠BAC =∠DAE =A ，直接写出∠BFC 的度数（不需说明理由） 第1题图 (1)证明：∵∠BAC =∠DAE ， ∴∠BAC +∠CAD =∠DAE +∠CAD ， 即∠BAD =∠CAE 在△BAD 与△CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE =?? ∠=∠??=? ， ∴△BAD ≌△CAE （SAS ）， (2)解：BD ⊥CE ，BD =CE ． 理由如下： 由(1)知，△BAD ≌△CAE （SAS ）， ∴∠ABD =∠ACE ，BD =CE ， ∵∠BAC =90°， ∴∠CBF +∠BCF =∠ABC +∠ACB =90°， ∴∠BFC=90° ∴BD⊥CE． (3)解：由(2)得∠CBF+∠BCF=∠ABC+∠ACB， ∵∠BAC=∠DAE=60°， ∴∠CBF+∠BCF=∠ABC+∠ACB， ∴∠BFC=∠BAC∴∠BFC=60°． (4)∠BFC=90°【解法提示】由(2)得∠CBF+∠BCF=∠ABC+∠ACB，∵∠BAC=∠DAE=α，∴∠CBF+∠BCF=∠ABC+∠ACB，∴∠BFC=∠BAC，∴∠BFC=α． 2.如图①所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2，宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF，现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE'F'D'，旋转角为α．（1）当边CD'恰好经过EF的中点H时，求旋转角α的大小； （2）如图②，G为BC中点，连接GD',DE',且0°＜α＜90°，求证：GD'=E'D； （3）小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，△DCD'与△BCD'能否全等？若能，直接写出旋转角α的大小；若不能，说明理由． 图①图② 第2题图 (1)解：如解图，∵边CD'恰好经过EF的中点H， ∴EH=1 EF=1=CE， 2 ∴△CEH为等腰直角三角形， ∴∠ECH=45°，∴α=45°； 第2题解图 (2)证明：∵G 为BC 中点， ∴CG =1， ∴CG =CE ， ∵长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转至CE'F'D'， ∴∠D'CE'=∠DCE =90°，CE =CE'=CG ， ∴∠GCD'=∠DCE'=90°+α， 在△GCD'和△E'CD 中，''CD CD GCD DCE CG CE =?? ∠=∠? ?=? ， ∴△GCD'≌△E'CD （SAS ）， ∴GD'=E'D ； (3)解：能．理由如下： ∵四边形ABCD 为正方形， ∴CB =CD ， ∵CD'=CD'， ∴△BCD'与△DCD'为腰相等的两等腰三角形， 当∠BCD'=∠DCD'时，△BCD'≌△DCD'， 当△BCD'与△DCD'为钝角三角形时，则旋转角α= 180°?90 2 =135°， 当△BCD'与△DCD'为锐角三角形时，∠BCD'=∠DCD'=1 2 ∠BCD =45° 则α=360°-90 2 =315°， 即旋转角α的值为135°或315°时，△BCD'与△DCD'全等. 3. 如图①，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC =90°，点M 是BC 的中点，作正方 形MNPQ ， 几何综合题 一图形与证明中要求：会用归纳和类比进行简单的推理。 图形的认识中要求：会运用几何图形的相关知识和方法（两点之间的距离，等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识，全等三角形的知识和方法，平行四边形的知识，矩形、菱形和正方形的知识，直角三角形的性质，圆的性质）解决有关问题；能运用三角函数解决与直角三角形相关的简单实际问题；能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题；能解决与切线有关的问题。 图形与变换中要求：能运用轴对称、平移、旋转的知识解决简单问题。 二.基本图形及辅助线 解决几何综合题，是需要厚积而薄发，所谓的“几何感觉”，是建立在足够的知识积累的基础上的，熟悉基本图形及常用的辅助线，在遇到特定条件时能够及时联想到对应的模型，找到“新”问题与“旧”模型间的关联，明确努力方向，才能进一步综合应用数学知识来解决问题。在中档几何题目教学中注重对基本图形及辅助线的积累是非常必要的。 举例： 1、与相似及圆有关的基本图形 2、正方形中的基本图形 3、基本辅助线 （1）角平分线——过角平分线上的点向角的两边作垂线（角平分线的性质）、翻折；【参见(一)1；（二）1；西城中考总复习P57例6】* （2）与中点相关——倍长中线（八字全等），中位线，直角三角形斜边中线；【参见(一)2、3、4、5】* （3）共端点的等线段——旋转基本图形（60°，90°），构造圆；垂直平分线，角平分线——翻折；转移线段——平移基本图形（线段）线段间有特殊关系时，翻折；【参见(一)6,7,8,9】 （4）特殊图形的辅助线及其迁移 ．．．． ——梯形的辅助线（什么时候需要这样添加？）等【参见(一)7】 作双高——上底、下底、高、腰（等腰梯形）三推一；面积；锐角三角函数 2018年安徽中考数学专题复习 几何探究题 类型一 与全等三角形有关的探究 ★1. 如图①，P 是△ABC 的边BC 上的任意一点，M 、N 分别在AB 和AC 边上，且PM ＝PB ，PN ＝PC ，则△PBM 和△PCN 叫做“孪生等腰三角形”． (1)如图②，若△ABC 是等边三角形，△PBM 和△PCN 是“孪生等腰三角形”，证明△PMC ≌△PBN ； (2)如图③，若△ABC 为等腰三角形，AB ＝AC ，△PBM 和△PCN 是“孪生等腰三角形”，证明：BN ＝CM ； (3)如图④，若(2)中P 点在CB 的延长线上，其他条件不变，是否依然有BN ＝CM ，若是，请证明，若不是，请说明理由． 第1题图 (1)证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°， ∵△PBM 和△PCN 是“孪生等腰三角形”， ∴PM ＝PB ，PN ＝PC ， ∴△PBM 和△PCN 是等边三角形， ∴∠BPM ＝∠NPC ＝60°， ∴∠BPM ＋∠MPN ＝∠NPC ＋∠MPN ，即∠BPN ＝∠MPC . 在△PMC 和△PBN 中， ???? ?PM ＝PB ∠MPC ＝∠BPN ，PC ＝PN ∴△PMC ≌△PBN (SAS)； (2)证明：如题图③，∵△ABC 为等腰三角形，AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠ACB ， ∵△PBM 和△PCN 是“孪生等腰三角形”， ∴PM ＝PB ，PN ＝PC ， ∴∠PBM ＝∠PMB ，∠PCN ＝∠PNC ， ∴∠BPM ＝∠CPN ， ∴∠BPM ＋∠MPN ＝∠CPN ＋∠MPN ， ∴∠BPN ＝∠MPC ， 在△PMC 和△PBN 中， ???? ?PM ＝PB ∠MPC ＝∠BPN ，PC ＝PN 中考数学复习几何压轴题 1．在△ABC 中，点D 在AC 上，点E 在BC 上，且DE ∥AB ，将△CDE 绕点C 按顺时针方向旋转得到△E D C ''(使E BC '∠＜180°)，连接D A '、E B '，设直线E B '与AC 交于点O . (1)如图①，当AC =BC 时，D A ':E B '的值为 ； (2)如图②，当AC =5，BC =4时，求D A ':E B '的值； (3)在(2)的条件下，若∠ACB =60°，且E 为BC 的中点，求△OAB 面积的最小值. 图① 图② 答 案 ： 1；……………………………………………………………………………………………1分 （2）解：∵DE ∥AB ，∴△CDE ∽△CAB ．∴AC DC BC EC =． 由旋转图形的性质得，C D DC C E EC '='=,,∴AC C D BC C E '='． ∵ D C E ECD ' '∠=∠,∴ , E AC D C E E AC ECD '∠+''∠='∠+∠即 D AC E BC '∠='∠． ∴E BC '?∽D AC '?.∴4 5 ==''BC AC E B D A ．……………………………………………………4分 （3）解：作BM ⊥AC 于点M ，则BM =BC ·sin 60°=23． ∵E 为BC 中点，∴CE = 2 1 BC =2． △CDE 旋转时，点E '在以点C 为圆心、CE 长为半径的圆上运动． ∵CO 随着E CB '∠的增大而增大， ∴当E B '与⊙C 相切时，即C E B '∠=90°时E CB '∠最大，则CO 最大． O D E'O E' A D 圆的综合大题 1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连接AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连接BF． （1）证明：AF平分∠BAC； （2）证明：BF＝FD； （3）若EF＝4，DE＝3，求AD的长． 2．如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，点P在右半圆上移动（点P与点A，B不重合），过点P作PC⊥AB，垂足为C；点Q在射线BM上移动（点M在点B的右边），且在移动过程中保持OQ∥AP． （1）若PC，QO的延长线相交于点E，判断是否存在点P，使得点E恰好在⊙O上？若存在，求出∠APC的大小；若不存在，请说明理由； （2）连接AQ交PC于点F，设，试问：k的值是否随点P的移动而变化？证明你的结论． 3．已知：如图1，把矩形纸片ABCD折叠，使得顶点A与边DC上的动点P重合（P不与点D，C重合），MN为折痕，点M，N分别在边BC，AD上，连接AP，MP，AM，AP与MN相交于点F．⊙O过点M，C，P． （1）请你在图1中作出⊙O（不写作法，保留作图痕迹）； （2）与是否相等？请你说明理由； （3）随着点P的运动，若⊙O与AM相切于点M时，⊙O又与AD相切于点H．设AB为4，请你通过计算，画出这时的图形．（图2，3供参考） 4．在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B作⊙O的切线BF交CD的延长线于点F． （I）如图①，若∠F＝50°，求∠BGF的大小； （II）如图②，连接BD，AC，若∠F＝36°，AC∥BF，求∠BDG的大小． 5．如图，在⊙O中，半径OD⊥直径AB，CD与⊙O相切于点D，连接AC交⊙O 于点E，交OD于点G，连接CB并延长交⊙于点F，连接AD，EF． （1）求证：∠ACD＝∠F； （2）若tan∠F＝ ①求证：四边形ABCD是平行四边形； ②连接DE，当⊙O的半径为3时，求DE的长． 6．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为6cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE． （1）求AC、AD的长； （2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由． 2017年中考数学几何辅助线作法及常考题型解析第一部分常见辅助线做法 等腰三角形 1. 作底边上的高，构成两个全等的直角三角形，这是用得最多的一种方法； 2. 作一腰上的高； 3 .过底边的一个端点作底边的垂线，与另一腰的延长线相交，构成直角三角形。 梯形 1. 垂直于平行边 2. 垂直于下底，延长上底作一腰的平行线 3. 平行于两条斜边 4. 作两条垂直于下底的垂线 5. 延长两条斜边做成一个三角形 菱形 1. 连接两对角 2. 做高 平行四边形 1. 垂直于平行边 2. 作对角线——把一个平行四边形分成两个三角形 3. 做高——形内形外都要注意 矩形 1. 对角线 2. 作垂线 很简单。无论什么题目，第一位应该考虑到题目要求，比如AB=AC+BD....这类的就是想办法作出另一条AB等长的线段，再证全等说明AC+BD=另一条AB,就好了。还有一些关于平方的考虑勾股，A 字形等。 三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线（垂线段相等）。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 解几何题时如何画辅助线? ①见中点引中位线，见中线延长一倍 在几何题中，如果给出中点或中线，可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。 ②在比例线段证明中，常作平行线。 作平行线时往往是保留结论中的一个比，然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来。 ③对于梯形问题，常用的添加辅助线的方法有 1、过上底的两端点向下底作垂线 2、过上底的一个端点作一腰的平行线 3、过上底的一个端点作一对角线的平行线 4、过一腰的中点作另一腰的平行线 5、过上底一端点和一腰中点的直线与下底的延长线相交 6、作梯形的中位线 7、延长两腰使之相交 四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。 梯形里面作高线，平移一腰试试看。 平行移动对角线，补成三角形常见。 证相似，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。 直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线 初中数学辅助线的添加浅谈 2011年中考数学综合训练（几何探究题） 1、两块等腰直角三角板△ABC 和△DEC 如图摆放，其中∠ACB =∠DCE = 90°，F 是DE 的中点，H 是AE 的中点，G 是BD 的中点． （1）如图1，若点D 、E 分别在AC 、BC 的延长线上，通过观察和测量，猜想FH 和FG 的数量关系为_______ 和位置关系为_____ ； （2）如图2，若将三角板△DEC 绕着点C 顺时针旋转至ACE 在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由； （2）如图3，将图1中的△DEC 绕点C 顺时针旋转一个锐角，得到图3，（1）中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明. 2．（1）如图1，已知矩形ABCD 中，点E 是BC 上的一动点，过点E 作EF ⊥BD 于点F ，EG ⊥AC 于点G ，CH ⊥BD 于点H ，试证明CH=EF+EG; (2) 若点E 在ＢＣ的延长线上，如图2，过点E 作EF ⊥BD 于点F ，EG ⊥AC 的延长线于点G ，CH ⊥BD 于点H ， 则EF 、EG 、ＣH 三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想； . (3) 如图3，BD 是正方形ABCD 的对角线,L 在BD 上，且BL=BC, 连结CL ，点E 是CL 上任一点, EF ⊥BD 于点F ，EG ⊥BC 于点G ，猜想EF 、EG 、BD 之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想； 3. 在ABC △中，AC=BC ，90ACB ∠=?，点D 为AC 的中点． （1）如图1，E 为线段DC 上任意一点，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得到线段DF ，连结CF ，过点F 作FH FC ⊥，交直线AB 于点H ．判断FH 与FC 的数量关系并加以证明． A 图3 A 2019-2020年图2 A B D E C H F G H F 图2 图1 H F E B C D A E D B C A 1．（1）操作发现· 如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，且点G 在矩形ABCD 内部．小明将BG 延长交DC 于点F ，认为GF ＝DF ，你同意吗？说明理由． （2）问题解决 保持（1）中的条件不变，若DC ＝2DF ，求AB AD 的值； （3）类比探究 保持（1）中的条件不变，若DC ＝n ·DF ，求 AB AD 的值． 2．如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，∠DCB ＝75o，以CD 为一边的 等边△DCE 的另一顶点E 在腰AB 上． （1）求∠AED 的度数； （2）求证：AB ＝BC ； （3）如图2所示，若F 为线段CD 上一点，∠FBC ＝30o． 求 DF FC 的值． 3.如图①，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ⊥BC 于点E ，DF ⊥BC 于点F ．AD ＝2cm ，BC ＝6cm ，AE ＝4cm ．点P 、Q 分别在线段AE 、DF 上，顺次连接B 、P 、Q 、C ，线段BP 、PQ 、QC 、CB 所围成的封闭图形记为M ．若点P 在线段AE 上运动时，点Q 也随之在线段DF 上运动，使图形M 的形状发生改变，但面积始终．． 为10cm 2．设EP ＝x cm ，FQ ＝y cm ，A B C D E 图1 A B C D E 图2 F 解答下列问题： （1）直接写出当x ＝3时y 的值； （2）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当x 取何值时，图形M 成为等腰梯形？图形M 成为三角形？ （4）直接写出线段PQ 在运动过程中所能扫过的区域的面积． 4．如图①，将一张矩形纸片对折，然后沿虚线剪切，得到两个（不等边）三角形纸片△ABC ，△A 1B 1C 1． A B C D E F （备用图） A B C D E F Q P 图① 图 ① A C A 1 B 1 C 1 如图 8，在Rt ABC中，CAB 90，AC 3 ， AB 4 ，点 P 是边 AB 上任意一点，过点 P 作PQ AB 交BC于点E，截取 PQ AP ，联结 AQ ，线段 AQ 交BC于点D，设 AP x ，DQ y ．【2013徐汇】 （1）求y关于x的函数解析式及定义域；（ 4 分） （2）如图 9，联结CQ，当CDQ和ADB相似时，求x的值；（ 5 分） （3）当以点C为圆心，CQ为半径的⊙C和以点B为圆心，BQ为半径的⊙B相交的另一个交点在边 AB 上时，求 AP 的长．（ 5 分） C Q D E A P B （图 8） C Q D E A （图 9） P B C A B （备用图） 【2013 奉贤】如图，已知AB是⊙O的直径，AB=8，点C在半径OA上（点C与点O、A不重合），过点 C作 AB的垂线交⊙ O于点 D，联结 OD，过点 B 作 OD的平行线交⊙ O于点 E、交射 线CD于点 F． （1）若 ⌒ ED BE⌒ ，求∠ F 的度数； （2）设CO x, EF y,写出y 与x之间的函数解析式，并写出定义域； （3）设点 C 关于直线 OD 的对称点为 P ，若△ PBE 为等腰三角形，求 OC 的长． 第 25 题 【 2013 长宁】△ ABC 和△ DEF 的顶点 A 与 D 重合，已知∠ B = 90 . ，∠ BAC = 30 . ， BC=6，∠ FDE = 90 ， DF=DE=4. （1）如图①， EF 与边 、 分别交于点 ，且 . 设 DF a ，在射线 上取 AC AB G 、H FG=EH DF 一点 P ，记： DP xa ，联结 CP. 设△ DPC 的面积为 y ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写 出定义域； （2）在（ 1）的条件下，求当 x 为何值时 PC // AB ； （ 3）如图②，先将△ DEF 绕点 D 逆时针旋转，使点 E 恰好落在 AC 边上，在保持 DE 边与 AC 边完 全重合的条件下， 使△ DEF 沿着 AC 方向移动 . 当△ DEF 移动到什么位置时， 以线段 AD 、FC 、BC 的长度为边长的三角形是直角三角形. 图① 图② 【 2013 嘉定】已知 AP 是半圆 O 的直径，点 C 是半圆 O 上的一个动点 （不与点 A 、P 重合），联结 AC ，以直线 AC 为对称轴翻折 AO ，将点 O 的对称点记为 O 1 ，射线 AO 1 交半圆 O 于 点 B ，联结 OC . （1）如图 8，求证： AB ∥ OC ； （2）如图 9，当点 B 与点 O 1 重合时，求证： AB CB ； 2020中考数学几何探究题解析 分析： 第一小题比较简单，一看就知道是个正方形； 第二小题看图的话，感觉像是两个线段相等，那么要证明F是CE'中点，而这个时候要注意FE'是在正方形中的，所以要懂得线段的转换； 第三小题只有两个线段长度，咋一看感觉应该有难度吧，但是如果善于发现，就很容易找到突破口了。 解答： （1）正方形 理由：BE=BE'， ∠EBE'=∠BE'F=90° 所以BE//FE' 同时可得EF//BE' 所以四边形FEBE'是矩形， 同时又邻边相等 所以正方形成立； （2）分析的时候已经说了，不能忘记FE'是在刚才的正方形中的，而同时两个线段都在线段CE'上，所以要好好研究这个CE' 根据旋转可知CE'=AE 而题中刚好又给了DA=DE 这不等腰三角形吗 有等腰三角形，那么首先就想到了三线合一，干脆画出来 如图，作DH⊥AE于H，则AH=EH 别忘了刚才的AE=CE' 现在AE倒被分成了两个线段的线段， 那么如果F是CE'中点，那么CF和FE'不是就和AH、EH一样吗所以我们如果能够得到FE'等于AE的一半不是也行嘛 根据条件可以得证 △DAH≌△ABE 所以AH=BE=BE' 现在正方形派上用场了，所以FE'=BE=AH=HE 即AE=2FE' 那么CE'=2FE' 所以CF=FE' （3）这一小题给出的两个线段其实是有联系的，不知道看到这的你是否发现了 CF=3，AB=15 看看CF在什么位置，不是在刚才的CE'上吗，凑上FE'就刚好变成CE'了，而CE'=AE，同时还有FE'=BE， 所以我们如果假设FEBE'的边长为x， 那么BE=x，AE=CE'=3+x，AB=15 勾股定理走起， 可得x2+（3+x）2=152 根据经验可以直接判断BE=9，AE=12，符合3、4、5的比例嘛 现在知道了BE和AE，那么题上让求DE， 我们可以让DE处于直角三角形，利用勾股定理解决 这里可以过D向AE作垂线，也可以过E向AD作垂线， 前者刚好能构造出前面用过的全等，所以作DM⊥AE于M 2020年全国各地中考数学压轴题汇编（贵州专版） 几何综合 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 1．（2020?贵阳）如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF=3，那么菱形ABCD的周长为（） A．24 B．18 C．12 D．9 解：∵E是AC中点， ∵EF∥BC，交AB于点F， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF=BC， ∴BC=6， ∴菱形ABCD的周长是4×6=24． 故选：A． 2．（2020?遵义）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（） A．10 B．12 C．16 D．18 解：作PM⊥AD于M，交BC于N． 则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形， ∴S △ADC =S △ABC ，S △AMP =S △AEP ，S △PBE =S △PBN ，S △PFD =S △PDM ，S △PFC =S △PCN ， ∴S △DFP =S△PBE=×2×8=8， ∴S 阴=8+ 8=16， 故选：C． 3．（2020?贵阳）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（） A．B．1 C．D． 解：连接BC， 由网格可得AB=BC=，AC=，即AB2+BC2=AC2， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴∠BAC=45°， 则tan∠BAC=1， 故选：B． 4．（2020?遵义）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=5，BC=10，连接AC、BD，以BD为直径的圆交AC于点E．若DE=3，则AD的长为（） 中考数学压轴题(几何综合题） 1、如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4厘米，BC＝6厘米，D是BC的中点．点E从A 出发，以a厘米/秒（a＞0）的速度沿AC匀速向点C运动，点F同时以1厘米/秒的速度从C出发，沿CB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，过点E作AC的垂线，交AD于点G，连接EF，FG．设它们运动的时间为t秒（t＞0）．（1）当t＝2时，△ECF∽△BCA，求a的值； （2）当a＝1 2 时，以点E、F、D、G为顶点的四边形是平行四边形，求t的值； （3）当a＝2时，是否存在某个时间，使△DFG是直角三角形？若存在，请求出t的值； 若不存在，请说明理由． 解：（1）∵t＝2，∴CF＝2厘米，AE＝2a厘米， ∴EC＝(4－2a ) 厘米． ∵△ECF∽△BCA．∴EC CF CB AC = ∴422 64 a - =．∴ 1 2 a=． （2）由题意，AE＝1 2 t厘米，CD＝3厘米，CF＝t厘米． ∵EG∥CD，∴△AEG∽△ACD．∴EG AE CD AC =， 1 2 34 t EG =．∴EG＝ 3 8 t． ∵以点E、F、D、G为顶点的四边形是平行四边形，∴EG＝DF． 当0≤t＜3时，3 3 8 t t =-， 24 11 t=． 当3＜t≤6时，3 3 8 t t=-， 24 5 t=． 综上 24 11 t=或 24 5 （3）由题意，AE＝2t厘米，CF＝t厘米，可得：△AEG∽△ACD AG＝5 2 t厘米，EG＝ 3 2 t，DF＝3－t厘米，DG＝5－ 5 2 t（厘米）． G D B A C F E （第27题） D B A C 备用图 图1 几何证明题分类汇编 一、证明两线段相等 1．如图3，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，EA AD ⊥，M 是AE 上一点， BAE MCE =∠∠，45MBE =o ∠． （1）求证：BE ME =． （2）若7AB =，求MC 的长． 2、（8分）如图11，一张矩形纸片ABCD ，其中AD=8cm ，AB=6cm ，先沿对角线BD 折叠，点C 落在点C ′的位置，BC ′交AD 于点G. （1）求证：AG=C ′G ； （2）如图12，再折叠一次，使点D 与点A 重合，的折痕EN ，EN 角AD 于M ，求EM 的长. 2、类题演练 3如图，分别以Rt△ABC 的直角 边AC 及斜边AB 向外 作等边 △ACD 、等边△ABE ．已知∠BAC =30o，EF ⊥AB ，垂足为F ，连结DF ． （1）试说明AC =EF ； （2）求证：四边形ADFE 是平行四边形． 4如图，在△ABC 中，点P 是边AC 上的一个动点，过点P 作直线MN∥BC，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ． (1)求证：PE ＝PF ； (2)*当点P 在边AC 上运动时，四边形BCFE 可能是菱形吗？说明理由； 图3 A B C D E F 第20题图 A B C D M N E F P (3)*若在AC 边上存在点P ，使四边形AECF 是正方形，且 AP BC ＝3 2 ．求此时∠A 的大小． 二、证明两角相等、三角形相似及全等 1、（9分）AB 是⊙O 的直径，点E 是半圆上一动点（点E 与点A 、B 都不重合）， 点C 是BE 延长线上的一点，且CD ⊥AB ，垂足为D ，CD 与AE 交于点H ，点H 与点A 不重合。 （1）（5分）求证：△AHD ∽△CBD （2）（4分）连HB ，若CD=AB=2，求HD+HO 的值。 2、（本题8分）如图9，四边形ABCD 是正方形，BE ⊥BF ，BE=BF ，EF 与BC 交于点G 。 （1）求证：△ABE≌△CBF ；（4分） （2）若∠ABE=50o，求∠EGC 的大小。（4分） 3、（本题7分）如图8，△AOB 和△COD 均为等腰直角三角形，∠AOB ＝∠COD ＝90o，D 在AB 上． （1）求证：△AOC ≌△BOD ；（4分） （2）若AD ＝1，BD ＝2，求CD 的长．（3分） 2、类题演练 1、 (8分)如图，已知∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BE ⊥CE 于E ，AD ⊥CE 于D ，CE 与 AB 相交于F ． (1)求证：△CEB ≌△ADC ； (2)若AD ＝9cm ，DE ＝6cm ，求BE 及EF 的长． A B C D 图8 O A B D F E 图9 A O D B H E C 探究性几何问题 1．如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，点M，Q分别是边AB，BC 上的动点（点M不与A，B重合），且MQ⊥BC，过点M作BC的平行线MN，交AC于点N，连接NQ，设BQ为x． （1）试说明不论x为何值时，总有△QBM∽△ABC； （2）是否存在一点Q，使得四边形BMNQ为平行四边形，试说明理由； （3）当x为何值时，四边形BMNQ的面积最大，并求出最大值． 2．如图，等边△ABC中，AB=6，点D在BC上，BD=4，点E为边AC上一动点（不与点C重合），△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE． （1）当点F在AC上时，求证：DF∥AB； （2）设△ACD的面积为S1，△ABF的面积为S2，记S=S1-S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由； （3）当B，F，E三点共线时．求AE的长． 3．如图1和2，Y ABCD中，AB=3，BC=15，tan∠DAB 4 3 ．点P为AB延 长线上一点，过点A作⊙O切CP于点P，设BP=x． （1）如图1，x为何值时，圆心O落在AP上？若此时⊙O交AD于点E，直接指出PE与BC的位置关系； （2）当x=4时，如图2，⊙O与AC交于点Q，求∠CAP的度数，并通过计算比较弦AP与劣弧?PQ长度的大小； （3）当⊙O与线段AD只有一个公共点时，直接写出x的取值范围． 4．如图，在边长为1的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD 上一点（与点A、D不重合），射线PE与BC的延长线交于点Q． （1）求证：△PDE≌△QCE； （2）过点E作EF∥BC交PB于点F，连结AF，当PB=PQ时， ①求证：四边形AFEP是平行四边形； ②请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由． 中考数学几何选择填空压轴题精选配答案 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】 2016中考数学几何选择填空压轴题精选(配答案)一．选择题（共13小题） 1．（2013蕲春县模拟）如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC 于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下四个结论中正确结论的个数为（） ①OH=BF；②∠CHF=45°；③GH=BC；④DH2=HEHB． A ．1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个 2．（2013连云港模拟）如图，Rt△ABC中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连结BE1交CD1于D2；过D2作 D2E2⊥AC于E2，连结BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…，如此继续，可以依次得到点E4、E5、…、E2013，分别记△BCE1、△BCE2、△BCE3、…、△BCE2013的面积为S1、S2、S3、…、S2013．则S2013的大小为（） A ．B ． C ． D ． 3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，，∠ABC=45°，AE⊥BC于点E，BF⊥AC于点F，交AE于点G，AD=BE，连接DG、CG．以下结论： ①△BEG≌△AEC；②∠GAC=∠GCA；③DG=DC；④G为AE中点时，△AGC的面积有最大值．其中正确的结论有（） A ．1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个 4．如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G下列结论： 如图8，在ABC Rt ?中，?=∠90CAB ，3=AC ，4=AB ，点P 是边AB 上任意一点，过点P 作AB PQ ⊥交BC 于点E ，截取AP PQ =，联结AQ ，线段AQ 交BC 于点D ，设x AP =，y DQ =．【2013徐汇】 （1）求y 关于x 的函数解析式及定义域； （4分） （2）如图9，联结CQ ，当CDQ ?和ADB ?相似时，求x 的值； （5分） （3）当以点C 为圆心，CQ 为半径的⊙C 和以点B 为圆心，BQ 为半径的⊙B 相交的另一 个交点在边AB 上时，求AP 的长． （5分） 【2013奉贤】如图，已知AB 是⊙O 的直径，AB =8， 点C 在半径OA 上（点C 与点O 、A 不重合），过点C 作AB 的垂线交⊙O 于点D ，联结OD ，过点B 作OD 的平行线交⊙O 于点E 、交射线CD 于点F ． （1）若 ，求∠F 的度数； （2）设,,y EF x CO ==写出y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域； （图8） C A B D E P Q C A B D E P Q （图9） （备用图） C A B BE ED =⌒ ⌒ 第25题 （3）设点C 关于直线OD 的对称点为P ，若△PBE 为等腰三角形，求OC 的长． 【2013长宁】△ABC 和△DEF 的顶点A 与D 重合，已知∠B =?90. ，∠BAC =?30. ，BC=6，∠ FDE =?90，DF=DE=4. （1）如图①，EF 与边AC 、AB 分别交于点G 、H ，且FG=EH . 设a DF =，在射线DF 上取一点P ，记：a x DP =，联结CP. 设△DPC 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （2）在（1）的条件下，求当x 为何值时 AB PC //； （3）如图②，先将△DEF 绕点D 逆时针旋转，使点E 恰好落在AC 边上，在保持DE 边与AC 边完全重合的条件下，使△DEF 沿着AC 方向移动. 当△DEF 移动到什么位置时，以线段 AD 、FC 、BC 的长度为边长的三角形是直角三角形. 【2013嘉定】已知AP 是半圆O 的直径，点C 是半圆O 上的一个动点（不与点A 、P 重合），联结AC ，以直线AC 为对称轴翻折AO ，将点O 的对称点记为1O ，射线1AO 交半圆O 于点B ，联结OC . （1）如图8，求证：AB ∥OC ； （2）如图9，当点B 与点1O 重合时，求证：CB AB =； 图① 图② 2019年中考数学真题分类汇编—几何题汇总 一、选择题 1．【2019连云港市】如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°．若新建墙BC与CD总长为12m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是 A．18m2B．m2C．2D2 （第1 题）（第2题）（第3题） 2．【2019宿迁】一副三角板如图摆放（直角顶点C重合），边AB与CE交于点F，DE∥BC，则∠BFC等于（ ） A．105°B．100°C．75°D．60° 3．【2019宿迁】一个圆锥的主视图如图所示，根据图中数据，计算这个圆锥的侧面积是（ ） A．20πB．15πC．12πD．9π 4、【2019常州】下图是某几何体的三视图,该几何体是() A. 圆柱 B. 正方体 C. 圆锥 D.球 5、【2019常州】如图，在线段PA、PB、PC、PD中，长度最小的是( ) A、线段PA B、线段PB C、线段PC D、线段PD 6．【2019镇江】一个物体如图所示，它的俯视图是（ ） A．B． C．D． 7、【2019淮安】下图是由4个相同的小正方体搭成的几何体，则该几何体的主视图是 （ ） 8．【2019泰州】如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A 、B 、C 、D 、E 、F 、 G 在小正方形的顶点上，则△ABC 的重心是（ ） A ．点D B ．点E C ．点F D ．点G 9、【2019扬州】 已知n 是正整数，若一个三角形的三边长分别是n+2,n+8,3n ，则满足 条件的n 的值有（ ）A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 10．【2019连云港市】如图，在矩形ABCD 中，AD ＝AB ．将矩形ABCD 对折，得 到折痕MN ；沿着CM 折叠，点D 的对应点为E ，ME 与BC 的交点为F ；再沿着MP 折叠，使得AM 与EM 重合，折痕为MP ，此时点B 的对应点为G ．下列结论：① △CMP 是直角三角形；②点C 、E 、G 不在同一条直线上；③PC ＝ ；④BP ＝AB ；⑤点 F 是△CMP 外接圆的圆心．其中正确的个数为A B C E D F G ···· 2020中考数学 几何综合探究 专题练习 例题1. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，5075135AB DC AD BC ====，，，点P 从点B 出发沿 折线段BA AD DC --以每秒5个单位长度的速度向点C 匀速运动，点Q 从点C 出发沿线段CB 方向以每秒3个单位长度的速度匀速运动，过点Q 向上作射线QK BC ⊥，交折线段CD DA AB --于点E ，点P 、Q 同时开始运动，当点P 与点C 重合时停止运动，点Q 也随之停止，设点P 、Q 运动的时间是t 秒()0t > （1）当点P 到达终点C 时，求t 的值，并指出此时BQ 的长； （2）当点P 运动到AD 上时，t 为何值能使PQ DC ∥? （3）设射线QK 扫过梯形ABCD 的面积为S ，分别求出点E 运动到CD DA ，上时，S 与t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围） 【答案】⑴507550 355 t ++= =()s 时，点P 到达终点C ， 此时，353105QC =?=，所以BQ 的长为 13510530-=． ⑵如图1，若PQ DC ∥，又AD BC ∥，则四边形PQCD 为平行四边形，从而PD QC =, 由35QC t BA AP t =+=， 得507553t t +-=，解得125 8 t =， 经检验：当125 8 t =时，有PQ DC ∥． ⑶①当点E 在CD 上运动时，如图2，分别过点A 、D 作AF BC ⊥于点F ，DH BC ⊥于点H ， 则四边形ADHF 为矩形，且ABF DCH △≌△， 从而75FH AD ==，于是30BF CH ==，∴40DH AF ==． 又3QC t =，从而tan 34DH QE QC C t t CH =?=?=（注：用相似三角形求解亦可） ∴21 62 QCE S S QE QC t ==?=△． ②当点E 在DA 上运动时，如图1，过点D 作DH BC ⊥于点H ， 由①知4030DH CH ==，， 又3QC t =，从而330ED QH QC CH t ==-=- ∴()1 1206002 QCDE S S ED QC DH t ==+=-梯形． C 图1 C 图2 中考数学几何选择填空压轴题精选 一．选择题（共13小题） 1．（2013?蕲春县模拟）如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连接DF交BE 的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下四个结论中正确结论的个数为（） ①OH=BF；②∠CHF=45°；③GH=BC；④DH2=HE?HB． A．1个B．2个C．3个D．4个 2．（2013?连云港模拟）如图，Rt△ABC中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连结BE1交CD1于D2；过D2作D2E2⊥AC于E2，连结BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…，如此继续，可以依次得到点E4、E5、…、E2013，分别记△BCE1、△BCE2、△BCE3、…、△BCE2013的面积为S1、S2、S3、…、S2013．则S2013的大小为（） A．B．C．D． 3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，，∠ABC=45°，AE⊥BC于点E，BF⊥AC于点F，交AE于点G，AD=BE，连接DG、CG．以下结论：①△BEG≌△AEC；②∠GAC=∠GCA；③DG=DC；④G为AE中点时，△AGC的面积有最大值．其中正确的结论有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 4．如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G下列结论： ①EC=2DG；②∠GDH=∠GHD；③S△CDG=S?DHGE；④图中有8个等腰三角形．其中正确的是（） A．①③B．②④C．①④D．②③ 5．（2008?荆州）如图，直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AD∥BC，BC=CD，E为梯形内一点，且∠BEC=90°，将△BEC绕C点旋转90°使BC与DC重合，得到△DCF，连EF交CD于M．已知BC=5，CF=3，则DM：MC的值为（） A．5：3B．3：5C．4：3D．3：4 6．如图，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB，AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交BD于点02，同样以AB，AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2．…，依此类推，则平行四边形ABC2009O2009的面积为（） A．B．C．D． 7．如图，在锐角△ABC中，AB=6，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（） A．B．6C．D．3 8．（2013?牡丹江）如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM=PN；②；③△PMN为等边三角形；④当∠ABC=45°时，BN=PC．其中正确的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 9．（2012?黑河）Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论： ①（BE+CF）=BC； ②S△AEF≤S△ABC； ③S四边形AEDF=AD?EF； ④AD≥EF； ⑤AD与EF可能互相平分， 其中正确结论的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 页眉内容 中考数学复习--几何综合题 Ⅰ、综合问题精讲： 几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可分为几何计算型综合题与几何论证型综合题，它主要考查学生综合运用几何知识的能力，这类题往往图形较复杂，涉及的知识点较多，题设和结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解答．解几何综合题，一要注意图形的直观提示；二要注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件，为解题创造条件打好基础；同时，也要由未知想需要，选择已知条件，转化结论来探求思路，找到解决问题的关键． 解几何综合题，还应注意以下几点： ⑴ 注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基 本图形． ⑵ 掌握常规的证题方法和思路． ⑶ 运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题．还要灵活运用数 学思想方法伯数形结合、分类讨论等）． Ⅱ、典型例题剖析 【例1】（南充，10分）⊿ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径的⊙O 与AB 相交于点E ，点F 是BE 的中点． （1）求证：DF 是⊙O 的切线．（2）若AE ＝14，BC ＝12，求BF 的长． 解：（1）证明：连接OD ，AD ． AC 是直径， ∴ AD⊥BC． ⊿ABC 中，AB ＝AC ， ∴ ∠B＝∠C，∠BAD＝∠DAC． 又∠BED 是圆内接四边形ACDE 的外角， ∴∠C ＝∠BED ． 故∠B ＝∠BED ，即DE ＝DB ． 点F 是BE 的中点，DF ⊥AB 且OA 和OD 是半径， 即∠DAC ＝∠BAD ＝∠ODA ． 故OD ⊥DF ，DF 是⊙O 的切线． （2）设BF ＝x ，BE ＝2BF ＝2x ． 又 BD ＝CD ＝21 BC ＝6， 根据BE AB BD BC ?=?，2(214)612x x ?+=?． 化简，得 27180x x +-=，解得 122,9x x ==-（不合题意，舍去）． 中考数学中的探究性问 题动态几何 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】 中考数学中的《探究性问题——动态几何》 动态几何类问题是近几年中考命题的热点，题目灵活、多变，能够全面考查 学生的综合分析和解决问题的能力。 有关动态几何的概念，在很多资料上有说明，但是没有一个统一的定义，在这里就不在赘述了。本人只是用2005 年的部分中考数学试题加以说明。 一、知识网络 《动态几何》涉及的几种情况动点问题? 动线问题动形问题? ? 二、例题经典 1.【05 重庆课改】如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1 个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2 个单位长度的速度向点A 移动,设点P、Q 移动的时间为t 秒． (1) 求直线AB 的解析式； y (2) 当t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似 24 A (3) 当t 为何值时，△APQ 的面积为 个平方单位 5 P Q 【解】（１）设直线AB 的解析式为y＝k x＋b 由题意，得b＝6 8k＋b＝0 3 解得k＝－b＝6 4 3 所以，直线AB 的解析式为y＝－x＋6． 4 （２）由AO＝6，BO＝8 得AB＝10 所以AP＝t ，AQ＝10－2t 1°当∠APQ＝∠AOB 时，△APQ∽△AOB． t 10 2t 30 所以＝解得t＝ (秒) 6 10 11 2°当∠AQP＝∠AOB 时，△AQP∽△AOB． t 10 2t 50 所以＝解得t＝ 10 6 13 (秒) （３）过点Q 作QE 垂直AO 于点E． BO 4 在Rt△AOB 中，Sin∠BAO＝ ＝ AB 5 O y y A P Q O A Q y B B B x x x中考数学几何典型例题
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